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第二章　方程与不等式
第9讲　一元一次不等式（组）及其应用
知识点一：不等式的概念及性质 关键点拨及对应举例
1.不等式的有关概念 （1）不等式：用不等号连接起来的式子. （2）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围 例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为： 　a－b≤1　
a－b≤1　
知识点一：不等式的概念及性质 关键点拨及对应举例
2.不等式的基本性质 性质1：若a＜b，则a±c＜b±c. 性质2：若a＜b且c＞0，则ac 　＜　bc（或 　＜　）；若a＜b且c＜0，则ac 　＞　bc（或 　＞　）. 性质3：若a＞b，b＞c，则a＞c 注意：两边同除以负数，不等号要改变方向.
例：不等式－2x＞6的解为 　x＜－3　
＜　
＜　
＞　
＞　
x＜－3　
知识点二：一元一次不等式（组）的解法 关键点拨及对应举例
3.一元一次不等式的解法 （1）去分母. （2）去括号. （3）移项. （4）合并同类项. （5）系数化为1 例：不等式－3x＜－7的解为 　x＞ 　
x＞ 　
知识点二：一元一次不等式（组）的解法 4.不等式组的解法 一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，即可得到不等式组的解集 5.不等式组的解集类型 假设a＜b 解集 数轴表示 口诀
x≥b 大大取大
x≤a 小小取小
a≤x≤b 大小，小大中间找
无解 大大，小小取不了
关键点拨及对应举例
注意：不等式组 的解集为 　无解　，不等式组 的解集为 　无解　，不等式组 的解集为 　x＝2　.
例：若不等式组 无解，则a的取值范围是 　a≥2　
无解
无解
x＝2
a≥2　
知识点三：列不等式解决简单的实际问题 关键点拨及对应举例
6.列不等式解应用题 （1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等关系；列不等式；解不等式；检验是否有意义. （2）应用不等式解决问题的情况.a.关键词：含有“至少（≥）”“最多（≤）”“不低于（≥）”“不高于（≤）”“不大于（≤）”“不小于（≥）”“超过（＞）”“不足（＜）”等；b.隐含不等关系：如“更省钱”“更合算”等方案决策问题，一般还需要根据整数解，得出最佳方案 注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”“最多”等字眼，也不能与方程中所设未知数一致
1. 若－3a＞1，两边都除以－3，得（　A　）
A. a＜－ B. a＞－
C. a＜－3 D. a＞－3
2. 一个不等式的解在数轴上表示如图所示，则这个不等式可以是（　B　）
A. x＋2＞0
B. x－2＜0
C. 2x≥4
D. 2－x＜0
第2题图
A
B
3. 某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10％.假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20％的利润，那么这种水果的售价在进价基础上应至少提高（　B　）
A. 40％ B. 33.4％ C. 33.3％ D. 30％
4. 若2x＋y＝1，且0＜y＜1，则x的取值范围为 　0＜x＜ .
5. 如果不等式组 的解集是0≤x＜1，那么a＋b＝ 　1　.
B
0＜x＜ 　
1　
6. 如图，书架宽84 cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8 cm，每本语文书厚1.2 cm.
（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本.
【答案】（1）设书架上数学书有x本，则语文书有（90－x）本，由题意得0.8x＋1.2（90－x）＝84，解得x＝60，90－x＝30.∴书架上有数学书60本，语文书30本.
第6题图
（2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？
【答案】（2）设数学书还可以摆m本，根据题意得1.2×10＋0.8m≤84，解得m≤90，∴数学书最多还可以摆90本.
第6题图
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第二章　方程与不等式
第6讲　一元一次方程与分式方程及其应用
知识点一：方程及其相关概念 关键点拨及对应举例
1.等式的 性质 性质1：等式两边加（或减）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式. 性质2：等式两边乘（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式 注意：在等式两边同除以一个数，这个数必须≠0.
例：判断正误.
（1）若ac＝bc，则a＝b.（　×　）
（2）若 ＝ ，则a＝b. （　√　 ）
（3）方程ax＝2的解为x＝ .
