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第三章　函数及其图象
第11讲　一次函数
知识点一：一次函数的概念及其图象、性质 关键点拨及对应举例
1.一次函数的相关概念 一般地，形如 　y＝kx＋b　（k，b是常数，k≠0），那么y叫作x的一次函数.特别地，当b＝0时，y＝kx＋b变为y＝kx（k是常数，k≠0），这时y叫作x的正比例函数 例：当k＝ 　1　时，函数y＝kx＋k－1是正比例函数
y＝kx＋b　
1　
知识点一：一次函数的概念及其图象、性质 关键点拨及对应举例
2.一次函数的图象 一次函数y＝kx＋b的图象是经过点（0，b）和（－ ，0）的一条直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是经过原点的一条直线 例：一次函数y＝－2x＋4与坐标轴的交点坐标为 　（2，0）和（0，4）　
（2，0）和
（0，4）　
知识点一：一次函数的概念及其图象、性质 3.一次函数的性质 k，b符号 k＞0， b＞0 k＞0， b＜0 k＞0， b＝0 k＜0， b＞0 k＜0， b＜0 k＜0，
b＝0
大致图象
经过象限 一、二、三 一、三、四 一、三 一、二、四 二、三、四 二、四
图象性质 y随x的增大而 　增大　 y随x的增大而 　减小　 增大　
减小　
知识点二：确定一次函数的表达式 关键点拨及对应举例
4.确定一次函数的表达式 常用方法有待定系数法.常见类型：①已知两点坐标确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③通过平移规律确定函数表达式 例：将一次函数y＝－2x＋4向右平移2个单位长度，所得图象的表达式为 　y＝－2x ＋8　.
注意：平移k不变
y＝
－2x＋8　
知识点三：一次函数与方程、不等式 5.一次函数与一次方程 方程kx＋b＝0的根就是一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标
6.一次函数与不等式 不等式kx＋b＞0（或kx＋b＜0）（k≠0）的解集可以看作一次函数y＝kx＋b的因变量y取正值（或负值）时自变量x的取值范围
7.一次函数与方程组 两直线的交点坐标是两个一次函数表达式y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2所组成的关于x，y的方程组的解
关键点拨及对应举例
例：已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝0的解为 　x＝1　，当x＜0时，y的取值范围是 　y＜－2　
x＝1
y＜－2
知识点四：一次函数的实际应用 关键点拨及对应举例
8.一次函数的实际应用 在实际问题中，可以根据自变量的取值求函数的值，或者由函数的值求自变量的值.由于自变量的取值范围一般受到限制，因此可以根据一次函数的性质求出函数在某个范围的最值 涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值
1. 若三点（1，4），（2，7），（a，10）在同一直线上，则a的值等于
（　C　）
A. －1 B. 0 C. 3 D. 4
2. 一次函数y＝2x－1的图象大致是（　B　）
A. B. C. D.
C
B
3. 已知一次函数y＝kx＋3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（　B　）
A. （－1，2） B. （1，－2）
C. （2，3） D. （3，4）
B
4. 一次函数y＝2x＋b与两坐标轴围成三角形的面积为4，则b＝ 　±4　.
±4　
5. 如图，已知直线l1：y＝－2x＋4与x，y轴分别交于点N，C，与直线l2：y＝kx＋b（k≠0）交于点M，直线l2与x轴的交点为A（－2，0）.
第5题图
（1）若点M的横坐标为1，则△AMN的面积是 　4　.
（2）若点M在第一象限，则k的取值范围是 　0＜k＜2　.
4　
0＜k＜2　
6. 小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼.小明先跑，10 min后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次.跑步机上C挡比B挡快40 m/min、B挡比A挡快40 m/min.小明与小丽的跑步相关信息见下表，跑步累计里程s m与小明跑步时间t mim的函数关系如图所示.
时间 里程分段 速度挡 跑步里程
小明 16：00－ 16：50 不分段 A挡 4 000 m
小丽 16：10－ 16：50 第一段 B挡 1 800 m
第一次休息 第二段 B挡 1 200 m
第二次休息 第三段 C挡 1 600 m
　第6题图
（1）求A，B，C各挡速度.
