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第六章　圆
课标要求
①了解三角形的内心与外心；
②能用尺规作图：作三角形的外接圆、内切圆.
命题点5　三角形的内心与外心(必考)
要点归纳
1. 三角形的内切圆和内心的概念
(1)三角形的内切圆：在三角形的内部且与三角形三边都 的圆.
(2)三角形的内心：三角形内切圆的圆心，实质是三角形
的交点.
(3)一个三角形有且只有一个内切圆.
相切
三条角平分
线
2. 三角形内心的性质
(1)角平分线：内心与顶点的连线必然 三角形的内角.如图1，O
为△ABC的内心，连接AO，BO，CO，必有AO平分∠CAB，BO平分
∠ABC，CO平分∠ACB.
(2)等距：内心到三角形三边的距离必定 .如图2，O为△ABC的
内心，过点O分别作三边的垂线段，必有OD＝OE＝OF.
平分
相等
(3)位置：三角形的内心一定在三角形的内部.
3. 尺规作图画三角形的内切圆
(1)作图关键：定圆心，定半径.
(2)作图步骤：根据三角形内心的定义，作三角形两个内角的平分线，两
条角平分线的交点即为三角形内切圆的圆心，以圆心到三角形一边的距
离为半径画圆，得到三角形的内切圆，如图.
4. 三角形的外接圆和外心的概念
(1)三角形的外接圆：经过三角形的三个 可以作一个圆，这个圆
叫作三角形的外接圆；
(2)三角形的外心：三角形外接圆的圆心，实质是三角形
的交点.
顶点
三条边垂直平
分线
5. 三角形外心的性质
(1)垂直平分线：外心到三角形三边的垂线必然 三条边.如图
1，P为△ABC的外心，若PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，必有AD
＝BD，BE＝CE，AF＝CF.
平分
(2)等距：外心到三角形 的距离必定相等.如图2，P为
△ABC的外心，连接PA，PB，PC，必有PA＝PB＝PC.
三个顶点
6. 与三角形外心有关的角度问题
(1)锐角三角形 外心在三角形内部 三个角都小于90°，如图1；
(2)直角三角形 外心在三角形斜边中点 有一个90°角，如图2；
(3)钝角三角形 外心在三角形外部 有一个角大于90°，如图3.
7. 关于外心和内心的记忆技巧
一部分同学经常混淆内心和外心的性质.其实不必死记硬背，根据图形
记忆是最快捷的.外心(图形：三角形外有一个圆)：就是外接圆的圆心，
到三角形每个顶点的距离相等，是三条边垂直平分线的交点；内心(图
形：三角形内部有一个圆)：就是内切圆的圆心，到每个边的距离相
等，是三条角平分线的交点.
8. 中考考点
考查1：对三角形内心和外心概念的考查，出题形式多为选择题，难度
较低.
考查2：与三角形内切圆有关的计算，利用内心的性质求角度或线段
长，或利用切线的性质构建直角三角形.
9. 常用辅助线
(1)连接内心和切点；
(2)连接外心和三角形的顶点.
命题点5　三角形的内心与外心(必考)
随堂检测
1. 在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点上，则
点O是(　A　)
A. △ACD的外心 B. △ACD的内心
C. △ABC的外心 D. △ABC的内心
解析：由勾股定理可知：
OA＝OD＝OC＝ ＝ ，
所以点O是△ACD的外心.
A
2. 如图，在方格纸中，点A，B，C，D，O均为格点，则点O是
(　D　)
A. △ABC的内心 B. △ABC的外心
C. △ABD的内心 D. △ABD的外心
D
3. 如图，点I是△ABC的内心，若∠AIB＝130°，则∠C等于(　D　)
A. 65° B. 70° C. 75° D. 80°
D
4. (2023湖北)如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格
点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外
接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为(　D　)
A. π－ B. π－
C. π－ D. π－
D
5. 如图，在△ABC中，I为内心，P为△BIC的外接圆☉O上一点，
AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F. 设∠EAB＝x，∠FAC＝y，若
∠BAC＝54°，则(　B　)
A. x＋y＝54° B. x＋y＝63°
C. x＋2y＝54° D. x＋2y＝63°
B
解析：∵在△ABC中，I为内心，∠BAC＝54°，
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC＝126°，
∴∠IBC＝ ∠ABC，∠ICB＝ ∠ACB，
∴∠IBC＋∠ICB＝ （∠ABC＋∠ACB）＝63°，
∴∠BIC＝180°－∠IBC－∠ICB＝117°，
∵P为△BIC的外接圆☉O上一点，
∴∠P＋∠BIC＝180°，
∵AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴∠P＋∠EAF＝360°－∠AEP－∠AFP＝180°，
∴∠EAF＝∠BIC＝117°，
∴∠EAB＋∠FAC＋∠BAC＝x＋y＋54°＝117°，
∴x＋y＝63°.
6. (2024石家庄桥西区模拟)如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为
△ABC的内心，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为(　B　)
A. 20 B. 15 C. 18 D. 12
B
7. (2025北京丰台一模)如图，△ABC是等边三角形且边长为1，点D，
E，F分别在边CA，AB，BC的延长线上，AD＝BE＝CF＝1，连接
DE，EF，FD，EC. 给出下面四个结论：
①△DEF是等边三角形；
②DC⊥EC；
③△ECF的面积为 ；
④△DEF的外心与△ABC的外心重合.