（　×　）
知识点一：方程及其相关概念 关键点拨及对应举例
2.方程的基本概念 （1）含有未知数的 　等式　叫作方程. （2）使方程左右两边的值 　相等　的未知数的值叫作方程的解. （3）只含有 　一　个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程，叫作一元一次方程 注意：在等式两边同除以一个数，这个数必须≠0.
例：判断正误.
（1）若ac＝bc，则a＝b. （　×　）
（2）若 ＝ ，则a＝b. （　√　）
（3）方程ax＝2的解为x＝ . （　×　）
等式　
相等　
一　
×
√
×
知识点二：解一元一次方程 关键点拨及对应举例
3.一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 注意：去分母时，不要漏乘，去掉分数线，要加小括号
知识点三：分式方程及解法 关键点拨及对应举例
4.分式方程的概念 分母里含有 　未知数　的方程叫作分式方程 增根产生的原因：去分母时两边同乘了0.如方程 ＝1，去分母，得x＝0，经检验，它是增根，原方程无解.
例：若分式方程 ＝1有增根，则a＝ 　－2　
5.分式方程的解法 解分式方程的基本思路是将分式方程转化为 　整式　方程，具体步骤是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母，化成整式方程. （2）解这个整式方程. （3）验根，把整式方程的根代入最简公分母，如果 　不为0　，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解 6.增根 使分式方程中的分母为0的根即为增根 未知数　
－2　
整式　
不为0　
知识点四：列方程解应用题 关键点拨及对应举例
7.列方程解应用题的一般步骤 （1）审题：审清题意，分清题中的已知量、未知量. （2）设未知数. （3）列方程（组）：找出等量关系，列方程（组）. （4）解方程（组）. （5）检验作答：检验所解答案是否正确或是否符合题意，规范作答，注意单位名称 分式方程应用题检验，既要检验所求未知数的值是不是所列分式方程的解，又要检验所求未知数的值是不是符合题意
知识点四：列方程解应用题 8.常见题型及关系式 （1）利润问题：售价＝标价×折扣，销售额＝售价×销量，利润＝售价－进价，利润率＝ ×100％.
（2）利息问题：利息＝本金×利率×期数，本息和＝本金＋利息.
（3）工程问题：工作量＝工作效率×工作时间.
（4）行程问题：常画行程示意图辅助
1. 解一元一次方程 （x＋1）＝1－ x时，去分母正确的是（　D　）
A. 3（x＋1）＝1－2x
B. 2（x＋1）＝1－3x
C. 2（x＋1）＝6－3x
D. 3（x＋1）＝6－2x
D
2. 关于x的分式方程 － ＝1有增根，则m的值为（　D　）
A. m＝2 B. m＝1
C. m＝3 D. m＝－3
3. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱.三年共得100钱.问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（　B　）
A. ＋ ＋ ＝1 B. ＋ ＋ ＝100
C. 3x＋4x＋5x＝1 D. 3x＋4x＋5x＝100
D
B
4. 若点Q（x，y）满足 ＋ ＝ ，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标： 　（2，－1）（答案不唯一）　.
5. 已知关于x的方程 ＝2的解是负数，则n的取值范围为 　n＜2 且n≠ 　.
（2，－1）（答案不唯一）　
n＜2且
n≠ 　
6. 解方程：（1） － ＝1.
【答案】（1）x＝ .
（2） － ＝1.
【答案】（2）方程两边都乘（x＋1）（x－1）得：（x－1）2－3＝（x＋1）（x－1），x2－2x＋1－3＝x2－1，x2－2x－x2＝－1－1＋3，－2x＝1，x＝－ ，检验：当x＝－ 时，（x＋1）（x－1）≠0，因此x＝－ 是原方程的解.
