资源简介

(共23张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
课标要求
能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的
问题.
命题点8　一元一次不等式(组)的实际应用
要点归纳
1. 列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤
(1)审：审清题干已知什么，求什么；
(2)设：设出合适的未知数，并用未知数表示出相关的量；
(3)找：找出不等关系对应的关键词，如至多、不少于等；
(4)列：根据不等关系列出不等式(组)；
(5)解：解列出的不等式(组)；
(6)作答.
2. 不等号与常见对应关键词
不等号 对应关键词
＞
＜
≥
≤
大于　多于　超过　高于
小于　少于　不足　低于
至少　不低于　不小于　不少于
至多　不超过　不高于　不大于
3. 利用不等式解决实际问题时的注意事项
(1)设未知数时，表示不等关系的文字(如“至少”“最大”等)不能
出现；
(2)利用不等式(组)解决实际问题时，要注意问题中的限制条件，取解时
必须使实际问题有意义，如人数、次数、物体的个数等为非负整数，长
度、面积等为正数.
命题点8　一元一次不等式(组)的实际应用
随堂检测
1. 把一些书分给几名同学，若每人分9本，则剩余7本；若每人分11本，
则不够.依题意，设有x名同学，列出不等式正确的是(　C　)
A. 9x－7＜11x
B. 7x＋9＜11x
C. 9x＋7＜11x
D. 7x－9＜11x
C
2. 某种品牌自行车的进价为400元，出售时标价为500元，商店准备打
折出售，但要保持利润率不低于5％，则至多可打的折数是(　B　)
A. 八折 B. 八四折
C. 八五折 D. 八八折
B
3. (2025江苏南京二模)小明买了每袋250克的食品若干袋，营养成分如
下表所示.通常情况下，人体每日摄入膳食纤维的适宜量是25～35克.若
小明今天仅依靠此食品来获取膳食纤维，他需要吃(　B　)
B
营养成分 项 目 每100克 营养量参考值％
能量 2092千焦 25％
蛋白质 8.9克 15％
脂肪 24.0克 40％
碳水化合物 59.1克 20％
膳食纤维 6.0克 24％
钠 250毫克 1.3％
A. 1袋 B. 2袋 C. 3袋 D. 4袋
解析：每袋食品中膳食纤维的含量为： ×250＝15（克），
设需要吃x袋，则总膳食纤维量为15x克，依题意得：

解得： ≤x≤ ，
∴小明需要吃2袋.
4. 某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元.小王在该店铺
内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取
值范围是 .
解析：∵为凑满减又加购了一件12元的商品，每单消费满299元减30元.
∴
∴287≤a＜299
287≤a＜299
5. 某种商品的进价为每件100元，商场按进价提高50％后标价，为增加
销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于20％，则至多可打几折？
解：设打x折销售，
依题意，得：100×（1＋50％）× －100≥100×20％，
解得：x≥8.
答：至多可打8折.
6. (2022抚顺)麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种
型号的收割机进行小麦收割作业.已知一台A型收割机比一台B型收割
机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时
间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同.
(1)一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？
解：（1）设一台B型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台A型收
割机平均每天收割小麦（x＋2）公顷，
依题意得 ＝ ， 解得x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意，
∴x＋2＝3＋2＝5（公顷）.
答：一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B型收割机平均每
天收割小麦3公顷.
(2)该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为
确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台A
型收割机？
解：（2）设安排m台A型收割机，则安排（12－m）台B型收割机，
依题意，得5m＋3（12－m）≥50，
解得m≥7.
答：至少要安排7台A型收割机.
7. 近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电
难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上充电桩占地面
积为1.5 m2，地下充电桩占地面积为1 m2.已知新建10个地上充电桩和20
个地下充电桩需要8万元；新建20个地上充电桩和10个地下充电桩需要7
万元.
(1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？
解得
即新建一个地上充电桩需要0.2万元，新建一个地下充电桩需要0.3
万元.
解：（1）设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需
要y万元，
由题意得
(2)若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建60个充电桩，且满足地上
充电桩的数量不到地下充电桩数量的一半，则共有几种建造方案？请列
出方案，并直接回答选哪种方案时总占地面积最小？
解：（2）设新建m个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为
（60－m）个，
由题意得
解得18≤m＜20，
∵m为整数，
∴m的值为18或19，
∴共有2种建造方案，方案一：新建18个地上充电桩，42个地下充电
桩；方案二：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩；
方案一占地面积为：18×1.5＋42×1＝69（m2），
方案二占地面积为：19×1.5＋41×1＝69.5（m2），
综上可得，方案一（新建18个地上充电桩，42个地下充电桩）总占地面
积最小.
8. (2024资阳)2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店
调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱.已知购
进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元.　
(1)分别求出A，B两款纪念品的进货单价；
解：（1）设A，B两款纪念品的进货单价分别为x元，y元，
则 解得
答：A，B两款纪念品的进货单价分别为80元和60元.
(2)该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5 000元，则
至少应购买B款纪念品多少个？
解：（2）设购买m件B种纪念品，（70－m）件A种纪念品，根据题
意，得60m＋80（70－m）≤5 000，解得m≥30，
答：至少应购买B款纪念品30个.
感谢观看(共29张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
课标要求
①理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二
次方程；
②会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是
否相等；
③了解一元二次方程的根与系数的关系.
命题点5　一元二次方程及其解法
要点归纳
1. 一元二次方程定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 的整式方程，其一
般形式为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a 0).
注意：对于方程ax2＋bx＋c＝0，只有当 时才是一元二次方
程；若ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程，则必然隐含着 .
2
≠
a≠0
a≠0
2. 一元二次方程根的判别式
b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式.
(1)b2－4ac＞0 方程有
的实数根；
(2)b2－4ac＝0 方程有两个相等的实数根(x1＝x2＝ )；
(3)b2－4ac≥0 方程有两个实数根；
两个不相等
－
(4)b2－4ac＜0 方程 实数根.
