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第一章　数与式
课标要求
①了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方
根、算术平方根、立方根；
②了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平
方根，会用立方运算求千以内完全立方数(及对应的负整数)的立方根.
命题点3　平方根、算术平方根、立方根(必考)
要点归纳
1. 知识导图
0

正数
负数
0
2. 平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个
数x就叫作a的平方根.记作± .特殊地，0的算术平方根为0.
平方根等于它本身的数只有 .
算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这
个正数x就叫作a的算术平方根.记作 .
算术平方根等于它本身的数有 .
0
0和1
3. ()2＝ (a≥0)；
＝｜a｜＝
例如，()2＝ ； ＝ .
4. 立方根等于本身的数有 .
()3＝ ；　 ＝ ；
＝ 　－ 　.
3.a
16
9
4.0和±1
a
a
－
命题点3　平方根、算术平方根、立方根(必考)
随堂检测
1. 的算术平方根是(　A　)
A. B. －
C. ± D. ±4
解析： 的算术平方根是 .故选A.
A
2. (2025北京二模)下列算式中正确的有(　B　)
(1) ＝±3；(2)± ＝3；
(3) ＝－3；(4) ＝－3
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
解析：（1） ＝3，故原计算错误；
（2）± ＝±3，故原计算错误；
（4） ＝3，故原计算错误
B
3. －64的立方根是(　A　)
A. －4 B. 8
C. －4和4 D. －8和8
解析：∵（－4）3＝－64，
∴－64的立方根为－4.故选A.
A
4. (2025河南周口二模)下列各数没有算术平方根的是(　C　)
A. 0 B. (－2)2
C. (－3)3 D. 4－1
解析：（－2）2＝4，（－3）3＝－27，4－1＝ ，
∵只有负数没有算术平方根，
∴四个数中，只有（－3）3没有算术平方根，故选C.
C
5. 当式子 的值取最小值时，a的值为(　D　)
A. 0 B. 1
C. D. －
6. 一个正数a的平方根是2x－3与5－x，则这个正数a的值是(　B　)
A. 25 B. 49 C. 64 D. 81
解析：由正数的两个平方根互为相反数可得
（2x－3）＋（5－x）＝0，解得x＝－2，
所以5－x＝5－（－2）＝7，所以a＝72＝49.故选B.
D
B
7. 根据以下程序，当输入 时，输出结果为(　A　)
A. B. 2
C. 6 D.
A
解析：当x＝ 时，
则 ＝ ＝2，结果不小于 ，
再输入2，则 ＝ ，结果不小于 ；
再输入 ，则 ＝ ，结果小于 ；
则输出结果为 .故选A.
8. 若x满足 ＝ ，则x的值为 (　C　)
A. 1 B. 0
C. 0或1 D. 0或±1
9. 的平方根是 .
解析：∵ ＝9，9的平方根是±3，
∴ 的平方根是±3.
C
±3
10. (2025山东潍坊)已知a1为实数，规定运算：a2＝1－ ，a3＝1－
，a4＝1－ ，a5＝1－ ，…，an＝1－ .按上述规定，当a1＝2
时， 的值等于(　C　)
A. B. －
C. －1 D. 0
C
解析：当a1＝2时，
a2＝1－ ＝ ，
a3＝1－ ＝－1，
a4＝1－ ＝2，
a5＝1－ ＝ ，
a6＝1－ ＝－1，
…… ，
∵2 025÷3＝675，
∴a2 025＝－1，∴ ＝－1.
11. (2025河北模拟预测)如图，在面积为12的矩形内有两个相邻的正方
形，已知大正方形面积为8，则阴影部分的面积为 .
解析：因为大正方形面积为8，
所以，大正方形的边长为2 ，
设小正方形边长为b，根据题意得：
×2 ＝12，
解得b＝ ，
∴小正方形的面积为2，
∴阴影部分面积为12－8－2＝2.
2
12. 已知2＜x＜5，化简： ＋ ＝ .
解析：当2＜x＜5时，x－2＞0，x－5＜0，
∴ ＋ ＝｜x－2｜＋｜x－5｜＝x－2＋5－x
＝3.
3
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第一章　数与式
课标要求
①理解乘方的意义.
②掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内
为主)；理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算.
③能运用有理数的运算解决简单的问题.
命题点6　实数的运算(必考)
要点归纳
1. 四则运算
(1)加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值 .
②异号两数相加，绝对值相等时和为 ；绝对值不相等时，取绝对
值较大数的符号，并用较大的绝对值 较小的绝对值.
③一个数同0相加，仍得这个数.a＋0＝ .
④ ＝ .
相加
0
减去
a
na
(2)减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.a－b＝a＋ .
(3)乘法法则：
①两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把绝对值相乘；
②任何数与0相乘都得0.
a×0＝ .
（－b）
正
负
0
(4)除法法则：除以一个数(不等于0)等于乘这个数的倒数.
a÷b＝a· (b≠0).
(5)乘方：表示n个a相乘.例如
＝an.
2. 运算律
(1)加法交换律：a＋b＝b＋a.
(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
(3)乘法交换律：ab＝ba.
(4)乘法结合律：(ab)c＝a(bc).
(5)乘法对加法的分配律：a(b＋c)＝ab＋ac.
3. 简便运算：简便运算的核心思想是凑整，一种是将算式中所有的小
数或分数凑成整数；一种是将算式中个位不为0的整数凑成整十、整
百、整千等.
(1)拆和凑整法：中间运用了乘法对加法的分配律.
(2)换差凑整法：中间运用了乘法对加法的分配律.
(3)因式分解凑整法：
①提公因式凑整法：逆用乘法对加法的分配律，提取公因式凑整；
②平方差公式凑整法：找到离两个数最近的整十、整百、整千……用拆
和与换差转化成平方差公式；
③完全平方公式凑整法：找到离所给数最近的整十、整百、整千……用
拆和或换差转化成完全平方公式.
(4)分组凑整法：运用乘法的交换律和结合律.
4. 常考运算小项
(1)0次幂：a0＝ (a≠0).
(2)负整数指数幂：a－p＝ (a≠0，p为正整数)；特别地，a－1
＝ 　 　(a≠0)，如2－1＝ 　 　， ＝ .
(3) －1的奇偶次幂：－1的奇次方为－1，－1的偶次方为1，如(－1)2 025
＝ ，(－1)2 026＝ .
(4)去绝对值符号：｜a－b｜＝ 绝对值符号有括号作
用；｜ －2｜＝ 　2－ 　，｜4－ ｜＝ 　4－ 　.
1



－3
－1
1
2－
4－
(5)常考的开方：
①开平方： ＝ ， ＝ 　2 　， ＝ ，
＝ 　2 　， ＝ ， ＝ 　3 　， ＝ 　2 　；
②开立方： ＝ ， ＝ ， ＝ ，
＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ .
2
2
3
2
4
3
2
－1
2
－2
3
－3
4
－4
(6)特殊角的三角函数值：
对比记忆：
sin 30°＝ sin 45°＝ sin 60°＝
cos 30°＝ cos 45°＝ cos 60°＝
tan 30°＝ tan 45°＝1 tan 60°＝





图形记忆：
特征记忆：30°，45°，60°的正弦值和余弦值的分母都是2，分子分
别是根号下：1，2，3，3，2，1；正切值的分母都是3，分子分别是根
号下：3，9，27.