【答案】（1）由题意可知，A挡速度为4 000÷50＝80（m/min），则B挡速度为80＋40＝120（m/min），C挡速度为120＋40＝160（m/min）.
（2）求小丽两次休息时间的总和.
【答案】（2）小丽第一段跑步时间为1 800÷120＝15（min），小丽第二段跑步时间为1 200÷120＝10（min），小丽第三段跑步时间为1 600÷160＝10（min），则小丽两次休息时间的总和为50－10－15－10－10＝5（min）.
　第6题图
（3）小丽第二次休息后，在a min时两人跑步累计里程相等，求a的值.
【答案】（3）由题意可得，小丽第二次休息后，在a min时两人跑步累计里程相等，此时小丽在跑第三段，所跑时间为a－10－15－10－5＝（a－40）min，可得80a＝3 000＋160（a－40），解得a＝42.5.
　第6题图
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第三章　函数及其图象
第13讲　二次函数的图象与性质（一）
知识点一：二次函数的概念 关键点拨及对应举例
1.二次函数的定义 一般地，形如 　y＝ax2＋bx＋c　（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项 例：若函数y＝（a－1）x2是二次函数，则a的取值范围是 　a≠ 　
y＝ax2＋bx＋c　
a≠1　
知识点一：二次函数的概念 关键点拨及对应举例
2.二次函数的三种表达式 （1）一般式：y＝ax2＋bx＋c. （2）顶点式：y＝a（x－m）2＋k，其中顶点坐标为（m，k）. （3）交点式：y＝a（x－x1）（x－x2），其中x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标 若已知抛物线顶点，可设顶点式；已知抛物线与x轴两交点坐标，可设交点式；其余则设一般式
知识点二：二次函数的图象与性质 3.二次函数的图象与性质 图象 y＝ax2＋bx＋c （a＞0）
y＝ax2＋bx＋c
（a＜0）
开口 向 　上　 向 　下　
对称轴 直线x＝－ 顶点坐标 上　
下　
知识点二：二次函数的图象与性质 3.二次函数的图象与性质 增减性 当x≥－ 时，y随x的增大而 　增大　；当x≤－ 时，y随x的增大而 　减 小　 当x≥－ 时，y随x的增大而 　减小　；当x≤－ 时，y随x的增大而 　增大　
最值 x＝－ 时，y最小＝ x＝－ 时，y最大＝
增大　
减小　
减
小　
增大
关键点拨及对应举例
比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；③图象法：画出草图，当a＞0时，点与对称轴的距离越近，值越小；当a＜0时，点与对称轴的距离越近，值越大.
例：当0≤x≤4时，函数y＝x2－2x－3的最小值为 　－4　，最大值为 　5　
－4　
5　
知识点三：二次函数的平移 关键点拨及对应举例
4.平移与表达式的关系 y＝ax2的图象 y＝a（x＋m）2的图象 y＝a（x＋m）2＋k的图象. 注意：抛物线平移紧抓顶点坐标的平移 例：将抛物线y＝x2沿x轴向右平移2个单位长度所得抛物线的表达式为 　y＝（x－2 ）2　
y＝（x
－2）2　
1. 关于二次函数y＝2（x－4）2＋6的最大值或最小值，下列说法正确的是
（　D　）
A. 有最大值4 B. 有最小值4
C. 有最大值6 D. 有最小值6
2. 关于二次函数y＝x2＋2x－8，下列说法正确的是（　D　）
A. 图象的对称轴在y轴的右侧
B. 图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C. 图象与x轴的交点坐标为（－2，0）和（4，0）
D. y的最小值为－9
D
D
3. 已知（－3，y1），（－2，y2），（1，y3）是抛物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则（　B　）
A. y3＜y2＜y1 B. y3＜y1＜y2
C. y2＜y3＜y1 D. y1＜y3＜y2
B
4. 把抛物线y＝x2先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式是 　y＝（x－2）2＋3　.
5. 已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个二次函数的表达式为 　y＝2＋x－ 　 .
y＝（x－2）2＋3　
y＝ x2＋
x－ 　
6. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），与x轴交于点A（－3，0），B（1，0），与y轴的负半轴交于点C，且OC＝OA.
（1）求二次函数的表达式.