注意：由一元二次方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围时，若
一元二次方程的二次项系数含有字母，应注意二次项系数不为0这个隐
含条件.
没有
3. 一元二次方程的解法
解法 适用情况 方法步骤及注意事项
直接开 平方法 (1)ax2＋c＝0(a≠0，ac＜0) 　　　x2＝m(m≥0) 　　(2)(x＋m)2＝n(n≥0) 　　　(整体思想) (1)转化为x2＝m，两边开方得x＝± ；
(2)两边开方得x＋m＝± ，即x＝± －m
解法 适用情况 方法步骤及注意事项
配方法 将二次项系数化为1后，一次项系数为绝对值较小的偶数时，考虑使用配方法：给方程两边同时加上一次项系数一半的平方 (1)把二次项系数化为1，即方程两边同
除以二次项系数，得到x2＋px＋q＝0；
(2)把常数项移到方程的另一边，即x2＋px＝－q；
(3)在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，x2＋px＋ ＝－q＋ ，
把方程整理成 ＝－q＋ 的
形式；
(4)运用直接开平方法解方程
解法 适用情况 方法步骤及注意事项
公式法 适用于所有一元二次方程，求根公式 x＝ 使用求根公式时，要先把一元二次方
程化为一般形式.
(1)方程的右边一定要化为 ；
(2)将a，b，c代入求根公式时应注意
带符号；
(3)若b2－4ac＜0，则原方程

0
无实数根
解法 适用情况 方法步骤及注意事项
因式分 解法 方程左边能分解为两个
因式的积，右边等于0； 将方程右边化为0后，方
程的左边可以提出含有x
的公因式，形如x(ax＋
b)＝0或(ax＋b)(cx＋d)
＝0 (1)等号右边必须化为0，若不为
0，不能用因式分解法；
(2)方程两边含有x的相同因式时，
不能约去，以免丢根，如对于一元
二次方程(x－2)(x＋2)＝(x－2)，不
能两边同时约去(x－2)，否则会造
成漏解
4. 一元二次方程根与系数的关系
当b2－4ac≥0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x1，x2，
则有x1＋x2＝－ ，x1x2＝ .
命题点5　一元二次方程及其解法
随堂检测
1. 方程x2＋2x－3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是
(　B　)
A. 1，2，3 B. 1，2，－3
C. 1，－2，3 D. －1，－2，3
2. 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为－1，则a－b＋c
的值是(　C　)
A. －1 B. 1
C. 0 D. 不能确定
B
C
3. 关于x的一元二次方程x2＋(k－3)x＝k－1的根的情况，下列说法正
确的是(　A　)
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根
D. 无法确定
A
4. (2025河北保定一模)设一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根分别为x1，
x2，则下列选项正确的是(　B　)
A. x1＋x2＝2 B. x1＋x2＝－2
C. x1x2＝－ D. x1x2＝1
解析：由题意，得x1＋x2＝－ ＝－2，x1x2＝ ＝－1.
B
5. (2024东营)用配方法解一元二次方程x2－2x－2 023＝0，将它转化为
(x＋a)2＝b的形式，则ab的值为(　D　)
A. －2 024 B. 2 024
C. －1 D. 1
D
解析：由题知，
x2－2x－2 023＝0，
x2－2x＝2 023，
x2－2x＋1＝2 023＋1，
（x－1）2＝2 024，
所以a＝－1，b＝2 024，
所以ab＝（－1）2 024＝1.故选D.
6. (2025河北保定一模)问题“解方程x2－4x－(k2＋1)＝0”，嘉嘉说
“不管k为何值时，方程均有两个实数根”，琪琪说“方程有两个实数
根，而且一定是两个正数根”，珍珍说“此方程无实数根”，则下列结
论正确的是(　A　)
A. 嘉嘉说得对
B. 琪琪说得对
C. 珍珍说得对
D. 三名同学说法都不对
A
解析：方程x2－4x－（k2＋1）＝0中，
a＝1，b＝－4，c＝－（k2＋1），
∴b2－4ac＝（－4）2－4×1×[－（k2＋1）]＝4k2＋20＞0，
∴不管k为何值时，方程均有两个不相等的实数根，方程的两根之积为
－（k2＋1）＜0，故方程有两个实数根，而且方程的两个实数根一定异
号，综上所述，嘉嘉的说法正确，琪琪、珍珍的说法错误.
7. (2021荆门)已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数
根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则
△ABC的周长为(　D　)
A. 7 B. 10
C. 11 D. 10或11
D
解析：把x＝3代入方程，得9－3（m＋1）＋2m＝0，
解得m＝6，
则原方程为x2－7x＋12＝0，
解得x1＝3，x2＝4.
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4＋4＋3＝11；
②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3＋3＋4＝10.
综上所述，该△ABC的周长为10或11.
8. (2025河北唐山二模)已知m，n是方程x2－3x－4＝0的两根，求代数
式3mn－m＋ (m－n－5mn)的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思
路，下列说法正确的是(　A　)
嘉嘉：①解方程x2－3x－4＝0；②将步骤①中的解，代入到代数式3mn
－m＋ (m－n－5mn)中，解得代数式的值为－ .
淇淇：根据根与系数关系求出m＋n，mn的值；②化简3mn－m＋ (m
－n－5mn)；③将步骤①中的m＋n，mn的值代入到步骤②化简后的
结果中，解得代数式的值为－ .
A. 嘉嘉，淇淇都对
B. 嘉嘉对，淇淇不对
C. 嘉嘉不对，淇淇对
D. 嘉嘉，淇淇都不对
答案A
解析：嘉嘉：x2－3x－4＝0，
∴m＝4，n＝－1或，m＝－1，n＝4，
3mn－m＋ （m－n－5mn）
＝3mn－m＋ m－ n－ mn
＝ mn－ （m＋n），
∴当m＝4，n＝－1时，
原式＝ ×4×（－1）－ [4＋（－1）]
＝－2－
＝－ ；
当m＝－1，n＝4时，
原式＝ ×（－1）×4－ [（－1）＋4]
＝－2－
＝－ ，故嘉嘉解法正确；
淇淇：∵x2－3x－4＝0，
∴m＋n＝3，mn＝－4，
∴3mn－m＋ （m－n－5mn）
＝3mn－m＋ m－ n－ mn
＝ mn－ （m＋n）
＝ ×（－4）－ ×3
＝－2－
＝－ ，故淇淇解法正确.
