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(共25张PPT)
第五章　四边形
课标要求
①理解菱形的概念.
②探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直.
探索并证明菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂
直的平行四边形是菱形.
命题点3　菱形的性质与判定(必考)
要点归纳
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
2. 菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，菱形除了具有平行四边形
的所有性质外还具有以下性质：
(1)菱形的四条边 ；
(2)菱形的对角线互相 ，并且每一条对角线平分一组对角；
(3)菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是两条对角线所在
的直线，对称中心是 ；
(4)菱形的面积等于边长×该边上的高或两条对角线之 的一半.
相等
垂直
两条对角线的交点
积
3. 菱形的判定
(1)定义：有一组邻边 的平行四边形是菱形；
(2)四条边都 的四边形是菱形；
(3)对角线 的平行四边形是菱形.
相等
相等
互相垂直
4. 利用菱形的性质进行相关证明及计算时还应掌握以下知识
(1)两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形；
(2)任意一条对角线将菱形分成两个全等的等腰三角形；
(3)如果菱形有一个内角为60°，则连接两个120°内角顶点的对角线将
菱形分成两个全等的等边三角形；
(4)连接一边的中点与两条对角线交点可构成直角三角形斜边上的中线或
三角形的中位线.
5. 平行四边形中作菱形的五种方法
方法一：如图1，连接BD，作BD的垂直平分线PQ，与AD，BC分别
交于点E，F，连接BE，DF，则四边形BFDE为菱形.
方法二：如图2，分别作∠ABC的平分线BP，∠BAD的平分线AQ，与
AD，BC分别交于点F，E，连接EF，则四边形ABEF为菱形.
方法三：如图3，以点A为圆心，AB长为半径画弧，与AD交于点F，
以点B为圆心，BA长为半径画弧，与BC交于点E，连接EF，则四边
形ABEF为菱形.
方法四：如图4，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点E，再
分别以A，E为圆心，大于 AE长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP
并延长交AD于点F，再连接EF，则四边形ABEF 为菱形.
方法五：如图5，连接AC，作∠EAC＝∠DAC，∠FCA＝∠BCA，则
四边形AECF为菱形.
6. 两个矩形纸片的重叠问题
图形
结论 不等宽的两个矩形纸片重叠(不
垂直)，重叠部分一定是平行四
边形，∵h1≠h2，∴一定不是
菱形 等宽的两个矩形纸片重叠(不垂
直)，∵h1＝h2，∴重叠部分一
定是菱形
命题点3　菱形的性质与判定(必考)
随堂检测
1. (2023丽水)如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC
的长为(　D　)
A. B. 1 C. D.
D
2. (2024邯郸二模)已知：在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝DA，如
图.求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AB＝CD，BC＝DA，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵“ 　　　　”，
∴四边形ABCD是菱形.
在以上证明过程中，“ 　　　　”可以表示的是(　C　)
C
A. ∠A＝∠C B. AD∥BC
C. AB＝BC D. AB∥DC
3. (2024山东德州中考)如图， ABCD中，对角线AC平分∠BAD.
(1)求证： ABCD是菱形；　
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD. ∴∠BAC＝∠ACD.
∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC.
∴∠DAC＝∠ACD. ∴AD＝CD.
∴四边形ABCD是菱形.
(2)若AC＝8，∠DCB＝74°，求菱形ABCD的边长.(参考数据： sin
37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
（2）解：连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形.AC＝8，∠DCB＝74°，
∴∠COB＝90°，OA＝OC＝ AC＝4，
∴∠ACB＝ ∠DCB＝37°，
∴BC＝ ＝ ≈ ＝5，
即菱形ABCD的边长为5.
4. (2025山西中考)综合与探究
问题情境：如图1，在△ABC纸片中，AB＞BC，点D在边AB上，AD
＞BD. 沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB'与BC平
行，且折痕与边BC交于点E，得到△DB'E，然后展平.
猜想证明：(1)判断四边形BDB'E的形状，并说明理由.
