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第一章　数与式
第2讲　整式及其运算
知识点一：整式的相关概念 关键点拨及对应举例
1.单项式 （1）定义：由数与字母的乘积组成的代数式叫作单项式（单独的一个数或一个字母也是单项式）. （2）次数：单项式中所有字母的 　指数和　 例：单项式πr2h的系数是 　π　，次数是 　3　
指数和
π　
3　
知识点一：整式的相关概念 关键点拨及对应
举例
2.多项式 （1）定义：几个单项式的和叫作多项式. （2）次数：一个多项式中， 　次数最高　的项的次数 例：多项式xy＋x－y是 　二　次三项式
次数最高
二　
知识点一：整式的相关概念 关键点拨及对应
举例
3.整式 单项式与 　多项式　统称为整式 例：下列式子中①－2ab2；②3a2b；③7ab2；④a2bc，是同类项的为 　①③　 、
4.同类项 所含字母相同并且相同字母的指数也 　相同　的项叫作同类项.所有的常数项都是同类项
多项式　
①③　
相
同　
知识点二：整式的运算 关键点拨及对应
举例
5.整式的 加减 （1）合并同类项：同类项的系数相加作为新的系数，字母和字母的指数 　不变　. （2）添（去）括号法则：括号前面是“＋”号，添（去）括号都不改变符号；括号前面是“－”号，添（去）括号都要 　改变　符号. （3）整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项 注意：去括号不要漏乘.
例：－2（3a－2b－1）＝ 　 －6a＋4b＋2　
不变
改变　
－6a
＋4b＋2　
知识点二：整式的运算 关键点拨及对应
举例
6.幂的运算 （1）同底数幂的乘法：am·an＝ 　 　. （2）幂的乘方：（am）n＝ 　amn　. （3）积的乘方：（ab）n＝ 　anbn. （4）同底数幂的除法：am÷an＝ 　 　 注意：a≠0，b≠0，且m，n都为整数.
例： ×
（－8）101＝ 　－8　
　
amn　
anbn　
　
－ 8
知识点二：整式的运算 关键点拨及对应举例
7.整式的乘法 （1）单项式×单项式：①系数、同底数幂分别相乘；②只有一个字母的照抄. （2）单项式×多项式：m（a＋b＋c）＝ 　ma＋mb＋mc　. （3）多项式×多项式：（m＋n）（a＋b）＝ 　ma＋mb＋na＋nb　. （4）乘法公式：平方差公式为（a＋b）（a－b）＝ 　a2－b2　.完全平方公式为（a±b）2＝ 　a2±2ab＋b2　 公式变形：
a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝（a－b）2＋2ab；
（a＋b）2＝（a－b）2＋4ab；
x2＋ ＝ －2.
例：已知a＋b＝4，ab＝－2，则a2＋b2＝ 　20　，a－b＝ 　±2 　
ma＋mb＋mc　
ma＋mb＋na＋nb　
a2－b2　
a2±2ab＋b2　
知识点二：整式的运算 关键点拨及对应举例
8.整式的除法 （1）单项式÷单项式：①把系数与同底数幂分别相除；②对于只在被除式里含有的字母照抄. （2）多项式÷单项式：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加 公式变形：
a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝（a－b）2＋2ab；
（a＋b）2＝（a－b）2＋4ab；
x2＋ ＝ －2.
例：已知a＋b＝4，ab＝－2，则a2＋b2＝ 　20　，a－b＝ 　±2 　
20　
±2 　
1. 计算（－a）2·a4的结果是（　A　）
A. a6 B. －a6 C. a8 D. －a8
2. 某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17 m3，a元/m3；超过部分（a＋1.2）元/m3，该地区某用户上月用水量为20 m3，则应缴水费为
（　D　）
A. 20a元 B. （20a＋24）元
C. （17a＋3.6）元 D. （20a＋3.6）元
3. 已知（a＋b）2＝49，a2＋b2＝25，则ab等于（　C　）
A. 24 B. 48 C. 12 D. 2
A
D
C
4. 如图所示是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第675个图中三角形的个数是（　B　）
A. 2 023 B. 2 024 C. 2 025 D. 2 026
第4题图
5. 若xa＋1y3与 x4y3是同类项，则a＝ 　3　.
B
3　
6. （1）计算：x（x＋2）＋（1＋x）（1－x）.