9. 我们把关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0与cx2＋bx＋a＝
0(ac≠0，a≠c)称为一对“倒序方程”.例如方程x2－x－2＝0的“倒序
方程”是－2x2－x＋1＝0.
(1)写出一元二次方程x2＋2x－8＝0的“倒序方程”；
解：（1）根据定义，x2＋2x－8＝0的“倒序方程”为－8x2＋2x＋1
＝0.
(2)请用适当的方法解一元二次方程x2＋2x－8＝0和它的“倒序方程”.
解：（2）x2＋2x－8＝0，
∴x2＋2x＝8，
∴x2＋2x＋1＝8＋1，
∴（x＋1）2＝9，
∴x＋1＝±3，
解得：x1＝2，x2＝－4.
由（1）知，x2＋2x－8＝0的“倒序方程”为－8x2＋2x＋1＝0，
这里a＝－8，b＝2，c＝1.
∵b2－4ac＝22－4×（－8）×1＝36，
∴x＝ ＝ ，
即x1＝ ，x2＝－ .
感谢观看(共24张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
课标要求
①能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；
②能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.
命题点2　一次方程(组)的实际应用
要点归纳
1. 根据实际问题列一次方程(组)
列一次方程(组)解应用题的一般步骤：
①审：审清题意，分清题中的已知量和未知量，明确各数量之间的
关系.
②设：设出关键未知数(可设直接或间接未知数)；一般用x表示一个未
知数，其他未知数用含x的代数式或y来表示.
注意：条件较少而涉及量较多时，可设辅助未知数，该未知数可在解方
程的过程中消元，是设而不求.
③列：根据题中的等量关系，列方程(组).
④解：解方程(组).
⑤验：双重检验，检验所解答案是否满足方程组，是否符合题意和实际
情况.
⑥答：规范作答，注意单位名称.
提分技巧：一次方程(组)实际应用题的解题思路
(1)设元的方法.
①直接设元法：直接设要求的量为未知数.
②间接设元法：当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的一些量
为未知数，即为间接设元.无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程.
(2)用一次方程组求解的应用题，一般有两个相等关系，若列一元一次方
程求解，则这两个相等关系一个用来设出未知数后表示另一个未知数，
另一个相等关系用来列方程；若列二元一次方程组，则这两个相等关系
均用来列方程.
2. 一次方程(组)的实际应用
常见类型 基本关系
和差倍 分问题 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×单份的量；
抓住反映等量关系的关键字：和、差、倍、几分之几、比、大、小、多、少、增加、减少等
购买、分配类问题 ①甲的量＋乙的量＝总量(或根据甲、乙的数量关系列等式)；
②甲的量×甲的单位费用＋乙的量×乙的单位费用＝总费用；
③若题干中明确给出 则直接设甲、乙为未知数求解
等积变换问题 根据图形面积或体积的不变性列方程(组)求解即可
常见类型 基本关系
增长率问题 增长率＝增长量÷原有量×100％，现产量＝原产量×
(1＋增长率).如原产量为a，产量提高10％后为(1＋10％)a
打折销 售问题 ①利润＝售价－成本价，总利润＝单件的利润×销售量；
②售价＝原价(标价)×折扣，如打八折，折扣就是80％；
③利润率＝ ×100％；
④总价＝单价×数量
常见类型 基本关系
工程问题 总工作量未定时，可设总工作量为单位1.
①总工作量＝工作效率×工作时间；
②总工作量＝各单位工作量之和；
③工作效率＝
数字问题 数字问题常间接设未知数，如十位、个位上的数字分
别为a，b的两位数为 ； 百
位、十位、个位上的数字分别为a，b，c的三位数
为
数字问题：10a＋b
100a＋10b＋c
常见类型 基本关系
比赛积分 问题 总场数＝胜场数＋负场数＋平场数；
总积分＝胜场积分＋负场积分＋平场积分
鸡兔同 笼问题 鸡的头数＋兔的头数＝总头数；
鸡脚的总数＋兔脚的总数＝脚数和
常见类型 基本关系
日历 问题 日历 中的 数量 关系 每一横排相邻两个数字之差为1；
每一竖列相邻两个数字之差为7；
左上到右下相邻两个数字之差为8；
右上到左下相邻两个数字之差为6
日历中 矩形框 内的数 量关系 落在矩形框内的9个数字，中间一个数字是这9个数字
的平均值；矩形框内，每一横排、竖列、斜排，中间
的数字都是它们的平均值
常见类型 基本关系
行程 问题 相遇问 题(同 时出发) s甲＋s乙＝ ，t甲＝t乙
追及 问题 同时不同地：s甲＝s乙＋ ，t甲＝t乙
同地不同时：甲出发t小时后乙出发，在B处乙追上
甲，s甲＝s乙，t甲＝
相遇问题：sAB
追及问题：sAC
t乙＋t
常见类型 基本关系
行程 问题 环形跑 道问题 关键是抓住各物体的运动时间和路程关系
航行 问题 顺水速度＝静水速度＋水流速度；
逆水速度＝静水速度－水流速度
命题点2　一次方程(组)的实际应用
随堂检测
1. (2025河北保定一模)古书《四元玉鉴》中有记载：“酒分醇醨，醇酒
一升醉三客，醨酒三升醉一人.共通饮了一斗九，三十三客醉醺醺.欲问
高明能算士，几何醨酒几多醇？(一斗为十升)”，译文：“酒分为醇酒
和醨酒(醇酒是浓酒，醨酒是淡酒)，醇酒1升可以醉倒3位客人，醨酒3升
可以醉倒1位客人.总共饮用了‘一斗九’的酒(即19升)，醉倒了33位客
人.问：饮用了多少醇酒和多少醨酒？(注：1斗10升)”，则下列说法错
误的是(　D　)
A. 设饮用了x升醇酒，y升醨酒.列出方程组为
B. 设饮用了x升醇酒，则饮用了(19－x)升醨酒.列出方程为3x＋ (19
－x)＝33
C. 饮用了10升醇酒
D. 饮用了10升醨酒
答案：D
解析：设饮用了x升醇酒，y升醨酒.