【答案】（1）由题意得点C（0，－3），设抛物线的表达式为y＝a（x＋3）（x－1）＝a（x2＋2x－3），则－3a＝－3，则a＝1，则抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3.
（2）若当m≤x≤m＋3时，函数的最小值为5，求m的值.
【答案】（2）∵y＝x2＋2x－3＝（x＋1）2－4，∴对称轴为直线x＝－1，当m＋3≤－1时，即m≤－4，当x＝m＋3时，ymin＝（m＋3）2＋2（m＋3）－3＝5，解得m＝－1（舍去）或－7；当m≥－1时，当x＝m时，ymin＝m2＋2m－3＝5，解得m＝－4（舍去）或2，当－4＜m＜－1时，函数的最小值为－4，不符合题意，综上，m＝2或－7.
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第三章　函数及其图象
第12讲　反比例函数
知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质 关键点拨及对应举例
1.反比例函数的概念 一般地，形如y＝ （k为常数，k≠ 　0　）的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数.自变量的取值范围是 　x≠0　 例：函数y＝2xm＋1是反比例函数，则m＝ 　－ 2　
0　
x≠0　
－2　
知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质 2.反比例函数的图象和性质 k的符号 图象 经过象限 y随x变化的情况
k＞0 图象经过第一、三象限（x，y同号） 每个象限内，函数y的值随x的增大而减小
k＜0 图象经过第二、四象限（x，y异号） 每个象限内，函数y的值随x的增大而增大
关键点拨及对应举例
注意：在应用反比例函数的性质时，要注意“在每个象限内”这几个字的含义，切忌说k＞0时，y就随x的增大而减小
知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质 关键点拨及对应举例
3.反比例函数的图象特征 （1）由两条曲线组成，叫作双曲线. （2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交. （3）图象是中心对称图形，原点为对称中心，也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线 例：若点（a，b）在反比例函数y＝ 的图象上，则点（－a，－b） 　在　（填“在”或“不在”）该函数的图象上
4.确定反比例函数的表达式 常用方法：待定系数法 例：若双曲线y＝ 过点（－3，1），则k＝ 　－ 3　
在　
－3　
知识点二：反比例函数k的几何意义 关键点拨及对应举例
5.k的几何意义 反比例函数图象上的点（x，y）具有两数之积（xy＝k）为常数这一特点，则过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形的面积为常数 　｜k｜　 注意：已知相关面积，求反比例函数的表达式，若函数图象在第二、四象限，则k＜0
｜k｜　
知识点二：反比例函数k的几何意义 关键点拨及对应举例
6.与一次函数的综合 （1）确定交点坐标：方法一为与正比例函数相交时，已知一个交点坐标为（a，b）.则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（－a，－b）.方法二为联立两个函数表达式，利用方程思想求解. （2）确定函数表达式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数表达式中求解. （3）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围 例：如图，三个阴影部分的面积为S△AOC，S△BDO，S△POE，按从小到大的顺序排列为
＝
　
知识点三：反比例函数的实际应用 关键点拨及对应举例
7.反比例函数的实际应用 ①根据实际情况建立反比例函数模型；②利用待定系数法或其他学科的公式等确定函数表达式；③根据反比例函数的性质解决实际问题 在实际问题中，求出的表达式要注意自变量和函数的取值范围
1. 如图，已知直线y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y＝ （k2≠0）的图象交于M，N两点.若点M的坐标是（1，2），则点N的坐标是（　A　）
A. （－1，－2）
B. （－1，2）
C. （1，－2）
D. （－2，－1）
　 第1题图
A
2. 验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的对应数据见下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（　A　）
近视眼镜的度数y/度 200 250 400 500 1 000
镜片焦距x/m 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10
A. y＝ B. y＝
C. y＝ D. y＝
A
3. 已知点（－2，a），（2，b），（3，c）在函数y＝ （k＞0）的图象上，则下列判断正确的是（　C　）
A. a＜b＜c B. b＜a＜c
C. a＜c＜b D. c＜b＜a
C
4. 如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（2，2），双曲线y＝ 与线段AB有公共点，则k的取值范围是 　1≤k≤4　.