解：（1）四边形BDB'E是菱形，理由如下：
由折叠的性质可得BD＝B'D，BE＝B'E，
∠B'DE＝∠BDE，
∵B'D∥BC，∴∠B'DE＝∠BED，
∴∠BDE＝∠BED，∴BD＝BE，
∴BE＝BD＝B'D＝B'E，
∴四边形BDB'E是菱形；
拓展延伸：(2)如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应
点A'落在射线DB'上，且折痕与边AC交于点F，然后展平.连接A'E交
边AC于点G，连接A'F.
①若AD＝2BD，判断DE与A'E的位置关系，并说明理由；
解：（2）①DE⊥A'E，理由如下：
由（1）知四边形BDB'E是菱形，
∴BD＝B'E＝B'D，
由折叠的性质得到AD＝A'D，
∵AD＝2BD，
∴A'D＝2BD＝2B'D＝2B'E，
∴B'D＝A'B'＝B'E，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∴∠2＋∠3＝90°，
∴DE⊥A'E；
②若∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，当△A'FG是以A'F为腰的等腰三角
形时，请直接写出A'F的长.
解：（2）②∵∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，
∴AC＝ ＝12，
当△A'FG是以A'F为腰，A'G为底的等腰三角
形时，如图，延长A'F交AB于点H，设AC，
A'D交点为M，则FG＝A'F，
∵∠C＝90°，A'D∥BC，∴∠AMD＝∠C＝90°，
∴∠AMA'＝90°，
由折叠的性质得AD＝A'D，∠ADF＝∠A'DF，AF＝A'F，
∴△ADF≌△A'DF（SAS），∴∠A＝∠DA'F；
∵∠AFH＝∠A'FG，∴∠AHF＝∠AMA'＝90°；
∵∠A＝∠A，∴△AFH∽△ABC，∴ ＝ ＝ ，
∴HF∶AH∶AF＝BC∶AC∶AB＝3∶4∶5，
∵∠A＝∠DA'F，AF＝A'F，∠AHF＝∠A'MF，
∴△AHF≌△A'MF（AAS），
∴HF＝FM，AH＝A'M，
∴AM＝AF＋FM＝8x，
∵A'D∥BC，∴△AMD∽△ACB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，∴AD＝10x，
∴BE＝BD＝AB－AD＝15－10x，
∴CE＝BC－BE＝10x－6，
∵FG＝A'F＝5x，∴MG＝FG－FM＝2x，
∴CG＝AC－AM－MG＝12－8x－2x＝12－10x，
∵A'D∥BC，∴△A'MG∽△ECG，∴ ＝ ，
∴ ＝ ，解得：x＝1，
∴A'F＝5x＝5；
设HF＝FM＝3x，AH＝A'M＝4x，AF＝A'F＝5x，
当△A'FG是以A'F为腰，FG为底的等腰三角
形时，如图，则A'F＝AG，
同理得HF∶AH∶AF＝BC∶AC∶AB＝3∶4∶5，
HF＝FM，AH＝A'M，AF＝A'F，
设HF＝FM＝3y，AH＝A'M＝4y，AF＝A'F＝5y，
∴AM＝AF＋FM＝8y，
∵A'D∥BC，∴△AMD∽△ACB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，∴AD＝10y，
∴BE＝BD＝AB－AD＝15－10y，
∴CE＝BC－BE＝10y－6，
∵△A'FG是以A'F为腰，FG为底的等腰三角形，A'M⊥AC，
∴GM＝FM＝3y，∴FG＝GM＋FM＝6y，
∴CG＝AC－AF－FG＝12－11y，
∵A'D∥BC，∴△A'MG∽△ECG，
∴ ＝ ，∴ ＝ ，
解得：x＝ ，∴A'F＝5y＝ ；
综上所述，A'F的长为5或 .
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第五章　四边形
课标要求
①理解矩形的概念.
②探索并证明矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等.
探索并证明矩形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相
等的平行四边形是矩形.
