资源简介 (共18张PPT)第四章 三角形课标要求①理解等腰三角形的概念.②探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合.③探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.④探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°.⑤探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形.命题点7 等腰三角形的性质和判定(必考)要点归纳1. 等腰三角形和等边三角形项目 等腰三角形 等边三角形概念 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 三边都相等的三角形叫作等边三角形性质 (1)两腰相等，两底角相等(简称“等边对等角”)； (2)顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(简称“三线合一”)； (3)是轴对称图形，有一条对称轴 (1)三边相等；(2)三个内角相等，都等于60°；(3)是轴对称图形，有三条对称轴项目 等腰三角形 等边三角形判定 (1)有两条边相等的三角形是等腰三角形； (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形(依据“等角对等边”) (1)三边相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形面积 S＝ ah(a为等腰三角形的底边长，h为底边上的高) S＝ a2(a为等边三角形的边长)2. 平行线＋角平分线产生的等腰三角形(1)如图1，在△ABC中，EF∥BC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，则△BED和△CFD均为等腰三角形，且△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝AB＋AC；(2)如图2，在△ABC中，DE∥AB，DF∥AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，则△BED和△CFD均为等腰三角形，且△DEF的周长＝DE＋DF＋EF＝BC.3. 等腰三角形中的分类讨论在解决与等腰三角形的边、角有关的问题时，如果不知道已知的边是腰还是底边或不知道已知的角是顶角还是底角，就需要分类讨论.(1)已知等腰三角形的两边长分别为a，b(a≠b)，求周长C时，分两种情况：①若腰长为a且2a＞b，则周长C＝2a＋b；②若腰长为b且2b＞a，则周长C＝2b＋a.(2)已知等腰三角形的一个角为α，求顶角或底角的度数时，有三种情况：①若α为钝角，则α为顶角，底角的度数为 (180°－α).②若α为直角，则α为顶角，且该三角形为等腰直角三角形，底角为45°.③若α为锐角，则应分两种情况讨论：a.当α为顶角时，底角的度数为 (180°－α)；b.当α为底角时，顶角的度数为180°－2α.特别注意：无论哪种情况，都要注意三角形的三边必须满足“任意两边之和大于第三边”，三个角必须满足“三角形的内角和等于180°”.4. 在三角形中证明两线段相等或两角相等的常用方法(1)如果求证的线段或角在同一个三角形中，首先考虑用“等边对等角”或“等角对等边”来证明；(2)如果求证的线段或角不在同一个三角形中，考虑通过等腰三角形“三线合一”或全等三角形来证明.命题点7 等腰三角形的性质和判定(必考)随堂检测1. 已知等腰三角形的其中两边长分别为4 cm，9 cm，则这个等腰三角形的周长为( D )A. 5 cm B. 13 cm C. 17 cm D. 22 cm解析：∵等腰三角形的一边长为4 cm，一边的长为9 cm，∴等腰三角形的三边长为4，4，9或4，9，9，当三边为4，4，9时，4＋4＜9，三角形不存在，无法计算周长；当三边为4，9，9时，9＜4＋9，三角形存在，故周长为9＋9＋4＝22（cm）.D2. 如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”，∠E＝45°，∠B＝30°，AC∥EF，CA＝CF，连接AF，则∠BAF的度数是( A )A. 127.5° B. 135°C. 120° D. 105°A解析：∵∠D＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠B＝30°，∴∠DFE＝45°，∠BAC＝60°，∵AC∥EF，∴∠ACF＝∠DFE＝45°，∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CFA＝ ×（180°－∠ACF）＝67.5°，∴∠BAF＝∠BAC＋∠CAF＝127.5°.故选A.3. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D在边AB上，连接CD. 有以下4种说法：①当DC＝DB时，△BCD一定为等边三角形；②当AD＝CD时，△BCD一定为等边三角形；③当△ACD是等腰三角形时，△BCD一定为等边三角形；④当△BCD是等腰三角形时，△ACD一定为等腰三角形.其中错误的是 .(填序号)③解析：如图：①∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°.∵DC＝DB，∴△BCD是等边三角形，∴①正确；②∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°.∵AD＝CD，∴∠ACD＝30°，∠DCB＝90°－30°＝60°，∴∠CDB＝60°，∴△BCD为等边三角形，∴②正确；③当DA＝DC时，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ACD＝30°，∠DCB＝90°－30°＝60°，∴∠CDB＝60°，∴△BCD为等边三角形，当AC＝AD时，易得△BCD不为等边三角形，∴③错误；④∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°.