5. 实数混合运算的一般顺序
第一步：将用运算符号隔开的每个小项的值计算出来；
第二步：根据先乘除(除法变乘法)，后加减，有括号先计算括号里，同
级运算按从左到右的顺序进行；
第三步：得出最终结果.
命题点6　实数的运算(必考)
随堂检测
1. (2025河北中考)从－5 ℃上升了5 ℃后的温度，在温度计上显示正确
的是(　B　)
B
A. B.
解析：－5＋5＝0.
C. D.
2. (2024吉林)若(－3)×　的运算结果为正数，则　内的数字可以为
(　D　)
A. 2 B. 1 C. 0 D. －1
D
3. 我国古代用算筹(小棍形状的记数工具)正放表示正数，斜放表示负
数.如图1可列式计算为(＋1)＋(－2)＝－1，由此可推算图2可列的算式
为(　A　)
A. 4＋(－3)＝1
C. －4＋(－3)＝－7
A
B. 4－(－3)＝7
D. －4＋(＋3)＝－1
解析：4个小棍正放表示4，3个小棍斜放表示－3，因此题图2可列的算
式为4＋（－3）＝1.故选A.
4. (2025河北保定三模)下列计算中，可以用来验证2－(－3)＝5成立的是
(　A　)
A. 5＋(－3) B. 5－(－3)
C. 5×(－3) D. 5÷(－3)
解析：∵2－（－3）＝5，
∴5＋（－3）＝2，
可以用来验证2－（－3）＝5成立的是5＋（－3）.
A
5. 如图是一个2×2的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则a可以是
(　D　)
20
a ｜－2｜
A. tan 60° B. －1
C. 0 D. (－1)2 022
D
解析：∵ ＝2，20＝1，｜－2｜＝2，每行、每列的两数和相等，
∴a＝1.
而（－1）2 022＝1，tan 60°＝ .故选D.
6. 若｜a｜＝5，｜b｜＝6，且a＞b，则a＋b的值为(　C　)
A. －1或11 B. 1或－11
C. －1或－11 D. 11
解析：因为｜a｜＝5，｜b｜＝6，且a＞b，所以a＝5，b＝－6或a
＝－5，b＝－6，所以a＋b＝－1或－11.故选C.
C
7. (2023河北省保定十七中三模)如下表是嘉嘉和淇淇比较 ＋ 与
大小的过程，下列关于两人的思路判断正确的是(　C　)
嘉嘉 淇淇
分别将两式平方，得 (＋ )2＝5＋2 ， ()2＝5， ∵5＋2 ＞5， ∴ ＋ ＞ . 作一个直角三角形，两直角边长分别
为 ， ，
利用勾股定理，得斜边长为：
＝ .
由三角形中两边之和大于第三边，
得 ＋ ＞ .
C
A. 嘉嘉对，淇淇错 B. 嘉嘉错，淇淇对
C. 两人都对 D. 两人都错
解析：嘉嘉用的代数方法，计算正确；而淇淇用的几何方法，计算也正
确.故选C.
8. (2025河北模拟预测)已知m为有理数，定义运算符号：当m＞－1
时，※m＝－m；当m＜－1时，※m＝m；当m＝－1时，※m＝0.
(1)※(－2)＝ ，※(－3＋2)＝ ；
解析：（1）∵－2＜－1，∴※（－2）＝－2，
∵－3＋2＝－1，∴※（－3＋2）＝0，
故答案为：－2，0；
－2
0
(2)计算：※[(－3)－※(－9＋5)].
解析：（2）∵－9＋5＝－4＜－1，
∴※（－9＋5）＝－4，
∴（－3）－※（－9＋5）＝（－3）－（－4）＝1＞－1，
∴※（－3）－※（－9＋5）＝－1.
（2） －1
9. (2025河北中考)(1)一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几
步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程.
计算：(－6)× .
解：(－6)×
＝－6× ＋6× －6× 　第一步
＝－3＋4－5 第二步
＝－4. 第三步
（1）原计算第一步开始出错；－2；（2）1－
解析：（1）原计算第一步开始出错；
（－6）×
＝－6× －6× ＋6×
＝－3－4＋5
＝－2；
(2)计算： －(－2)2×
（2）｜2－ ｜－（－2）2×
＝2－ －4×
＝1－ .
10. 计算：
(1)－2×(－3)2－(－1)2 026÷4；
解：（1）－2×（－3）2－（－1）2 026÷4
＝－2×9－1÷4
＝－18－
＝－18 ；
(2)｜－2｜＋ tan 60°－ －(＋2 023).
解：（2）｜－2｜＋ tan 60°－ －（＋2 023）
＝2＋ × －2－2 023
＝2＋3－2－2 023
＝－2 020.
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第一章　数与式
课标要求
了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；
能对简单的分式进行加、减、乘、除运算.
命题点9　分式及其运算
要点归纳
1. 分式的概念：形如 的代数式，其中A，B都是整式且B中含有字母.
2. 与分式有关的“三个条件”
(1)分式 有意义的条件： ；
(2)分式 的值为0的条件： ；
(3)使分式 ÷ 有意义的条件： .
B≠0
A＝0且B≠0
B≠0，C≠0，D≠0
3. 最简分式：分子与分母没有 的分式.
公因式
4. 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整
式，分式的值不变.
(1) ＝ (M≠0)，该性质应用于分式的通分，如 ± ＝ ± ；
(2) ＝ (M≠0)，该性质应用于分式的约分，如 ＝ ＝
＝ (x≠0且x≠2)；
(3)符号变化法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，
分式的值不变，即 ＝ ＝－ ＝－ .
5. 分式的乘除运算
(1)乘法法则： · ＝ 　 　.
(2)除法法则： ÷ ＝ · 　 　＝ 　 　.
(3)分式乘除运算的关键是约分，即寻找分子、分母的公因式：
① 分子、分母的公因式是 ；
② 分子、分母的公因式是 ；
③ 分子、分母的公因式是 ；
④ ÷ 分子、分母的公因式是 .



x－1
x＋1
x－2
x和（x－2）
6. 分式的加减运算
(1)同分母分式加减法法则： ± ＝ .
(2)异分母分式加减法法则： ± ＝ ± 　 　＝ 　 　.
(3)分式加减运算的关键是通分，即寻找最简公分母：
① 和 的最简公分母是 ；
② 和 的最简公分母是 ；
③ 和 的最简公分母是 ；


x＋2
（x＋1）（x－1）
（x＋2）（x－2）2
④ 和 的最简公分母是 .
注意：若分子、分母是多项式，应先把分子、分母分解因式，然后确定
最简公分母.
（x＋1）（x－1）
7. 分式化简求值的运算顺序：先乘除，后加减，如有括号，先算括号
内的，最后代值计算出最终结果.
失分警示：(1)化简求值类题型一定要做到“先化简，再求值”，否则不
得分；
(2)分数线有括号的作用，若括号前为“－”，去括号时，括号内的每项
都要记得变号；
(3)必须保证所“代”数值使原分式的分母及运算过程中分式的分母都不
为0；
(4)注意化简结果应为整式(不含括号)或最简分式.
命题点9　分式及其运算
随堂检测
1. (2025河北邯郸二模)在① ；② ；③－ ；④ 四个分式中，
与 相等的是(　D　)
A. ① B. ② C. ③ D. ④
解析：① ，② 不能继续化简；③－ ＝－ ；④ ＝ ，
∴与 相等的是④.