命题点2　矩形的性质与判定(必考)
要点归纳
1. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
2. 矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所
有性质.具体有以下性质：
(1)边：对边 且相等.
(2)角：四个角都是 .
(3)对角线：对角线互相平分且 .
(4)既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有 条对称轴.
平行
直角
相等
2
3. 矩形的判定方法
(1)定义：有一个角是 的平行四边形是矩形；
(2)对角线 的平行四边形是矩形；
(3)有三个角是 的四边形是矩形.
注意：首先明确判定的前提是四边形是否是平行四边形，再选择合
适的判定定理.例如：对角线相等的四边形不一定是矩形，还可能是
等腰梯形.
直角
相等
直角
4. 利用矩形的性质进行相关证明及计算时还应掌握以下知识
(1)一条对角线将矩形分成两个全等的直角三角形；
(2)两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形；
(3)矩形折叠必然产生全等三角形及对应的等量关系.
命题点2　矩形的性质与判定(必考)
随堂检测
1. (2023上海)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD. 下列说法能使
四边形ABCD为矩形的是(　C　)
A. AB∥CD B. AD＝BC
C. ∠A＝∠B D. ∠A＝∠D
C
2. (2025河北一模)如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝2 ，P是
CD的中点，点Q在边AB上，连接AP，PQ，将矩形ABCD沿AP，PQ
折叠，点B，C，D的对应点分别为B'，C'，D'，PD'，PC'分别交AB于
点E，F(点E在点F右侧)，则线段EF的最大值为(　B　)
A. B. C. 2 D.
B
解析：∵P是CD的中点，∵E为定点，
∴要使EF最大，则点F要离点E最远，
∴当点Q与点B重合时，线段EF最大，此时点B'也与点B重合，
根据折叠可得∠CPB＝∠C'PB，∠DPA＝∠D'PA，PD＝PD'，AD＝
AD'，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，CD＝AB＝2 ，AD＝BC＝1，
∴∠CPB＝∠C'PB＝∠PBF，∠DPA＝D'PA＝∠PAE，
∴PF＝BF，PE＝AE.
设AE＝x，则PE＝x，
∵点P是CD的中点，
∴PD＝PD'＝ ，
∴ED'＝ －x.
在Rt△AED'中，AD'2＋D'E2＝AE2，
即12＋ ＝x2，
解得x＝ ，
同理可得BF＝ .
∴EF的最大值为AB－BF－AE＝2 － ＝ .
3. (2025河北石家庄一模)如图，矩形ABCD的顶点A，D的坐标为
A(1，0)，D(0，2)，BD∥x轴，若反比例函数y＝ (k＞0，x＞0)的图
象经过矩形对角线的交点E，则k的值为 .
5
解析：如图，过点B作BF⊥x轴，垂足为点F，
∵∠AOD＝∠BFA，∠OAD＝∠FBA＝90°－∠BAF，
∴△AOD∽△BFA，
∵BD∥x轴，∴BF＝OD＝2，
∴ ＝ ＝ ，
∴AF＝4，∴OF＝5，∴B（5，2），
∵ABCD是矩形，∴E ，
∵反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E，
∴k＝ ×2＝5.
4. (2023岳阳)如图，点M在 ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下
三个选项中①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的
选项作为已知条件，使平行四边形ABCD为矩形.
(1)你添加的条件是 (填序号)；
解：（1）①当∠1＝∠2时，平行四边形ABCD为矩形；
②当AM＝DM时，平行四边形ABCD为矩形，
故答案为：①（或②）；
①（或②）
(2)添加条件后，请证明平行四边形ABCD为矩形.
解：（2）选择①∠1＝∠2，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠A＋∠D＝180°，
在△ABM和△DCM中，
∴△ABM≌△DCM（SAS），∴∠A＝∠D，
∴∠A＝∠D＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形.
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第五章　四边形
课标要求
①了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线；探索
并掌握多边形内角和与外角和公式.
②了解正多边形的概念.
命题点6　多边形的性质与计算(必考)
要点归纳
1. 多边形的性质
(1)n边形的内角和等于 (n≥3).
