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第四章　三角形
第17讲　三角形与全等三角形
知识点一：三角形的概念及其性质 关键点拨及对应举例
1.概念 同一平面内，不在同一直线上的三条线段首尾顺次相连组成的图形 例：等腰三角形两边长分别是4和8，则该三角形的周长为 　2 0　
2.分类 （1）按角分类： （2）按边分类： 20　
知识点一：三角形的概念及其性质 关键点拨及对应举例
3.性质 （1）边：三角形任意两边之和 　大于　第三边. （2）角：三角形内角和为 　180　°，外角和为 　360　°.外角性质：①三角形的一个外角等于 　不相邻的　两个内角之和；②三角形的一个外角大于任意一个不相邻的内角. （3）整体：三角形具有稳定性 常常利用三角形外角性质和三角形内角和定理列方程求角度.有时也会结合平行、折叠、等腰三角形性质求角度
大于　
180　
360　
不相邻的　
知识点一：三角形的概念及其性质 关键点拨及对应举例
4.重要线段 四线 性质 当同一个三角形出现两条高线时，注意运用面积法或勾股定理解决问题
角平分线 三角形的三条角平分线交于一点（内心），内心到 　三边　的距离相等 中线 将三角形面积分成相等的两部分 高线 锐角三角形的三条高线相交于三角形内部；直角三角形的三条高线相交于直角顶点；钝角三角形的三条高线相交于三角形的外部 中位线 平行于第三边，且等于第三边的 　一半　 三边　
一半　
知识点一：三角形的概念及其性质 5.三角形中内外角平分线的规律总结 如图1所示，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，则有∠O＝ 　 ∠A＋90°　；如图2所示，BO，CO分别为∠ABC，∠ACD的平分线.则∠O＝ 　 ∠A　；如图3所示，BO，CO分别为∠CBD，∠BCE的平分线，则∠O＝ 　90°－ ∠A　.
　 　
图1 　图2 　图3
∠A＋90°
∠A
90°－ ∠A
关键点拨及对应举例
注意：两条角平分线常用整体思想.
对于解答选择、填空题，可以直接通过结论解题，加快解题速度
知识点二：全等三角形的性质与判定 关键点拨及对应举例
6.全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边 　相等　，对应角 　相等　. （2）全等三角形对应边上的角平分线、中线、高线相等. （3）全等三角形的周长、面积相等 注意：对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边
7.全等三角形的判定 （1）一般三角形：SSS，SAS，ASA（AAS）. （2）直角三角形：HL 注意：SSA，AAA不能判定两三角形全等
相等　
相等　
知识点三：角平分线、垂直平分线的性质定理 关键点拨及对应举例
8.角平分线性质定理及逆定理 角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的 　距离　相等. 逆定理：在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上 注意：角平分线＋互补模型有着广泛的运用
9.线段垂直平分线性质定理及逆定理 中垂线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的 　距离　相等. 逆定理：到线段两端距离相等的点，在这条线段的中垂线上 距离　
距离　
1. 如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框（形状不限），不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为3，4，5，7，且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（　D　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
第1题图
D
2. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角.如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C，D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线.这里构造全等三角形的依据是（　D　）
A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
第2题图
D
3. 将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放.如果∠3＝32°，那么∠1＋∠2＝ 　70　°.
第3题图
70　
4. 某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五边形的五个顶点），则图中∠A＝ 　36　°.
第4题图
36　
5. 如图，在△ABC中，D为边BC的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E.
（1）求证：△BDE≌△CDA.
【答案】（1）证明：∵D为BC的中点，∴BD＝CD. ∵BE∥AC，∴∠E＝∠DAC，∠DBE＝∠C. 在△BDE和△CDA中，
∵ ∴△BDE≌△CDA（AAS）.
第5题图
（2）若AD⊥BC，求证：BA＝BE.
【答案】（2）证明：∵△BDE≌△CDA，∴ED＝AD，∵AD⊥BC，∴BD垂直平分AE，∴BA＝BE.
第5题图
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第四章　三角形
第16讲　线段、角、相交线和平行线
知识点一：直线、射线、线段 关键点拨及对应举例
1.直线公理 经过两点，有且只有一条直线 “将军饮马”模型依据的原理是两点之间线段最短.
例：在墙壁上固定一根横放的木条，至少需2枚钉子，依据是 　两点确定一条直线　
2.线段公理 两点之间，线段最短 3.两点之间的距离 连结两点间的线段的 　长度　，叫作两点间的距离 两点确
定一条直线　
长度　
知识点二：角、角平分线 4.概念 （1）角：具有公共端点的两条射线组成的图形.