上述结论中，所有正确结论的序号是(　B　)
A. ①②③ B. ①②④
C. ②③④ D. ①②③④
B
解析：∵△ABC是等边三角形且边长为1，
∴AB＝BC＝CA＝1，∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°，
∵AD＝BE＝CF＝1，
∴AE＝BF＝CD＝2，
∠DAE＝∠EBF＝∠FCD＝180°－60°＝120°，
∴△DAE≌△EBF≌△FCD（SAS），
∴DE＝EF＝FD，
∴△DEF是等边三角形，故①正确；
∵BE＝BC＝1，∠ABC＝60°，
∴∠BEC＝∠BCE＝ ∠ABC＝30°，
∴∠DCE＝60°＋30°＝90°，即DC⊥EC，故②正确；
∵∠ACE＝90°，AC＝1，AE＝2，
∴CE＝ ＝ ，
∴S△ACE＝ CE×AC＝ ，
∵AB＝EB＝1，
∴S△BCE＝ S△ACE＝ ，
∵BC＝CF＝1，
∴S△FCE＝S△BCE＝ ，故③错误；
设△ABC的外心为O，
∵△ABC是等边三角形，
∴点O也是△ABC的内心，作OG⊥AC于点G，
OH⊥BC于点H，
∴OG＝OH，AG＝CH＝ ，
∴DG＝FH＝ ，
∴△DGO≌△FHO（SAS），
∴OD＝OF，同理OD＝OE，则OD＝OE＝OF，
∴△DEF的外心与△ABC的外心重合，故④正确.
综上所述，正确的有①②④.
8. 如图，△ABC的内心为O，连接AO并延长交△ABC的外接圆于点
D，连接BD. 求线段DO和DB所满足的数量关系，并说明理由.
解：结论：DO＝DB. 理由如下：
如图，连接OB，∵△ABC的内心为O，
∴∠1＝∠2，∠5＝∠6，
∵∠1和∠3所对的弧都是 ，
∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，
又∵∠4是△ABO的一个外角，
∴∠4＝∠2＋∠6＝∠3＋∠5，
即∠4＝∠OBD，∴DO＝DB.
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第六章　圆
课标要求
①理解圆、弧、弦、圆心角的概念.
②了解等圆、等弧的概念；探索并掌握点与圆的位置关系.
③探索圆的轴对称性质和中心对称性质.
命题点1　圆的基本概念与性质(必考)
要点归纳
1. 圆的定义
平面上到定点的距离等于 的所有点组成的图形叫作圆.其中，
定点是 ，定长是 .以点O为圆心的圆记作 ，
读作“圆O”.
失分警示：
(1)圆是指“圆周”，即一条封闭的曲线，而不是“圆面”；
(2)确定圆需要2个要素：圆心(确定位置)和半径(确定大小)，二者缺
一不可.
定长
圆心
半径
☉O
2. 圆的相关概念
(1)弦：连接圆上任意两点的 叫作弦.如图1中，线段AB是弦.
(2)直径：经过圆心的 叫作直径，如图1中，线段CD为☉O的
直径.
(3)弧：圆上任意两点之间的部分叫作圆弧，简称弧，用符号“⌒”表
示.圆的任意一条直径都对着 条相等的弧，叫作半圆.大于半圆的
弧叫作优弧，用三个字母表示，如图1中，以A，D为端点的优弧ACD
记作 ；小于半圆的弧叫作劣弧，如图1中，以A，D为端点的劣弧
AD记作 .
线段
弦
两
(4)等圆：能够 的两个圆叫作等圆，如图2中☉O1和☉O2是等
圆；圆心相同，半径不相等的圆叫作同心圆，如图3中的两圆.
(5)等弧：在同圆或等圆中，能够互相 的弧叫作等弧.
重合
重合
失分警示：
①直径是弦，且是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
②弦是线段，弧是曲线.任意一条弦都对着两条弧，任意一条弧只对着
一条弦.
③半圆是弧，弧不一定是半圆；半圆既不是优弧，也不是劣弧.
④劣弧不一定比优弧短，只有在同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短.
⑤等弧的长度相等，但长度相等的弧不一定是等弧，须满足两弧所在圆
的半径相等.
3. 圆的对称性
(1)圆是轴对称图形.
任意一条过圆心的 都是圆的对称轴，圆有 条对称轴.
(2)圆是中心对称图形.
一个圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与原来的图形重合，
是旋转中心.圆的这种性质称为圆的旋转不变性.
失分警示：
直径不是圆的对称轴，圆的对称轴是直线，应该说直径所在的直线是圆
的对称轴.
直线
无数
圆心
4. 圆心角、弧、弦的关系
(1)圆心角：顶点在 ，两边与圆有交点的角，叫作圆心角.如
图，∠AOB，∠AOC，∠BOC都是☉O的圆心角.
圆心
(2)圆心角、弧、弦的关系：
①定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的
弦 .(可应用圆的旋转不变性进行推导)
几何语言：如图，在☉O中，
∵∠AOB＝∠COD，
∴ ＝ ，AB＝CD.
相等
相等
②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组
量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
如图，在☉O中，∠AOB＝∠COD， ＝ ，AB＝CD，三个等式
中有一个等式成立，其他两个等式也成立.简记为：知一推二.
失分警示：
必须是“在同圆或等圆中”，否则不成立.如图，∠AOB＝∠COD，但
≠ ，AB≠CD，
5. 中考考点
考查1：圆的定义及点与圆的位置关系，通常与三角形、四边形等知识
结合进行综合考查，出题形式多为填空题或选择题，难度较低.