D
2. (2025河北中考)若a＝－3，则 ＝(　B　)
A. －3 B. －1 C. 3 D. 6
解析： ＝ ＝ ，
当a＝－3时，原式＝ ＝－1.
B
3. (2024雅安)已知 ＋ ＝1(a＋b≠0)，则 ＝(　C　)
A. B. 1 C. 2 D. 3
C
解析：∵ ＋ ＝1（a＋b≠0），
∴ ＝1，∴a＋2b＝ab，
∴
＝
＝
＝2.
故选C.
4. (2023河北唐山丰南一模)计算 －a－1的正确结果是(　B　)
A. － B.
C. － D.
B
解析：原式＝ －（a＋1）
＝ －
＝ .
故选B.
5. 若分式 的值为0，则(　D　)
A. m＝4
B. m＝－4
C. m＝±4
D. 不存在m的值，使得 ＝0
解析：根据题意可得：
解得： 故无解.
D
6. (2023河北任丘二模)阅读表中给出的材料，比较A＝ 与B＝ 的
大小(x是正数).下列判断正确的是(　C　)
作差法
比较代数式M，N的大小，
只要作出它们的差M－N.
若M－N＞0，则M＞N；
若M－N＝0，则M＝N；
若M－N＜0，则M＜N.
C
A. A≥B B. A＞B
C. A≤B D. A＜B
解析：A－B＝ － ＝ －
＝
＝ .
∵x＞0，（x－1）2≥0，
∴A－B≤0，∴A≤B. 故选C.
7. (2023河北衡水第三中学二模)若 ÷ 的运算结果为整式，则
“○”中的式子可能为(　C　)
A. a－b B. a＋b
C. ab D. a2－b2
C
解析：A. ÷ ＝ · ＝－ ，是分式，不是整
式，故本选项不符合题意；
B. ÷ ＝ · ＝ ，是分式，不是整式，故本选项
不符合题意；
C. ÷ ＝ · ＝ ，是整式，故本选项符合题意；
D. ÷ ＝ · ＝－ 是分式，不
是整式，故本选项不符合题意.故选C.
8. ，－ ， 的最简公分母是 .
解析： ，－ ， 的分母分别是xy，4x3，6xyz，故最简公分母
是12x3yz.
12x3yz
9. 若分式 的值为5，则x，y扩大2倍后，这个分式的值为 .
解析：根据题意，得
新的分式为 ＝ ＝5.
5
10. 如果4x－5y＝0，且x≠0，那么 的值是 　 　.
解析： ∵4x－5y＝0，
∴5y＝4x，
∴ ＝ ＝ ＝ .

11. (2024连云港)下面是某同学计算 － 的解题过程：
解： －
＝ － ……①
＝(m＋1)－2……②
＝m－1……③
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程.
解：从第②步开始出现错误，正确的解题过程如下：
原式＝
＝
＝ .
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第一章　数与式
课标要求
①了解二次根式、最简二次根式的概念，能将二次根式(根号下仅限于
数)化为最简二次根式；
②了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们
进行简单的四则运算.
命题点5　二次根式及其运算
要点归纳
1. 二次根式的相关概念
(1)二次根式：形如 (a≥0)的式子叫作二次根式，a叫作被开方数.
(2)二次根式有意义的条件：a≥0.
(3)最简二次根式：一般地，被开方数不含分母(即分母中不含根号)，也
不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫作最简二次根式.
例如，2 ， ， 都是最简二次根式.
2. 二次根式的运算
(1)乘法运算： · ＝ (a≥0，b≥0).
(2) 除法运算： ＝ 或 ÷ ＝ (a≥0，b＞0).
(3)加减运算：先将每个二次根式化为最简二次根式，再将同类二次根式
进行合并.
(4)混合运算：先乘除，再加减；有括号先算括号里的.
失分警示：二次根式运算的最终结果应化为最简二次根式.
3. 在化简二次根式时，要注意以下三点
(1)被开方数是带分数的要先化为假分数；
(2)被开方数是小数的要先化为分数；
(3)被开方数是多项式且能进行因式分解的先进行因式分解.
4. 乘法公式在二次根式运算中的应用
(1)(± )2＝a±2 ＋b；
(2)(＋ )(－ )＝a－b.
命题点5　二次根式及其运算
随堂检测
1. 有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是(　C　)
A. B.
C. D.
解析：∵ 有意义，
∴x－1≥0，
C
解得：x≥1，
在数轴上表示不等式的解集为：
2. (2025河北中考)计算：(＋ )(－ )＝(　B　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
解析： ＝（ ）2－（ ）2＝10－6＝4.
B
3. (2025河北邯郸三模)下列运算正确的是(　A　)
A. － ＝ B. － ＝
C. 2＋ ＝2 D. 3 －2 ＝1
解析：A. － ＝2 － ＝ ，正确；
B. － ＝2 － ＝ ，计算错误；
C. 2与 不能合并，计算错误；
D. 3 －2 ＝ ，计算错误.
A
4. (2024河北秦皇岛一模)若使算式 “○” 的运算结果最小，则
“○”表示的运算符号是(　B　)
A. ＋ B. － C. × D. ÷
B
解析： ＋ ＝2 ＋ ＝3 ，
－ ＝2 － ＝ ，
× ＝2 × ＝4，
÷ ＝2 ÷ ＝2，
∵3 ＞4＞2＞ ，
∴○表示的运算符号是“－”时，运算结果最小.
5. 下面有四个算式：
① ＝a2＋1；② ＝｜a｜；
③ ＝ · ；④ ＝ · (x≥1)，其中一
定成立的是(　B　)
B
A. ①②③④ B. ①②④
C. ①② D. ①③
解析：① ＝a2＋1，成立，符合题意；② ＝｜a｜，
成立，符合题意；③ ＝ · （a≥0，b≥0），故原式不成立，
不符合题意；④ ＝ · （x≥1），成
立，符合题意.故选B.
6. 已知，2，5，m是某三角形三边的长，则 ＋ 等
于(　D　)
A. 2m－10 B. 10－2m C. 10 D. 4
解析：∵2，5，m是三角形三边的长，
∴5－2＜m＜5＋2，即3＜m＜7，
∴ ＋ ＝m－3＋7－m＝4.故选D.
D
7. 已知x＝ －1，则x2＋2x的值为 .
解析：∵x＝ －1，∴x＋1＝ ，
∴（x＋1）2＝5，∴x2＋2x＋1＝5，
∴x2＋2x＝4.
4
8. 已知x＋ ＝ ，则x－ ＝ 　± 　.
解析：∵x＋ ＝ ，
∴（x＋ ）2＝x2＋ ＋2＝7，
∴x2＋ ＝5，
∴（x－ ）2＝x2＋ －2＝3，
∴x－ ＝± .
±
9. 已知 是整数，则正整数n的最小值为 .
解析：∵ ＝5 ，要使它是整数，则正整数n的最小值为2.
2
10. (原创)计算：
(1) ÷ － × ＋ ；
（1）4＋
解析：原式＝4 ÷ － ＋2 ＝4＋ ；
(2)(－ )2－(＋6)(－6).
（2）36－2
解析：原式＝5－2 ＋2－（7－36）＝36－2 .
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第一章　数与式
课标要求
①理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数；
②借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对
值及倒数的方法，知道｜a｜的含义(这里的a表示有理数)；
③了解无理数和实数，了解实数与数轴上的点一一对应，会求实数的相
反数和绝对值.
命题点1　实数的相关概念
要点归纳
1. 实数的分类
实数按定义可分为有理数和无理数.