根据题意列方程得
故选项A正确，不符合题意；
设饮用了x升醇酒，则饮用了（19－x）升醨酒.
根据题意列方程得：3x＋ （19－x）＝33，
解得：x＝10，
则19－x＝9，
∴饮用了10升醇酒，饮用了9升醨酒
故选项B、C正确，不符合题意；选项D错误符合题意.
2. (2024宿迁)我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；
若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？这段话的意思是：用
绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳
一尺.绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为(　A　)
A. x－4＝ x－1
B. x＋4＝ x－1
C. x－4＝ x＋1
D. x＋4＝ x＋1
A
3. (2024南充)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三
公，众客都来到店中.一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后面两
句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间
客房住9人，那么就空出一间客房.设有客房x间，客人y人，则可列方
程组为(　D　)
A. B.
C. D.
D
4. (2025河北唐山二模)如图，数轴上(每格表示一个单位长度)点A，
B，C，D对应的整数分别为a，b，c，d，已知b－3c＝9，则数轴上
原点的位置在(　D　)
A. 点A处 B. 点B处
C. 点C处 D. 点D处
解析：设B表示的数为x，则A，C，D分别表示x－4，x－1，x＋3，
x－3（x－1）＝9，
解得：x＝－3，即x＋3＝0，
则数轴上原点的位置在D处.
D
5. (2024陕西)星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫
除.根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4 h；若爸爸单独完
成，需2 h.当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接
着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3
h，求这次小峰打扫了多长时间.
解：设这次小峰打扫了x h，则爸爸打扫了（3－x）h，
根据题意得： ＋ ＝1，
解得：x＝2.
答：这次小峰打扫了2 h.
6. (原创)今年“五一”假期，保定旅游爆火出圈.“五一”当天，某商
品店销售A，B两种产品共450件，仅这两种产品的销售额就达到6万
元，已知A产品销售单价为每件150元，B产品销售单价为每件120元.
(1)求A，B销售数量各多少件？
解：（1）设A，B销售数量各x，y件，
根据题意得，
解得
∴A，B销售数量各200，250件；
(2)今年“端午节”期间，保定旅游持续火爆.该店对A，B这两种产品
进行降价促销，其中A产品每件降价m元，B产品每件降价20元，该店
“端午节”第一天销售A，B这两种产品数量比“五一”当天明显增
加，其中A产品销售数量增加50％，B产品多销售 m件，这样，“端
午节”第一天该店这两种产品的销售额就比“五一”当天的销售额增长
.求m的值.
解：（2）根据题意得，
[200×（1＋50％）]（150－m）＋（120－20） ＝
60 000 ，
解得m＝30.
感谢观看(共22张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
课标要求
①结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质；
②能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数
轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集.
命题点7　一元一次不等式(组)
及其解法
要点归纳
1. 不等式的基本性质
性质1：不等式两边同时加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不
变.如果a＞b，那么a±c＞b±c.
性质2： .
如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc或 ＞ .
性质3：不等式两边同乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.如果
a＞b，且c＜0，那么ac＜bc或 ＜ .
不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
口诀：负变正不变.
2. 一元一次不等式的解法及解集表示
一般步骤 解集 在数轴上的表示 总结
①去分母； ②去括号； ③移项； ④合并同类项； ⑤系数化为1(特别
注意性质3的变号) x＜a 方向：小于向左，大
于向右；
边界：“≥” “≤”
用实心圆点，
“＞”“＜”用空心
圆圈
x＞a x≤a x≥a 3. 一元一次不等式组的解法及解集表示
一元一次不等式组的解法步骤：
①分别求出不等式组中各个不等式的解集；
②将每个不等式的解集在同一个数轴上表示出来，找出它们的公共
部分；
③根据公共部分写出不等式组的解集，如果没有公共部分，那么不等式
组无解.
　解集的类型及其在数轴上的表示：
类型(a＞b) 解集 解集在数轴上的表示 确定解集的口诀
同大取大
同小取小
x ＞a
x＜b
类型(a＞b) 解集 解集在数轴上的表示 确定解集的口诀
大小小大
中间找
无解 大大小小
取不了
b＜x＜a
提分技巧：求不等式组的正整数解、负整数解等特殊解时，可先求出
不等式组的解集，再从中找出所需要的特殊解.
命题点7　一元一次不等式(组)及其解法
随堂检测
1. 下列不等式变形正确的是(　D　)
A. 若m＞n，则m－1＜n－1
B. 若ac＞bc，则a＞b
C. 若a＜b，则ax2＜bx2
D. 若a＜b，则1＋a＜1＋b
D
解析：A. 若m＞n，两边同时减1得m－1＞n－1，原式不成立，不符
合题意；
B. 若ac＞bc，当c＜0时，则a＜b，原式不成立，不符合题意；
C. 若a＜b，当x＝0时，ax2＝bx2，原式不成立，不符合题意；
D. 若a＜b，两边同时加1得1＋a＜1＋b，成立，符合题意.
2. (2024四川攀枝花中考)P、Q、R、S四人的体重分别为p，q，r，
s，他们去公园玩跷跷板，如下面示意图所示，则四人体重的大小关系
为(　A　)
A. q＜p＜s＜r B. r＜s＜q＜p
C. p＜q＜s＜r D. r＜s＜p＜q
A
解析：由题意得：
由③得：r＝p＋s－q④，
把④代入②中得：q＋s＜p＋p＋s－q，
∴2q＜2p，∴q＜p，∴q－p＜0，
由③得：q－p＝s－r，
∴s－r＜0，∴s＜r，∴q＜p＜s＜r.
