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第二十一章 四边形章末复习
　　1．你能概述一下四边形的概念吗？
　　2．四边形的内角和定理和外角和定理分别是什么？
　　3．你能概述一下多边形和正多边形的概念吗？
　　4．多边形的内角和公式是什么？
5．多边形的外角和等于多少度？
　　请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！
　　6．你能概述一下研究平行四边形的思路和方法吗？
　　7．平行四边形有哪些性质？如何判定一个四边形是平行四边形？
　　8．矩形、菱形、正方形除了具有平行四边形的性质外，分别还具有哪些性质？如何判定一个四边形是矩形、菱形、正方形？你能总结一下研究这些性质和判定的方法吗？
　　9．本章我们利用平行四边形的性质，得出了三角形的中位线定理．你能仿照这一过程，再得出一些其他几何结论吗？
　　请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！
考点一　四边形的内角和
　　例1　在四边形ABCD中，∠B=80°，∠A，∠C，∠D的度数比为2∶3∶5，求∠A，∠C，∠D的度数．
解：设∠A=2x,则∠C=3x,∠D=5x.
在四边形ABCD中,根据四边形内角和定理可得
2x+3x+5x+ 80°= 360° ,
解得x= 28°.
则∠A=56°,∠C=84°,∠D=140°.
　　已知四边形内角比例关系或角度之间的关系求四边形的其他角，关键是利用“四边形的内角和等于360°”列式求解.在解决内角比例问题时，有时需要设未知数列方程．
考点一　四边形的内角和
考点二　四边形的外角和
　　例2　一个四边形的四个外角的度数比为1∶2∶3∶4，求这个四边形四个内角的度数.
解：设四个外角的度数分别为x,2x,3x,4x.
因为四边形的外角和为360° ,
所以x+2x+3x+4x= 360°,
解得x=36°,所以四个外角的度数分别为36°, 72°,108°,144°,
所以四个内角的度数分别为180°－36°=144°,180°－ 72°= 108°,
180°－ 108°=72°，180°- 144°=36°,即这个四边形四个内角的度数分别为144°,108° ,72°, 36°.
　　(1)已知四边形外角的比例关系，可设未知数,根据“四边形的外角和等于360°”列方程求解.
(2)求内角度数可先求其相邻外角的度数，反之亦然,利用邻补角的关系转化求解.
考点二　四边形的外角和
考点三　多边形的内角和
　　例3　小刚在进行多边形内角和的计算时,求得一个多边形的内角和为1 125°.
(1)小芳看到他的计算结果后,马上就说小刚的计算有误,请你写出小芳的判断理由.
(2)小刚重新检查后,发现自己真的少加了一个内角,请问这个内角的度数是多少 这个多边形有多少条边呢
考点三　多边形的内角和
解：（1）因为1 125不能被180整除，所以小刚的计算有误.
(2)设多边形有n条边，则有1 125°＜（n－2）×180°＜1 125°＋180°，
解得 ＜n＜ .
因为n为整数，所以n=9，
所以（9－2）×180°－1 125°=1 260°－1 125°=135°，
所以少加的这个内角的度数是135°，这个多边形有9条边.
　　(1)已知多边形的内角和，根据多边形内角和公式列方程,并解方程.
(2)已知多边形的部分内角和，则可以结合隐含条件列方程(或方程组)或列不等式(或不等式组)求解.
考点三　多边形的内角和
已知多边形的内角和求边数的方法
考点四　多边形的外角和
　　例4　若一个正多边形的内角和比外角和多720°.
(1)求这个多边形的边数.
(2)求这个多边形每个内角的度数.
解: (1)设这个多边形的边数是n.
由题意,得(n-2) ×180°= 360°+ 720°，
解得n=8,
所以这个多边形的边数为8.
(2)因为这个正多边形为正八边形,
所以这个正八边形每个内角的度数为(8一2)×180°÷8 =135°.
　　(1)多边形的外角和是一个定值,无论多边形的边数是多少，它的外角和总是360°.
　 (2)涉及正多边形的外角时，通常应用(为正多边形的一个外角的度数)求得正多边形的边数，再利用求得的边数进行其他计算.
　　(3)当多边形的边数增加1时，它的内角和增加180°,但外角和还是360°.