【答案】原式＝x2＋2x＋1－x2＝2x＋1.
（2）已知x＝ ，求（3x－1）2＋（1＋3x）（1－3x）的值.
【答案】原式＝9x2－6x＋1＋1－9x2＝－6x＋2，当x＝ 时，原式＝－6× ＋2＝－1＋2＝1.
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第一章　数与式
第3讲　因式分解
知识点：因式分解 关键点拨及对应举例
1.定义 把一个多项式化成几个整式 　乘积　的形式，就是因式分解 因式分解与整式乘法互为逆运算
2.方法 （1）提公因式法：ma＋mb＋mc＝ 　m（a＋b＋c）　. （2）公式法：a2－b2＝ 　（a＋b）（a－b）　； a2±2ab＋b2＝ 　（a±b）2　 平方差：①2项；②平方差.
完全平方和差：①3项；②两平方同号；③验证2ab
乘积　
m（a＋b＋c）　
（a＋b）
（a－b）　
（a±b）2　
知识点：因式分解 关键点拨及对应举例
3.步骤 （1）提：若有公因式，应先提公因式. （2）套：看是否可用公式法. （3）查：各因式能否继续分解 注意：相同因式写成幂的形式
1. 下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　C　）
A. a2＋b2 B. 2a－b2
C. a2－b2 D. －a2－b2
2. 下列多项式中，能运用完全平方公式分解因式的是（　C　）
A. 16x2＋1 B. x2＋2x－1
C. x2－x＋ D. a2＋2ab－4b2
3. 如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值为（　D　）
A. 0 B. 1 C. 4 D. 9
C
C
D
4. （1）多项式2ax2－12axy中，应提取的公因式是 　2ax　.
（2）若x2＋kx－24＝（x＋12）（x－2），则k＝ 　10　.
5. （1）若x2＋mx＋16是完全平方式，则m＝ 　±8　.
（2）若4x2＋x＋k是完全平方式，则k＝ 　 　.
2ax　
10　
±8　
　
6. （1）因式分解：7a2－28.
【答案】原式＝7（a＋2）（a－2）.
（2）已知实数a，b，c，m，n满足3m＋n＝ ，mn＝ .
①求证：b2－12ac为非负数；
【答案】①证明：∵3m＋n＝ ，mn＝ ，∴b＝a（3m＋n），c＝amn，则b2－12ac＝[a（3m＋n）]2－12a2mn＝a2（9m2＋6mn＋n2）－12a2mn＝a2（9m2－6mn＋n2）＝a2（3m－n）2，∵a，m，n是实数，∴a2（3m－n）2≥0，∴b2－12ac为非负数.
【答案】 ②m，n不可能都为整数.理由如下：若m，n都为整数，其可能情况有：i.m，n都为奇数；ii.m，n为整数，且其中至少有一个为偶数.i.当m，n都为奇数时，则3m＋n必为偶数，又∵3m＋n＝ ，∴b＝a（3m＋n），∵a为奇数，∴a（3m＋n）必为偶数，这与b为奇数矛盾；ii.当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则mn必为偶数，又∵mn＝ ，∴c＝amn，∵a为奇数，∴amn必为偶数，这与c为奇数矛盾.综上所述，m，n不可能都为整数.
②若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数？说明你的理由.
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第一章　数与式
第3讲　因式分解
知识点一：分式的相关概念 关键点拨及对应举例
1.分式的概念 （1）分式：形如 （A，B是整式，且B中含有字母，且B≠0）的式子. （2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式 判断某个式子是否为分式应注意：（1）判断化简之前的式子.（2）π是常数，不是字母.
例：下列代数式中① ；② ；③ ，是分式的为 　②③　，最简分式是 　 ③　
知识点一：分式的相关概念 关键点拨及对应举例
2.分式的 意义 （1）无意义的条件：分母为0. （2）有意义的条件：分母不为0. （3）值为0的条件：分子为0，且分母 　不为0　 判断某个式子是否为分式应注意：（1）判断化简之前的式子.（2）π是常数，不是字母.