∵△BCD是等腰三角形，∴△BCD是等边三角形，∴∠DCB＝60°，∴∠ACD＝30°，∴△ACD为等腰三角形，∴④正确.感谢观看(共15张PPT)第四章 三角形课标要求①通过实物和模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念；②会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义；③掌握基本事实：两点确定一条直线，两点之间线段最短；④理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离.命题点1 线段与直线(必考)要点归纳1. 两个基本事实(1)经过两点，有且只有一条直线.生活中的应用如图1～3；(2)两点之间， 最短.生活中的应用如图4.线段2. 两点间的距离：连接两点之间的线段的长度.3. 线段的和与差：如图，在线段AC上取一点B，则有：(1) AB＝ － ；(2) AB＋ ＝AC；(3)BC＝ － .ACBCBCACAB4. 线段的中点：如图，点M把线段AB分成两部分，若AM＝MB，则点M叫作线段AB的中点，且AM＝MB＝ AB. 5. 知识拓展(1)经过平面上n个点中的任意两点画直线，最多可画 条；(2)n(n≥2)条直线，两两相交，交点最多有 个.命题点1 线段与直线(必考)随堂检测1. (2023河北模拟)如图，小亮为将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，用数学知识解释他这样操作的原因，应该是( C )A. 过一点有无数条直线B. 两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离C. 经过两点有且只有一条直线D. 两点之间，线段最短C2. (2025河北一模)如图，这是嘉嘉绘制的从A地到B地的路线图，这两地之间的最短距离为8 km，从上到下分别为路线M，N，P，Q，其中某条路线所标的数据错误，则数据错误的是( B )A. 路线M B. 路线NC. 路线P D. 路线QB解析：∵这两地之间的最短距离为8 km，∴其他线路都应大于8 km，N线路的长度为3＋3＋2＝8（km），故N线路所标的数据错误.3. 已知点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点.若线段AB＝12 cm，则线段BD的长为 .8 cm或10 cm4. 如图，AB＝12 cm，P是线段AB上任意一点，C，D两点分别从P，B同时向A点运动，且已知点C的运动速度为2 cm/s，点D的运动速度为3 cm/s，运动的时间为t s.(1)若AP＝8 cm.①运动1 s后，求CD的长；解：（1）①由题意可知：CP＝2×1＝2 （cm），DB＝3×1＝3 （cm）.∵AP＝8 cm，AB＝12 cm，∴PB＝AB－AP＝4 （cm），∴CD＝CP＋PB－DB＝2＋4－3＝3 （cm）.②当D在线段PB上运动时，试说明AC＝2CD.解：（1）②∵CP＝2t cm，∴AC＝（8－2t） cm.∵BP＝4 cm，∴DP＝（4－3t） cm，∴CD＝CP＋DP＝（4－t） cm，∴AC＝2CD.(2)若t＝2时，CD＝1 cm，试探索AP的长度.解：（2）当t＝2时，CP＝2×2＝4 （cm），DB＝3×2＝6 （cm），当点D在C的右边时，如图1所示，∵CD＝1 cm，∴CB＝CD＋DB＝7（cm），∴AC＝AB－CB＝5 cm，∴AP＝AC＋CP＝9（cm）；当点D在C的左边时，如图2所示，∴AD＝AB－DB＝6（cm），∴AP＝AD＋CD＋CP＝11（cm）.综上所述，AP＝9 cm或11 cm.感谢观看(共30张PPT)第四章 三角形课标要求①利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数( sin A， cos A，tan A)，知道30°，45°，60°角的三角函数值；②能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题；③在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置.命题点11 锐角三角函数及其应用要点归纳1. 锐角三角函数如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A为Rt△ABC的一个锐角，则∠A的正弦： sin A＝ ＝ .∠A的余弦： cos A＝ ＝ . ∠A的正切：tan A＝ ＝ . 2. 特殊角的三角函数值α 三角函数 30° 45° 60°sin α cos α tan α 1 3. 解直角三角形(1)三角关系：∠A＋∠B＝∠C＝ . (2)三边关系：a2＋b2＝c2.(3)边角关系： sin A＝ ＝ cos B， cos A＝ ＝ ，tan A＝ ＝ .(4)在Rt△ABC中，五个量∠A，∠B，a，b，c，知道两个(其中含一边)，即可根据三边关系、三角关系或边角关系公式求解出其他三个量.90°sin B (5)解直角三角形的技巧：在解直角三角形时，当所求元素不在直角三角形中时，通常作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数求出要求的线段长或角度，或通过已知直角三角形中的元素进行等量代换来求解.4. 锐角三角函数的实际应用(1)方向角：从某个观测点看物体，视线与正北(或正南)方向射线的夹角.注意：描述方向角应先南(北)后东(西)，如图，在O点观测A，B，C，D四个点，分别在北偏西30°、北偏东60°、南偏东30°、南偏西60°.(2)如图，俯角、仰角：视线在水平线上方的角叫作仰角，视线在水平线下方的角叫作俯角.(3)如图，坡度(坡比)、坡角：坡面的垂直高度h与水平宽度l的比叫作坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水平面的夹角α叫作坡角，i＝tan α＝ .