有理数：有限小数或无限循环小数，包含整数和分数.
无理数：无限不循环小数，包含正无理数和负无理数.
实数按大小可分为正数、0和负数，0既不是正数也不是负数.
失分警示：
(1)对于无理数的判断，不能被表面形式误导，应化简到最终结果再
判断；
(2)判断实数的正负，一定要先化简，再根据定义判断，如－(1－2)＝1
是正数，特别注意：－a不一定是负数，要对a进行分类讨论；
(3)最小的正整数是1，最小的自然数是0，最大的负整数是－1.
2. 无理数的几种常见形式
(1)特定结构的数：0.100 100 01…(相邻两个1之间依次多一个0)等；
(2)含有根号且开方开不尽的数： ， 等；
(3)π及化简后含π的数：2π， 等；
(4)部分三角函数值： sin 60°， cos 45°，tan 30°等.
失分警示：一个数是否为无理数，一定要看其化为最简形式后是否为无
限不循环小数.如 ，π0， sin 30°等就不是无理数.
3. 正数、负数可以表示具有相反意义的量
(1)若向东行走5 m记为＋5 m，则向西行走3 m记为 ；
(2)若规定盈利记为“＋”，亏损记为“－”，则＋50元表示 ，
－80元表示 ；
(3)若规定温度上升记为“＋”，温度下降记为“－”，则温度上升
－3℃的意义为 .　
－3 m
盈利50元
亏损80元
温度下降3 ℃
4. 数轴：如图，规定了原点、 和 的
直线叫作数轴.
(1)实数与数轴上的点是 .
(2)数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的 ，负
数 0 正数.
正方向
单位长度
一一对应的
大
＜
＜
(3)如图，数轴上A，B两点对应的实数分别为a，b，
若AB＝m，则m＝ ；AB的中点C对应的实数为
.
(4)如图，已知数轴上两点的距离和其中一点对应的实数，求另一点对应
的实数时，要分情况讨论. 例如：数轴上点A对应的实数为m，若AB＝
1，则点B对应的实数为 .
b－a或｜a－b｜

m－1或m＋1
5. 相反数：只有符号不同的两个数叫作互为相反数.
(1)实数a的相反数为 ，0的相反数为 ；
(2)实数a，b互为相反数 a＋b＝ ， ＝ (b≠0)；
(3)在数轴上，互为相反数的两个数(0除外)位于原点的两侧，且到原点
的距离 .
－a
0
0
－1
相等
6. 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的 叫作数
a的绝对值，记作｜a｜.
(1)｜a｜＝
｜a｜具有非负性；
(2)离原点越远的数，其绝对值越 ；
距离
－a
(3)绝对值相等的两个数相等或 ，
即｜a｜＝｜b｜ a＝b或 .
大
a＝－b
互为相反数
7. 倒数：乘积是1的两个数互为倒数.
(1)非零实数a的倒数为 ；
(2)a，b互为倒数 ab＝ ；
(3)正数的倒数仍是正数，负数的倒数仍是负数，0没有倒数，倒数等于
其本身的数是 .

1
±1
8. 非负数的性质
(1)非负数：在实数范围内，正数和零统称为非负数，常见的非负数有：
①任意实数a的绝对值是非负数，即｜a｜≥0；
②任意实数a的偶次方是非负数，即a2n≥0，n为正整数；
③任意非负数a的n次算术根是非负数，即 ≥0(a≥0)，常考
≥0(a≥0).
(2)非负数的和：若几个非负数的和为0，则这几个非负数分别为0，
例如：
①若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0；
②若｜a｜＋｜b｜＝0，则a＝0且b＝0；
③若 ＋ ＝0，则a＝0且b＝0；
④若a2＋｜b｜＋ ＝0，则a＝ ，b＝ ，c＝ .
0
0
0
命题点1　实数的相关概念
随堂检测
1. 在－1，1，0，－(－2)这四个数中，是负数的是(　A　)
A. －1 B. 1
C. 0 D. －(－2)
2. 对于“－2”，下列说法错误的是(　A　)
A. 2的倒数
B. 向东走3 m记作＋3 m，向西走2米记作－2 m
C. 0与2的差
D. 2的相反数
A
A
3. 若｜m｜＝－m， 则(　C　)
A. m＜0
B. ＝－1
C. ｜m｜与m互为相反数
D. m的倒数为
C
解析：∵｜m｜＝－m，
∴m≤0，故A选项错误；
∴当m＝0时， 与 无意义，故B，D选项错误；
∴｜m｜与m互为相反数，故C选项正确，符合题意.
4. 若用＋60千米表示向东行驶60千米，则－20千米表示行驶的方向是
(　B　)
A. 向东 B. 向西
C. 向南 D. 向北
B
5. (2023四川凉山中考)下列各数中，为有理数的是(　A　)
A. B. 3.232 232 223…
C. D.
解析：A. ＝2，是有理数，则此项符合题意；B. 3.232 232 223…是
无限不循环小数，是无理数，则此项不符合题意；C. 是无理数，则此
项不符合题意；D. 是无理数，则此项不符合题意.故选A.
A
6. 在实数－2，0， ， ，0.020 020 002 000 02…
(相邻两个2之间依次多一个0)， ， ，tan 60°中，无理数有(　C　)
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
C
7. (2024广元中考)将－1在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该
点对应的数是(　B　)
A. －1 B. 1
C. －3 D. 3
解析：由题意得，－1＋2＝1，所以－1在数轴上对应的点向右平移2个
单位，此时该点对应的数是1.故选B.
B
8. (2024资阳中考)若(a－1)2＋｜b－2｜＝0，则ab＝ .
解析：∵（a－1）2＋｜b－2｜＝0，
∴a－1＝0，b－2＝0，
∴a＝1，b＝2，∴ab＝2，故答案为：2.
2
9. 在数轴上剪下9个单位长度(从－3到6)的一条线段，并把这条线段沿
某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段(如图)，若这三条
线段的长度之比为1∶1∶2，则折痕处对应的点所表示的数可能是
.
或
或
解析：①如图1，得到的三条线段AC∶CD∶DB＝1∶1∶2，
∵AB＝6－（－3）＝9，
∴AC＝CD＝ ×9＝ ，
由折叠的性质得：CE＝ CD＝ ，
∴AE＝AC＋CE＝ ，
∴此时折痕处对应的点（E）所表示的数为－3＋ ＝ ；
②如图2，得到的三条线段AC∶DB∶CD＝1∶1∶2，
∵AB＝6－（－3）＝9，
∴AC＝ ×9＝ ，CD＝ ×9＝ ，
由折叠的性质得：CE＝ CD＝ ，
∴AE＝AC＋CE＝ ，
∴此时折痕处对应的点（E）所表示的数为－3＋ ＝ ；
③如图3，得到的三条线段CD∶DB∶AC＝1∶1∶2，
∵AB＝6－（－3）＝9，
∴AC＝ ×9＝ ，CD＝ ×9＝ ，
由折叠的性质得：CE＝ CD＝ ，
∴AE＝AC＋CE＝ ，
∴此时折痕处对应的点（E）所表示的数为－3＋ ＝ ；
综上所述，折痕处对应的点所表示的数可能是 或 或 ，
故答案为： 或 或 .
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第一章　数与式
课标要求
①了解整数指数幂的意义和基本性质.