(2)多边形的外角和为 ，这是多边形计算中的一个突破口.
(3)从n(n＞3)边形一个顶点可引出 条对角线，n(n＞3)边
形共有 条对角线.
（n－2）·180°
360°
（n－3）

2. 正多边形的性质
(1)各边 ，各内角 .
(2)每个内角等于 　 　，每个外角等于 　 　.
(3)对于正n边形，当n为 时，是轴对称图形；当n为
时，既是轴对称图形又是中心对称图形.
(4)正n边形有 条对称轴.
(5)正多边形有一个外接圆和一个内切圆，为同心圆.
相等
相等


奇数
偶数
n
3. 多边形去掉一个角后，边数“或多或少或不变”
命题点6　多边形的性质与计算(必考)
随堂检测
1. (2023湘西州)一个七边形的内角和是(　B　)
A. 1 080° B. 900°
C. 720° D. 540°
B
2. (2023兰州)如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一
个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗
的示意图，它的一个外角∠1＝(　A　)
A. 45° B. 60°
C. 110° D. 135°
A
3. (2024资阳)已知一个多边形的每个外角都等于60°，则该多边形的边
数是(　C　)
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
C
4. (2025吉林长春中考)图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边
形，图②是其表面展开图，则∠α为 度.
解析：∵正五边形的每一个内角为：180°－ ＝108°，
∴∠α＝360°－3×108°＝36°.
36
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第五章　四边形
课标要求
理解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系.
命题点5　四边形之间的关系
要点归纳
1. 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如下
2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比
四边形 边 角 对角线 对称性
平行四边形 对边平行且
相等 对角相等 对角线互相平分 中心对称图
形
矩形 对边平行且
相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 轴对称图
形、中心对
称图形
菱形 对边平行，四条边都相等 对角相等 对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角 轴对称图
形、中心对
称图形
正方形 对边平行，四条边都相等 四个角都是直角 对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 轴对称图形、中心对
称图形
3. 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫作中点四边形(图
示如下)
小结：(1)判断一个四边形的中点四边形的形状的关键是判断原四边形对
角线的位置和数量关系；
(2)无论原四边形的形状如何改变，中点四边形的形状始终是平行四
边形；
(3)中点四边形的周长是原四边形两条对角线的长度之和；
(4)中点四边形的面积是原四边形面积的一半.
4. 拓展知识
示意图
说明 ①点E，F分别为边AB，
AC的中点 ②点G，H分别为线段
CD，BD的中点 ①点E，G分别为边AD，BC
的中点
②点F，H分别为线段BD，
AC的中点
结论 ①四边形EFGH一定为
； ②若AD＝BC，则四边形
EFGH为 ； ③若AD⊥BC，则四边形
EFGH为 ； ④若AD＝BC且
AD⊥BC，则四边形EFGH
为 ①四边形EFGH一定为
；
②若AC＝BD，则四边形
EFGH为 ；
③若AC⊥BD，则四边形
EFGH为 ；
④若AC＝BD且AC⊥BD，则
四边形EFGH为
平行
四边形
菱形
矩形
正方形
平行
四边形
菱形
矩形
正方形
命题点5　四边形之间的关系
随堂检测
1. 顺次连接菱形四边的中点得到的四边形是(　C　)
A. 平行四边形 B. 菱形
C. 矩形 D. 正方形
C
2. (2025四川德阳中考)如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD边
AB，BC，CD，DA的中点，如果BD＝AC，四边形EFGH的面积为
24，且HF＝6，则GH＝(　B　)
A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
B
解析：如图：连接EG，HF交于点O，
因为E，F，G，H分别是四边形ABCD边的中点，
∴EH∥BD，EH＝ BD；FG∥BD，FG＝ BD；
EF∥AC，EF＝ AC；GH∥AC，GH＝ AC.
∵BD＝AC，∴EH＝FG＝EF＝GH，
∴四边形EFGH是菱形.
