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第五章　四边形
第21讲　矩形、菱形与正方形
知识点一：特殊平行四边形的性质与判定 1.性质（具有平行四边形的一切性质） 矩形 菱形
（1）四个角都是 　直角　. （2）对角线 　相等且互相平　，即AO＝CO＝BO＝DO. （3）面积＝长×宽 （1）四边 　相等　.
（2）对角线互相垂直、平分，且一条对角线平分 　一组对角　.
（3）面积＝底×高＝对角线乘积的一半
直角　
相等且互相平分　
相等
一
组对角　
知识点一：特殊平行四边形的性质与判定 关键点拨及对应举例
1.性质（具有平行四边形的一切性质） 正方形 矩形、菱形、正方形均是轴对称图形.
矩形内有四个等腰三角形，因此矩形经常结合勾股定理、等腰三角形的性质解题.
菱形中当有一个内角为60°时，则△ABC和△ADC均为等边三角形.
正方形常结合等腰直角三角形的性质解题
（1）四条边都相等，四个角都是直角. （2）对角线相等且互相 　垂直平分　. （3）面积＝边长2＝对角线乘积的一半 垂直
平分　
知识点一：特殊平行四边形的性质与判定 2.判定 （1）定义：有一个角是直角的平行四边形. （2）有 　三　个角是直角的四边形. （3）对角线 　相等　的平行四边形 （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形. （2）四边 　相等　的四边形. （3）对角线 　互相垂直　的平行四边形 （1）定义：有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形.
（2）有一个角是直角的 　菱形　.
（3）有一组邻边相等的 　矩形　
三　
相等　
相等
互相垂
直　
菱形
矩形
关键点拨及对应举例
例：判断正误.
一组邻边相等的四边形为菱形.（　×　）
有三个角是直角的四边形是矩形.（　√　）
对角线互相垂直平分的四边形是菱形.（　√　）
对边相等的矩形是正方形.（　×　）
×
√
√
×
知识点一：特殊平行四边形的性质与判定 关键点拨及对应举例
3.联系 包含关系：
知识点二：特殊平行四边形的拓展归纳 关键点拨及对应举例
4.中点 四边形 （1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形. （2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是 　菱形　. （3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是 　矩形　. （4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是 　正方形　 连结菱形各边中点所得的四边形是 　矩形　
菱形　
矩形　
正方形　
矩形　
知识点二：特殊平行四边形的拓展归纳 5.特殊四边形中的解题模型 （1）矩形：如图1所示，E为AD上任意一点，EF过矩形中心O，则△AOE≌△COF.
（2）正方形：如图2所示，若EF⊥MN，则EF＝MN.
（3）正方形：如图3所示，P为AD边上任意一点，则PE＋PF＝AO. （变式：如图4所示，四边形ABCD为矩形，则PE＋PF的求法可利用面积法，需连结PO）
图1　　 图2　　 图3　　 图4
1. 如图，已知E，F，G，H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是（　B　）
A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 平行四边形
第1题图
B
2. 一个门框的尺寸如图所示，下列长×宽型号（单位：m）的长方形薄木板能从门框中通过的是（　A　）
A. 2.9×2.2 B. 2.8×2.3
C. 2.7×2.4 D. 2.6×2.5
第2题图
A
3. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC上一点，F是CD延长线上一点，连结AE，AF，AM平分∠EAF，交CD于点M. 若BE＝DF＝1，则DM的长度为（　D　）
A. 2 B. C. D.
第3题图
D
4. 如图，两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 　8 　cm.
第4题图
8 　
5. 如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，连结DE，EF，AE.
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形.
【答案】（1）证明：∵D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，∴DE∥AC，且DE＝ AC＝AF. 即DE∥AF，DE＝AF，∴四边形ADEF为平行四边形.　
第5题图
（2）加上条件 　　　　后，能使得四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明.
【答案】（2）证明：选②AE平分∠BAC，∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠FAE，又∵四边形ADEF为平行四边形，∴EF∥DA，∴∠FAE＝∠AEF，∴AF＝EF，∴平行四边形ADEF为菱形.选③AB＝AC，∵EF∥AB且EF＝ AB，DE∥AC且DE＝ AC，又∵AB＝AC，∴EF＝DE，∴平行四边形ADEF为菱形.
第5题图
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第五章　四边形
第20讲　多边形与平行四边形
知识点一：多边形 1.多边形的定义 在同一平面内，若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形
2.多边形的性质 （1）内角和：n边形内角和为 　（n－2）×180°　.
（2）外角和：任意多边形的外角和为 　360°　.
（3）对角线：n边形从一个顶点出发可以画（n－3）条对角线，一共可以画 　 　条对角线
3.正多边形 （1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.
（2）正n边形的每一个内角的度数都是 　 　，每一个外角的度数都是 　 　
（n－2）×180°　
360°　
　
　
　
关键点拨及对应举例
例：（1）若一个多边形每个内角为144°，则这个多边形的边数为 　10　.
（2）若一个多边形内角和为1440°，则这个多边形的边数为 　10　
10　
10　
知识点二：平行四边形 关键点拨及对应举例
4.定义 两组对边分别平行的四边形 若一条直线过平行四边形的对角线的交点，那么这条直线等分平行四边形的面积、周长
5.性质 （1）边：平行四边形的对边 　平行且相等　. （2）角：平行四边形的对角 　相等　. （3）对角线：平行四边形的对角线 　互相平分　. （4）对称性：平行四边形是 　中心　对称图形，但不一定是轴对称图形 平行且
相等　
相等　
互相平分　
中心　
知识点二：平行四边形 关键点拨及对应举例
6.判定 （1）边：两对边分别平行；一组对边平行且相等；两组对边分别相等. （2）角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. （3）对角线：对角线 　互相平分　的四边形是平行四边形 注意：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形.
判定平行四边形可转化为证两三角形是否全等
互相平分　
知识点二：平行四边形 7.平行四边形中的几个解题模型 （1）如图1所示，AF平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得AB＝ 　BF　.（双平等腰）
（2）如图2所示，根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的两个三角形全等，因此阴影部分的面积为平行四边形面积的 　一半　.
（3）如图3所示，已知E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得 ＝ ＋ .
（4）如图4所示，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC＝AF·CD
　　
　　 　　
图1　　　 图2　　　 图3　　　 图4
BF　
一半
1. 如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN. 若∠ABN＝120°，则n的值为
（　A　）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
第1题图
A
2. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（　B　）
A. ∠B＝∠F B. ∠B＝∠BCF
C. AC＝CF D. AD＝CF
第2题图
B
3. 如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为（　B　）
A. 13 B. 17 C. 20 D. 26
第3题图
B
4. 如图，在 ABCD中，点E在AD上，且EC 平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则 ABCD的面积为 　50　.
第4题图
50　
5. 一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是 　6或7　.
6或7　
6. 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF＝CE.
（1）求证：△ABE≌△CDF.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，∵AF＝CE，∴AD－AF＝BC－CE，即DF＝BE，在△ABE与△CDF中，∵ ∴△ABE≌△CDF（SAS）.　
（2）连结EF. 请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形，并说明理由.
【答案】（2）当AF＝BE时，四边形ABEF是平行四边形.理由如下：如图，连结EF. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AF∥BE，当AF＝BE时，四边形ABEF是平行四边形.（答案不唯一）
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