②理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；能进行简单的整
式加减运算，能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于一次式之
间和一次式与二次式的乘法)；
③理解乘法公式(a＋b)(a－b) ＝ a2－b2，(a±b)2 ＝ a2±2ab ＋ b2，了
解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理.
④能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指
数为正整数).
命题点8　整式与因式分解(必考)
要点归纳
1. 整式的相关概念
(1)单项式：由数与字母的乘积组成的代数式，如a2b，2a；单独一个数
或一个字母也叫单项式，如6，x.
①系数：单项式中的数字因数，如a2b的系数为1，2a的系数为2.
②次数：所有字母的指数和，如2a的次数为1，a2b的次数为3.
(2)多项式：几个单项式的和，如10x＋y，a2－ b.
①项：多项式中每一个单项式(连同前面的符号)叫作这个多项式的项，
不含字母的项叫作常数项，如多项式3a－1的项为3a和－1，其中－1是
常数项.
②次数：多项式里次数最高项的次数叫作多项式的次数，如a2－ b中
次数最高项为a2，是二次二项式.
(3)整式：单项式和多项式统称为整式.
2. 整式的运算
(1)加减运算：
①同类项：多项式中所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，
如－2m2n与4m2n是同类项；
②合并同类项：
③去括号法则：
a＋(b＋c)＝ ，
a－(b＋c)＝ ，
简记为“－”变“＋”不变；
④加减运算可归纳为：先去括号，再合并同类项.
a＋b＋c
a－b－c
(2)幂的运算：
①同底数幂相乘：底数不变，指数相加，am·an＝ (a≠0，
m，n为整数)；
②同底数幂相除：底数不变，指数相减，am÷an＝ (a≠0，
m，n为整数)；
③幂的乘方：底数不变，指数相乘，(am)n＝ (a≠0，m，n为整
数)；
④积的乘方：(ab)n＝ (ab≠0，n为整数).
am＋n
am－n
amn
anbn
(3)乘法运算：
①单项式乘单项式：把系数和同底数幂分别相乘，结果作为积的因式，
只在一个单项式出现的字母连同其指数作为积的因式，如2a3·3ab2
＝ ；
②单项式乘多项式：
6a4b2
如图1，m(a＋b)＝ ；
③多项式乘多项式：如图2，(m＋n)(a＋b)＝ .
ma＋mb
ma＋mb＋na＋nb
3. 乘法公式
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
①公式推导：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2；
②几何背景如图1，图2：
(2)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
①公式推导：
和的完全平方公式：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋
2ab＋b2；
差的完全平方公式：(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－
2ab＋b2.
②几何背景如图3，图4：
4. 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式.
(1)提公因式法：ma＋mb＋mc＝ .
(2)公式法(常用公式来分解)：
①a2－b2＝ ；
②a2＋2ab＋b2＝ ；
③a2－2ab＋b2＝ ；
④x2＋(a＋b)x＋ab＝ ；
⑤a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)；
⑥a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2).
m（a＋b＋c）
（a＋b）（a－b）
（a＋b）2
（a－b）2
（x＋a）（x＋b）
(3)因式分解的一般步骤：
一提：有公因式，先提公因式.
二套：没有公因式，两项考虑平方差公式法，三项考虑完全平方公式
法，四项及以上考虑分组分解法.
三检查：检查因式分解是否彻底.
命题点8　整式与因式分解(必考)
随堂检测
1. (2025河北邯郸二模)如图，若x≠0，在给出的四个运算中，结果为x8
的是(　D　)
A. ① B. ②
解析：①x4·x2＝x4＋2＝x6≠x8；
②（x3）5＝x3×5＝x15≠x8；
D
C. ③ D. ④
③x4＋x4＝2x4≠x8；
④x10÷x2＝x10－2＝x8.
2. 下列说法中正确的是(　B　)
A. 2不是单项式
B. － 的系数是－
C. 3πr2的次数是3
D. 多项式5a2－6ab＋12的次数是4
B
解析：A. 2是单项式，故此选项不符合题意；
B. － 的系数是－ ，故此选项符合题意；
C. 3πr2的次数是2，故此选项不符合题意；
D. 多项式5a2－6ab＋12的次数是2，故此选项不符合题意.
3. 若x2＋(k＋1)x＋1是一个完全平方式，则k的值是(　C　)
A. －3 B. 1
C. －3或1 D. ±2
解析：∵x2＋（k＋1）x＋1是一个完全平方式，
∴k＋1＝±2，解得k＝1或k＝－3.故选C.
C
4. 已知x＋y＝ ，xy＝ ，则x2y＋xy2的值为(　C　)
A. 2 B. 9
C. 3 D. 6
解析：∵x＋y＝ ，xy＝ ，
∴x2y＋xy2＝xy（x＋y）＝ × ＝3 .故选C.
C
5. (2025河北保定一模)若算式 的结果为整数，则整数n的
值不可能是(　D　)
A. 100 B. 50 C. 17 D. 3
A. 100＝102，是102×17×2×5的因子，可使结果为整数，不符合
题意，
B. 50＝5×10，是102×17×2×5的因子，可使结果为整数，不符
合题意，
C. 17是102×17×2×5的因子，可使结果为整数，不符合题意，
D. 3不是102×17×2×5的因子，不可使结果为整数，符合题意.
D
6. 计算下列式子：
(1)a2·a4＝ ；
(2)2a·3ab＝ ；
(3)(－a)3＝ ；
(4)(2a2)3＝ ；
(5)2a10÷a2＝ ；
(6)6x3y6÷2xy2＝ ；
(7)2a(a－b)＝ ；
(8)(2a＋b)(a－b)＝ .
a6
6a2b
－a3
8a6
2a8
3x2y4
2a2－2ab
2a2－ab－b2
7. 将下列各式分解因式：
(1)x2y－y3；
（1）x2y－y3＝y（x2－y2）＝y（x＋y）（x－y）；
(2)－x2－y2＋2xy；
（2）－x2－y2＋2xy＝－（x2＋y2－2xy）＝－（x－y）2；
(3)9a2(x－y)＋4b2(y－x)；
（3）9a2（x－y）＋4b2（y－x）＝9a2（x－y）－4b2（x－y）＝
（x－y）（9a2－4b2）＝（x－y）（3a＋2b）（3a－2b）；
(4)(a＋2b)2＋2(a＋2b－1)＋3.
（4）（a＋2b）2＋2（a＋2b－1）＋3＝a2＋4ab＋4b2＋2a＋4b－2
＋3＝a2＋4ab＋4b2＋2a＋4b＋1＝（a＋2b）2＋2（a＋2b）＋1＝
（a＋2b＋1）2.
8. (2025河北唐山二模)下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中
A、B是关于n的多项式.
(1)直接写出：①A＝ ，B＝ ；
②原式的运算结果为 ；
B
B
n＋6
n＋1
n2－6
例：先去括号，再合并同类项：
n(A)－6(　B)
解：n(A)－6(　B)
＝n2＋6n－6n－6
＝……
解析：（1）①n（A）－6（B）＝n2＋6n－6n－6＝n（n＋6）－6
（n＋1），
则A＝n＋6，B＝n＋1，
故答案为：n＋6，n＋1；
②n（A）－6（　B　）
＝n2＋6n－6n－6
＝n2－6，
故答案为：n2－6；
(2)若n为任意正整数，试说明(A＋B)2－4n2的值总能被7整除.
（2）证明见解析
解析：（2）（A＋B）2－4n2
＝[（n＋6）＋（n＋1）]2－4n2
＝（2n＋7）2－4n2
＝4n2＋28n＋49－4n2
＝28n＋49
＝7（4n＋7）.