考查2：利用圆心角、弧、弦的关系去求角的度数或者证明两个三角形
全等，出题形式多为填空题或选择题，难度较低.
命题点1　圆的基本概念与性质(必考)
随堂检测
1. 如图，已知四条弧线 ， ， ， ，点P在其中一条弧线所
在的圆上，则点P在(　A　)
A. 所在的圆上 B. 所在的圆上
C. 所在的圆上 D. 所在的圆上
A
解析：如图
2. 下列说法：
①直径是弦；
②半圆是弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
④长度相等的两条弧是等弧；
⑤在同圆中任意两条直径都互相平分.
其中正确的个数为(　D　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
D
解析：①直径是弦，正确，符合题意；
②半圆是弧，正确，符合题意；
③半径相等的两个圆是等圆，正确，符合题意；
④长度相等的两条弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意；
⑤在同圆中任意两条直径都互相平分，正确，符合题意，
正确的有4个，故选D.
3. 如图，AB，CD是☉O的两条直径，E是劣弧 的中点，连接
BC，DE. 若∠ABC＝22°，则∠COE的度数为(　C　)
A. 44° B. 64°
C. 68° D. 88°
C
解析：∵OC＝OB，∠ABC＝22°，
∴∠OCB＝∠ABC＝22°，
∴∠BOC＝180°－22°×2＝136°.
∵E是劣弧 的中点，∴ ＝ ，
∴∠COE＝ ×136°＝68°.故选C.
4. (2023张家口模拟)如图，AB是☉O的直径，BC，CD，DA是☉O的
弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于(　C　)
A. 100° B. 110°
C. 120° D. 135°
C
5. (2024河北沧州)小明手中有几组大小不等的三角板，分别是含45度，
30度的直角三角板.从中选择两个各拼成如图所示的图形，则关于两图
中四个顶点A，B，C，D的说法，正确的是(　C　)
A. 甲图四点共圆，乙图四点共圆
B. 甲图四点共圆，乙图四点不共圆
C. 甲图四点不共圆，乙图四点共圆
D. 甲图四点不共圆，乙图四点不共圆
C
解析：如甲图中，取AC中点M，连接DM，BM，
∵∠ADC＝90°，∴DM＝AM＝CM，
∴点D，A，C是以点M为圆心，AM为半径的圆上，
∴△BCM为直角三角形，
∴BM＞CM，∴点B在圆M外，
∴甲图四点不共圆；
如乙图中，取AC中点N，连接DN，BN，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴DN＝AN＝CN＝BN，
∴点D，A，C，B是以点N为圆心，
AN为半径的圆上，
∴乙图四点共圆，
综上，甲图四点不共圆，乙图四点共圆.
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第六章　圆
课标要求
①了解正多边形与圆的关系；
②能用尺规作图：作圆的内接正方形和内接正六边形；
③会计算圆的弧长、扇形的面积.
命题点6　正多边形及圆的相关计算(必考)
要点归纳
1. 圆内接正多边形的相关概念
(1)正多边形的定义：
各边 ，各角也 的多边形叫作正多边形.
(2)圆内接正多边形的定义：
顶点都在 的正多边形叫作圆内接正多边形.这个圆叫作该
正多边形的 .
相等
相等
同一圆上
外接圆
(3)正多边形的几个相关概念：
①正多边形的中心：正多边形外接圆的 叫作
正多边形的中心.如图1中的点O.
②正多边形的半径：正多边形外接圆的 叫作
正多边形的半径.如图1中的点OA，OB，OE.
③正多边形的中心角：正多边形每一边所对的 叫作正多边形
的中心角.如图1中的∠AOB.
④正多边形的边心距：正多边形的 到正多边形的一边的距
离叫作正多边形的边心距.如图1中的OM.
圆心
半径
圆心角
④中心
(4)正多边形的相关计算(n表示正多边形的边数，n≥3)：
①正n边形的每个内角为 ；
②正n边形的每个外角为 ；
③正n边形的每个中心角为 ；
④设正n边形的半径为R，边心距为r，边长为a，则：
正n边形的周长l＝na，面积S＝ ＝ .



(5)画正n边形的方法和步骤：
方法一：用量角器等分圆，再作正多边形.
把一个圆n等分(n≥3)，依次连接各分点，就可以作出一个圆内接正多
边形.步骤如下：
①在圆中，以任意一条半径为边，以圆心为顶点，用量角器画一个度数
为 的圆心角，该角所对的弧就是圆的 ；②在圆上依次取与这条
弧相等的弧，得到圆的n等分点；③顺次连接各等分点，即得此圆的内
接正n边形.
方法二：用尺规等分圆，再作正多边形.
此方法只适用于作圆的正三角形、正六边形、正十二边形、正四边形、
正八边形、正十六边形等情况.以作圆的等边三角形、正六边形、正十
二边形为例，如图2所示，步骤如下：
①先作☉O的任意一条直径AB；
②分别以A，B为圆心，以☉O的半径R为半径画弧，
与☉O分别相交于点C，D，E，F；
③顺次连接AC，CE，EB，BF，FD，DA，得到圆
的内接正六边形ACEBFD；
④依次平分正六边形各边所对的弧，得到正十二边形；
⑤连接BD，BC，CD得到正三角形.
2. 圆周长及弧长的计算公式
设圆的半径为R.
