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2.2 探索直线平行的条件
第2课时 利用内错角、同旁内角判定两直线平行
一、选择题
1．如图，与∠1是内错角的是( )
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
2．数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示(两大拇指代表被截直线，食指代表截线).从左至右依次表示( )
A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角
3．如图，已知∠1＝70°，要使AB∥CD，则须具备另一个条件( )
A．∠2＝70° B．∠2＝100° C．∠2＝110° D．∠3＝110°
4．如图，由下列条件，不能判断AB∥CD的是( )
A.∠1＝∠4 B．∠2＝∠3 C．∠B＋∠BCD＝180° D．∠BAD＋∠D＝180°
5．如图，将一副三角板如此摆放，当∠AOD的度数为多少时，可得BO∥CD( )
A．10° B．15° C．20° D．25°
6．如图所示，下列说法中错误的是( )
A．∠A和∠3是同位角 B．∠2和∠3是同旁内角
C．∠A和∠B是同旁内角 D．∠C和∠1是内错角
7．下列各图中，能画出AB∥CD的是(　　)
A．①②③　 B．①②④ C．③④　 D．①②③④
8．将一块直角三角板ABC按如图方式放置，其中∠ABC＝30°，A，B两点分别落在直线m，n上，∠1＝20°，添加下列哪一个条件可使直线m∥n( )
A．∠2＝20° B．∠2＝30° C．∠2＝45° D．∠2＝50°
9．如图，给出四个条件：①∠2＝∠3；②∠1＝∠7；③∠1＋∠2＝∠6＋∠7；④∠3＋∠4＋∠5＝180°.其中能判定AB∥CD的是(　　)
A．①②　　B．③④ C．①③　　D．②④
10．一次数学活动中，检验两条纸带①、②的边线是否平行，嘉嘉和淇淇采用两种不同的方法：嘉嘉将纸带①沿AB折叠，量得∠1＝∠2＝59°；淇淇将纸带②沿CD折叠，发现CN与CM重合，DQ与DP重合(点C在MN上，点D在PQ上)，展开后得到折痕CD，如图所示．
下列判断正确的是(　　)
A．只有纸带①的边线平行 B．只有纸带②的边线平行
C．纸带①，②的边线都平行 D．纸带①，②的边线都不平行
二、填空题
11．如图，当直线DE与BC被AC所截时，∠1与∠C是___________；当直线DE与BC被AB所截时，∠EAB与∠B是______________；当直线AB与AC被_______所截时，∠C与∠B是同旁内角；当直线_______与________被AB所截时，∠BAC与∠B是同旁内角．
12．如图．
(1)若满足条件______________，则有AB∥CD，理由是内错角相等，两直线平行；
(2)若满足条件_________________，则有AB∥CD，理由是同旁内角互补，两直线平行；
(3)若满足条件_______________，则有AB∥CD，理由是同位角相等，两直线平行．
13．如图，∠EFB＝∠GHD＝53°，∠IGA＝127°，由这些条件，能找到平行线是_______________________．
14．如图，下列条件：①∠1＝∠3，②∠2＋∠4＝180°，③∠4＝∠5，④∠2＝∠3，⑤∠6＝∠2＋∠3中能判断直线l1∥l2的有_________________(只填序号).
15．如图是由五个同样的三角形组成的图案，三角形的三个角分别为36°，72°，72°，则图中共有________对平行线．
16．将一块三角板ABC(∠BAC＝90°，∠ABC＝30°)按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的五个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30′；②∠2＝2∠1；③∠1＋∠2＝90°；④∠ACB＝∠1＋∠2；⑤∠ABC＝∠2－∠1.能判定直线m∥n的有________．(填序号)
三、解答题
17．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点且∠1＋∠2＝90°.试说明DE∥BC.
18．如图，已知∠1＝∠2，AC平分∠DAB，你能判定哪两条直线平行？说明理由．
19．如图，已知∠DAB＝65°.
