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第二十章 勾股定理
章末复习
　　请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！
　　1．直角三角形三边的长有什么特殊的关系？
　　2．赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？
3．已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形？　　　　　　
4．勾股定理的逆定理是如何证明的？
考点一　有关勾股定理的计算
　　例1　在 Rt△ABC 中，∠C＝90°．
　　（1）若 AB＝15，BC＝12，求 AC 的长；
　　（2）若∠A＝30°，BC＝1，求 AB 和 AC 的长；
　　（3）若 AC＝10，AB 比 BC 长 2，求 BC，AB 的长．
　　解：（1）∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，
　　∴ AC＝ ＝ ＝9．
考点一　有关勾股定理的计算
　　例1　在 Rt△ABC 中，∠C＝90°．
　　（1）若 AB＝15，BC＝12，求 AC 的长；
　　（2）若∠A＝30°，BC＝1，求 AB 和 AC 的长；
　　（3）若 AC＝10，AB 比 BC 长 2，求 BC，AB 的长．
　　解：（2）∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，
　　∴ AB＝2BC＝2．
　　∴ AC＝ ＝ ＝ ．
考点一　有关勾股定理的计算
　　例1　在 Rt△ABC 中，∠C＝90°．
　　（1）若 AB＝15，BC＝12，求 AC 的长；
　　（2）若∠A＝30°，BC＝1，求 AB 和 AC 的长；
　　（3）若 AC＝10，AB 比 BC 长 2，求 BC，AB 的长．
　　解：（3）设 BC＝x，则 AB＝x＋2．
　　由勾股定理，得 102＋x2＝(x＋2)2，
　　解得 x＝24．
　　∴x＋2＝26，即 BC＝24，AB＝26．
命题形式“千变万化”，套用三种模式找条件
　　（1）已知两边，求第三边：可直接应用勾股定理求解．
　　（2）已知一边和一个特殊角，求另两边：利用特殊直角三角形的性质先求出一条边，再用勾股定理求出另一条边．
　　（3）已知一边和另两边的关系，求另两边：设未知数，根据勾股定理列方程求解．
考点一　有关勾股定理的计算
A
B
C
D
考点一　有关勾股定理的计算
　　例2　如图，在四边形 ABCD 中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，求BD的长．
　　解：如图，作 AD′⊥AD，AD′＝AD，连接 CD′，DD′．
D′
　　∵AD′⊥AD，AD′＝AD，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，
　　∴∠DAD′＝∠BAC＝90°，∠ADD′＝∠AD′D＝45°，AB＝AC．
　　∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝∠DAD′＋∠CAD＝∠CAD′，
　　∠CDD′＝∠ADC＋∠ADD′＝90°．
　　在△BAD 与△CAD′ 中，
　　∴△BAD≌△CAD′（SAS）．
　　∴BD＝CD′．
　　在Rt△ADD′中，DD′＝ ＝4 ．
　　在Rt△CDD′中，CD′＝ ＝ ．
　　故 BD＝CD′＝ ．
A
B
C
D
D′
线段计算找垂直，构造垂直两方法
　　计算线段长度多用勾股定理，因此解题的关键是把所求线段放入直角三角形中．我们通常用下面两种方法构造垂直关系：一是直接作高；二是通过相等的线段把所求线段转化到一个直角三角形中．
考点一　有关勾股定理的计算
D
B
A
C
考点一　有关勾股定理的计算
　　1．如图，在 △ABC 中，∠C＝45°，∠B＝75°，BC＝ ，求AB 的长．
　　解：如图，过点 B 作 BD⊥AC 于点 D，则∠CDB＝∠ADB＝90°．