3. 关于x的不等式(1－m)x＜m－1的解集为x＞－1，那么m的取值范
围为(　A　)
A. m＞1 B. m＜1
C. m＜－1 D. m＞－1
A
4. 运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”
为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么x的取值范围
是(　B　)
A. x＞23 B. 23＜x≤47
C. 11≤x＜23 D. x≤47
B
5. (2024赤峰)解不等式组
时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是(　C　)
A. B.
C. D.
C
6. 以下是小贤解不等式组 的解答过程.
小贤的解答过程从哪一步开始出现错误？请判断，并写出正确的解
答过程.
解：由①得x＜3＋2， 第一步
所以x＜5， 第二步
由②得－x＋2≥3， 第三步
所以x≥－1， 第四步
故原不等式组的解集是－1≤x＜5.
第五步
解：小贤的解答过程从第四步开始出现错误；

由①得x＜3＋2，
所以x＜5，
由②得－x＋2≥3，
所以－x≥1，
所以x≤－1，
故原不等式组的解集是x≤－1.
7. (2025河北中考)(1)解不等式2x≤6，并在如图所给的数轴上表示
其解集；
解：（1）2x≤6，
不等式两边同时除以2得x≤3，
数轴表示如下图所示：
(2)解不等式3－x＜5，并在如图所给的数轴上表示其解集；
解：（2）3－x＜5
移项得：－x＜5－3，
合并同类项得：－x＜2，
系数化为1得：x＞－2，
解集在数轴表示如下图所示：
(3)直接写出不等式组 的解集.
解：（3）
解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x＞－2，
∴原不等式组的解集为－2＜x≤3.
感谢观看(共19张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
课标要求
①掌握等式的基本性质；
②能解一元一次方程；
③掌握消元法，能解二元一次方程组；
④能解简单的三元一次方程组.
命题点1　一次方程（组）及其解法（必考）
要点归纳
1. 等式的性质
基本性质 数学表达 在解方程中的应用
性质1 若a＝b，则a＋c＝b＋c 移项
若a＝b，则a－c＝b－c 性质2 若a＝b，则ac＝bc 去分母
若a＝b，c≠0，则 ＝ 系数化为1
性质3：若a＝b，则b＝a(对称性)；
性质4：若a＝b，b＝c，则a＝c(传递性).
2. 一元一次方程及其解法
(1)定义：只含有 个未知数(元)，未知数的次数是 ，且等号两
边都是整式的方程叫作一元一次方程，一般形式：ax＋b＝0(a≠0).
1
1
(2)一元一次方程的解法：
利用等式的基本性质，可以对方程进行恒等变形，进而求解.
一般步骤 注意事项
去分母 ①不要漏乘不含分母的项；②分子是一个整体，去
分母后加
去括号 ①括号前的数要乘括号内的每一项；②去掉“－(　　)”形式的括号时，原括号内的每一项都要
移项 移项一定要
合并同类项 字母及其指数不变，只把系数相加减
系数化为1 分子、分母不要颠倒
括号
变号
改变符号
3. 二元一次方程(组)及其解法
定义 含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方
程，称为二元一次方程，一般形式：ax＋by＝c(a≠0，
b≠0)；含有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是
1，并且一共有两个方程，这样的方程叫作二元一次方程组
基本 思想 消元，即把二元一次方程组转化为一元一次方程
解法 消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，
实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解
消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数是相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加
或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，实
现消元，进而求得这个二元一次方程组的解
提分技巧：代入消元法：当二元一次方程组中某个未知数的
系数是1或－1时，选择代入消元法较为简单；
加减消元法：当方程组中同一个未知数的系数互为相反数或
相等时，选择加减消元法较为简单；当同一个未知数系数不
同也不互为相反数时，可通过找系数的最小公倍数变为系数
相同或互为相反数，选择加减消元法较为简单
代入
加减
4. 二元一次方程(组)解的应用
若 是关于x，y的二元一次方程ax＋by＝0的解，
则am＋bn＝0.要注意二元一次方程ax＋by＝0的解不唯一.
若 是关于x，y的二元一次方程组 的解，
则
命题点1　一次方程（组）及其解法（必考）
随堂检测
1. 运用等式性质进行的变形，正确的是(　B　)
A. 若ac＝bc，则a＝b
B. 若 ＝ ，则a＝b
C. 若2a－b＝4，则b＝4－2a
D. 若－ x＝6，则x＝2
解析：A. 若ac＝bc，当c＝0时，a≠b，原变形错误；
C. 若2a－b＝4，则b＝2a－4，原变形错误；
D. 若－ x＝6，则x＝6÷ ＝－18，原变形错误.
B
2. 若x＝2是方程3x－a＝1的解，则a的值为(　A　)
A. 5 B. －5 C. 7 D. －7
解析：∵x＝2是方程3x－a＝1的解，
∴3×2－a＝1
解得：a＝5
A
3. 整式mx＋n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应
的整式的值，则关于x的方程2mx＋2n＝－8的解为(　A　)
x －2 －1 0 1 2
mx＋n 4 0 －4 －8 －12
A. x＝0 B. x＝－1 C. x＝－2 D. x＝1
解析：∵2mx＋2n＝－8，
∴mx＋n＝－4，
∴由表格中可得，当x＝0时，mx＋n＝－4，故选A.
A
4. 解方程组 的下列解法中，不正确的是(　C　)
A. 代入法消去a，由②得a＝b＋2
B. 代入法消去b，由①得b＝7－2a
C. 加减法消去a，①－②×2得2b＝3
D. 加减法消去b，①＋②得3a＝9
C
5. (2020保定满城区模拟)若方程组 中的x，y满足x＝
2y，则m的值为(　C　)
A. 1 B. C. D.
解析：将x＝2y代入3x＋2y＝4，得6y＋2y＝4，∴y＝ ，∴x＝1，
∴m＝2x－y＝2－ ＝ .故选C.