第4题图
1≤k≤4　
5. 点P，Q，R在反比例函数y＝ （常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3，若OE＝ED＝DC，S1＋S3＝27，则S2＝ 　.
第5题图
　
6. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A（1，6），B（n，2），与x轴，y轴分别交于C，D两点.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式.
【答案】（1）∵一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A（1，6），B（n，2），∴ ＝6，∴m＝6，∴反比例函数的表达式为y＝ ，把B（n，2）代入y＝ 得2＝ ，∴n＝3，∴B（3，2），把A（1，6），B（3，2）代入y＝kx＋b得 解得 ∴一次函数的表达式为y＝－2x＋8.
（2）若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，请直接写出点P的坐标.
【答案】（2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连结EB交y轴于点P，此时，△PAB的周长最小，∵点A（1，6），∴E（－1，6），设直线BE的表达式为y＝mx＋c，∴ 解得 ∴直线BE的表达式为y＝－x＋5，当x＝0时，y＝5，∴点P的坐标为（0，5）.
（3）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点，当EF＝ AB时，求a的值.
【答案】（3）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，∴直线EF的表达式为y＝－2x＋8－a，∴E（ ，0），F（0，8－a），∵EF＝ AB，∴ ＝ × ，解得a1＝6，a2＝10.
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第三章　函数及其图象
第15讲　二次函数的应用
知识点：二次函数的实际应用 关键点拨及对应举例
1.实物抛物线 （1）根据题意，结合函数图象求出函数表达式. （2）确定自变量的取值范围. （3）根据图象，结合所求表达式解决问题 注意：若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解
知识点：二次函数的实际应用 关键点拨及对应举例
2.实际问题中求最值 （1）分析问题中的数量关系，列出函数关系式. （2）研究自变量的取值范围. （3）确定所得的函数. （4）检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相应的y值. （5）解决提出的实际问题 确定最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在自变量的取值范围内
知识点：二次函数的实际应用 关键点拨及对应举例
3.结合几何图形 （1）根据几何图形的性质，探求图形中的关系式. （2）根据几何图形的关系式确定二次函数表达式. （3）利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题 几何问题面积的最值通常会通过二次函数来解决，注意自变量的取值范围
1. 已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（　D　）
A. 有最大值4，无最小值
B. 有最大值4，最小值2
C. 有最大值2，最小值0
D. 有最大值4，最小值0
第1题图
D
2. 飞机着陆后滑行的距离y（m）关于滑行时间t（s）的函数表达式是y＝60t－ t2.在飞机着陆滑行中，最后4 s滑行的距离是 　24　m.
3. 王翔同学在一次跳高训练中采用了背跃式，跳跃路线正好和抛物线y＝
－2x2＋3x＋ 相吻合，那么他能跳过的最大高度为 　 　m.
24　
　
4. 小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径AB＝4，且点A，B关于y轴对称，杯脚高CO＝4，杯高DO＝8，杯底MN在x轴上.
第4题图
（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）.
【答案】（1）∵OC＝4，∴顶点C（0，4），∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋4，∵AB＝4，∴AD＝DB＝2，∵DO＝8，∴A（－2，8），B（2，8），将B（2，8）代入y＝ax2＋4，得8＝a×22＋4，解得a＝1，∴该抛物线的函数表达式为y＝x2＋4.　
第4题图
（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2所示，杯体A'CB'所在抛物线形状不变，杯口直径A'B'∥AB，杯脚高CO不变，杯深CD'与杯高OD'之比为0.6，求A'B'的长.
【答案】（2）由题意，得 ＝0.6，则 ＝0.6，因此CD'＝6，OD'＝OC＋CD'＝4＋6＝10，又∵杯体A'CB'所在抛物线形状不变，杯口直径A'B'∥AB，∴设B'（x1，10），A'（x2，10），当y＝10时，10＝x2＋4，解得x1＝ ，x2＝－ ，∴A'B'＝2 ，∴杯口直径A'B'的长为2 .
5. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值.
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
（1）求y与x的函数表达式.
【答案】（1）设y与x的函数表达式为y＝kx＋b，把x＝12，y＝56；x＝20，y＝40代入，得 解得 ∴y与x的函数表达式为y＝－2x＋80.