(4)解直角三角形的实际应用题的解题步骤：①审题：画出正确的平面图或截面示意图，并通过图形弄清楚已知量和未知量.②构造直角三角形：“化斜为直”是解决此类问题的关键.添加适当的辅助线，将斜三角形化为两个直角三角形.③列关系式：根据直角三角形(或通过作垂线构造的直角三角形)元素(边、角)之间的关系解直角三角形.④检验：解题完毕后，可能会存在一些较为特殊的数据，如含有复杂的小数等，因此要特别注意所求数据是否符合实际意义，同时还要注意结果有无精确度的要求.5. 测量物体高度的常见三角函数模型(1)利用水平距离测量物体的高度(h)：数学模型 应测数据 数量关系背靠背型α，β， 水平距离a tan α＝ x1＝ ，tan β＝ x2＝ ，由x1＋x2＝a可求得h母子型 tan α＝ x＋a＝ ，①tan β＝ x＝ ，②由①－②＝a可求得h(2)测量底部可以到达的物体的高度(h)：数学模型 应测数据 数量关系一般型 测角仪高a1，水平距离a2，仰角α tan α＝ ，由此可求得h背靠 背型 仰角α，俯角β，水平距离a tan α＝ h1＝a·tan α，tan β＝ h2＝a·tan β，由h1＋h2＝h即可求得h(3)测量底部不可到达的物体的高度(h)：数学模型 应测数据 数量关系背靠 背型仰角α，俯角β，高度a tan α＝ x＝ ，①tan β＝ x＝ ，②由①＝②可得h1，进而可得h数学模型 应测数据 数量关系母子型仰角α，仰角β，测角仪的高度a1，水平距离a2 tan α＝ a2＋x＝ ，①tan β＝ x＝ ，②由①－②＝a2可求得h1，则h＝h1＋a1仰角α，仰角β，高度a tan α＝ x＝ ，①tan β＝ x＝ ，②由①＝②可得h数学模型 应测数据 数量关系母子型俯角α，俯角β，高度a tan α＝ x＝ ，①tan β＝ x＝ ，②由①＝②可得h命题点11 锐角三角函数及其应用随堂检测1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则( B )A. c＝b sin B B. b＝c sin BC. a＝btan B D. b＝ctan BB2. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则 sin ∠BAC的值为( D )A. B. C. D.D3. (2024长春)2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射.当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为( A )A. a sin θ千米 B. 千米C. a cos θ千米 D. 千米A4. (2025黑龙江齐齐哈尔中考)利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，以OA为边作Rt△OAA1，使∠OAA1＝90°，∠AOA1＝30°，再以OA1为边作Rt△OA1A2，使∠OA1B2＝90°，∠A1OA2＝30°，过点A，A1，A2作弧 ，记作第1条弧；以OA2为边作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，再以OA3为边作Rt△OA3A4，使∠OA3A4＝90°，∠A3OA4＝30°，过点A2，A3，A4作弧 ，记作第2条弧……按此规律，第2 025条弧上与原点O的距离最小的点的坐标为 . 解析：根据题意可知：OA＝2，OA1＝ ＝ ＝2× ，OA2＝ ＝2× × ＝2× ，OA3＝ ＝2× × ＝2× ，……OAn＝2× ，∵点A，A1，A2作弧 为第1条弧，点A2，A3，A4作弧 为第2条弧，……，∴ 组成第2 025条弧，∴第2 025条弧上与原点O的距离最小的点为A4 048，∴OA4 048＝2× ＝2× ＝ ，∵∠AOA1＝30°，∠A1OA2＝30°，∠A2OA3＝30°，∠A3OA4＝30°，……，∴12次操作循环一周，∵4 048÷12＝337……4，∴∠AOA4 048＝120°，过点A4 048作A4 048M⊥x轴于点M，如图所示：∴∠MOA4 048＝180°－120°＝60°，∴OM＝OA4 048× cos 60°＝ × ＝ ，A4 048M＝OA4 048× sin 60°＝ × ＝ ，∴A4 048 ，∴第2 025条弧上与原点O的距离最小的点的坐标为 .5. (2025吉林中考)综合与实践：确定建筑物的3D打印模型的高度项目提出：如图是某城市规划展览馆.树人中学的3D打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的3D打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作3D打印模型提供数据.项目 分析 活动目标 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其打印模型的高度测量工具 测角仪、皮尺项目报告表 时间：2025年5月29日项目 实施 任务一 测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图.①测出测角仪的高CD＝1.4 m；②利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角∠ACE＝61°；③测出测角仪CD底端D处到展览馆AB底端B处之间的距离DB＝42 m.项目 实施 任务二计算 实际高度 根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆AB的高度.(结果精确到1 m)(参考数据：sin 61°＝0.875， cos 61°＝0.485，tan61°＝1.804)任务三换算 模型高度 将该城市规划展览馆AB的高度按1∶400等比例缩小，得到其3D打印模型的高度约为 cm.(结果精确到1 cm)项目结果 为社团制作城市规划展览馆的3D打印模型提供数据19请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三.