C
6. 已知方程组 的解为 则被遮盖的前后两个数分
别为(　C　)
A. 1，2 B. 1，5
C. 5，1 D. 2，4
C
7. (2025河北唐山二模)在解关于x的方程 －2x＝m时，小亮在去分
母的过程中，忘记给方程右边的m乘公分母，求出方程的解为x＝ .
(1)求出m的值；
解：（1）由题可知，x＋1－4x＝m，即1－3x＝m，
∵x＝ ，∴m＝－1；
(2)写出正确的求解过程.
解：（2）由（1）可知，原方程为 －2x＝－1，
去分母，得x＋1－4x＝－2，
移项、合并同类项，得－3x＝－3，
系数化为1，得x＝1.
感谢观看(共19张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
课标要求
①能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；
②能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.
命题点6　一元二次方程的应用
要点归纳
常见类型及其关系式
1. 平均变化率问题：变化率＝ ×100％.
(1)若基础量为a，平均增长率为x％，则第一次增长后为 ，第二次增长后为 ，若增长两次后的量为b，则列方程为
；
(2)若基础量为a，平均下降率为x％ ，则第一次下降后为 ，第二次下降后为 ，若下降两次后的量为b，则列方程为
.
a（1＋x％）
a（1＋x％）2
a（1＋x％）2＝b
a（1－x％）
a（1－x％）2
a（1－x％）2＝b
2. 销售利润问题中的“每每模型”
基本数量关系：总利润＝单件利润×销量＝(单件售价－单件进
价)×销量.
(1)提价减销量：进价为a元，售价为b元时，每天的销量为m件，若售
价每增加d元，则每天的销量减少c件.设每天的利润为n元.
①当售价增加到x元时，可列方程为(x－a) ＝n；
②当售价增加了x元时，可列方程为 .
（b＋x－a） ＝n
(2)降价提销量：进价为a元，售价为b元时，每天的销量为m件，若售
价每降低d元，则每天的销量增加c件.设每天的利润为n元.
①当售价降低到x元时，可列方程为
(x－a) ＝n；　
②当售价降低了x元时，可列方程为 .
（b－x－a） ＝n
3. 面积问题
(1)如图1，设空白部分的宽为x，则S阴影＝ ；
(2)如图2、图3、图4，设阴影部分的宽为y，则S空白＝ .
（a－2x）（b－2x）
（a－y）（b－y）
4. 握手、单循环赛与送礼物问题
(1)握手、单循环赛总次数为 (n为人数)；
(2)送礼物总份数为n(n－1)(n为人数).
命题点6　一元二次方程的应用
随堂检测
1. (2024河北中考)淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得
的答案比正确答案小1，则a＝(　C　)
A. 1 B. －1
C. ＋1 D. 1或 ＋1
解析：由题意得：2a＋1＝a2，
解得：a＝1＋ 或a＝1－ （舍）.
C
2. (2025重庆中考)某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开
发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游
客的年平均增长率为(　B　)
A. 10％ B. 20％ C. 22％ D. 44％
B
3. 元旦期间，某商场销售某种冰箱，每台进货价为2 500元，调查发
现：当销售价为2 900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低
50元时，平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均
每天达到5 000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价x元，
根据题意，可列方程为(　B　)
B
A. (x－2 500) ＝5 000
B. (x－2 500) ＝5 000
C. (2 900－x－2 500) ＝5 000
D. (2 900－x) ＝5 000
4. 如图，在一块长12 m、宽8 m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相
垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，且
栽种花草的面积为77 m2，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程
为 .
（12－x）（8－x）＝77或x2－20x＋19＝0
5. 某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图，原广场长50 m，宽40 m，
要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2，扩充区域的扩建费用每平方米
30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米
100元.如果计划总费用642 000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
解：设扩充后广场的长为3x m，宽为2x m.
根据题意，得3x×2x×100＋30（3x×2x－50×40）＝642 000，
解得x1＝30，x2＝－30（不合题意，舍去），
所以3x＝90（m），2x＝60（m）.
答：扩充后广场的长为90 m，宽为60 m.
6. (2021山西)2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可
以用一个方框圈出4个数(如图所示)，若圈出的四个数中，最小数与最大
数的乘积为65，求这个最小数(请用方程知识解答).
解：设最小的数为x，则四个数从小到大依次为x，
x＋1，x＋7，x＋8.
由题意，知x（x＋8）＝65，整理得x2＋8x－65＝0，
即（x＋13）（x－5）＝0，
解得x1＝－13（舍去），x2＝5.
答：最小的数是5.
7. 2025年初，中国神话电影《哪吒2之魔童闹海》风靡全球，于是某书
店开始销售《哪吒2》绘本.已知现在每套售价定为30元时，平均每天可
售出60套；根据以往同类绘本销售规律：在每套涨价小于10元时，如果
每套书每涨价1元，那么少售出4套/天；在每套降价小于10元时，如果
每套书每降价1元，那么多售出1套/天.
(1)若该书店计划每套书涨价5元，根据以往同类绘本销售规律估计每天
获得总销售额是多少.
解：（1）由题意得：（30＋5）（60－4×5）＝1 400，
所以书店每套书涨价5元，估计每天获得总销售额是1 400元；
(2)能否通过每套书降价x元(x为整数，0＜x＜10)，根据以往同类绘本销
售规律估计，使每天获得的总销售额刚好与题(1)中的总销售额相等？若
能，求出x的值；若不能，请说明理由.