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
【答案】（2）设日销售利润为w元，根据题意，得w＝（x－10）·y＝（x－10）（－2x＋80）＝－2x2＋100x－800＝－2（x－25）2＋450，∴当x＝25时，w有最大值为450，∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元.
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值.
【答案】（3）设日销售利润为w元，根据题意，得w＝（x－10－m）·y＝（x－10－m）（－2x＋80）＝－2x2＋（100＋2m）x－800－80m，∴当x＝－ ＝ 时，w有最大值为－2（ ）2＋（100＋2m） －800－80m，∵这种糖果日销售获得的最大利润为392元，∴－2（ ）2＋（100＋2m） －800－80m＝392，化简得m2－60m＋116＝0，解得m1＝2，m2＝58.当m＝58时，x＝－ ＝54，则每盒的利润为54－10－58＜0，舍去，∴m的值为2.
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第三章　函数及其图象
第10讲　坐标与函数
知识点一：探索确定物体在平面上的位置 关键点拨及对应举例
（1）有序数对（如电影票3排5列）. （2）方向和距离（如距某岛南偏西30°方向15 km处） 电影票3排5列与5排3列不一样，说明“有序”
知识点二：平面直角坐标系 关键点拨及对应举例
2.定义 平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系.坐标平面内的点与有序实数对一一对应 注意：坐标轴上的点不属于任何象限.注意线段长度与点的坐标关系
知识点二：平面直角坐标系 关键点拨及对应举例
3.点的坐标特征 （1）各象限内的坐标符号：第一象限（＋，＋）；第二象限 　（－，＋）　；第三象限 　（－，－）　；第四象限 　（＋，－）　. （2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上，y＝0；y轴上，x＝0. （3）象限角平分线上点的坐标特征： 第一、三象限角平分线上的点是横纵坐标相等. 第二、四象限角平分线上的点是横纵坐标 　互为相反数　
例：如图，边长为2的等边三角形OAB放入平面直角坐标系中，则点A坐标为 　（－　，点B坐标为 　（－1，－）　
（－，＋）
（－，－）　
（＋，－）　
互为相反数　
（－2，0）　
（－1，－ ）
知识点二：平面直角坐标系 关键点拨及对应举例
4.点到坐标轴的距离 点P（a，b）到x轴的距离为｜b｜.点P（a，b）到y轴的距离为｜a｜.点P（a，b）到原点的距离为 　 　 平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的 　横　坐标相等
　
横　
知识点三：平移与对称点的坐标 关键点拨及对应举例
5.点的平移 将点P（x，y）向右（或向左）平移a个单位长度的对应点坐标为（x＋a，y）[或（x－a，y）]；将点P（x，y）向上（或向下）平移b个单位长度的对应点坐标为（x，y＋b）[或（x，y－b）] 例：已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A（－1，4）的对应点为点C（4，7），则点B（－4，1）的对应点D的坐标为 　（1，4）　、
6.点的对称 点P（x，y）关于x轴的对称点坐标为 　（x，－y）　.点P（x，y）关于y轴的对称点坐标为 　（－x 　.点P（x，y）关于原点的对称点坐标为 　（－x，－y）　 （1，
4）　
（x，－y）　
（－x，y）
（－x，－y）　
知识点四：函数的有关概念 关键点拨及对应举例
7.函数定义 一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有 　唯一确定　的值与之对应，那么y是x的函数，其中x是自变量
如图，若对于一个x的值，y有两个值与之对应，则y 　不是　（填“是”或“不是”）x的函数
8.函数的表示方法 列表法、图象法、解析式法 唯一确定　
不是
知识点四：函数的有关概念 关键点拨及对应举例
9.函数自变量取值 （1）表达式是整式，自变量取值是全体实数. （2）表达式是分式，自变量取值要使分母≠0. （3）表达式是偶次根式，自变量要使得被开方数≥0. （4）实际问题的函数，自变量要使实际问题有意义 例：函数y＝ 中自变量x的取值范围是 　x ≥－1且x≠3　
x≥－1且x≠3　
知识点四：函数的有关概念 关键点拨及对应举例
10.函数的 图象 （1）画函数图象的一般步骤：列表，描点，连线. （2）分析实际问题判断函数图象的方法： ①找起点； ②找特殊点：即交点或转折点； ③判断图象趋势：判断函数增减性，图象倾斜方向 当函数图象从左到右呈“上升（下降）”状态时，函数y随x的增大而增大（减小）