例：下列代数式中① ；② ；③ ，是分式的为 　②③　，最简分式是 　③　
3.基本性质 ＝ ＝ （M是不为零的整式） 注意：－ ＝ ＝
不为0　
②③　
③　
知识点二：分式的运算 关键点拨及对应举例
4.分式的约分和通分 （1）约分：把分式的分子和分母中的 　公因式　约去. （2）通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式的过程 分式通分的关键是找出最简公分母，即系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂
公因式　
知识点二：分式的运算 关键点拨及对应举例
5.分式的加减法 ± ＝ ， ± ＝ 分式的化简求值，要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入.注意字母的取值，有时也需要整体代入.
例：计算 ＋a－1的结果是
6.分式的乘除法 · ＝ ， ÷ ＝ · ＝
7.分式的乘方 ＝ （n为整数）
8.分式的混合运算 在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算.遇到有括号，先算括号里面的
1. 要使分式 有意义，x的取值应满足（　B　）
A. x≠0 B. x≠－2 C. x≥－2 D. x＞－2
2. 计算 － 的结果是（　A　）
A. 3 B. 3a＋3b C. 1 D.
3. 如图，若x为正整数，则表示 － 的值的点落在（　B　）
A. 段① B. 段②
C. 段③ D. 段④
第3题图
B
A
B
4. 已知分式 ，若分式无意义，则x＝ 　2　；若分式的值为零，则x＝ 　－2　.
5. 某单位全体员工在植树节义务植树240棵.原计划每小时植树n棵，实际每小时植树的棵数是原计划的1.2倍，那么实际比原计划提前了 　 　h完成任务.（结果用含n的代数式表示）
2　
－2　
　
6. 下面是某同学计算 － 的解题过程.
解： － ＝ － 　①
＝（m＋1）－2 ②
＝m－1 ③
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程.
【答案】从第②步开始出现错误.正确的解题过程为：原式＝ － ＝ ＝ ＝ .
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第一章　数与式
第3讲　因式分解
知识点一：二次根式的有关概念 关键点拨及对应举例
1.二次根式 （1）定义：形如 （ 　a≥0　）的式子. （2）最简二次根式： ①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； ②被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号） 例：若代数式 有意义，则x的取值范围是 　x＞1　
a≥0　
x＞1　
知识点一：二次根式的有关概念
2.二次根式的性质 （1）双重非负性：
①被开方数是非负数；
②二次根式的值是非负数.
（2）两个重要性质：
①（ ）2＝a（a 　≥0　）；
② ＝｜a｜＝
（3）积的算术平方根： ＝ · （a≥0，b≥0）.
（4）商的算术平方根： ＝ （a≥0，b＞0）
≥0　
关键点拨及对应举例
常见非负数还有：绝对值，平方（偶次幂）.
例：（1）若 ＋ ＝0，则a＋b＝ 　－2　.
（2）若b＝ ＋ ，则a＝ 　1　，b＝ 　0　.
（3）化简： ＝
－2　
1　
0　
　
知识点二：二次根式的运算 关键点拨及对应举例
3.二次根式的加减 先将各根式化为最简二次根式，然后合并被开方数相同的二次根式 注意：运算时，有时运用乘法公式会使运算简便.运算结果须化为最简根式.
例：计算下列式子的值.
（ ＋1）（ －1）＝ 　1　.
＝ 　3＋2 、、
4.二次根式的乘除 · ＝ 　 　（a≥0，b≥0）. ＝ 　 　（a≥0，b＞0）
5.二次根式的混合运算 与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）
1　
3＋2
　
　
1. 二次根式 中字母x的取值范围是（　C　）
A. x＞2 B. x≠0 C. x≥2 D. x≤2
2. 计算 × － 的结果是（　B　）
A. 7 B. 6 C. 7 D. 2
C
B
3. 已知－1＜m＜2，化简｜2－m｜－ 的结果为（　A　）
A. 2－ B. 2－ －2m
C. 2＋ －2m D. 2m－2－
4. 观察下列各式： ＝2 ， ＝3 ， ＝4 ，…，请将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来 ＝ 　（n1） 　
A
（n＋ 1）
　
.
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第一章　数与式
第1讲　实数及其运算
知识点一：实数及分类的概念 关键点拨及对应举例
1.实数 （1）0既不是正数，也不是负数，是自然数，是整数.
（2）无理数的常见类型：①含π的式子；②构造型，如1.010 010 001…（每两个1之间依次多1个0）；③开方开不尽的数，如 ；④三角函数型，如 sin 45°
（1）按定义分
实
数
知识点一：实数及分类的概念 关键点拨及对应举例
1.实数 （1）0既不是正数，也不是负数，是自然数，是整数.