解：任务二：由题意得BECD为矩形，∴BE＝CD＝1.4 m，CE＝BD＝42 m，∵在Rt△AEC中，tan∠ACE＝∴AE＝CE×tan 61°＝42×1.804≈76 m，∴AB＝AE＋BE＝76＋1.4≈77（m），答：该城市规划展览馆AB的高度为77 m；任务三：设3D打印模型的高度约为x cm，则由题意得： ＝ ，解得：x≈19 cm，答：3D打印模型的高度约为19 cm.感谢观看(共11张PPT)第四章 三角形课标要求①通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义.②结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.③知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会综合法的证明格式.④通过实例体会反证法的含义.命题点4 命题、定理、证明要点归纳1. 命题：能够进行肯定或者否定判断的语句，叫作命题.2. 真命题：正确的命题叫作真命题.3. 假命题：不正确的命题叫作假命题，要说明一个命题是假命题，只要举出一个符合命题条件，但不符合命题结论的例子就可以了，像这样的例子叫作反例.4. 互逆命题：一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题，称为互逆命题.在两个互逆的命题中，如果我们将其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就是这个命题的逆命题.5. 基本事实：有些命题经过实践检验被公认为真命题，我们把这样的命题叫作基本事实.定理：有些真命题，它们的正确性已经过演绎推理得到证实，并被作为判断其他命题真假的依据，这些命题叫作定理.6. 互逆定理：如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理.一个定理和它的逆定理是互逆定理.7. 证明的必要性：实验、观察、归纳得出的结论可能正确也可能不正确，因此，一个数学结论是否正确必须进行推理并作出判断，这个推理过程就叫作证明.8. 反证法：先假设原命题结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后推出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果.因此，假设是错误的，原结论是正确的.这种证明命题的方法叫作反证法.命题点4 命题、定理、证明随堂检测1. 下列命题是真命题的是( B )A. 相等的两个角是对顶角B. 平行于同一条直线的两条直线互相平行C. 同位角相等D. 垂直于同一条直线的两条直线互相垂直B2. 能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是( C )A BC DC3. (2024河北保定一模)嘉淇想说明“若三条线段a，b，c满足a＋b＞c，则这三条线段首尾顺次相接能组成三角形，”是假命题而举反例：其中a＝1，b＝3，若所举反例正确，则c的值可以是( A )A. 2 B. 3C. 4 D. 5解析：由题意，可知：a＋b＞c且a＋c≤b，即c≤2，故c的值可以是2.A感谢观看(共15张PPT)第四章 三角形课标要求①认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差；②理解余角、补角等概念，掌握其性质；③探索并证明角平分线的性质定理.命题点2 角及角平分线(必考)要点归纳1. 度、分、秒的换算：1°＝60'，1'＝60″，度、分、秒之间的进制是60.2. 余角与补角余角 若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互为余角补角 若∠3＋∠4＝180°，则∠3与∠4互为补角性质 同角(等角)的余角 ；同角(等角)的补角 相等相等3. 角平分线(1)概念：若从一个角的顶点引出一条射线把这个角分成两个相等的角，则称这条射线为这个角的平分线.(2)定理：角平分线上的点到这个角两边的距离 .(3)逆定理：在角的内部，到角两边距离 的点在角的平分线上.相等相等(4)角平分线常作辅助线与常用模型.模型一：过角平分线上一点向角两边作垂线，△OAP≌△OBP.模型二：利用角平分线，构造对称图形.模型四：过角平分线上方作角一边的平行线构造等腰三角形.模型三：作角平分线的垂线构造等腰三角形.4. 与角有关的分类讨论题目未给图形，需要自己画图.例：已知∠AOB＝60°，∠BOC＝10°，则∠AOC＝ .70°或50°命题点2 角及角平分线(必考)随堂检测1. (2025四川南充中考)如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是( D )A. 120° B. 130°C. 140° D. 150°解析：直角三角板含60°角，则另一个锐角为 30°.∴∠α＝180°－30°＝150°.D2. 一副直角三角板有不同的摆放方式，下图中满足∠α与∠β相等的摆放方式是( B )A BC DB3. (2024常州)如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则( A )A. d1与d2一定相等B. d1与d2一定不相等C. l1与l2一定相等D. l1与l2一定不相等A4. 如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，射线OM平分∠AOD，若∠BOC＝36°，则∠MOE的大小为( C )A. 18° B. 54° C. 72° D. 90°C解析：∵∠BOC＝36°，∴∠AOD＝∠BOC＝36°，∵OM平分∠AOD，∴∠DOM＝ ∠AOD＝18°，∵OE⊥OC，∴∠DOE＝90°，∴∠MOE＝90°－∠DOM＝72°.