(1)圆的周长C＝ ；
(2)将周长均分成360份，再乘n，就是n°的圆心角所对的弧长：l＝
，即 　 πR　.
2πR
πR
3. 圆面积及扇形的面积计算公式
设圆的半径为R，
(1)圆面积S＝ ；
(2)将面积均分成360份，再乘n，就是n°的圆心角所对的扇形面积：
S扇形＝ ；
(3)扇形面积公式与弧长公式的关系：
S扇形＝ .
πR2
πR2
lR
4. 圆锥的有关计算公式
圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，
设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇
形的弧长为2πr，圆锥的侧面积为S圆锥侧＝S扇形＝ ×2πr·l＝ .
圆锥的侧面积与底面积的和称为圆锥的全面积，即S全面积＝πr(r＋l).
πrl
5. 中考考点
考查1：圆内接正多边形的有关计算，主要考查圆内接正多边形面积、
边长和半径的求法等，出题形式多为选择题或填空题，难度多为中档题
或基础题.
考查2：已知扇形的圆心角、半径，求弧长或扇形面积，出题形式多为
选择题或填空题，难度多为中档题或基础题.
考查3：求图形阴影部分的面积，主要考查将不规则图形的面积转化
为规则图形的面积的和或差，再利用规则图形的面积公式求解，多
以选择题和填空题出现，有时也会与圆的其他知识综合考查，以解
答题形式出现.
6. 常用辅助线
(1)画出正n(n≥3)边形的外接圆半径、边心距、边长的一半，构成一个
直角三角形，将有关正n边形的计算问题转化为解直角三角形的问题；
(2)找出弧所对的圆心位置、半径及圆心角.
命题点6　正多边形及圆的相关计算(必考)
随堂检测
1. 如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，半径为6，则这个正六边形的
边心距OM为(　B　)
A. 4 B. 3
C. 2 D.
B
解析：连接OB，OC，图略，则∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB＝6，
∵OM⊥BC，∴BM＝CM＝ BC＝3，
∴OM＝ ＝3 ，故选B.
2. 如图，用一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点A旋转
了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有摩擦，则重物上升了
(　B　)
A. 5π cm B. 3π cm
C. 2π cm D. π cm
解析： ＝3π，所以重物上升了3π cm.故选B.
B
3. (2022贺州)如图，在等腰直角△OAB中，点E在OA上，以点O为圆
心、OE的长为半径作圆弧交OB于点F，连接EF，已知阴影部分面积
为π－2，则EF的长度为(　C　)
A. B. 2
C. 2 D. 3
C
解析：设OE＝OF＝r，则 － r2＝π－2，
∴r＝±2（舍去负值）.
在Rt△OEF中，EF＝ ＝2 .故选C.
4. (2024四川雅安中考)如图，☉O的周长为8π，正六边形ABCDEF内接
于☉O，则△OAB的面积为(　B　)
A. 4 B. 4 C. 6 D. 6
B
解析：设半径为r，由题意得，2πr＝8π，解得r＝4，
∵六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形，
∴∠AOB＝ ＝60°，
∵OA＝OB，∴△AOB是正三角形，∴∠OAB＝60°，
∴弦AB所对应的弦心距为OA· sin 60°＝ OA＝2 ，
∴S△AOB＝ ×4×2 ＝4 .
5. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板
的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB的长分别为半
径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝5 m，OB＝3 m，则阴影
部分的面积是(　D　)
A. π m2 B. π m2
C. 4π m2 D. π m2
D
解析：S阴影＝S扇形AOD－S扇形BOC
＝ －
＝
＝
＝ （m2），故选D.
6. 将刻度尺按如图所示的方式放置在正六边形ABCDEF上，顶点C，F
分别对应直尺上的刻度12和4，则AB与CF之间的距离为(　B　)
A. 8 B. 2 C. 4 D. 4
B
解析：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，过点O作OG⊥FC，
由题意可知，CF＝12－4＝8，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴△AOF是正三角形，OF＝OC＝OA＝AF＝4，
∴AG＝ AF＝2 ，
即AB与CF之间的距离为2 .故选B.
7. (2025河北邯郸)如图，在正六边形ABCDEF中，有两点P，Q同时、
同速从AB中点M出发，点P沿AB→BC→CD→DE→EF方向运动，
点Q沿射线AB方向运动，10 s后，两点与多边形中心的连线及多边形
(延长线)所围成图形如图所示(阴影部分)，两部分的面积分别为S1，
S2，若S1＋S2＝a，则S2＝ (用含a的代数式表示).
a
解析：如图，连接OB，OC，作OW⊥BC于W，OT⊥CD于T，
设OQ与BC交于点N.
在正六边形ABCDEF中，∵AM＝BM，
∴OM⊥AB，
∵OW⊥BC，OT⊥CD，∴OM＝OW＝OT，
∵点P，Q同时，同速从AB中点M出发，
∴MQ＝MB＋BC＋PC，
∴ ·MQ·OM＝ （BM＋BC＋PC）·OM，
∴S△OMQ＝S△OBM＋S△OBN＋S△ONC＋SOCP，
∴S四边形OMBN＋S△BQN＝S四边形OMBN＋S四边形ONCP，
∴S1＝S2.
∵S1＋S2＝a，∴S2＝ a.
8. (2025江苏南京)铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个
花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成
一个正六边形，中心为点O， 所在圆的圆心C恰好是△ABC的内
心，若AB＝2 ，则阴影部分面积为 　8π－6 .