∴EG⊥HF，OH＝ HF＝3，OG＝ EG，
∴∠HOG＝90°，
∵四边形EFGH面积为24，HF＝6，
∴24＝ ×6×EG，
解得EG＝8.
∴OG＝ EG＝4，
在Rt△HOG中，
GH＝ ＝ ＝5.
3. 已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论
错误的是(　B　)
A. OA＝OC，OB＝OD
B. 当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C. 当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D. 当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
B
4. (2025贵州遵义三模)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E，
F是对角线AC上的两个动点，两点分别从点A，C同时出发，相向而
行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t s，其中0≤t≤5.
(1)若G，H分别是AD，BC的中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边
形？请说明理由；
理由：由题意，得AE＝CF＝t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵G，H分别是AD，BC的中点，
∴AG＝ AD，CH＝ BC，
∴AG＝CH，
∴△AEG≌△CFH（SAS），
∴EG＝FH，∠AEG＝∠CFH，
∴∠FEG＝∠EFH，∴EG∥HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
解：（1）四边形EGFH一定是平行四边形；
(2)在(1)的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；
解：（2）如图①，连接GH，
由（1）得AG＝BH，AG∥BH，∠B＝90°，
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH＝AB＝6，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝ ＝10，
当四边形EGFH是矩形时，EF＝GH＝6，
∵AE＝CF＝t，∴EF＝10－2t＝6，
解得：t＝2；
(3)在(1)的条件下，若E，F两点运动的同时，点G向点D运动，点H向
点B运动，且与点E，F的速度相同，点G运动到点D时，E，F，
G，H四点都停止运动.当四边形EGFH是菱形时，求t的值.
解：（3）如图②，连接AH，CG，GH，AC与GH相交于点O，
∵四边形EGFH为菱形，
∴EF垂直平分GH，OE＝OF，OG＝OH，
∴AG＝AH，
又E，F是对角线AC上的两个动点，两点分别从点A，
C同时出发，相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t s，
∴AE＝CF，
∴AE＋OE＝OF＋CF，∴OA＝OC，
∴平行四边形AGCH为菱形，∴AG＝CG，
设AG＝CG＝x，则DG＝8－x，
由勾股定理，得CD2＋DG2＝CG2，
即62＋（8－x）2＝x2，
解得x＝ ，
∴AG＝4＋t＝ ，
解得：t＝ ，
∴当t＝ 时，四边形EGFH为菱形.
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第五章　四边形
课标要求
①理解正方形的概念.
②探索并证明正方形的性质定理，以及它的判定定理；正方形具有矩形
和菱形的一切性质.
命题点4　正方形的性质与判定(必考)
要点归纳
1. 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的 叫作正
方形.
平行四边形
(1)四条边相等；
(2)四个角都是 ；
(3)对角线相等且 ，每一条对角线平分一组对角；
(4)既是中心对称图形又是轴对称图形，有 条对称轴，两条对
称轴是两条对角线所在的直线，另两条对称轴是过对角线交点与边
平行的直线；
(5)正方形的面积等于边长的平方或两条对角线之积的一半.
直角（90°）
互相垂直平分
4
2. 正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质.
3. 正方形的判定
(1)判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
先证它是矩形，再证有一组邻边相等；
先证它是菱形，再证有一个角是直角.
(2)判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，
再证明它是菱形(或矩形)，最后证明它是正方形.
4. 利用平行四边形的性质进行相关证明与计算时还应掌握以下知识
(1)对角线平分角得到45°角及等腰直角三角形；
(2)边长与对角线的比为1∶ .
