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2.1 两条直线的位置关系
第2课时 垂直
一、选择题
1．如图，AO⊥CO，且∠BOC＝30°，则∠AOB的度数是( )
A．45° B．60° C．55° D．50°
2．过直线l外一点P，画l的垂线CD，下列各图中，三角板操作正确的是( )
3．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有(　　)
A．2条　　B．3条　　C．4条　　D．5条
4．如图，要将水渠l中的水引到点P，在什么地方开挖，才能使沟最短，理由是( )
A．点A，两点之间，线段最短 B．点B，垂线段最短
C．点D，垂线段最短 D．点C，两点确定一条直线
5．如图，点A是直线l外一点，点B，C，D在直线l上，连接AB，AC，AD.若AC⊥l，则点A到直线l的距离是( )
A．线段AB的长 B．线段AC的长 C．线段AD的长 D．线段BD的长
6．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O.若∠1＝54°，则∠2的度数为( )
A．26° B．36° C．44° D．54°
7．如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，且∠BOD∶∠EOD＝1∶2，则∠EOC的度数为( )
A．60° B．120° C．135° D．150°
8．如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，AB＝13，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的长不可能是( )
A．4 B．4.8 C．5 D．6
9．如图，一副三角尺的两个直角顶点C，F叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°，三角尺ABC不动，三角尺DEF可绕点C旋转，有下列结论：①∠BCE＋∠ACD随∠ACD的变化而变化；②当∠BCE＝3∠ACD时，DE一定垂直于AC.
下列说法正确的是(　　)
A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误
二、填空题
10．如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以直线ON与OM重合，理由是_________________________．
11．如图，直线AB与CD相交于点O.
(1)若∠AOC＝___________，则AB⊥CD；
(2)若AB⊥CD，则∠BOC的度数是___________．
12．如图，在三角形ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，则点A到直线BC的距离是线段__________的长度．
13．在已知平面内，P是直线l上一点，点M，N到直线l的距离分别是5 cm，3 cm，且MP⊥l，NP⊥l，则线段MN的长度是_________．
14．如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于点O.若∠EOF＝α，则下列说法：①∠AOC＝α－90°；②∠EOB＝180°－α；③∠AOF＝360°－2α.其中正确的是_________________(填序号).
15．已知∠AOB＝35°，以O为顶点作射线OC，OD.若∠AOC＝2∠AOB，OD⊥OB，则∠COD的度数为____________________．
三、解答题
16．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点，用无刻度的直尺画图．
(1)过点P画OA的垂线，垂足为H.
(2)过点P画OB的垂线，交OA于点C.
17．如图，BO⊥AO于点O，OB平分∠COD，∠AOC＝70°，求∠DOA的度数．
18．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥AB.
(1)若∠COF＝50°，求∠COE的度数；
(2)若∠BOD∶∠EOD＝1∶2，求∠COF的度数．
19．如图，点O为直线AB上一点，OC为一射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC.
(1)若∠BOC＝50°，试探究OE与OF之间的位置关系；
(2)若∠BOC＝α(0°<α<180°)，则(1)中OE，OF的位置关系是否仍成立？请说明理由．
20．如图，直线AB和CD交于点O，射线OE，OF在∠AOD的内部．
(1)若∠BOD＝50°，∠COE＝115°，求∠AOE的度数；
(2)若OE平分∠AOD，OF⊥CD，∠BOD＝α，求∠EOF的度数(用含α的式子表示)．
21．如图，已知锐角∠AOB，画射线OC⊥OA，射线OD⊥OB，并直接写出∠AOB与∠COD的关系．
22．定义：从∠α(90°＜∠α＜180°)的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分成的两个角中有一个角与∠α互为补角，则称该射线为∠α的“好线”．如图，点O在直线AB上，OC，OD在直线AB上方，且OC⊥OD，射线OE是∠AOD的“好线”．
(1)若∠BOD＝26°，且OE在∠COD内部，则∠COE＝________；
(2)若OE恰好平分∠AOC，请求出∠BOD的度数；
(3)若OF是∠AOE的平分线，OG是∠BOC的平分线，请画出图形，探究∠EOF与∠DOG的数量关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题
1．如图，AO⊥CO，且∠BOC＝30°，则∠AOB的度数是( )
A．45° B．60° C．55° D．50°
【答案】B
2．过直线l外一点P，画l的垂线CD，下列各图中，三角板操作正确的是( )
【答案】D
3．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有(　　)
A．2条　　B．3条　　C．4条　　D．5条
【答案】D
4．如图，要将水渠l中的水引到点P，在什么地方开挖，才能使沟最短，理由是( )
A．点A，两点之间，线段最短 B．点B，垂线段最短
C．点D，垂线段最短 D．点C，两点确定一条直线
【答案】C
5．如图，点A是直线l外一点，点B，C，D在直线l上，连接AB，AC，AD.若AC⊥l，则点A到直线l的距离是( )
A．线段AB的长 B．线段AC的长 C．线段AD的长 D．线段BD的长
【答案】B
6．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O.若∠1＝54°，则∠2的度数为( )
A．26° B．36° C．44° D．54°
【答案】B
7．如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，且∠BOD∶∠EOD＝1∶2，则∠EOC的度数为( )
A．60° B．120° C．135° D．150°
【答案】B
8．如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，AB＝13，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的长不可能是( )
A．4 B．4.8 C．5 D．6
【答案】A
9．如图，一副三角尺的两个直角顶点C，F叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°，三角尺ABC不动，三角尺DEF可绕点C旋转，有下列结论：①∠BCE＋∠ACD随∠ACD的变化而变化；②当∠BCE＝3∠ACD时，DE一定垂直于AC.