感谢观看(共23张PPT)第四章 三角形课标要求①了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段、黄金分割；②通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比；③了解相似三角形的性质定理和判定定理；④会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.命题点10 相似三角形的性质和判定(必考)要点归纳1. 比例线段及比例的性质比例 线段 对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段a，b的比与另两条线段c，d的比相等，即a∶b＝c∶d，那么这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段比例的性质 (1)基本性质： ＝ ad＝bc(bd≠0)；(2)合比性质：如果 ＝ ，那么 ＝ (bd≠0)；(3)等比性质：如果 ＝ ＝…＝ ，且b1＋b2＋…＋bn≠0，那么 ＝ 2. 平行线分线段成比例平行线分线段成比例3. 相似三角形的性质(1)相似三角形的对应角 ，对应边 ；(2)相似三角形的对应高线、对应中线、对应角平分线的比都等于 ；(3)相似三角形的周长比等于 ，面积比等于 .相等成比例相似比相似比相似比的平方4. 相似三角形的判定判定定理 图示 文字表述判定定 理一平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似判定定 理二三边对应成比例的两个三角形相似判定定理 图示 文字表述判定定 理三两角对应相等的两个三角形相似判定定 理四 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似5. 判定两个三角形相似的思路(1)有平行截线——用平行线的性质，找等角(2)有一对等角，找(3)有两边对应成比例，找6. 相似多边形(1)定义：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形.相似多边形对应边的比叫作相似比(或相似系数).(2)性质：①相似多边形的对应角相等，对应边成比例；②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比；③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比；④相似多边形面积的比等于相似比的平方.7. 常见的相似模型(1)平行线型：(2)一线三等角型：若∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.(3)斜交型：△ADE∽△ABC8. 图形的位似定义：如果两个图形不仅相似，而且经过每对对应顶点的直线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上),我们把这样的两个图形称为位似图形，对应顶点所在直线的交点称为 位似中心 ，这时的相似比又称为 位似比 性质(1）两个图形必须是相似图形(2）对应点的连线所在线都经过同一点(3）对应边互相平行或在同一条直线上位似作图步骤(1）确定位似中心(2）确定原图形中各顶点关于位似中心的对称点(3）描出新图形【易错警示】位似是相似的特例，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形位似中心位似比图形的位似命题点10 相似三角形的性质和判定(必考)随堂检测1. (2024哈尔滨)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，EF∥AD交CD于点F，若AE∶BE＝1∶2，DF＝3，则FC的长为( A )A. 6 B. 3 C. 5 D. 9A2. (2024浙江)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O. 若点A(－3，1)的对应点为A'(－6，2)，则点B(－2，4)的对应点B'的坐标为( A )A. (－4，8) B. (8，－4)C. (－8，4) D. (4，－8)A解析：∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O，点A（－3，1）的对应点为A'（－6，2），∴△ABC与△A'B'C'的相似比为1∶2，∵点B的坐标为（－2，4），∴点B的对应点B'的坐标为（－2×2，4×2），即（－4，8）.故选A.3. (2025四川宜宾中考)如图，一张锐角三角形纸片ABC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝2DB，沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，则 的值为( C )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4C解析：如图所示，过点D作DF∥BC交AC于点F，∵AD＝2DB，∴ ＝2，∴ ＝ ，∵DF∥BC，∴△AFD∽△ACB，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ＝ ，∴设S△AFD＝4s，S△ACB＝9s，∵沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，∴S△ADE＝ s，∴ ＝ ＝ ＝ ，∴ ÷ ＝ · ＝ ＝ ÷ ＝ ，∴ ＝3.4. (2025吉林长春中考)将直角三角形纸片ABC(∠C＝90°)按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是( D )A. MN∥DE∥PQB. BC＝2DE＝4MNC. AN＝BQ＝ NQD. ＝ ＝D解析：由折叠可得：DE⊥AC，PQ⊥AC，MN⊥AC，AM＝MD＝DP＝PC，∴MN∥DE∥PQ∥BC，故A正确，不符合题意；∴△ADE∽△ACB∽△AMN，∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，∴BC＝2DE，DE＝2MN，∴BC＝4MN，∴BC＝2DE＝4MN，故B正确，不符合题意；∵MN∥PQ∥BC，∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，∴BQ＝AN＝ AB，QN＝ AB，∴AN＝BQ＝ NQ，故C正确，不符合题意；∵△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ，∴ ＝ ＝ ， ＝ ， ＝ ＝ ，∴ ≠ ≠ ，故D错误，符合题意.