考点四　多边形的外角和
考点五　三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线
　　例5　如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为 AC，CD 的中点，连接 BM，MN，BN．
　　（1）求证：BM＝MN；
　　（2）若∠BAD＝60°，AC 平分∠BAD，
AC＝2，求 BN 的长．
考点五　三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线
　　（1）证明：∵∠ABC＝90°，点 M 为 AC 的中点，∴BM＝ AC．
　　在△ACD 中，∵点 M，N 分别是 AC，CD 的中点，
　　∴MN∥AD，且MN＝ AD．
　　又∵AC＝AD，
　　∴BM＝ AC＝ AD＝MN，
　　即 BM＝MN．
考点五　三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线
　　（2）解：∵∠BAD＝60°，AC 平分∠BAD，
　　∴∠BAC＝∠DAC＝ ∠BAD＝30°．
　　∴∠BCA＝90°－∠BAC＝60°，
　　由（1）知，BM＝ AC＝MC，
　　∴△BMC 为等边三角形，∴∠BMC＝60°．
　　∵MN∥AD，∴∠CMN＝∠CAD＝30°，
　　∴∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝90°．
考点五　三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线
　　∵AC＝2，∴BM＝MN＝ AC＝1，
　　∴ ．
考点六　特殊平行四边形中的图形变换问题
　　例6　把正方形 ABCD 绕着点 A，按顺时针方向旋转得到正方形 AEFG，边 FG 与 BC 交于点 H（如图）．试问：线段 HG 与线段 HB 相等吗？请先观察猜想，再证明你的猜想．
　　解：猜想：HG＝HB．证明如下：
　　方法 1：如图，连接 GB．
考点六　特殊平行四边形中的图形变换问题
　　∵四边形 ABCD，AEFG 是旋转前后的两个正方形，
　　∴∠ABC＝∠AGF＝90°，AB＝AG，
　　∴∠AGB＝∠ABG，
　　∴∠HGB＝∠HBG，
　　∴HG＝HB．
　　方法 2：如图，连接 AH，
考点六　特殊平行四边形中的图形变换问题
　　∵四边形 ABCD，AEFG 都是正方形，
　　∴∠B＝∠G＝90°，AG＝AB，
　　又∵AH＝AH，
　　∴Rt△AGH≌Rt△ABH．
　　∴HG＝HB．
抓住“不变”解图形变换问题
　　图形的平移、折叠、旋转不改变图形的形状、大小，仅改变位置．在此类题目中，要抓住图形变换过程中的对应边（或角），进而利用不变性解决问题．
考点六　特殊平行四边形中的图形变换问题
考点七　在动态中探究特殊的平行四边形
　　例7　如图，P，Q，R，S 四个小球分别从正方形的四个顶点 A，B，C，D 同时出发，以同样的速度分别沿 AB，BC，CD，DA 的方向滚动，其终点分别是 B，C，D，A．
　　（1）求证：不管滚动多长时间，连接四个小球
所得到的四边形 PQRS 总是正方形．
　　（2）这个四边形在什么时候面积最大？在什么时候为原正方形面积的一半，请说明理由．
　　（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
　　∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA．
　　又∵在任何运动时刻，AP＝BQ＝CR＝DS，
　　∴PB＝QC＝RD＝SA．
　　∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS．
　　∴PS＝QP＝QR＝SR，∠ASP＝∠BPQ．
　　∴在任何运动时刻，四边形 PQRS 都是菱形．
考点七　在动态中探究特殊的平行四边形
　　又∵∠APS＋∠ASP＝90°，
　　∴∠APS＋∠BPQ＝90°．
　　∴∠QPS＝180°－(∠APS＋∠BPQ)＝90°．
　　∴在任何运动时刻，菱形 PQRS 都是正方形．
考点七　在动态中探究特殊的平行四边形
　　（2）解：当 P，Q，R，S 在出发点时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于原正方形 ABCD 的面积．
　　当 P，Q，R，S 四点运动到四边中点时，这个四边形的面积是原正方形 ABCD 的面积的一半．
　　理由：设原正方形 ABCD 的边长为 a．
　　当 PS2＝ a2 时，
　　在 Rt△APS 中，AS＝a－SD＝a－AP．
考点七　在动态中探究特殊的平行四边形
　　∴ AS2＋AP2＝PS2，即(a－AP)2＋AP2＝ a2．
　　整理，得 AP2－a·AP＋ a2＝0，
　　即 ，故 AP＝ a．
　　由（1），得 BQ＝CR＝DS＝AP＝ a．
　　∴当 P，Q，R，S 四点运动到四边形各边中点时，此时四边形的面积为原正方形面积的一半．
考点七　在动态中探究特殊的平行四边形
　　解决动点问题的关键是抓住题中的变量和不变量．同时应注意解决这类问题时，分析方法可“执果索因”，而在说明理由时需要“由因索果”，有据推理．
考点七　在动态中探究特殊的平行四边形
一组邻边相等
两组对边
分别平行
四边形
平行四边形
矩形
菱形
一个角是直角
正方形
一组邻边相等
一个角是直角

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