　　∵∠C＝45°，∠CDB＝90°，
　　∴∠CBD＝∠C＝45°．
　　∴BD＝CD．
　　又∵∠ABC＝75°，∠ADB＝90°，
　　∴∠ABD＝30°．
　　∴AB＝2AD．
　　在 Rt△BCD 中，由 CD2＋BD2＝BC2，得 2BD2＝ ．
　　解得 BD＝ ．
　　在 Rt△ABD 中，由 BD2＋AD2＝AB2，得 ＋AD2＝4AD2，
　　解得 AD＝1．
　　∴AB＝2．
D
B
A
C
考点一　有关勾股定理的计算
考点二　勾股定理的验证与图形面积
　　例3　如图，将 Rt△ABC 绕其锐角顶点 A 逆时针旋转 90°得到Rt△AED，连接 BE，延长 DE，BC 相交于点 F，则有∠BFE＝90°，且四边形 ACFD 是一个正方形．
　　（1）判断△ABE的形状，并说明理由；
　　（2）用含 b 的代数式表示四边形 ABFE 的面积；
　　（3）利用右侧的图形说明：a2＋b2＝c2．
　　解：（1）△ABE 是等腰直角三角形．理由如下：
　　∵Rt△ABC 绕其锐角顶点 A 逆时针旋转 90°得到 Rt△AED，
　　∴Rt△ABC≌Rt△AED．
　　∴∠BAC＝∠EAD，AB＝AE，∠BAE＝90°．
　　∴△ABE 是等腰直角三角形．
考点二　勾股定理的验证与图形面积
　　解：（2）∵Rt△ABC≌Rt△AED，
　　∴S△ABC＝S△AED．
　　∵S四边形ABFE＝S△ABC＋S四边形ACFE，S正方形ACFD＝S△AED＋S四边形ACFE，
　　∴S四边形ABFE＝S正方形ACFD＝b2．
考点二　勾股定理的验证与图形面积
　　解：（3）∵S四边形ABFE＝S△BAE＋S△BFE，S△BAE＝ c2，S△BFE＝ (b＋a)(b－a)，
　　∴b2＝ c2＋ (b＋a)(b－a)．
　　整理，得 2b2＝c2＋b2－a2，
　　∴a2＋b2＝c2．
考点二　勾股定理的验证与图形面积
考点二　勾股定理的验证与图形面积
　　用面积法验证勾股定理的正确性，通常的方法是割补几何图形，把一个图形分成几个图形的面积和，通过恒等变形得到勾股定理．
考点二　勾股定理的验证与图形面积
　　例4　如图，分别以直角三角形三边 a，b，c 为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足 S1＋S2＝S3 的图形有________个．
4
考点二　勾股定理的验证与图形面积
　　解析：（1）图①中，根据等边三角形的面积的求法，得
S1＝ a2，S2＝ b2，S3＝ c2．
　　∵a2＋b2＝c2，
　　∴S1＋S2＝S3．
　　（2）图②中，根据圆的面积的求法，得
S1＝ a2，S2＝ b2，S3＝ c2．
　　∵a2＋b2＝c2，
　　∴S1＋S2＝S3．
考点二　勾股定理的验证与图形面积
　　（3）图③中，根据等腰直角三角形的面积的求法，得S1＝ a2，S2＝ b2，S3＝ c2．
　　∵a2＋b2＝c2，
　　∴S1＋S2＝S3．
　　（4）图④中，根据正方形的面积的求法，得
S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2．
　　∵a2＋b2＝c2，
　　∴S1＋S2＝S3．
考点二　勾股定理的验证与图形面积
　　利用勾股定理也可以解决与面积有关的问题．解题的关键是先把图形的面积转化为直角三角形边长的平方，再利用勾股定理所得的三边之间的数量关系得出几何图形面积之间的关系．
考点三　勾股定理的逆定理
　　例5　如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，BC＝20，D 为AB 上一点，且 CD＝16，BD＝12，求 AC 的长．
　　解：在△BDC 中，∵CD2＋BD2＝162＋122＝202＝BC2，
　　∴△BCD 是直角三角形，且∠BDC＝90°，
　　∴ADC＝90°．
　　在Rt△ADC 中，设 AD＝x，则 AC＝AB＝12＋x．
　　根据勾股定理，得 162＋x2＝(12＋x)2，
　　解得 x＝ ，　∴AC＝ ．
由三边判定直角三角形的三步法