(1)写出∠1的内错角；
(2)写出∠C的同旁内角；
(3)当∠B为多少度时，AE∥BC
20．如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，并且∠1＝∠2.说出图中哪些直线互相平行，并说明理由．
21．如图，台球运动中母球P击中桌边的点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点B，再次反弹经过点C，即∠PAD＝∠BAE，∠ABE＝∠CBF.
(1)若∠PAD＝32°，求∠PAB的度数；
(2)已知∠BAE＋∠ABE＝90°，母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由．
22．直线AB和CD被直线MN所截，MN分别交AB，CD于点E，F.
(1)如图①，EG平分∠BEF，FH平分∠DFE(平分的是一对同旁内角)，则∠1与∠2满足______________时，AB∥CD；
(2)如图②，EG平分∠MEB，FH平分∠DFE(平分的是一对同位角)，则∠1与∠2满足_________时，AB∥CD；
(3)如图③，EG平分∠AEF，FH平分∠DFE(平分的是一对内错角)，则∠1与∠2满足什么条件时，AB∥CD.为什么？
23．(1)光线从空气斜射入水中会产生折射现象，同时光线从水中斜射入空气也会产生折射现象．如图①，光线AB从空气射入水中，再从水中射入空气，形成光线CD，根据光学知识有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由．
(2)如图②，直线EF上有两点A，C，分别引射线AB，CD，∠BAF＝110°，∠DCF＝40°，射线AB，CD分别绕点A，C以每秒1°和每秒4°的速度同时顺时针转动．设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，直接写出所有满足条件的时间t，若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．如图，与∠1是内错角的是( )
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【答案】C
2．数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示(两大拇指代表被截直线，食指代表截线).从左至右依次表示( )
A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角
【答案】D
3．如图，已知∠1＝70°，要使AB∥CD，则须具备另一个条件( )
A．∠2＝70° B．∠2＝100° C．∠2＝110° D．∠3＝110°
【答案】C
4．如图，由下列条件，不能判断AB∥CD的是( )
A.∠1＝∠4 B．∠2＝∠3 C．∠B＋∠BCD＝180° D．∠BAD＋∠D＝180°
【答案】B
5．如图，将一副三角板如此摆放，当∠AOD的度数为多少时，可得BO∥CD( )
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】B
6．如图所示，下列说法中错误的是( )
A．∠A和∠3是同位角 B．∠2和∠3是同旁内角
C．∠A和∠B是同旁内角 D．∠C和∠1是内错角
【答案】B
7．下列各图中，能画出AB∥CD的是(　　)
A．①②③　 B．①②④ C．③④　 D．①②③④
【答案】D
【解析】由同位角相等，两直线平行可知①③正确；由内错角相等，两直线平行可知②④正确．
8．将一块直角三角板ABC按如图方式放置，其中∠ABC＝30°，A，B两点分别落在直线m，n上，∠1＝20°，添加下列哪一个条件可使直线m∥n( )
A．∠2＝20° B．∠2＝30° C．∠2＝45° D．∠2＝50°
【答案】D
9．如图，给出四个条件：①∠2＝∠3；②∠1＝∠7；③∠1＋∠2＝∠6＋∠7；④∠3＋∠4＋∠5＝180°.其中能判定AB∥CD的是(　　)
A．①②　　B．③④ C．①③　　D．②④
【答案】D
10．一次数学活动中，检验两条纸带①、②的边线是否平行，嘉嘉和淇淇采用两种不同的方法：嘉嘉将纸带①沿AB折叠，量得∠1＝∠2＝59°；淇淇将纸带②沿CD折叠，发现CN与CM重合，DQ与DP重合(点C在MN上，点D在PQ上)，展开后得到折痕CD，如图所示．
下列判断正确的是(　　)
A．只有纸带①的边线平行 B．只有纸带②的边线平行
C．纸带①，②的边线都平行 D．纸带①，②的边线都不平行
【答案】B
【解析】如图①，因为∠1与∠3互为对顶角，所以∠1＝∠3＝59°.又因为∠1＝∠2＝59°，所以∠3＝∠2＝59°.所以∠4＝∠5＝180°－59°－59°＝62°.所以∠2≠∠4.所以纸带①的边线不平行；如图②，因为沿CD折叠，CN与CM重合，DQ与DP重合，所以∠MCD＝90°，∠PDC＝90°.所以∠MCD＋∠PDC＝180°.所以纸带②的边线平行．故选B.