感谢观看(共17张PPT)第四章 三角形课标要求①理解三角形及其中线、高线、角平分线等概念；②探索并证明三角形的中位线定理；③了解三角形重心的概念.命题点6 三角形中的重要线段要点归纳1. 三角形中的重要线段线段 图形 性质 拓展中线 BM＝CM， S△ABM ＝S△ACM＝ S△ABC 重心：三角形三条中线的交点，它到三角形顶点的距离等于它到该顶点对边中点的距离的2倍线段 图形 性质 拓展高线AD⊥BC，即 ∠ADC＝∠ADB＝90° 垂心：三角形三条高线所在直线的交点角平 分线∠1＝∠2＝ ∠BAC 内心：三角形的三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等线段 图形 性质 拓展中位线 DE∥BC且DE＝ BC 点D，E分别为边AB，AC的中点中垂线 DE⊥BC， 且BE＝CE， BD＝CD 外心：三角形的三条中垂线的交点，到三角形三个顶点的距离相等2. 与三角形角平分线有关的结论如图1，在△ABC中，若∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，则有∠BPC＝ ；如图2，在△ABC中，若∠ABC与∠ACD的平分线交于点P，则有∠BPC＝ ；如图3，在△ABC中，若∠CBD与∠BCE的平分线交于点P，则有∠BPC＝ .90°＋ ∠A∠A90°－ ∠A3. 三角形中“中点”问题的四种常见模型(1)单个中点首先考虑倍长中线；(2)多个中点首先考虑中位线；(3)等腰三角形底边上出现中点考虑三线合一；(4)直角三角形斜边出现中点考虑直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，另外还产生了两组相等的角.命题点6 三角形中的重要线段随堂检测1. (2025山东威海中考)如图，△ABC的中线BE，CD交于点F，连接DE. 下列结论错误的是( B )A. S△DEF＝ S△BCFB. S△ADE＝ S四边形BCEDC. S△DBF＝ S△BCFD. S△ADC＝S△AEBB解析：∵△ABC的中线BE，CD交于点F，∴DE＝ BC，DE∥BC，S△ADC＝ S△ABC，S△AEB＝ S△ABC，∴△ADE∽△ABC，S△ADC＝S△AEB＝ S△ABC，故D选项结论正确；∴ ＝ ＝ ＝ ，S△DEF＝ S△BCF，∴S△CEF＝ S△BCF，S△DBF＝ S△BCF，S△ADE＝ S四边形BCED.2. 如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是( A )A. 2 B. 3C. 6 D. 不能确定A3. (2025河南二模)如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F. 若AB＝6，BC＝4，则EF的长是( A )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4A解析：∵D，E分别是BC，AC的中点，∴DE＝ AB＝3，DE∥AB，∴∠ABF＝∠BFD，∵BF平分∠ABC，即∠ABF＝∠CBF，∴∠CBF＝∠BFD，∴DB＝DF＝ BC＝2，∴EF＝DE－DF＝3－2＝1.4. 如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是( C )A. BF＝CFB. ∠C＋∠CAD＝90°C. ∠BAF＝∠CAFD. S△ABC＝2S△ABFC解析：∵AF是△ABC的中线，∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意；∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠C＋∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意；∵AE是角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，而∠BAF与∠CAF不一定相等，C说法错误，符合题意；∵BF＝CF，∴S△ABC＝2S△ABF，D说法正确，不符合题意.故选C.感谢观看(共16张PPT)第四章 三角形课标要求①理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.②探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.命题点8 直角三角形的性质和判定要点归纳1. 直角三角形概念 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形性质 (1)两锐角之和等于 ；(2)斜边上的中线等于斜边的 ；(3)30°角所对的直角边等于斜边的 ；(4)若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对应的锐角等于 ；(5)勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方，即a2＋b2＝c2(a，b为直角边，c为斜边)90°一半一半30°概念 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形判定 (1)有一个角为90°的三角形是直角三角形；(2)勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；(3)如果三角形的一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形面积 S＝ ch＝ ab(a，b为直角边，c为斜边，h为斜边上的高)2. 