8π－6
解析：如图所示：过点C作CE⊥AB，
∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形，
∴∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∵圆心C恰好是△ABO的内心，
∴∠CAO＝∠CAE＝∠CBE＝30°，
∴∠ACB＝120°，
∵AB＝2 ，∴AE＝BE＝ ，
∴AC＝ ＝2，∴CE＝AC· sin 30°＝1，
∴弓形AB的面积为： － AB·CE＝ π－ ，
∴阴影部分面积为： ×6＝8π－6 .
9. 如图，在平面直角坐标系中，A(1，3)，B(－2，0)，C(4，0)是☉M
上的三个点，D为 的中点.
(1)直接写出圆心M的坐标： ，这个圆的半径为 ；
解：（1）根据网格分别作BC、AB的中垂线PQ，EF，直线PQ，EF
相交于点M，
点M即是 所在圆的圆心，
∴点M（1，0），
由网格可知MA＝MB＝MC＝3，即半径为3，
故答案为：（1，0），3；
（1，0）
3
(2)求扇形BMD的面积.
解：（2）如图，∵D为 的中点，
∴∠CMD＝ ∠AMC＝45°，
∴∠BMD＝180°－45°＝135°，
∴S扇形BMD＝ ＝ π.
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第六章　圆
课标要求
①探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系.
②了解并证明圆周角定理及其推论：直径所对的圆周角是直角；圆内接
四边形的对角互补.
③体会分类、归纳等数学思想.
命题点3　圆周角定理及其推论(必考)
要点归纳
1. 圆周角的定义
顶点在 ，两边分别与圆还有一个 的角叫作圆周角.
如图1，∠ACB，∠ADB，∠AEB 都是圆周角.
圆上
交点
失分警示：
(1)圆周角具备两个特征：
①角的顶点在圆上；
②角的两边都与圆相交(除顶点外，还与圆有另外两个交点).
(2)圆周角可以是锐角，也可以是直角或钝角.
(3)一条弧所对的圆周角有无数个.
2. 圆周角定理
(1)定理内容：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的 .
一半
失分警示：
①不能漏掉“它所对弧上的”这一条件，而简单说成“圆周角的度数等
于圆心角度数的一半”，必须是同弧所对的圆周角是圆心角的一半.
②不能把“它所对弧上的”改成“它所对弦上的”，因为一条弦所对的
圆周角有两类，所以所对圆周角的度数有两个，而它所对的圆心角只有
一个.
(2)定理的证明：此定理的证明要分三类情况进行：①圆心O在
，如图2(1)；②圆心O在 ，如图2(2)；
③圆心O在 ，如图2(3).证明时由特殊的情况①入手，
先证明情况①，然后通过添加辅助线，把情况②③都转化为特殊的情况
①去证明，体现了由特殊到一般的证明思路和转化思想.
圆周角
的一条边上
圆周角的内部
圆周角的外部
图2
对于情况①给出证明如下：
∵∠AOB是△AOC的一个外角，
∴∠AOB＝∠C＋∠A.
∵OA＝OC，∴∠C＝∠A，
∴∠AOB＝2∠C，即∠C＝ ∠AOB.
3. 圆周角定理的推论
(1)推论1：同弧或等弧所对的圆周角 .如图1，∠ACB＝∠ADB
＝∠AEB.
失分警示：“同弧或等弧”也就意味着在同圆或等圆中.
相等
(2)推论2：直径所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦
是 .如图3，线段BC是☉O的直径，则∠BAC＝90°；反之，
当 ∠BAC＝90°时，线段BC是☉O的直径(过圆心O).
直角
直径
应用技巧：如果题目中有直径，往往作出直径所对的圆周角(直角).此推
论也是证明弦是直径的常用方法.
(3)推论3：圆内接四边形的对角 .如图4(1)所示，∠A＋∠C＝
180°，∠B＋∠D＝180°.
①圆内接四边形定义：四边形的四个顶点都在同一个圆上，这样的四边
形叫作圆内接四边形，这个圆叫作四边形的外接圆.如图4(1)所示，四边
形ABCD叫作圆内接四边形，☉O叫作四边形ABCD的外接圆.
互补
图4
失分警示：有些特殊的四边形不能成为圆内接四边形，如平行四边形
(不包括矩形、正方形)、菱形(不包括正方形)，因为平行四边形和菱形
的对角不一定互补.
②拓展：圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角.如图4(2)，根据
圆内接四边形对角互补，可得∠D＋∠ABC＝180°，而∠EBC和
∠ABC互为邻补角，即∠EBC＋∠ABC＝180°，∴∠EBC＝∠D.
图4
4. 中考考点
考查1：利用圆周角定理求角的度数，题型多为选择题或填空题，难度
较低.
考查2：圆内接四边形的性质与圆周角定理的综合应用，题型多样，中
等难度.
5. 常用辅助线
(1)构造直径所对的圆周角；
(2)构造同弧所对的圆周角和圆心角；
(3)通过90°的圆周角作直径.