解：（2）不能；由题意可得：（30－x）（60＋x）＝1 400，
解得x1＝－40或x2＝10，
因为x为整数且0＜x＜10，所以都不满足题意，都舍去，
所以每套书降价x元（x为整数，0＜x＜10）时，
每天获得的销售额不能与题（1）中的总额相等；
(3)根据以往同类绘本销售规律书店设计了两种销售方案：
书店方案一：每套书涨价m元(m为整数，0＜m＜10)；
书店方案二：每套书降价n元(n为整数，0＜n＜10).
是否存在这样的m，n数值，使得两种方案总销售额相等？若存在，求
m∶n的比值；若不存在，请说明理由.
解：（3）存在，由题意可得：（30＋m）（60－4m）＝（30－n）
（60＋n），
整理得（2m－n）（30＋2m＋n）＝0，
解得m∶n＝ 使两种方案的销售额相等，此时0＜m＜5，0＜n＜10.
感谢观看(共18张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
课标要求
①能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；
②能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.
命题点4　分式方程的实际应用
要点归纳
1. 列分式方程解实际问题的一般步骤
注意：双检验——①检验是否为分式方程的解；②检验是否符合实
际意义.
2. 常见模型及等量关系
常见模型 等量关系
行程问题 基本数量关系：时间＝
常用等量关系： － ＝时间差(注意时间
单位统一)
常见模型 等量关系
工程 问题 基本数量关系：工作时间＝
当题干中没有给出具体的工作总量时，默认工作总量为1
一项工程，甲单独做用x天完成，乙单独做用y天完成，则
甲每天做 　工程问题： 　，乙每天做 　 　，甲、乙合作
每天做 　 ＋，甲、乙合作完成需要的时间是 　 天
销售问题 基本数量关系：数量＝ 或单价＝
工程问题：

＋

提分技巧：列分式方程解应用题必须验根，既要检验是否为分式方程的
增根(如果是增根应舍去)，又要看是否符合实际情况.
命题点4　分式方程的实际应用
随堂检测
1. 一项工程，甲队单独做需20天完成，甲、乙合作需12天完成，则乙
队单独做需多少天完成？若设乙队单独做需x天完成，则可列方程为
(　D　)
A. ＋ ＝ B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝x D. ＋ ＝
D
2. (2023深圳)某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运
输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物
所用车辆数相同，设大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是(　B　)
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
B
3. (2025山东淄博二模)甲、乙两人同时从某地出发，步行5千米来到游
乐园，已知甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到15分钟，问甲、乙
两人每小时各走多少千米，若设甲每小时走x千米，则可列方程为
(　A　)
A. － ＝ B. － ＝
C. － ＝15 D. － ＝15
解析：设甲每小时走x千米，列方程为 － ＝ .
A
4. (2025广东深圳三模)我国古代数学著作《九章算术》中有一道关于
“驿站送信”的题目，其大意为：把一封信送到800里外的地方，若用
慢马送，则晚1天送达；若用快马送则早3天送达，已知快马的速度是慢
马速度的2倍，问规定的时间为多少天？快马的速度为多少？下列说法
错误的是(　C　)
C
A. 设规定的时间为x天，所列方程为 ×2＝
B. 规定的时间为7天
C. 设慢马的速度为y里/天，所列方程为 － ＝2
D. 快马速度是200里/天
解析：设规定时间为x天，慢马用时（x＋1）天，快马用时（x－3）
天，依题意得，
×2＝ ，选项A正确，故不符合题意；
解得：x＝7，
经检验，x＝7是原方程的解，
则快马用了7－3＝4（天）送达，慢马用了7＋1＝8（天）送达，
800÷4＝200里/天，
选项B，选项D正确，故不符合题意；
设慢马的速度为y里/天，则快马的速度为2y里/天，
依题意得 － ＝4，选项C错误，故符合题意.
5. (2023沈阳)甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多加工2个这
种零件，甲加工25个这种零件所用的时间与乙加工20个这种零件所用的
时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件.
解：设乙每小时加工x个这种零件，则甲每小时加工（x＋2）个这
种零件，
根据题意，得 ＝ ， 解得x＝8，
经检验，x＝8是所列方程的解，且符合题意.
答：乙每小时加工8个这种零件.
6. (2025内蒙古赤峰)下面是学习《分式方程的应用》时，老师板书的应用题和两名同学所列的方程.
分式方程
某校为迎接市中学生田径运动会需240面彩旗.计划由八年级(1)班的3个小组完成此任务，3个小组的人数相等.后因1个小组另有任务，剩余2个小组的每名学生要比原计划多做4面彩旗才能完成任务.那么每个小组有多少名学生？原计划每名学生做多少面彩旗？
冰冰： － ＝4，
庆庆： ∶ ＝3∶2.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)冰冰同学所列方程中的x表示 ，庆庆同学所
列方程中的y表示 ；
解：冰冰同学所列方程为 － ＝4，则x表示每个小组学生的人数；
庆庆同学所列方程为 ∶ ＝3∶2，则y表示原计划每名学生做
的彩旗数；
故答案为：x表示每个小组学生的人数；
y表示原计划每名学生做的彩旗数；
每个小组学生的人数
原计划每名学生做的彩旗数
(2)请你选择其中的一个方程解决老师提出的问题.
解：方法一：解方程 － ＝4得：x＝10，
经检验x＝10是原方程的根，
∴ ＝8（个），
答：每个小组学生的人数为10人；原计划每名学生做8面彩旗；
方法二：解方程 ∶ ＝3∶2得：y＝8，
经检验y＝8是原方程的根，
∴ ＝10（人），
答：每个小组学生的人数为10人；原计划每名学生做8面彩旗.
感谢观看(共23张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
课标要求　
能解可化为一元一次方程的分式方程.
命题点3　分式方程及其解法
要点归纳
1. 分式方程的概念
分母中含有 的方程叫作分式方程.
未知数
2. 分式方程的解法
基本思路：分式方程 整式方程 得解.