（2）角平分线：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线
5.角的度量 1°＝60'，1'＝60″，1°＝3 600″
6.余角和补角 （1）余角：两角之和为 　90°　，称两角互余.
（2）补角：两角之和为 　180°　，称两角互补.
（3）性质：同角（或等角）的余角 　相等　；同角（或等角）的补角相等
90°　
180°　
相等　
关键点拨及对应举例
例：（1）15°15'＝ 　15.25　°.
（2）15°25'的余角是 　74°35'　，补角是 　164°35'　.
（3）判断(填“√”或“×”).
①一个锐角的补角一定比它的余角大90°；（　√　）
②互补的两角一定是一个锐角，一个钝角.（　×　）
15.25　
74°35'　
164°35'　
√
×
知识点三：相交线与平行线 关键点拨及对应举例
7.垂线 （1）概念：两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线. （2）性质：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.②垂线段最短. （3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 　垂线段　的长度，叫作点到直线的距离 例：如图，点A到BC的距离为 　AC　的长，点C到AB的距离为 　CD　的长
垂线段　
AC　
CD　
知识点三：相交线与平行线 关键点拨及对应举例
8.对顶角 （1）概念：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫作对顶角. （2）性质：对顶角相等 例：在平面中，三条直线相交于一点，则有 　6　对对顶角
9.三线八角 （1）同位角：形如“F”. （2）内错角：形如“Z”. （3）同旁内角：形如“U” 一个角的同位角、内错角或同旁内角可能不止一个，要注意多方位观察
6　
知识点三：相交线与平行线 关键点拨及对应举例
10.平 行线 （1）平行线的判定与性质： ①同位角相等 两直线平行； ②内错角相等 两直线平行； ③同旁内角互补 两直线平行. （2）平行公理及推论： ①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； ②平行于同一条直线的两直线平行. （3）两平行线间的距离：过平行线上的一点作另一条平行线的垂线， 　垂线段　的长度叫作两条平行线间的距离.两条平行线间的距离处处相等 （1）如果出现两条平行线被一条折线所截，那么一般要通过折点作已知直线的平行线.
（2）在平行线的考查中，通常会结合对顶角、角平分线、三角形的内角和以及三角形的外角性质，解题时注意这些性质的综合运用
垂
线段　
知识点四：命题与证明 关键点拨及对应举例
11.命题与证明 （1）概念：判断一件事情的句子叫作命题.命题分为真命题和 　假　命题. （2）命题的结构：命题由题设和 　结论　两个部分组成. （3）证明：从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是否成立的过程 证明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可.若直接证明命题有困难，可采用反证法
假　
结
论　
1. 已知∠α＝60°32'，则∠α的余角是（　A　）
A. 29°28' B. 29°68'
C. 119°28' D. 119°68'
2. 能说明命题“若a＞b，则3a＞2b”为假命题的反例为（　B　）
A. a＝3，b＝2 B. a＝－2，b＝－3
C. a＝2，b＝3 D. a＝－3，b＝－2
A
B
3. 如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC＝ 　106°　.
第3题图
4. 已知A，B，C三点在同一条直线上，M，N分别为线段AB，BC的中点，且AB＝60，BC＝40，则MN＝ 　10或50　.
106°　
10或50　
5. 如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C.
（1）求证：∠BDF＝∠A.
【答案】（1）证明：∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C，∵∠EDF＝∠C，∴∠EDF＝∠AED，∴DF∥AC，∴∠BDF＝∠A.
第5题图
（2）若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状.
【答案】（2）△ABC是等腰直角三角形.
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第四章　三角形
第18讲　等腰三角形
知识点一：等腰三角形 1.概念 有两条边 　相等　的三角形是等腰三角形
2.性质 （1）边：两腰相等.
（2）角：两底角相等.
（3）三线合一：顶角平分线、底边上的中线和 　底边上的高线　互相重合.
（4）整体：轴对称图形
3.判定 （1）定义：有两边相等的三角形是等腰三角形.
（2）有 　两角　相等的三角形是等腰三角形
相等　
底边上的高线　
两角　
关键点拨及对应举例
结论：等腰三角形底边上一点到两腰的距离和等于一腰上的高的长度.
等腰三角形遇边、遇角、遇高常需分类讨论.