命题点3　圆周角定理及其推论(必考)
随堂检测
1. 如图，AB是☉O的直径，AD⊥AB于点A，OD交☉O于点C，
AE⊥OD于点E，交☉O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一
动点，若CD＝4，则PE＋PF的最小值是(　C　)
A. 4 B. 2
C
C. 6 D. 4
解析：如图，延长DO交☉O于点M，连接PM，PF，OF，
∵AE⊥OD于点E，交☉O于点F，F为弧BC的中点，
∴ ＝ ＝ ，
∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF，
∵∠AOC＋∠COF＋∠BOF＝180°，
∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，
∴∠BOM＝∠AOC＝60°＝∠BOF，
∴点F关于AB的对称点为点M，
∴PM＝PF，∴PE＋PF＝PE＋PM≥EM，
当E，P，M三点共线时，PE＋PF最小，最小值为
EM的长，
∵∠AOC＝60°，AD⊥AB，
∴∠D＝30°，∴OD＝2OA，
∵CD＝4，∴OD＝OC＋4＝2OA＝2OC，
即OC＝4，∴OC＝OA＝OB＝OM＝OF＝4，
∵AF⊥OC，∠AOC＝60°，∴∠OAE＝30°，
∴OE＝ OA＝2，
∴PE＋PF的最小值为EM＝OE＋OM＝2＋4＝6.
2. 如图，四边形ABCD内接于☉O，连接OB，OD，则下列结论一定
正确的是(　C　)
A. 2∠A＝∠C
B. ∠BOD＝∠C
C. ∠A＋∠C＝180°
D. ∠BOD＋∠C＝180°
C
解析：根据题图形发现：2∠A＝∠BOD≠∠C，故A，B项错误；
∵四边形ABCD内接于☉O，
∴∠A＋∠C＝180°，故C项正确；
∵2∠A＝∠BOD，∠A＋∠C＝180°，
∴∠BOD＋∠C＞180°≠180°，故D项错误.
3. 如图，AB是☉O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝(　D　)
A. 80° B. 100°
C. 120° D. 110°
D
4. (2024宜宾)如图，AB是☉O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的
度数等于(　A　)
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
A
5. (2023烟台)如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的
长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD
的度数为 .
52.5°
6. (2023随州)如图，在☉O中，OA⊥BC，∠AOB＝60°，则∠ADC
的度数为 .
30°
解析：如图，连接OC.
∵OA⊥BC，∴ ＝ ，
∴∠AOC＝∠AOB＝60°，
∴∠ADC＝ ∠AOC＝30°，故答案为30°.
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第六章　圆
课标要求
①了解直线与圆的位置关系；
②掌握切线的概念；
③了解直线与圆的位置关系，能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线.
命题点4　与圆有关的位置关系(必考)
要点归纳
1. 点和圆的位置关系
如图，圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么，点与圆的位置关系
有三种：
点A在圆外，即d r；
点B在圆上，即d r；
点C在圆内，即d r.
＞
＝
＜
2. 直线和圆的位置关系
设圆的半径是r，圆心到直线l的距离为d.
直线和圆的 位置关系 相交 相切 相离
定义 直线和圆有
公共点，叫作直线和圆相交 直线和圆有
公共点，叫作
直线和圆相切 直线和圆 公共点，叫作直
线和圆相离
图形
判定 d＜r d＝r d＞r
两个
唯一
没有
直线和圆的 位置关系 相交 相切 相离
公共点名 称及个数 2个交点 1个切点 无公共点
直线名称 割线 切线 —
　综上所述，可用两种方法来判定直线与圆的位置关系：
(1)根据直线和圆的公共点的个数来判断；
(2)根据圆心到直线的距离d与半径r的数量关系来判断.
3. 切线的性质定理及推论
(1)切线的性质定理：圆的切线 于经过切点的半径.
几何语言：如图，
∵OB是☉O的半径，直线CD与☉O相切于点B，
∴AB⊥CD.
垂直
(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线，必经过 .
(3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线，必经过 .
(4)定理及推论总结：对于以下三个条件：①垂直于切线；②过切点；
③过圆心.如果一条直线满足其中任意两个，那么一定满足第三个.
切点
圆心
4. 圆的切线的三种判定方法
方法一：
切线的判定定理：
过半径 且 于这条半径的直线是圆的切线.
几何语言：如图，
∵OA是☉O的半径，且l⊥OA于点A，
外端
垂直
∴l是☉O的切线.
此方法的应用前提：已知直线经过圆上一点.
此方法的应用思路：连接这点和圆心，得到半径，再证明所作半径和这
条直线垂直即可.
此方法可简记为知交点，连半径，证垂直.
方法二：
根据圆心到直线的距离d与半径r的数量关系来判断，当d＝r时，直线
与圆相切.
此方法的应用前提：不知直线与圆是否有公共点.
此方法的应用思路：过圆心作直线的垂线，再证明垂线段的长度等于半
径的长即可.
此方法可简记为无交点，作垂直，证半径.
方法三：
根据定义来判断：和圆有唯一公共点的直线是圆的切线.
失分警示：
切线的判定定理和性质定理容易混淆，应用时一定要分清两个定理的条
件和结论.
5. 中考考点
考查1：直线和圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的数量
关系来判断.出题形式多为选择题或填空题，难度较低.
考查2：切线的性质和判定的综合应用，可单独命题，也可以和三角形
相似、函数等知识综合在一起，多以解答题形式出现，中等难度.
6. 常用辅助线
(1)连接圆心和切点；
(2)过圆心作已知直线的垂线.