二、填空题
11．如图，当直线DE与BC被AC所截时，∠1与∠C是___________；当直线DE与BC被AB所截时，∠EAB与∠B是______________；当直线AB与AC被_______所截时，∠C与∠B是同旁内角；当直线_______与________被AB所截时，∠BAC与∠B是同旁内角．
【答案】内错角 同旁内角 BC AC BC
12．如图．
(1)若满足条件______________，则有AB∥CD，理由是内错角相等，两直线平行；
(2)若满足条件_________________，则有AB∥CD，理由是同旁内角互补，两直线平行；
(3)若满足条件_______________，则有AB∥CD，理由是同位角相等，两直线平行．
【答案】∠A＝∠1 ∠A＋∠4＝180° ∠A＝∠3
13．如图，∠EFB＝∠GHD＝53°，∠IGA＝127°，由这些条件，能找到平行线是_______________________．
【答案】AB∥CD，IH∥EF
14．如图，下列条件：①∠1＝∠3，②∠2＋∠4＝180°，③∠4＝∠5，④∠2＝∠3，⑤∠6＝∠2＋∠3中能判断直线l1∥l2的有_________________(只填序号).
【答案】①②③⑤
15．如图是由五个同样的三角形组成的图案，三角形的三个角分别为36°，72°，72°，则图中共有________对平行线．
【答案】5
【解析】如图，因为∠BAJ＝∠AIE＝72°，所以AB∥EH.因为∠BFC＝∠FCD＝72°，所以BJ∥CD.因为∠CBF＝∠BJA＝72°，所以BC∥AI.因为∠EDG＝∠CGD＝72°，所以DE∥CF.因为∠AEH ＝∠EHD＝72°，所以AE∥DG.故共有5对平行线．
16．将一块三角板ABC(∠BAC＝90°，∠ABC＝30°)按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的五个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30′；②∠2＝2∠1；③∠1＋∠2＝90°；④∠ACB＝∠1＋∠2；⑤∠ABC＝∠2－∠1.能判定直线m∥n的有________．(填序号)
【答案】①⑤
【解析】①因为∠1＝25.5°，∠1＋∠ABC＝55.5°＝∠2＝55°30′，所以m∥n；②没有指明∠1的度数，当∠1≠30°时，∠2≠∠1＋30°，此时直线m与n不平行，故∠2＝2∠1不能判定直线m∥n；③∠1＋∠2＝90°不能判定直线m∥n；④∠ACB＝∠1＋∠2不能判定直线m∥n；⑤∠ABC＝∠2－∠1，则∠2＝∠ABC＋∠1，能判定直线m∥n.故答案为①⑤.
三、解答题
17．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点且∠1＋∠2＝90°.试说明DE∥BC.
解：∵CD⊥AB(已知)，∴∠1＋∠3＝90°(垂直定义).∵∠1＋∠2＝90°(已知)，∴∠3＝∠2(同角的余角相等).∴DE∥BC(内错角相等，两直线平行)
18．如图，已知∠1＝∠2，AC平分∠DAB，你能判定哪两条直线平行？说明理由．
解：AB∥CD.理由：∵AC平分∠DAB，∴∠1＝∠BAC.∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠BAC，∴AB∥CD
19．如图，已知∠DAB＝65°.
(1)写出∠1的内错角；
(2)写出∠C的同旁内角；
(3)当∠B为多少度时，AE∥BC
解：(1)∠1的内错角是∠C　
(2)∠C的同旁内角是∠B和∠ADC　
(3)∵当AE∥BC时，有∠DAB＋∠B＝180°，∴∠B＝180°－∠DAB.又∵∠DAB＝65°，∴∠B＝115°
20．如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，并且∠1＝∠2.说出图中哪些直线互相平行，并说明理由．
解：AB∥CD，QH∥PG.理由：∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，∴∠GPQ＝∠1＝∠BPQ，∠HQP＝∠2＝∠CQP，∵∠1＝∠2，∴∠GPQ＝∠HQP，∠BPQ＝∠CQP，∴QH∥PG，AB∥CD
21．如图，台球运动中母球P击中桌边的点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点B，再次反弹经过点C，即∠PAD＝∠BAE，∠ABE＝∠CBF.