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第二章　方程与不等式
第7讲　二元一次方程组及其应用
知识点一：二元一次方程（组）及其相关概念 关键点拨及对应举例
1.二元一次方程（组）及其解 （1）二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程. （2）二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程. （3）二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解 例：已知 是方程组 的解，则3a－b＝ 　5 、 　
5　
知识点二：二元一次方程组的解法 关键点拨及对应举例
2.二元一次方程组的解法 解二元一次方程组的方法步骤： 二元一次方程组 　一元一次　方程. 消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 　代入　消元法和 　加减　消元法两种 已知方程组，求相关代数式的值时，有时不需要解方程组，利用整体思想，即可求出代数式的值
一元一次　
代入　
加减　
1. 已知方程3x＋y＝5，用含x的代数式表示y正确的是（　C　）
A. x＝5y B. y＝3x－5
C. y＝5－3x D. y＝5＋3x
2. 用加减消元法解二元一次方程组 时，下列方法中无法消元的是（　D　）
A. ①×2－② B. ②×（－3）－①
C. ①×（－2）＋② D. ①－②×3
C
D
3. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三.问人数，琎价各几何？其大意：今有人合伙买琎石，每人出 钱，会多出4钱；每人出 钱，又差了3钱.问人数，琎价各是多少？设人数为x，琎价为y，则可列方程组为（　B　）
B
A. B.
C. D.
4. 已知 是方程3x＋2y＝10的一个解，则m＝ 　2　.
5. 下面3个天平左盘中的“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为 　10　.
第5题图
2　
10　
6. 解方程组：
（1） 　　　　　　　　　　
【答案】 　
（2）
【答案】
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第二章　方程与不等式
第8讲　一元二次方程及其应用
知识点一：一元二次方程及其解法 关键点拨及对应举例
1.一元二次方程的相关概念 只含有 　一　个未知数，且未知数的最高次数是 　2次　的整式方程，叫作一元二次方程.它的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0） 易错警示：特别注意一元二次方程中a≠0.
例：关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋a2－1＝0有一根为0，则a＝ 　－1　
一　
2次　
－1　
知识点一：一元二次方程及其解法 关键点拨及对应举例
2.一元二次方程的解法 解一元二次方程的基本思想是降次，主要方法有：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法等.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为 　x＝ 　 解一元二次方程时，先考虑用直接开平方法或因式分解法，若不能用这两种方法时，用配方法或公式法
x＝ 　
知识点二：一元二次方程根的判别式 关键点拨及对应举例
3.根的判别式 （1）b2－4ac＞0 一元二次方程 　有两个不相等　的实数根. （2）b2－4ac＝0 一元二次方程 　有两个相等　的实数根. （3）b2－4ac＜0 一元二次方程 　没有　实数根 当a，c异号时，方程必有两个不相等的实数根
有
两个不相等　
有
两个相等　
没
有　
知识点三：一元二次方程的应用 关键点拨及对应举例
4.列一元二次方程解应用题 （1）解题步骤：①审题；②设未知数；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答. （2）应用模型：①平均增长率（降低率）问题；②利润问题：利润＝售价－成本；利润率＝ ×100％；③传播、比赛问题；④面积问题 运用一元二次方程解决实际问题时，若有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义
1. 用配方法解方程x2＋4x＋1＝0时，配方结果正确的是（　D　）
A. （x－2）2＝5 B. （x－2）2＝3
C. （x＋2）2＝5 D. （x＋2）2＝3
2. 若关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　C　）
A. k≥ B. k≥－ 且k≠0
C. k≤ 且k≠0 D. k≤－
D
C
3. 一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　C　）
A. 20％ B. 22％ C. 25％ D. 28％
4. 定义新运算：m◎n＝ 例如，－2◎1＝（－2）2＋1＝5，5◎3＝5－3＝2；若已知x◎2＝11，则x＝ 　13或－3　.
C
13或－3　
5. 某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排15场比赛，则参加比赛的球队应有 　6　队.
6　
6. 将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销量就要减少10个.
（1）为了赚8 000元利润，则应进货多少个？
【答案】（1）设销售价为x元/个，得[500－10（x－50）]·（x－40）＝
8 000，解得x＝60或x＝80，则500－10（x－50）＝400或200，因此应进货400或200个.　
（2）利润能赚到10 000元吗？若能，求出进货量；若不能，请说明理由.
【答案】（2）由（1）得[500－10（x－50）]·（x－40）＝10 000.整理得
x2－140x＋5 000＝0，b2－4ac＝（－140）2－4×1×5 000＜0，因此利润不能赚到10 000元.
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