命题点4　与圆有关的位置关系(必考)
随堂检测
1. 如图，已知☉O的半径为3，点O到某条直线的距离为4，则这条直线
可以是(　B　)
A. l1 B. l2
C. l3 D. l4
B
2. (2022哈尔滨)如图，AD，BC是☉O的直径，点P在BC的延长线
上，PA与☉O相切于点A，连接BD，若∠P＝40°，则∠ADB的度数
为(　A　)
A. 65° B. 60°
C. 50° D. 25°
A
3. (2024山西)如图，已知△ABC，以AB为直径的☉O交BC于点D，与
AC相切于点A，连接OD. 若∠AOD＝80°，则∠C的度数为(　D　)
A. 30° B. 40°
C. 45° D. 50°
D
4.(2022自贡)P为☉O外一点，PT与☉O相切于点T，OP＝10，∠OPT
＝30°，则PT的长为(　A　)
A. 5 B. 5
C. 8 D. 9
A
解析：方法一：如图，∵PT与☉O相切于点T，
∴∠OTP＝90°.
又∵OP＝10，∠OPT＝30°，
∴OT＝ OP＝ ×10＝5，
∴PT＝ ＝ ＝5 .故选A.
方法二：在Rt△OPT中，∵ cos P＝ ，
∴PT＝OP· cos 30°＝10× ＝5 .故选A.
5. 如图，在☉O中，E是半径OA上一点，射线EF⊥OA，交圆于B，
P为EB上任一点，射线AP交圆于C，D为射线BF上一点，且DC＝
DP. 下列结论：①CD为☉O的切线；②PA＞PC；③∠CDP＝2∠A，
其中正确的结论有(　B　)
A. 3个 B. 2个
B
C. 1个 D. 0个
解析：连接OC，如图所示：
∵DC＝DP，
∴∠DPC＝∠DCP，
∵∠DPC＝∠APE，
∴∠APE＝∠DCP，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA；
∵EF⊥OA，
∴∠OAC＋∠APE＝90°，
∴∠OCA＋∠DCP＝90°，
∴CD为☉O的切线，①正确；
②由图可知PA＞PC不一定；
∵CD为☉O的切线，
∴∠DCP＝ ∠AOC.
∵∠DCP＝ ∠AOC＝ （180°－2∠A），
又∵∠DCP＝ （180°－∠CDP），
∴180°－2∠A＝180°－∠CDP，
∴∠CDP＝2∠A，③正确.
6. (2024河北保定一模)如图，已知☉O及☉O外一定点P，嘉嘉进行了
如下操作后，得出了四个结论：
①点A是PO的中点；
②直线PQ，PR都是☉O的切线；
③点P到点Q、点R的距离相等；
④连接PQ，QA，PR，RO，OQ，则S△PQA＝ S四边形PROQ.
对上述结论描述正确的是(　C　)
A. 只有①正确 B. 只有②正确
C. ①②③正确 D. ①②③④都正确
C
解析：由第一步作图痕迹可知直线MN是PO的垂
直平分线，因此点A是PO的中点，
故①正确；
∵PO是☉A的直径，
∴∠PQO＝∠PRO＝90°，
∴PQ⊥OQ，PR⊥OR，
∴直线PQ，PR都是☉O的切线，
故②正确；
直线PQ，PR都是☉O的切线，根据切线长定理，
可知PQ＝PR ，
故③正确；
∵PQ＝PR，OQ＝OR，PO＝PO，
∴△POQ≌△POR，
∴S△POQ＝S△POR，
∴S△POQ＝ S四边形PROQ.
∵点A是PO的中点，
∴S△PQA＝ S△POQ＝ S四边形PROQ，
故④错误.
7. (2025甘肃平凉中考)如图，四边形ABCO的顶点A，B，C在☉O
上，∠BAO＝∠BCO，直径BE与弦AC相交于点F，点D是EB延长线
上的一点，∠BCD＝ ∠AOB.
(1)求证：CD是☉O的切线；
（1）证明：如图1，连接AE，
∵∠BCD＝ ∠AOB，∠E＝ ∠AOB，
∴∠BCD＝∠E.
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠E，∴∠OAE＝∠BCD.
∵BE是☉O的直径，∴∠BAE＝90°，
即∠BAO＋∠OAE＝90°.
∵∠BAO＝∠BCO，∴∠BCO＋∠BCD＝90°，
即OC⊥DC.
∵OC为☉O的半径，∴CD是☉O的切线.
(2)若四边形ABCO是平行四边形，EF＝3，求CD的长.
（2）解：如图2，
∵四边形ABCO是平行四边形，∴OF＝ OB.
又∵OF＋OE＝EF＝3，OB＝OE，
∴ OB＋OB＝3，∴OB＝2.
∵OA＝OC，∴ ABCO是菱形，∴BC＝OC＝OB＝2.
∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC＝60°.
∴在Rt△ODC中，DC＝OC·tan∠DOC＝2×tan 60°＝2 .
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第六章　圆
课标要求
①探索并证明垂径定理；
②能用垂直于弦的直径的性质解决简单的计算问题.
命题点2　垂径定理及其推论(必考)
要点归纳
1. 垂径定理
(1)垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且 弦所
对的弧.
几何语言：
如图，在☉O中，
平分
平分
∵CD为直径，CD⊥AB(OD⊥AB)，
∴AE＝BE， ＝ ， ＝ .
(2)弦心距：圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距.
如图，线段OE即为弦AB的弦心距.
(3)垂径定理作用：垂径定理既是圆的性质的重要体现，又是圆的轴对称
性的具体化，它是证明圆内线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重
要依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法.
失分警示：
(1)定理的使用条件有2个：一是垂直，二是直径(或是半径或是过圆心的
线段或直线)，二者缺一不可.结论为线段相等且两对弧相等.