下列说法正确的是(　　)
A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误
【答案】D
【解析】①如图①，因为∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°＋∠ACE，所以∠BCE＋∠ACD＝90°＋∠ACE＋∠ACD＝90°＋90°＝180°.如图②，∠BCE＋∠ACD＝360°－∠ACB－∠DCE＝360°－90°－90°＝180°.综上，∠BCE＋∠ACD＝180°，是定值，故①错误．
②设∠ACD＝α，则∠BCE＝3α.如图①，因为∠BCD＋∠ACE＝∠BCE－∠ACD，所以∠BCD＋∠ACE＝3α－α＝2α.因为∠BCD＝90°－∠ACD＝∠ACE，所以∠BCD＝∠ACE＝α＝∠ACD，所以∠ACD＝45°＝∠D，所以易得DE⊥AC.如图②，由①得∠BCE＋∠ACD＝180°，所以3α＋α＝180°，解得α＝45°，即∠ACD＝45°.又因为∠D＝45°，所以∠ACD＝∠D，所以AC∥DE.此时DE不垂直于AC，故②错误．故选D.
二、填空题
10．如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以直线ON与OM重合，理由是_________________________．
【答案】平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
11．如图，直线AB与CD相交于点O.
(1)若∠AOC＝___________，则AB⊥CD；
(2)若AB⊥CD，则∠BOC的度数是___________．
【答案】90° 90°
12．如图，在三角形ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，则点A到直线BC的距离是线段__________的长度．
【答案】AC
13．在已知平面内，P是直线l上一点，点M，N到直线l的距离分别是5 cm，3 cm，且MP⊥l，NP⊥l，则线段MN的长度是_________．
【答案】8 cm或2 cm
14．如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于点O.若∠EOF＝α，则下列说法：①∠AOC＝α－90°；②∠EOB＝180°－α；③∠AOF＝360°－2α.其中正确的是_________________(填序号).
【答案】①②③
15．已知∠AOB＝35°，以O为顶点作射线OC，OD.若∠AOC＝2∠AOB，OD⊥OB，则∠COD的度数为____________________．
【答案】15°，55°，125°或165°
【解析】分情况讨论：
(1)OC，OD在直线OB同侧．
当OC，OD在直线OB上方时，如图①.
因为∠AOB＝35°，∠AOC＝2∠AOB，
所以∠AOC＝70°，
所以∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝105°.
因为OD⊥OB，所以∠BOD＝90°，
所以∠COD＝∠BOC－∠BOD＝15°；
当OC，OD在直线OB下方时，如图②.
因为∠AOB＝35°，∠AOC＝2∠AOB，
所以∠BOC＝∠AOB＝35°.
因为OD⊥OB，
所以∠BOD＝90°，
所以∠COD＝∠BOD－∠BOC＝55°；
(2)OC，OD在直线OB异侧．
当OC在直线OB上方、OD在直线OB下方时，如图③.
因为∠AOB＝35°，∠AOC＝2∠AOB，所以∠AOC＝70°.因为OD⊥OB，所以∠BOD＝90°，所以∠COD＝360°－∠AOC－∠AOB－∠BOD＝165°；
当OC在直线OB下方、OD在直线OB上方时，如图④.
因为∠AOB＝35°，∠AOC＝2∠AOB，
所以∠BOC＝∠AOB＝35°.
因为OD⊥OB，所以∠BOD＝90°，
所以∠COD＝∠BOD＋∠BOC＝125°.
综上所述，∠COD的度数为15°，55°，125°或165°.
三、解答题
16．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点，用无刻度的直尺画图．
(1)过点P画OA的垂线，垂足为H.
(2)过点P画OB的垂线，交OA于点C.
解：(1)(2)如图
17．如图，BO⊥AO于点O，OB平分∠COD，∠AOC＝70°，求∠DOA的度数．
解：因为BO⊥AO，所以∠AOB＝90°，因为∠AOC＝70°，所以∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝20°，因为OB平分∠COD, 所以∠DOB＝∠BOC＝20°，所以∠DOA＝∠DOB＋∠AOB＝110°
18．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥AB.
(1)若∠COF＝50°，求∠COE的度数；
(2)若∠BOD∶∠EOD＝1∶2，求∠COF的度数．
解：(1)因为OF⊥AB，所以∠AOF＝90°，因为∠COF＝50°， 所以∠AOC＝∠AOF－∠COF＝40°，所以∠AOD＝180°－∠AOC＝140°，因为OE平分∠AOD，所以∠AOE＝∠AOD＝70°，所以∠COE＝∠AOE＋∠AOC＝110°　
(2)因为OE平分∠AOD，所以∠EOD＝∠AOE，因为∠BOD∶∠EOD＝1∶2，所以∠BOD∶∠EOD∶∠AOE＝1∶2∶2.所以∠BOD＝180°×＝36°，因为OF⊥AB，所以∠BOF＝90°，所以∠COF＝180°－90°－36°＝54°
19．如图，点O为直线AB上一点，OC为一射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC.
(1)若∠BOC＝50°，试探究OE与OF之间的位置关系；
(2)若∠BOC＝α(0°<α<180°)，则(1)中OE，OF的位置关系是否仍成立？请说明理由．
解：(1)因为∠BOC＝50°，所以∠AOC＝180°－50°＝130°，因为OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，所以∠EOC＝∠AOC＝65°，∠COF＝∠BOC＝25°，所以∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝65°＋25°＝90°，所以OE⊥OF　
(2)成立．理由：因为∠BOC＝α，所以∠AOC＝180°－α，因为OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，所以∠EOC＝∠AOC＝90°－α，∠COF＝∠BOC＝α，所以∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝90°－α＋α＝90°.所以OE⊥OF
20．如图，直线AB和CD交于点O，射线OE，OF在∠AOD的内部．
(1)若∠BOD＝50°，∠COE＝115°，求∠AOE的度数；
(2)若OE平分∠AOD，OF⊥CD，∠BOD＝α，求∠EOF的度数(用含α的式子表示)．
解：(1)因为∠BOD＝50°，
所以∠AOC＝∠BOD＝50°.
因为∠COE＝115°，
所以∠AOE＝∠COE－∠AOC＝65°.
(2)因为∠BOD＝α，∠AOD＋∠BOD＝180°，
所以∠AOC＝∠BOD＝α，∠AOD＝180°－α.
因为OE平分∠AOD，OF⊥CD，
所以∠AOE＝∠AOD＝90°－α，∠AOF＝∠COF－∠AOC＝90°－α.
所以∠EOF＝∠AOE－∠AOF＝90°－α－(90°－α)＝α.
21．如图，已知锐角∠AOB，画射线OC⊥OA，射线OD⊥OB，并直接写出∠AOB与∠COD的关系．
解：画图如答图①～④.∠AOB＝∠COD或∠AOB＋∠COD＝180°.
22．定义：从∠α(90°＜∠α＜180°)的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分成的两个角中有一个角与∠α互为补角，则称该射线为∠α的“好线”．如图，点O在直线AB上，OC，OD在直线AB上方，且OC⊥OD，射线OE是∠AOD的“好线”．
(1)若∠BOD＝26°，且OE在∠COD内部，则∠COE＝________；
【答案】64°
(2)若OE恰好平分∠AOC，请求出∠BOD的度数；
解：因为OE平分∠AOC，且OE是∠AOD的“好线”，所以∠AOE＝∠COE＝∠BOD.
所以∠BOD＝×(180°－90°)＝30°.
(3)若OF是∠AOE的平分线，OG是∠BOC的平分线，请画出图形，探究∠EOF与∠DOG的数量关系，并说明理由．
解：∠EOF＝2∠DOG或∠EOF＋∠DOG＝45°.
理由如下：如图①，当OE在∠AOC内部时，
因为∠AOD＋∠BOD＝180°，
∠AOE＋∠AOD＝180°，所以∠AOE＝∠BOD.
因为OF是∠AOE的平分线，
所以∠EOF＝∠AOE＝∠BOD.
因为OG是∠BOC的平分线，所以∠BOG＝∠BOC＝×(90°＋∠BOD)＝45°＋∠BOD.所以∠DOG＝∠BOG－∠BOD＝45°－∠BOD.所以∠EOF＋∠DOG＝45°
如图②，当OE在∠COD内部时，因为∠AOD＋∠EOD＝180°，∠AOD＋∠BOD＝180°，所以∠DOE＝∠BOD.
因为OF平分∠AOE，OG平分∠BOC，
所以∠EOF＝∠AOE，∠BOG＝∠BOC.
所以∠DOG＝∠BOC－∠BOD＝(90°＋∠BOD)－
∠BOD＝45°－∠BOD，∠EOF＝∠AOE＝×(180°－2∠BOD)＝90°－∠BOD，所以∠EOF＝2∠DOG.
综上所述，∠EOF＝2∠DOG或∠EOF＋∠DOG＝45°.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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