即n为任意正整数，（A＋B）2－4n2的值总能被7整除.
9. 已知多项式A＝3x2－x＋1，B＝kx2－(2x2＋x－2).
(1)当x＝－1时，求A的值；
解：（1）把x＝－1代入A＝3x2－x＋1，得
A＝3x2－x＋1＝3×（－1）2－（－1）＋1＝5，
故A的值为5；
(2)小华认为无论k取何值，A－B的值都无法确定.小明认为k可以找到
适当的数，使代数式A－B的值是常数.你认为谁的说法正确？请说明
理由.
解：（2）小明的说法正确，理由如下：A－B＝3x2－x＋1－kx2＋2x2
＋x－2＝（5－k）x2－1.
当5－k＝0，即k＝5时，A－B＝－1.
故小明的说法正确.
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第一章　数与式
课标要求
①借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义；
②能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；
③会求代数式的值，能用代数式表示并借助代数式运算解释具体问题.
命题点7　代数式与规律探索(必考)
要点归纳
1. 代数式
用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫作代数式，单独的一个数或
一个字母也是代数式.
2. 列代数式
关键是找出问题中的数量关系及公式，如路程＝速度×时间，总价＝数
量×单价，售价＝标价×折扣等；其次要抓住一些关键词语，如多、
少、大、小、增长、下降等.
(1)“m的3倍与n的差”用代数式表示为 .
(2)“b比a的2倍多3”，用含a的代数式表示b为 ，用含
b的代数式表示a为 .
(3)已知原量为a，增加10％为 .
3m－n
b＝2a＋3
a＝
（1＋10％）a
(4)已知原价为a元，打八折为 元；在原价基础上提高m％后
再打七五折为 元.
(5)购买x个单价为a元的商品和y个单价为b元的商品的总价是
元.
一定要注意，代数式后面加单位时，结果是加减关系式的，要先把式子
用括号括起来，再在后面写单位.
(6)一个三位数，个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则这个
三位数可表示为 .
80％a
75％（1＋m％）a
（ax
＋by）
a＋10b＋100c
3. 代数式求值
代数式求值的核心是变形，变形是为了寻找所求式子与已知式子的
“倍”“分”关系，方法如下：
(1)观察已知条件和所求代数式的关系.
(2)将所求代数式变形后与已知代数式成倍分关系，一般会用到提公因
式、平方差公式、完全平方公式.
(3)把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值.
(4)与乘法公式有关的常见变形：
①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；
②(a＋b)2－(a－b)2＝4ab；
③a2＋b2＝ ；
④x2＋ ＝ －2＝ ＋2.
4. 必背的数字规律
(1)正整数平方：1，4，9，16，…，n2(n≥1)；
(2)正整数平方加1：2，5，10，17，…，n2＋1(n≥1)；
(3)正整数平方减1：0，3，8，15，…，n2－1
(n≥1)；
(4)三角形数：1，3，6，10，…， (n≥1)；
(5)正方形数：1，4，9，16，…，n2(n≥1).
5. 必须掌握的三个求和方法
(1)倒序相加法：
如求1＋2＋…＋(n－1)＋n的值.
令S＝1＋2＋…＋(n－1)＋n，①
则也有S＝n＋(n－1)＋…＋2＋1，②
∴①＋②得2S＝n(n＋1)，
∴S＝ ，
即1＋2＋…＋(n－1)＋n＝ .
(2)错位相减法：
如求1＋2＋22＋23＋…＋22 022的值.
设S＝1＋2＋22＋23＋…＋22 022，①
则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22 023，②
②－①得2S－S＝S＝22 023－1，
即1＋2＋22＋23＋…＋22 022＝22 023－1.
(3)裂项相消法：
如求 ＋ ＋ ＋…＋ 的值.
由 ＝ － 可知：
原式＝1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ － ＝1－ ＝ .
命题点7　代数式与规律探索(必考)
随堂检测
1. (2024广安)下列对代数式－3x的意义表述正确的是(　C　)
A. －3与x的和 B. －3与x的差
C. －3与x的积 D. －3与x的商
C
2. (2025河北唐山三模)四位同学分别用不同的分割、剪拼方法计算下图
的面积，得到以下四个代数式：Ⅰ.x(m＋n－x)；Ⅱ.nx＋x(m－x)；
Ⅲ.x(m－x)＋x(n－x)＋x2；Ⅳ.mn－(m－x)(n－x)，则正确的对应关
系是(　B　)
A. ①－Ⅳ，②－Ⅱ，③－Ⅰ，④－Ⅲ
B. ①－Ⅱ，②－Ⅲ，③－Ⅳ，④－Ⅰ
C. ①－Ⅱ，②－Ⅳ，③－Ⅲ，④－Ⅰ
D. ①－Ⅳ，②－Ⅰ，③－Ⅱ，④－Ⅲ
B
解析：图①分割成两个小长方形的面积，再求和，
面积之和为nx＋x（m－x），与Ⅱ配对；
图②分割成两个小长方形和一个小正方形的面积，再求和，
面积之和为x（m－x）＋x（n－x）＋x2，与Ⅲ配对；
图③用大长方形的面积减去左下角小长方形的面积，
即nm－（m－x）（n－x），与Ⅳ配对；
图④计算大长方形的面积，即x（m＋n－x），与Ⅰ配对.
3. 某商场四月份售出某品牌衬衣b件，每件c元，营业额为a元.五月份
采取促销活动，售出该品牌衬衣3b件，每件打八折，则五月份该品牌
衬衣的营业额比四月份增加(　A　)
A. 1.4a元 B. 2.4a元
C. 3.4a元 D. 4.4a元
解析：4月份营业额为bc＝a，5月份营业额为：
3b×80％c＝2.4bc＝2.4a，
∴2.4a－a＝1.4a元.故选A.
A
4. 若a＋b＝－1，则(a＋b)2－a－b＋5的值是(　A　)
A. 7 B. 5 C. 0 D. 3
解析：∵a＋b＝－1，
∴（a＋b）2－a－b＋5
＝（a＋b）2－（a＋b）＋5
＝（－1）2－（－1）＋5
＝7.故选A.
A
5. 某同学在计算－16÷a时，误将“÷”看成“＋”结果是－12，则－
16÷a的正确结果是(　D　)
A. 6 B. －6 C. 4 D. －4
解析：由题意知，－16＋a＝－12，
∴a＝4，
∴－16÷a＝－16÷4＝－4.故选D.
D
6. 如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为3 125，则第2
023次输出的结果为(　A　)
A. 1 B. 5 C. 25 D. 625
A
解析：0.2x＝ x，
第一次输出的结果： ×3 125＝625，
第二次输出的结果： ×625＝125，
第三次输出的结果： ×125＝25，
第四次输出的结果： ×25＝5，
第五次输出的结果： ×5＝1，
第六次输出的结果：1＋4＝5，
第七次输出的结果： ×5＝1，
第八次输出的结果：1＋4＝5，
第九次输出的结果： ×5＝1，……
由此得到规律，从第四次开始奇数次输出为1，偶数次输出为5，
∴第2 023次输出结果为1.故选A.