(2)条件中的弦可以是直径.
(3)结论中的弦所对的弧包括弦所对的优弧和弦所对的劣弧.
2. 垂径定理的推论
平分弦(不是直径)的直径 弦，并且 弦所对的弧.
失分警示：
(1)定理的使用条件有2个：一是直径平分弦，二是被平分的弦不能是直
径.结论为垂直于弦且两对弧相等.
(2)结论中的弦所对的弧包括弦所对的优弧和弦所对的劣弧.
垂直于
平分
3. 拓展延伸
除上述推论外，我们还可以得到以下延伸结论：
(1)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
结论作用：可利用此结论确定圆心的位置.在圆中找出两条不平行的
弦，分别作两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心
的位置.
(2)平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧.
实际上，对于一个圆和一条直线，以下五个条件：①过圆心；②垂直于
弦；③平分弦(被平分的弦不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦
所对的劣弧.只要任意两个成立，其他三个一定成立，简记为“知二推
三”.
4. 中考考点
考查：利用垂径定理及其推论在圆中求弦长、半径、弦心距的长度.出
题形式多为选择题或填空题，难度偏低.
5. 常用思路及常用辅助线
(1)常用思路：常把弦长的一半、半径、弦心距转换到同一直角三角形
中，然后通过勾股定理或锐角三角函数进行解题.
(2)常用辅助线：①过圆心作弦的垂线；
②连接圆心和弦的中点；③连接圆心和弧的中点；④作半径(连接圆心
和弦的端点).
命题点2　垂径定理及其推论(必考)
随堂检测
1. 如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠DAB＝30°，OE
＝2，则阴影部分的面积为(　D　)
A. B. C. 2π D.
D
解析：∵弦CD⊥AB于点E，∠DAB＝30°，
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°，
∵CD⊥AB，∴∠ODE＝30°，
∵OE＝2，∴OD＝OA＝4，
∵AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠BOC＝∠DOB＝60°，
CE＝DE，
∵△OAD与△OBC等底等高，即OA＝OB，CE＝DE，
∴S△OAD＝S△OBC，
∴S阴影＝S扇形OBC＝16π× ＝ .
2. (2024长沙)如图，在☉O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE
＝4，则☉O的半径长为(　B　)
A. 4 B. 4
C. 5 D. 5
B
3. 如图，大半圆O的弦AB与小半圆O1交于E，F，且AB∥CD，则已
知下列哪两条线段的长度可以求出阴影部分的面积(　C　)
A. AE，BF B. AF，BE
C. AB，EF D. CO1，OD
C
解析：过点O作OH⊥AB于点H，过点O1作O1M⊥AB于点M，连接OA，O1E. 则四边形OO1MH是矩形，
∴OO1＝MH，OH＝MO1，
∴AH＝ AB，EM＝ EF.
∴S阴影＝ πOA2－ πO1E2＝ π（OA2－O1E2）.
在Rt△AOH和Rt△EO1M中，OA2＝OH2＋
AH2，O1E2＝O1M2＋EM2，OH＝MO1，
∴OA2－O1E2＝AH2－EM2.
∴若已知AB、EF，则AH＝ ，EM＝ ，
OA2－O1E2＝ － 代入阴影面积公式可求出面积；
故C项符合题意；
对于A选项，AE，BF无法直接转化出AH与EH的关系，不能求；
B选项，AF，BE也无法直接转化出所需关系，不能求；
D选项，CO1，OD不能直接关联到阴影面积计算所需的AB与EF相关
量，不能求出.
4. 如图，AB为☉O的一弦，且点C在AB上.若AC＝6，BC＝2，AB的
弦心距为3，则OC的长度为(　D　)
A. 3 B. 4
C. D.
D
解析：如图，过点O作OD⊥AB于点D.
由题意可知：AC＝6，BC＝2，OD＝3，
∴AB＝8，∴AD＝BD＝4，∴CD＝2，
∴OC＝ ＝ ＝ .故选D.
5. 如图是某游乐场海盗船的大致示意图，海盗船的外轮廓是☉O的一部
分，静止时外轮廓与水平底座相切于点C，船的最高点A、B到水平底
座的距离相等，已知☉O的半径为4.1米，A、B两点之间的距离为8
米，则点A到水平底座的距离h为(　C　)
A. 4米 B. 3.9米
C. 3.2米 D. 3米
C
解析：如图，水平底座为MN，连接OC，交AB于点D，
∵静止时外轮廓与水平底座相切于点C，
∴OC⊥MN，
∵船的最高点A、B到水平底座的距离相等，
∴AB∥MN，∴OC⊥AB，
∵AB＝8米，∴AD＝ AB＝4米，
∵☉O的半径为4.1米，∴OA＝OC＝4.1米，
∴OD＝ ＝0.9，∴CD＝OC－OD＝3.2米，
即点A到水平底座的距离h为3.2米.
6. (2022湖州改编)如图，已知AB是☉O的弦，∠AOB＝120°，
OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交☉O于点D. 若∠AOD是 所对
的圆心角，则∠AOD的度数是 .
60°
7. 如图，已知☉O两条弦AB和CD，利用尺规作图，找出圆心的位置
O，并保留作图痕迹.
解：如图，点O即为所求.
解析：对于圆中两条不平行的弦，分别作两条弦的垂直平分线，两条垂
直平分线的交点就是圆心.如图，分别作弦AB和CD的垂直平分线
MN，PQ，则MN，PQ的交点O即为圆心.
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