等腰直角三角形(1)三角度数：45°，45°，90°. 三边比例：1∶1∶ .(2)面积的求法：S＝ a2＝ ch(a为直角边，c为斜边，h为斜边上的高).(3)斜边上的高CD(三线合一)将△ABC分成两个等腰直角三角形，图中共有 个等腰直角三角形.33. 解决与直角三角形有关问题的常用方法(1)当出现30°角时，应想到30°角所对的直角边是斜边的一半.等边三角形和顶角为120°的等腰三角形在计算时，常作底边的高，分割成两个含30°角的直角三角形求解.(2)当出现斜边上的中线时，要想到直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半.(3)作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数求线段长或角度.(4)利用全等三角形或相似三角形的性质进行转换求相关的角度和线段.命题点8 直角三角形的性质和判定随堂检测1. 满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( D )A. b2－c2＝a2B. a ∶b ∶c＝3 ∶4 ∶5C. ∠C＝∠A＋∠BD. ∠A ∶∠B ∶∠C＝9 ∶12 ∶15D2. (2025安徽中考)如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC. 若DE＝ ，则AC的长是( B )A. 4 B. 6 C. 2 D. 3B解析：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，∴∠C＝ ＝30°.∵D是AC中点，∴设AC＝2x，则CD＝x.∵ED⊥AC，∴△EDC是直角三角形，且∠C＝30°，∴EC＝2DE，∵DE＝ ，则EC＝2 .在Rt△EDC中，根据勾股定理EC2＝DE2＋CD2，∴（2 ）2＝（ ）2＋x2，12＝3＋x2，x2＝9，解得x＝3（x＞0）.∵AC＝2x，∴AC＝6.3. 在勾股定理的证明中，小云用与Rt△ABC全等的三角形拼出了如图所示的弦图，若正方形GHJK的面积为16，正方形CDEF的面积为4，则线段AB的长为( C )A. B. 2 C. D. 2C解析：设BC＝a，AC＝b，∵正方形GHJK的面积为16，正方形CDEF的面积为4，∴CD＝2，GK＝4，由题意可得： 解得：∴AB＝ ＝ .4. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， ∠A＝20°，则∠BCD＝ °.70感谢观看(共17张PPT)第四章 三角形课标要求①理解三角形及其内角、外角等概念，了解三角形的稳定性.②探索并证明三角形的内角和定理.掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.③知道三角形的三边关系.④会对三角形进行分类.三角形的分类按边分不等边三角形：三边互不相等等腰三角形底边与腰不相等的等腰三角形等边三角形按角分锐角三角形：三个角都是锐角直角三角形：有一个角是直角钝角三角形：有一个角是钝角三角形的分类命题点5 三角形的分类及边角关系(必考)要点归纳1. 三角形的性质三边关系： 三角形任意两边之和大于第三边差三边 如图， ＋ ＞ ,| ｜＜ 【满分技法】判断给定的三条线段能否组成三角形，只要判断两条较短线段的和是否大于最长线段即可三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边三角形边和角的性质三角形内角和外角内角和定理： 三角形三个内角的和为180° 内外角关系①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.如图，∠1=∠ ＋ ∠ ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角，如图，∠1>∠ ，∠1>∠ 【拓展知识】边角关系：同一个三角形中，等边对等角，等角对等边，大边对大角，大角对大边三角形三个内角的和为180°∠三角形边和角的性质2. 与三角形内角和相关的模型结论：∠A＋∠B＝∠C＋∠D.结论：∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C.命题点5 三角形的分类及边角关系(必考)随堂检测1. (2025山东滨州二模)老师在讲“三角形的边”一节时，让每一位同学带来一根15 cm长的细铁丝，课堂上进行实验操作，具体操作如下：在同一平面内将15 cm长的细铁丝弯折成一个三角形.(1)量出AP＝4 cm；(2)在点P右侧取一点Q，使点Q满足PQ＞4 cm；(3)将AP向右翻折，BQ向左翻折.若要使A，B两点能在M点处重合，则PQ长可能为( A )A. 7 B. 8 C. 9 D. 10A解析：设PQ＝x（x＞4），∵AP＝4，PQ＝x，∴BQ＝AB－AP－PQ＝15－4－x＝（11－x）cm，将AP向右翻折，BQ向左翻折，∴AP＝MP，MQ＝BQ，∵△MPQ符合三角形三边关系，∴MQ－MP＜PQ＜MQ＋MP，即11－x－4＜x＜11－x＋4，解得7－x＜x＜15－x，解得 ＜x＜ ，观察四个选项，选项A符合题意2. 如图，要想知道黑板上两直线a，b所夹锐角的大小，但因交点不在黑板内，无法直接测量，小慧设计了间接测量方案(相关标记和数据如图所示)，则直线a，b所夹锐角的度数为( B )A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°B解析：如图，延长直线a，b相交于点A，∵∠1＝120°，∠2＝100°，∴∠3＝180°－∠1＝60°，∠4＝180°－∠2＝80°，∴∠A＝180°－∠3－∠4＝40°，∴直线a，b所夹锐角的度数为40°.故选B.3. (2025河北邯郸二模)如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是( B )A. 