　　（1）确定——确定三角形的最大边长；
　　（2）计算——算出最大边长的平方及其他两边长的平方和；
　　（3）判断——根据计算后的数量关系判断三角形的形状．
考点三　勾股定理的逆定理
考点三　勾股定理的逆定理
　　2．如图，D 为 AB 上一点，△ACE≌△BCD，AD2＋DB2＝DE2，试判断 △ABC 的形状，并说明理由．
　　解：△ABC 是等腰直角三角形．理由如下：
　　∵△ACE≌△BCD，
　　∴AC＝BC，∠EAC＝∠B，AE＝BD．
　　∵AD2＋DB2＝DE2，
　　∴AD2＋AE2＝DE2． 　　
∴∠EAD＝90°．
考点三　勾股定理的逆定理
　　∴∠EAC＋∠DAC＝90°． 　　
∴∠DAC＋∠B＝90°． 　　
∴∠ACB＝180°－90°＝90°．
　　∵AC＝BC，
　　∴△ABC是等腰直角三角形．
考点四　利用勾股定理解决最短路径问题
　　例6　如图是一个长方体的货柜，已知它的高为 3 m，底面是边长为 2 m 的正方形．现在点 A 处有一只壁虎，想沿长方体表面到达点 C 处，则壁虎爬行的最短路程是多少？
　　解：（1）如图，将长方体的右表面翻折至前表面，使 A，C 两点共面，连接 AC，则线段 AC 的长度即为此种情况的最短路程．
　　∴AC＝ ＝ ＝5（m）．
考点四　利用勾股定理解决最短路径问题
　　（2）如图，将长方体的后表面翻折至上表面，使 A，C 两点共面，连接 AC，则线段 AC 的长度即为此种情况的最短路程．
　　∴AC＝ ＝ ＝ （m）.
　　∵ ＞5，
　　∴壁虎爬行的最短路程是 5 m．
解立体图形中最短路径问题的四步骤
　　第1步：展开，即将立体图形展开为平面图形；（注意：①只需展开包含相关点的面；②可能存在多种展开法．）
　　第2步：定点，即确定相关点的位置；
　　第3步：连线，即连接相关点，构造直角三角形；
　　第4步：计算，即根据勾股定理求解．
考点四　利用勾股定理解决最短路径问题
D
考点五　勾股定理及其逆定理的实际应用
　　例7　如图，在公路 AB 旁有一座山，现有一处 C 需要爆破，已知点 C 与公路上的停靠站 A的 距离为 300 m，与公路上另一停靠站 B 的距离为 400 m，且CA⊥CB．为了安全起见，爆破时不能进入点 C 周围半径 250 m 的范围内．问：在进行爆破时公路 AB 段是否因有危险而需要暂时封锁？
　　解：如图，作 CD⊥AB 于点 D．
　　∵BC＝400 m，AC＝300 m，∠ACB＝90°，
　　根据勾股定理，得 AB＝ ＝500 m．
　　由三角形的面积公式，可知S＝ AB·CD＝ BC·AC．
　　∴CD＝240 m．
　　∵240＜250，
　　∴点 C 到 AB 的距离小于 250 m．
　　∴在进行爆破时，公路 AB 段需要暂时封锁．
D
考点五　勾股定理及其逆定理的实际应用
考点五　勾股定理及其逆定理的实际应用
　　利用勾股定理及其逆定理解决实际问题时，首先将实际问题转化为数学问题，需要画图时，要从实际问题中抽象出正确的几何图形，然后将已知条件和结论集中在同一个直角三角形中解决问题．
考点五　勾股定理及其逆定理的实际应用
　　3．一个钢板的形状如图所示，工人师傅测得AB＝3，BC＝4，AC＝5，CD＝12，AD＝13．你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？
　　解：∵32＋42＝52，即 AB2＋BC2＝AC2，∴∠B＝90°．
同理，∠ACD＝90°． 　　
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD
　　＝ ×3×4＋ ×5×12＝6＋30＝36．
　　故这块钢板的面积是 36．
直角三角形边长的数量关系
直角三角形的判定
　　勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2
　　勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
互逆定理

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