例：若等腰三角形一内角为30°，则另外两角的度数为 　30°，120°或75°，75°　
30°，120°或
75°，75°　
知识点二：等边三角形 关键点拨及对应举例
4.概念 有三条边相等的三角形叫作等边三角形 例：边长为a的等边三角形高为 　 　，面积为 　 a2　
5.性质 （1）具有一般等腰三角形的所有性质. （2）等边三角形的三个角都等于 　60°　. （3）等边三角形共有 　3　条对称轴 6.判定 （1）三条边相等的三角形是等边三角形. （2）三个角都相等的三角形是等边三角形. （3）有一个角是 　60°　的等腰三角形是等边三角形 a
a2
60°　
3　
60°　
1. 如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE. 若∠ABC＝30°，则∠D的度数为（　B　）
A. 85° B. 75° C. 65° D. 30°
第1题图
B
2. 如图，已知AB＝AC，AB＝5，BC＝3，以A，B两点为圆心，大于 AB的长为半径画圆，两弧相交于点M，N，连结MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（　A　）
A. 8 B. 10 C. 11 D. 13
第2题图
A
3. “三等分角”大约是在公元前5世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O相连并可绕点O转动，点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（　D　）
A. 60° B. 65° C. 75° D. 80°
第3题图
D
4. 如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点.分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 　6　.
第4题图
6　
5. 如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝1，则PE＋PF＝ 　1　.
第5题图
1　
6. 如图1所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，点D，E分别在AB，CB上，DB＝EB，连结AE，CD，取AE的中点F，连结BF.
（1）求证：CD＝2BF，CD⊥BF.
【答案】（1）证明：在△ABE和△CBD中，∵ ∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD，∠FAB＝∠BCD. ∵F是Rt△ABE斜边AE的中点，∴AE＝2BF，∴CD＝2BF，
∵BF＝ AE＝AF，∴∠FAB＝∠FBA. ∴∠FBA＝∠BCD，
∵∠FBA＋∠FBC＝90°，∴∠FBC＋∠BCD＝90°，
∴BF⊥CD.
（2）将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置.
【答案】（2）②证明： 如图，延长BF到点G，使 FG＝BF，连结AG. ∵AF＝EF，∠AFG＝∠EFB，FG＝BF，∴△AGF≌△EBF（SAS），∴∠FAG＝∠FEB，AG＝BE. ∴AG∥BE， ∴∠GAB＋∠ABE＝180°.∵∠ABC＝∠EBD＝90°，∴∠ABE＋∠DBC＝180°，∴∠GAB＝∠DBC. ∵BE＝BD，∴AG＝BD. 在△AGB和
△BDC中，∵AG＝BD，∠GAB＝∠DBC，
AB＝CB，∴△AGB≌△BDC（SAS）.
∴CD＝BG. ∵BG＝2BF，∴CD＝2BF.
①请直接写出BF与CD的位置关系： 　BF⊥CD　；
②求证：CD＝2BF.
BF⊥CD　
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第四章　三角形
第19讲　直角三角形
知识点：直角三角形 关键点拨及对应举例
1.概念 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 （1） ＝ ch＝ ab，其中a，b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高.
（2）Rt△ABC内切圆半径r＝ ；外接圆半径R＝ ，即等于斜边的一半.
（3）折叠问题中求长度，往往需结合勾股定理解题
2.性质 如图，在△ABC中，∠C＝90°. （1）边与边的关系（勾股定理）： a2＋b2＝ 　c2　. （2）角与角的关系：∠A＋∠B＝ 　90°　. （3）边与角的关系： ①若∠A＝30°，则a＝ c，b＝ c； ②若∠A＝45°，则a＝b＝ c. （4）斜边上的中线等于 　斜 边的一半　 c2　
90°　
斜边的一半
知识点：直角三角形 关键点拨及对应举例
3.判定 （1）有一个角是直角或两个锐角互余的三角形是直角三角形. （2）如果三角形一边上的中线等于这条边的 　一半　，那么这个三角形为直角三角形. （3）勾股定理的逆定理：如果三角形的两边的 　平方和　等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 注意：在平面直角坐标系或网格中证明直角常用勾股定理的逆定理
一半　
平方和　
1. 如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（　B　）
A. 20° B. 35° C. 40° D. 70°
第1题图
B
2. 如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，F为BC的中点，连结EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（　C　）
A. ＋1 B. ＋3 C. ＋1 D. 4
第2题图
C
3. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC. 若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为（　A　）
A. ＋1 B. sin 2α＋1
C. ＋1 D. cos 2α＋1
第3题图
A
4. 如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 　100.
第4题图
100　
5. 图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，若AB＝30 cm，则BC＝ 　30 　cm（结果保留根号）.
第5题图
30 　
6. 图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2所示，其中AB＝AB'，AB⊥B'C于点C，BC＝0.5尺，B'C＝2尺.设AC的长度为x尺，可列方程为 　x2＋22＝（x＋0.5）2　.
第6题图
x2＋22＝（x＋0.5）2　
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