5. 与正方形有关的常见模型
(1)正方形中的十字垂直：
基本 图形
重要 结论 △ABE≌△BCF， AE＝BF HF＝GE △ABG≌△DAF， FG＝DF－BG 四边形
MNOP是
正方形　　　　
(2)赵爽弦图及其变形：
基本 图形
重要 结论 △ABF≌△BCG≌△CDH≌△DAE；四边形EFGH是正方形；AE＝BF＝CG＝DH △AEH≌△BFE≌△CGF≌
△DHG；四边形EFGH是
正方形 四边形MNOP，四边形ABCD都是正方形，EP＝FM＝
GN＝HO 点P在CD的延长线上；CH
＝DE，
BH＝PD
(3)旋转型：
基本 图形
重要 结论 将AE绕点E顺时针旋转90°得到
EF，则CF平分∠DCH 正方形ABCD绕点A逆时针 旋转，△ADH≌△AEH， HF＝HC 正方形OGHM绕点O旋转，
△OCE≌△ODF，DF＝CE， OF＝OE， S四边形OECF＝S△OCD 等腰Rt△AEF绕点A旋转，
△ABE≌△ADF，
BE＝DF，
BE⊥DF
命题点4　正方形的性质与判定(必考)
随堂检测
1. (2023自贡)如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重
合，点C的坐标是(　C　)
A. (3，－3) B. (－3，3)
C. (3，3) D. (－3，－3)
C
2. 下列说法错误的是(　D　)
A. 连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是矩形
B. 连接对角线互相平分的四边形各边中点所得的四边形是平行四边形
C. 连接对角线相等的梯形各边中点所得的四边形是菱形
D. 连接对角线互相垂直平分的四边形各边中点所得的四边形是正方形
D
3. (2023黑龙江)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
试添加一个条件 ，使得矩形ABCD为正
方形.
AB＝AD（答案不唯一）.
解析：添加AB＝AD. 理由：
∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形.
或∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：AB＝AD（答案不唯一）.
4. (2025北京中考)如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，
CF⊥BE，垂足为F. 若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积
为 .

解析：过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足为
M，N，连接AM，则∠FMC＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠FMC，
∴AB∥FM，
∴FN＝BM，
∵S△ABF＝ AB·FN，S△ABM＝ AB·BM，
∴S△ABF＝S△ABM，
∵CF⊥BE，垂足为F，AB＝1＝BC，∠EBC＝30°，
∴∠BFC＝90°，∠BCF＝60°，CF＝ BC＝ ，
∴∠CFM＝90°－∠BCF＝30°，
∴CM＝ CF＝ ，
∴BM＝BC－CM＝ ，
∴S△ABF＝S△ABM＝ ×1× ＝ .
5. (2025河北唐山二模)如图，在正方形ABCD中，AB＝1，P是边BC上
的一个动点，由点B开始运动，运动到C停止.连接AP，以AP为直角
边向右侧作等腰直角三角形，另一个顶点为Q. 则点P从B运动到C的
过程中，点Q的运动路径长为 .

解析：如图，延长AD到M，使得DM＝AD，
连接CM，则点Q运动轨迹是线段CM，
∵在正方形中ABCD中，AB＝1，
∴∠B＝∠D＝90°，AD＝BC＝AB＝CD＝1，
过点Q作QN⊥BC于点N，
∵PA＝PQ，∠APQ＝90°，
∴∠APB＋∠QPN＝90°，∠QPN＋PQN＝90°，
∴∠APB＝∠PQN，
在△ABP和△PNQ中，
∴△ABP≌△PNQ（AAS），
∴AB＝PN＝BC＝1，PB＝NQ，
∴CN＝1－PC＝PB＝QN，
∴∠QCN＝45°，
∴点Q在线段CM上，
且点Q的运动轨迹是线段CM，∠CDM＝90°，DM＝AD＝1，
∵CM＝ ＝ .
感谢观看(共21张PPT)
第五章　四边形
课标要求
①理解平行四边形的概念，了解四边形的不稳定性.
②探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相
等、对角线互相平分.探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平
行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四
边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形.
命题点1　平行四边形的性质与判定（必考）
要点归纳
1. 定义：两组对边分别 的四边形叫作平行四边形.平行四边形
是特殊的四边形，如图，四边形ABCD是平行四边形，记作
“ ABCD”，线段AC，BD为 ABCD的两条对角线，交点O为
ABCD的中心.