7. 图①中每相邻两条竖线间，有几条横线，运算符号“＋、－、×、
÷”在竖线与横线上运动.它们在运动的过程中按自上而下，逢横线必
过的规则进行，最后运动到竖线下方的“○”中，将a，b，c，d，e
连接起来，构成一个算式.如：“＋”号根据规则就应该沿图中箭头方
向运动，最后向下进入“○”中.其余3个运算符号分别按规则运动到
“○”中后，就得到算式a÷b－c×d＋e.如图②所示，计算当a＝
－4，b＝－1，c＝－2，d＝3，e＝1时所写算式的结果为(　B　)
A. －9 B. －10
B
C. －11 D. －12
解析：由题意确定各符号的位置，此时的算式为a÷b×c－d＋e，
当a＝－4，b＝－1，c＝－2，d＝3，e＝1时，
a÷b×c－d＋e
＝（－4）÷（－1）×（－2）－3＋1
＝4×（－2）－3＋1
＝－10.
8. 一个两位数，十位上的数为a，个位上的数为b，若把这个两位数的
十位上的数和个位上的数交换位置，计算所得的数和原数的和，用a，
b可以表示为(　A　)
A. 11a＋11b B. 11ab
C. 10a＋10b D. 10ab
解析：这两个数分别为：10a＋b，10b＋a，则两数之和为：10a＋b
＋10b＋a＝11a＋11b.
A
9. (2024河北中考)平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且
横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”.将某“和点”平移，每次平移
的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数(当余数为0时，向
右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移)，每次平
移1个单位长度.
例：“和点”P(2，1)按上述规则连续平移3次后，到达点P3(2，2)，其
平移过程如下： P3(2，2)
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16(－1，9)，则点Q
的坐标为(　D　)
A. (6，1)或(7，1)
B. (15，－7)或(8，0)
C. (6，0)或(8，0)
D. (5，1)或(7，1)
D
解析：由点P3（2，2）可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而
向上平移1个单位得到P4（2，3），此时横、纵坐标之和除以3所得的余
数为2，继而向左平移1个单位得到P4（1，3），此时横、纵坐标之和除
以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和
点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之
后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，若“和点”Q按
上述规则连续平移16次后，到达点Q16（－1，9），则按照“和点”Q16
反向运动16次求点Q坐标理解，可以分为两种情况：①Q16先向右1个单
位得到Q15（0，9），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，
应该是Q15向右平移1个单位得到Q16，故矛盾，不成立；②Q16先向下1
个单位得到Q16（－1，8），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，
则应该向上平移1个单位得到Q16，故符合题意，那么点Q16先向下平移，
再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，
此时坐标为（－1＋7，9－8），即（6，1），那么最后一次若向右平移
则为（7，1），若向左平移则为（5，1）
10. (2023河北省秦皇岛市青龙县金声木铎学校一模)
(1)观察下列算式：
1＝12， 1＋3＝4＝22 ， 1＋3＋5＝9＝32，1＋3＋5＋7＝16＝42，……
按规律填空：
①1＋3＋5＋7＋9＝ ；
②1＋3＋5＋…＋2 005＝ ；
解析：根据题意，①1＋3＋5＋7＋9＝52；
②1＋3＋5＋…＋2 005＝ 1 0032；
52
1 0032
(2)已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，求 的值.
（2）－
解析：∵a，b互为相反数，
∴a＋b＝0，
∵c，d互为倒数，
∴cd＝1，
∴ ＝ ＝－ ＝－ .
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第一章　数与式
课标要求
①会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示)；
②了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问
题的要求进行简单的近似计算.
命题点2　科学记数法
要点归纳
1. 表示形式：a×10n，其中 ≤｜a｜＜ ，n为整数.
2. a的确定：将原数变为整数位数只有1位的数，如原数为65 000时，a
的值为 .
1
10
6.5
3. n的确定
(1)当原数的绝对值≥10时，n为正整数且等于原数的整数位数减1(或原
数变为a时小数点向左移动的位数).如原数为65 000时，n为 .
(2)当0＜原数的绝对值＜1时，n为负整数且绝对值等于原数左起第1个
非0数字前所有0的个数(包括小数点前的0).如原数为0.000 65时，n
为 .
4
－4
4. 将分数用科学记数法表示
方法一：先将分数化成小数，再用科学记数法表示.
例如， ＝0.002＝2×10－3；
＝0.000 5＝5×10－4.
方法二：先分离出分子整除分母的部分，将分母剩余部分用科学记数法
表示，再结合a－n＝ 将分数用科学记数法表示.
例如， ＝ ＝ ＝2×10－3； ＝ ＝ ＝
5×10－4.
5. 将用科学记数法表示的数还原成原数
(1)若a×10n中n＞0，只需把a的小数点向右移动n位即可，如6.5×107
还原成原数为 ；
(2)若a×10n中n＜0，只需把a的小数点向左移动｜n｜位即可，不够
的数位添0补齐，如6.05×10－7还原成原数为 .
65 000 000
0.000 000 605
6. 将含有计数(量)单位的数表示为科学记数法形式时，要保证原数与要
求表示成的科学记数法形式的单位一致，常考的计数单位有：1千＝103，
1万＝ ，1亿＝ ；常考的计量单位有：1 mm＝10－3 m，
1 μm＝ m，1 nm＝ m.
104
108
10－6
10－9
7. 近似数和精确度
(1)近似数：与实际接近但存在一定偏差的数称为近似数，例如，π取
3.14，身高约165 cm，这里说的3.14和165都是近似数.
(2)精确度：近似数与准确数的接近程度可以用精确度来表示，一个近似
数四舍五入到哪一位就说这个数精确到哪一位.例如，3.141 59精确到
0.01为 ，精确到千分位为 .
(3)取近似值时精确度在某些特殊情况下的取舍方法：
①去尾：如裁衣时，4.9≈4，0.91≈0；
②取整：如[x]表示取不大于x的最大整数，[4.9]＝4，[0.91]＝0；
③进一：如统计分组、导火索长度、出租车里程、电话计时等，
4.9≈5，0.91≈1，1.25≈2.
3.14
3.142
命题点2　科学记数法
随堂检测
1. (2025天津南开三模)2021年我国发布的《中国应对气候变化的政策与行动》白皮书指出，2020年我国碳排放强度(单位国内生产总值二氧化碳排放)比2015年下降18.8％，比2005年下降48.4％，超额完成了我国向国际社会承诺的“到2020年下降40％～45％”的目标，累计少排放二氧化碳约58亿吨，基本扭转了二氧化碳排放快速增长的局面.其中数据58亿用科学记数法表示为5.8×109，则数据5.8×109所表示的原数应为(　C　)
C
A. 58000000 B. 580000000
C. 5800000000 D. 58000000000
2. (2022唐山路南区二模)中国互联网络信息中心统计报告显示，截至
2020年12月，我国网民人数达9.89亿，将9.89亿用科学记数法表示为
a×10n，则n的值为(　D　)
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
D
3. (2023河北省石家庄市第二十八中学一模)如图所示的是琳琳作业中的
一道题目，“ ”处都是0但发生破损，琳琳查阅后发现本题答案为
1，则破损处“0”的个数为(　B　)
已知：60 ＝a×10n，
求a－n的值.
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
B
解析：∵本题答案为1，
∴a－n＝1.又∵a＝6，∴n＝5.
∵600 000＝6×105，
∴破损处“0”的个数为4.故选B.