1. 下列各曲线中表示y是x的函数的是（　D　）
A. B. C. D.
2. 在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），B（3，－1），平移线段AB，使点A落在点A1（－2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为（　C　）
A. （－1，－1） B. （1，0）
C. （－1，0） D. （3，0）
D
C
3. 若点P（a，a－3）在第四象限，则a的取值范围是 　0＜a＜3　.
4. 如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），作△BOC，使△BOC与△ABO全等，则点C坐标为 　（－2，0）或（2，4）或（－2，4　.
第4题图
0＜a＜3　
（－2，0）或（2，4）或（－2，4）
5. 小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如图1所示，当1号杯和2号杯中都有V mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度h1（cm）和2号杯的水面高度h2（cm），部分数据见下表：
V/mL 0 40 100 200 300 400 500
h1/cm 0 1.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5
h2/cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8
1.0
（1）补全表格（结果保留小数点后一位）.
（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画h1与V，h2与V之间的关系.在图2给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象.
【答案】（2）如图，即为所画图象.
（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当1号杯和2号杯中都有320 mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为 　1.2　cm（结果保留小数点后一位）；
②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为 　8.5（合理即可）　cm（结果保留小数点后一位）.
1.2　
8.5（合理即可）　
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第三章　函数及其图象
第14讲　二次函数的图象与性质（二）
知识点一：从抛物线判定a，b，c，Δ的符号 a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当a＞0时，抛物线开口向上；
当a＜0时，抛物线开口向下
b 决定对称轴（直线x＝－ ）的位置 当a，b同号时，－ ＜0，对称轴在y轴的左边；
当b＝0时，－ ＝0，对称轴为y轴；
当a，b异号时，－ ＞0，对称轴在y轴的右边
c 决定抛物线与y轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上
关键点拨及对应举例
特殊形式代数式的符号：①a＋b＋c即为x＝1时，y的值；②4a＋2b＋c即为x＝2时，y的值；③2a＋b的符号，即判断对称轴横坐标－ 与1的大小
知识点一：从抛物线判定a，b，c，Δ的符号 关键点拨及对应举例
Δ＝b2－4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点 当 　a＜0，b2－4ac＜0　时，无论x取何值，y恒小于0
a＜0，b2
－4ac＜0　
知识点二：二次函数与一元二次方程以及不等式 关键点拨及对应举例
1.二次函数与一元二次方程 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的 　横　坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根 例：已知抛物线y＝x2－3x＋m（m为常数）与x轴的一个交点坐标为（1，0），则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两个实数根为 　x1＝1， x2＝2　
2.二次函数与不等式 抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方的所有点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的所有点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c 　＜　0的解集 横　
x1
＝1，x2＝2　
＜　
1. 一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是（　D　）
第1题图
A. B. C. D.
D
2. 函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c－2＝0的根的情况是（　A　）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个异号实数根
C. 有两个相等实数根
D. 无实数根
第2题图
A
3. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1，下列四个结论：①bc＜0；②3a＋2c＜0；③ax2＋bx≥a＋b；④若－2＜c＜－1，则－ ＜a＋b＋c＜
－ .其中正确结论的个数为（　C　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第3题图
C
4. 在平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2＋2x＋k与x轴只有一个交点，则k＝ 　1　.
5. 如图所示的平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C，D在线段AB上，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于E，F两点.当四边形CDFE为正方形时，线段CD＝ 　－2＋2 　.
第5题图
1　
－2＋2 　
6. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过点（1，－2），（－2，13）.
（1）求a，b的值.
【答案】（1）把点（1，－2），（－2，13）代入y＝ax2＋bx＋1得 解得 　
（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12－y1，求m的值.
【答案】（2）由（1）得函数表达式为y＝x2－4x＋1，把x＝5代入y＝x2－4x＋1得，y1＝6，则y2＝12－y1＝6，∵y1＝y2，且对称轴为直线x＝2，∴m＝4－5＝－1.
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