（2）无理数的常见类型：①含π的式子；②构造型，如1.010 010 001…（每两个1之间依次多1个0）；③开方开不尽的数，如 ；④三角函数型，如 sin 45°
实数
（2）按正、负性分
知识点二：实数的相关概念 关键点拨及对应举例
2.数轴 （1）定义：规定了原点、正方向和 　单位长度　的直线.（2）特征：数轴上的点与实数一一对应，数轴右边的数总比左边的 　大　 例：数轴上到－1的点的距离为3个单位所表示的数是 　－4或 2　
单位长度　
大　
－4
或2　
知识点二：实数的相关概念 关键点拨及对应举例
3.相反数 （1）定义：只有符号不同的两个数. （2）代数意义：若a，b互为相反数，则a＋b＝ 　0　. （3）几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个数的点位于原点 　两侧　，且到原点的距离相等 实数a的相反数是－a.
相反数是它本身的数是 　0　
0　
两侧　
0　
知识点二：实数的相关概念 关键点拨及对应举例
4.绝对值 （1）几何意义：数轴上表示数a的点与原点的 　距离　. （2）运算性质： ｜a｜＝ ｜a－b｜＝ 非负性：｜a｜≥0，若｜a｜＋b2＝0，则 　a＝b＝0　 绝对值是它本身的数是 　非负数　.
例：（1）若｜a｜＝3，则a＝ 　3　.
（2）计算：｜1－ ｜＝ 　 －1　
距离　
a＝b＝0　
非负数　
±3　
－1　
知识点二：实数的相关概念 关键点拨及对应
举例
5.倒数 （1）概念：乘积为 　1　的两个数互为倒数，非零实数a的倒数为 　 　. （2）代数意义：ab＝1 a，b互为倒数 （1）0没有倒数.
（2）倒数等于本身的数是 　1和－1　
1　
　
1和－1　
知识点三：科学记数法、近似数 关键点拨及对应举例
6.科学记数法 把一个数写成 　a×10n　的形式（其中1≤｜a｜＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法 例：用科学记数法表示14亿＝ 　1.4×109　，0.003 7＝ 　3.7×10－3　
7.近似数 一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.中间计算过程中要多精确1位 注意：实际问题取近似数会出现进一法、去尾法
a×10n　
1.4×109　
3.7×10－3　
知识点四：实数的大小比较 关键点拨及对应
举例
8.实数的大小比较 （1）代数比较规则：正数大于零，负数 　小于　零，正数大于一切负数；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而 　小　. （2）几何比较规则：在数轴上表示的两个数，左边的数总是小于右边的数 例：比较：
－2 　＜　－1，
－ 　＞　－
小于　
小　
＜　
＞　
知识点五：实数的运算 关键点拨及对应举例
9.常见运算 乘方 几个相同因式的积.负数的偶次方为正 例：（1）计算：
－1＋2＝ 　1　，
（－3）2＝ 　9　，
－22＝ 　－4　，
（－3）－2＝ 　 　.
（2）64的平方根是
　±8　，立方根是 　 4　
零次幂 a0＝ 　1　（a≠0）
负指数幂 a－p＝ 　 　（a≠0，p为正整数）
平方根、算术平方根 若x2＝a（a≥0），则x＝ 　± 　，其中 是a的算术平方根
1　
9　
－4　
　
±8　
4　
1　
　
± 　
知识点五：实数的运算 关键点拨及对应举例
10.混合 运算 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号内的，若没有括号，在同一级运算中，要从左到右进行运算 例：计算：－3＋3×2＝ 　3　
3　
1. 已知两个不等于0的实数a，b满足a＋b＝0，则 ＋ 等于（　A　）
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
2. 某病毒的直径是0.000 12 mm，将0.000 12用科学记数法表示是（　C　）
A. 120×10－6 B. 12×10－3
C. 1.2×10－4 D. 1.2×10－5
A
C
3. 如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，a＋b，b，若AM＞BM，则下列运算结果一定是正数的是（　A　）
A. a＋b B. a－b C. ab D. －b
第3题图
A
4. 如图，数轴上表示1， 的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是 　2－ 　.
第4题图
5. 下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x＝ 　301　.
第5题图
2－ 　
301　
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