4. (2023河北衡水第三中学二模)在科幻小说《三体》中，制造太空电梯
的材料是由科学家汪淼发明的一种只有头发丝 粗细的超高强度纳米丝
“飞刃”，已知正常的头发丝直径为0.000 9 dm，则“飞刃”的直径
(dm)用科学记数法表示为(　C　)
A. 9×10－4 B. 9×10－3
C. 9×10－5 D. 9×10－6
C
解析：由题意可得：0.000 9× ＝0.000 09 dm，则“飞刃”的
直径（dm）用科学记数法表示为9×10－5（dm）.故选C.
5. (2025北京中考)2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西
昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返
回之旅.已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，
月球远地点距离约为4×105 km，则该小行星与地球的最近距离约为
(　C　)
A. 1.8×105 km B. 1.8×106 km
C. 1.8×107 km D. 1.8×1010km
解析：月球远地点距离为4×105 km，小行星的距离是该值的45倍，
即：45×4×105＝180×105＝1.8×107 km.
C
6. (2023河北廊坊市广阳区二模)某通信技术公司在测试5G网速时，发现
其下载一个1 kB的文件用时0.000 003 8 s，若下载一个m kB的文件所用
的时间可以用科学记数法表示为n×10－5 s，则m的值可以是(　B　)
A. 2 B. 20 C. 200 D. 2 000
B
解析：∵0.000 003 8＝0.38×10－5，
∴m×0.000 003 8＝0.38m×10－5＝n×10－5，∴0.38m＝n.
∵1≤n＜10，∴1≤0.38m＜10，∴ ≤m＜ ，
观察4个选项可知，只有B选项符合要求，故选B.
7. 近似数13.7万精确到(　C　)
A. 十分位 B. 百位
C. 千位 D. 千分位
解析：近似数13.7万精确到千位.故选C.
C
8. (2024河北邢台)截至2024年3月21日，已有150家疏解单位7025名职工
在雄安新区缴存住房公积金，缴存金额达5.02亿元.下列关于5.02亿说
法正确的是(　C　)
A. 5.02亿用科学记数法表示为5.02×109
B. 5.02亿＝50200000
C. 5.02亿是一个九位数
D. 5.02亿精确到十万位
C
解析：A. 5.02亿用科学记数法表示为5.02×108，原说法错误；
B. 5.02亿＝502000000，原说法错误；
D. 5.02亿精确到百万位，原说法错误；
9. 将 用科学记数法表示为 .
解析： ＝0.000 05＝5×10－5.
5×10－5
10. 某街道两侧统一铺设长为20厘米，宽为10厘米的长方形水泥砖，若
铺设总面积为10.8万平方米，则大约需水泥砖 块.(用科学
记数法表示)
解析：水泥砖的面积为20×10＝200（平方厘米）＝2×10－2（平方米），
总面积为10.8万平方米，共需1.08×105÷（2×10－2）＝0.54×107＝
5.4×106（块）水泥砖.
5.4×106
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第一章　数与式
课标要求
①能比较实数的大小；
②能用有理数估计一个无理数的大致范围.
命题点4　实数的大小比较与无理数的估值
要点归纳
1. 实数的大小比较
(1)数轴比较法：
①数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大，如图，b＜0＜a；
②离数轴原点距离越远的数的绝对值越大，如图，｜b｜ ｜a｜.
＜
(2)性质比较法：
①负数＜0＜正数；
②两个正数比较大小，绝对值大的数较 ；
③两个负数比较大小，绝对值大的数反而 ；
④如果一组数里面有正数、0、负数，判断最大的数直接在正数里面比
较，判断最小的数直接在负数里面比较.
大
小
(3)作差比较法：
①a－b＞0 a b； ②a－b＝0 a b； ③a－b＜0
a b.
＞
＝
＜
(4)作商比较法：若a＞0，b＞0，
① ＞1 a b；
② ＝1 a b；
③ ＜1 a b.
＞
＝
＜
(5)倒数比较法：
若ab＞0，则 ＜ a b.
(6)乘方比较法：若a＞0，b＞0，则a2＞b2 a b.
(7)开方比较法：若a＞0，b＞0，则 ＞ a b.
(8)特殊值法：含有字母时，给字母取特殊值更加简便快捷.
＞
＞
＞
2. 无理数的估值
类型 方法 步骤 举例
带根号
的无理
数近似
值 采用“夹逼
法”(即两边
无限逼近的
方法) 先确定其整数部分的范围，再确定其小数部分的范围 估算 (结果精确到0.1).
∵62＝36，72＝49，6.32＝
39.69，6.42＝40.96，6.322
＝39.942 4，6.332＝40.068 9，
∴ ≈6.3.
类型 方法 步骤 举例
被开方
数是正
的纯小
数或比1
000大的
数 探究小数点
的移动规律 利用平方根(立方
根)与被开方数的
小数点变化的规
律，将被开方数
转化为1～1 000
的数进行估算 估算 (结果精确到
1).
∵3162＝99 856，3172＝100
489，316.22＝99 982.44，
316.32＝100 045.69，
∴ ≈316.
命题点4　实数的大小比较与无理数的估值
随堂检测
1. (2024自贡)在0，－2，－ ，π四个数中，最大的数是(　C　)
A. －2 B. 0
C. π D. －
C
2. (2025青岛一模)实数a，b，c，d在数轴上对应的位置如图所示，这
四个数中绝对值最大的是(　D　)
A. a B. b C. c D. d
解析：根据题图示，可得2＜｜a｜＞3，1＜｜b｜＜2，0＜｜c｜＜1，
3＜｜d｜＜4，所以这四个数中，绝对值最大的是d.
D
3. (2023浙江金华中考)某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的
最低气温分别是－20 ℃，－10 ℃，0 ℃，2 ℃，其中最低气温是(　A　)
A. －20 ℃ B. －10 ℃
C. 0 ℃ D. 2 ℃
解析：－20＜－10＜0＜2，故温度最低的城市是哈尔滨.故选A.
A
4. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足－a＜b＜
a，则b的值可以是(　B　)
A. 2 B. －1 C. －2 D. －3
B
5. (2025河北邯郸一模)已知m＝4 －4，则实数m的取值范围是(　B　)
A. 1＜m＜2 B. 2＜m＜3
C. 3＜m＜4 D. 4＜m＜5
B
解析：依题意，4 ＝ ，
∵ ＜ ＜ ，
则6＜ ＜7，
∴2＜4 －4＜3，
即实数m的取值范围是2＜m＜3.
6. (2025河北保定一模)若a＋ ＝ ，则表示实数a的点会落在数轴
的(　B　)
A. 段①上 B. 段②上
C. 段③上 D. 段④上
解析：∵a＋ ＝ ，即a＝ － ，
∴a＝ － ＝3 －2 ＝ ，
∴1＜ ＜2，即1＜a＜2，
故实数a的点会落在数轴的段②上.
B
7. (2024重庆)估计 (＋ )的值应在(　C　)
A. 8和9之间 B. 9和10之间
C. 10和11之间 D. 11和12之间
C
解析： （ ＋ ）
＝2 （ ＋ ）
＝2 ＋6，
∵5.76＜6＜6.25，
∴ ＜ ＜ ，
∴2.4＜ ＜2.5，
∴10.8＜2 ＋6＜11.故选C.
8. (2022陕西)实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a
－b.(填“＞”“＝”或“＜”)
9. (2022江苏常州)如图，数轴上的点A，B分别表示实数a，b，则
(填“＞”“＝”或“＜”).
＜
＞
10. 用“＜”连接下列各数：－ ， ，－2 ，2.5，0.

－2 ＜－ ＜0＜ ＜2.5
感谢观看

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