平行
2. 平行四边形的性质(以上图为例)
(1)对边分别平行且 ，AB∥CD，AB＝CD. 　
(2)对角分别 ，邻角 ，∠ABC＝∠ADC，∠ABC＋
∠BCD＝180°.　
(3)对角线互相 ；每条对角线将平行四边形分成两个全等的三角
形；两条对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形，S△ABO＝
S△BCO＝S△DCO＝S△AOD.
(4)平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，任意一
条经过对称中心的直线均平分平行四边形的面积.
(5)平行四边形的面积等于边长×该边上的高，S ABCD＝AB·DE.
相等
相等
互补
平分
3. 平行四边形的判定
边：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(2)两组对边分别 的四边形是平行四边形；
相等
(3)一组对边 的四边形是平行四边形.
角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线：两条对角线互相 的四边形是平行四边形.
平行且相等
平分
注意：解决与平行四边形的判定相关的问题的方法.
平行四边形的判定问题往往以判定线段相等、角相等、直线平行或
线段互相平分等形式出现.证明一个四边形是平行四边形，往往有多
种证明思路，因此必须仔细分析，通过比较，选择最简捷的证明思
路，方法如下：
(1)已知一组对边相等
(2)已知一组对边平行
(3)图中有对角线——证对角线互相平分
4. 利用平行四边形的性质进行相关证明与计算时还应掌握以下知识
(1)对边平行可得相等的角，进而可证得相似三角形；
(2)对边相等、对角线互相平分可得相等的线段；
(3)有平行和角平分线时可证得等腰三角形；
(4)存在边的中点时，与对角线的交点连接可得三角形的中位线.
5. 平行四边形中六种辅助线作法
(1)连接对角线或平移对角线，构造相等线段或平行；
(2)截取等长线段，构造等腰三角形；
(3)过顶点作对边的垂线，构造直角三角形；
(4)连接对角线交点与一边中点或过对角线交点作一边的平行线，构造中
位线；
(5)连线、延长或作平行线构造相似三角形；
(6)过顶点作对角线的垂线，构造平行或全等三角形.
6. 平行四边形中的四个面积关系
图形
面积关系 S1＋S2＝S3 S1＋S3＝S2＋S4 S1＝S2 S1·S3＝S2·S4
命题点1　平行四边形的性质与判定（必考）
随堂检测
1. (2022河北)依据所标数据，下列一定为平行四边形的是(　D　)
A B
D
C D
2. (2023益阳)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论
一定成立的是(　C　)
A. OA＝OB B. OA⊥OB
C. OA＝OC D. ∠OBA＝∠OBC
C
3. 如图是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形
的顶点叫格点，点A，B(均在格点上)的位置如图所示，若以A，B为顶
点画面积为2的格点平行四边形，则符合条件的平行四边形的个数有
(　D　)
A. 6 B. 7
C. 9 D. 11
D
4. (2025河北唐山二模)如图，将平行四边形ABCD(AD＞AB)折叠，使
点B落在边AD上的点E处，折痕为PQ，折点P在边AB上.若AB＝4，
∠B＝60°，当EQ取得最小值时，AP的长为(　A　)
A. 2 －2 B.
C. 2 D. 2 －1
A
5. 如图，在平面直角坐标系中，将 ABCD放置在第一象限，且
AB∥x轴.直线y＝－x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直
线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图
象如图2所示，则ABCD的面积为(　B　)
A. 5 B. 5 C. 5 D. 10
B
解析：由题图象可知，直线经过A时移动距离为3，经
过D时移动距离为7，经过B时移动距离为8，
∴AB＝8－3＝5，
如图，当直线经过点D时，交AB于点E，作DF垂直
于AB于点F，
由图2可知DE＝ ，
∵AB∥x轴，直线y＝－x，
∴直线与AB夹角为45°，DF2＋EF2＝DE2，
∴DF＝EF＝ ，
∴ABCD面积为AB·DF＝5 .
6. (2024济宁)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA
＝OC，请补充一个条件 ，使四边形ABCD是平行四边形.
OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD
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