(1)若∠PAD＝32°，求∠PAB的度数；
(2)已知∠BAE＋∠ABE＝90°，母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由．
解：(1)因为∠PAD＝32°，∠PAD＝∠BAE.∠PAD＋∠PAB＋∠BAE＝180°，
所以∠PAB＝180°－32°－32°＝116°.
(2)BC∥PA.理由如下：
因为∠PAD＝∠BAE，∠PAB＝180°－∠PAD－∠BAE，所以∠PAB＝180°－2∠BAE.
同理可得∠ABC＝180°－2∠BAE.
因为∠BAE＋∠ABE＝90°，所以∠PAB＋∠ABC＝360°－2(∠BAE＋∠ABE)＝180°.所以BC∥PA.
22．直线AB和CD被直线MN所截，MN分别交AB，CD于点E，F.
(1)如图①，EG平分∠BEF，FH平分∠DFE(平分的是一对同旁内角)，则∠1与∠2满足______________时，AB∥CD；
【答案】∠1＋∠2＝90°
【解析】因为EG平分∠BEF，FH平分∠DFE，所以∠BEF＝2∠1，∠DFE＝2∠2.又因为∠1＋∠2＝90°，所以∠BEF＋∠DFE＝2(∠1＋∠2)＝180°.所以AB∥CD.
(2)如图②，EG平分∠MEB，FH平分∠DFE(平分的是一对同位角)，则∠1与∠2满足_________时，AB∥CD；
【答案】∠1＝∠2
【解析】因为EG平分∠MEB，FH平分∠DFE，所以∠MEB＝2∠1，∠DFE＝2∠2.又因为∠1＝∠2，所以∠MEB＝∠DFE.所以AB∥CD.
(3)如图③，EG平分∠AEF，FH平分∠DFE(平分的是一对内错角)，则∠1与∠2满足什么条件时，AB∥CD.为什么？
解：当∠1＝∠2时，AB∥CD.
理由：因为EG平分∠AEF，FH平分∠DFE，
所以∠AEF＝2∠1，∠DFE＝2∠2.
又因为∠1＝∠2，所以∠AEF＝∠DFE.
所以AB∥CD.
23．(1)光线从空气斜射入水中会产生折射现象，同时光线从水中斜射入空气也会产生折射现象．如图①，光线AB从空气射入水中，再从水中射入空气，形成光线CD，根据光学知识有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由．
解：AB∥CD.理由如下：如图①，
因为∠3＋∠5＝180°，∠4＋∠6＝180°，∠3＝∠4，
所以∠5＝∠6，
又因为∠1＝∠2，
所以∠1＋∠5＝∠2＋∠6，
即∠ABC＝∠BCD.所以AB∥CD.
(2)如图②，直线EF上有两点A，C，分别引射线AB，CD，∠BAF＝110°，∠DCF＝40°，射线AB，CD分别绕点A，C以每秒1°和每秒4°的速度同时顺时针转动．设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，直接写出所有满足条件的时间t，若不存在，请说明理由．
解：存在，当t为10秒或70秒时，CD∥AB.
【解析】分三种情况讨论：①如图②，当AB，CD在EF的两侧时，因为转动前∠BAF＝110°，∠DCF＝40°，所以转动后∠ACD＝180°－40°－(4t)°＝140°－(4t)°，∠BAC＝110°－t°.要使AB∥CD，则转动后需满足∠ACD＝∠BAF，所以140°－(4t)°＝110°－t°，解得t＝10秒，(180°－40°)÷4°＝35(秒)，所以0秒80秒，故此情况不存在．综上所述，当t为10秒或70秒时，CD与AB平行．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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