一般步骤 具体解法 实例演练： ＋ ＝1
去分母 (1)方程两边同乘各 分式的 ， 将其化为整式方程 方程两边同乘(x－3)，得2－(1－2x)
＝x－3
求解 (2)解整式方程 去括号，得2－1＋2x＝x－3，
移项、合并同类项、系数化为1，得
x＝－4
最简公分母
一般步骤 具体解法 实例演练： ＋ ＝1
验根 (3)检验，把整式方程的解代入最简公分母，看计算结果是否为0，若结果不为0，则此解是原分式方程的解；若结果为0，则此解为原分式方程的 当x＝－4时，x－3＝－4－
3＝－7≠0，故x＝－4是分
式方程的解
验根 方法 法一：利用方程解的定义，把整式方程的解直接代入原
方程检验 法二：把整式方程的解代入最简公分母，看计算结果是否为0 增根
3. 分式方程的增根
增根 概念 分式方程化为整式方程后，整式方程的根使分式方
程中分母的值为0时，分式方程无解，这样的根叫作
分式方程的增根
检验 方法 ①利用方程的解的定义进行检验
②将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算
结果是否为0，不为0就是原分式方程的根，若为0则
为增根，必须舍去
4. 分式方程无解的两种情况
(1)分式方程化为整式方程后，整式方程无解，所以分式方程无解；
(2)分式方程化为整式方程后，整式方程的解是分式方程的增根，所以分
式方程无解.
例如：已知关于x的分式方程 ＋ ＝－1，
解得(－1－m)x＝3，
有增根时，m＝ ；
无解时，m＝ .
－2
－1
命题点3　分式方程及其解法
随堂检测
1. 嘉淇同学解分式方程 ＝ 时，有如下步骤：
①方程两边乘最简公分母(x－5)(x＋5)
②得到整式方程为x＋5＝10，解得x＝5
③将x＝5代入到(x－5)(x＋5)中，(x－5)(x＋5)＝0
④得到结论：x＝5是该分式方程的解
老师看到嘉淇同学的解题过程，指出有一处错误，则错误的序号是(　D　)
A. ① B. ② C. ③ D. ④
D
解析： ＝
＝
两边同乘最简公分母（x－5）（x＋5）得：
得到整式方程为x＋5＝10，解得x＝5，
检验：当x＝5时，（x＋5）（x－5）＝0，
所以该分式方程无解，即④错误.
2. (2024济宁)解分式方程1－ ＝－ 时，去分母变形正确的是
(　A　)
A. 2－6x＋2＝－5 B. 6x－2－2＝－5
C. 2－6x－1＝5 D. 6x－2＋1＝5
A
3. (2025浙江)已知分式 (a，b为常数)满足如下表格，根据表格信
息，下列结论中错误的是(　D　)
x的取值 2 －2 3 d
分式的值 无意义 0 c －6
A. a＝－2 B. b＝4
C. c＝10 D. d＝－1
D
解析：∵x＝2时分式无意义，即x＋a＝0，
∴a＝－2，故A正确；
当x＝－2时，原分式值为0，
∴－4＋b＝0
解得：b＝4，故B正确；
∴原分式为 ，
∵x＝3时，原分式值为c，
∴c＝ ＝10，故C选项正确；
∵当x＝d时，分式的值为－6，
∴ ＝－6，
解得：d＝1，经检验，d＝1是原方程的解，故D选项不正确.
4. 若x＝4是分式方程 ＝ 的根，则a的值为(　A　)
A. 6 B. －6 C. 4 D. －4
A
5. (2024遂宁)分式方程 ＝1－ 的解为正数，则m的取值范围是
(　B　)
A. m＞－3 B. m＞－3且m≠－2
C. m＜3 D. m＜3且m≠－2
解析：去分母得：2＝x－1－m，
解得：x＝m＋3，
由方程的解为正数，得m＋3＞0，且m＋3≠1，
则m的取值范围为m＞－3且m≠－2.故选B.
B
6. 解分式方程 ＋ ＝3时，可以选择换元法，如果设y＝ ，
那么原方程可化为关于y的分式方程，去分母化为关于y的一元二次方
程的一般形式是(　C　)
A. y2－3y－2＝0 B. y2＋3y＋2＝0
C. y2－3y＋2＝0 D. y2＋3y－2＝0
解析：设y＝ ，则 ＝ ，
原方程变为y＋ ＝3，去分母得：y2－3y＋2＝0.
C
7. (2023苏州)分式方程 ＝ 的解为x＝ .
－3
8. (2022眉山)解方程： ＝ .
解： ＝ ，
方程两边同乘（x－1）（2x＋1），得
2x＋1＝3（x－1），
解这个整式方程，得x＝4.
检验：当x＝4时，（x－1）（2x＋1）≠0，
∴x＝4是原方程的解.
9. (2025河北秦皇岛一模)在数学课上，老师出了一道题，随机选择一组
同学进行合作完成“接力游戏”.规则如下：每位同学可以完成解分式
方程的一步，即前一位同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的
步骤进行下一步运算，直至完成分式方程的求解过程.
问题情境：
接力游戏
解方程：1－ ＝ .
甲同学：去分母，得：2x＋4－x－2＝－2x
乙同学：移项，得：2x－x＋2x＝2－4
丙同学：合并同类项，得：3x＝－2
丁同学：系数化为1，得：x＝－
请根据上表的“接力游戏”回答问题：
(1)在“接力游戏”中，从 同学开始出现错误，你的判断依据
.
解析：（1）在“接力游戏”中，从甲同学开始出现错误，你的判断
依据去括号法则，当括号前是负因数时，去括号后括号内的每一项
要变号.
故答案为：甲，去括号法则.
甲
去
括号法则（或乘法分配律）
(2)写出正确的解答过程.
（2）见解析
解析：（2）解：1－ ＝ ，
去分母，得：2x＋4－x＋2＝－2x，
移项，得：2x－x＋2x＝－2－4，
合并同类项，得：3x＝－6，
系数化为1，得：x＝－2，
经检验x＝－2是原方程的增根.所以原方程无解.
感谢观看

展开更多......

收起↑