甲 B. 乙C. 甲或乙 D. 甲或乙均不可B解析：假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为a，剪成两段长度分别为m、n，甲小棒长度为b.∵乙小棒的长度大于甲小棒，即a＞b∴m＋n＞b∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形；假设剪开甲小棒，∵乙小棒的长度大于甲小棒，∴同理可得，甲小棒减成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意.综上所述，剪开的小棒是乙.4. 当三角形中的一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“标准三角形”，其中α为“标准角”.如果一个“标准三角形”的“标准角”为100°，那么这个“标准三角形”的最小内角度数为 .30°解析：根据题意知α＝100°，则β＝50°，根据三角形的内角和定理可知，另一个内角为30°，比较可知，最小内角的度数为30°.感谢观看(共18张PPT)第四章 三角形课标要求①理解对顶角的概念，掌握对顶角相等的性质.②理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线.③理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离.④掌握基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.⑤识别同位角、内错角、同旁内角.⑥探索并证明平行线的判定定理；掌握平行线的性质定理.⑦掌握平行线基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.并能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.⑧了解平行于同一条直线的两条直线平行.命题点3 相交线与平行线(必考)要点归纳1. 相交线与三线八角(1)对顶角 ，如∠1与∠3，∠6与∠8互为对顶角；(2)邻补角之和为 ，如∠1与∠2，∠5与∠6互为邻补角；(3)同位角：∠1与∠5，∠2与 ，∠3与 ，∠4与 ；(4)内错角：∠3与∠5，∠4与 ；相等180°∠6∠7∠8∠6(5)同旁内角：∠3与∠6，∠4与 .∠52. 垂线与垂直平分线(1)垂线①基本事实：在同一平面内，经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直.②垂线段的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 最短.③点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度.垂线段(2)垂直平分线①概念：经过一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线(简称中垂线).②定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 .如图，若l⊥AB且OA＝OB，则PA＝PB，QA＝QB.相等③逆定理：到线段两端点距离 的点在这条线段的垂直平分线上.④垂直平分线常作辅助线：连接垂直平分线上的点与线段的两端点.相等3. 平行公理及推论(1)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.(2)推论：若a∥b，b∥c，则a c.4. 平行线的性质与判定(1)同位角相等 两直线平行.(2)内错角相等 两直线平行.(3)同旁内角互补 两直线平行.∥5. 平行线间的距离(1)概念：过直线上一点作这条直线的平行线的垂线，垂线段的长度叫作这两条平行线之间的距离.(2)两条平行线间的距离 .(3)由平行线还可以联想到： ①面积相等(同底等高)； ②线段成比例；③三角形相似.平行线中的拐点问题与经典辅助线：处处相等命题点3 相交线与平行线(必考)随堂检测1. (2024河北)直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则α＋β＝( B )A. 115° B. 120°C. 135° D. 144°B解析：正六边形每个内角为： ＝120°，而六边形MBCDEN的内角和也为（6－2）×180°＝720°，∴∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠ENM＋∠NMB＝720°，∴∠ENM＋∠NMB＝720°－4×120°＝240°，∵β＋∠ENM＋α＋∠NMB＝180°×2＝360°，∴α＋β＝360°－240°＝120°.2. 如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为( A )A. 北偏东30° B. 北偏东80°C. 北偏西30° D. 北偏西50°A3. (2025河北沧州二模)下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号内符号所代表的内容.如图，直线AB，CD相交于点O.求证：∠AOC＝∠BOD.证明：因为∠AOC＋∠AOD＝180°，∠BOD＋∠AOD＝180°( )，所以∠AOC＝∠BOD( ).则回答正确的是( A )A. “ ”表示邻补角的定义B. “ ”表示同旁内角互补C. “ ”表示对顶角相等D. “ ”表示同角的余角相等A4. 已知直线 m ∥n，将一块含30° 角的直角三角板按如图所示方式放置( ∠ABC＝30°)，并且顶点 A ，B 分别落在直线 m，n 上，若 ∠1 ＝38° ，则∠2的度数是( B )A. 20° B. 22°C. 28° D. 38°B5. 如图，已知直线l1，l2，∠1 ＝∠2，∠3＝56°，∠4的度数为( C )A. 56° B. 134° C. 124° D. 34°C解析：如图所示，∵∠1＝∠2，∠2＝∠5，∴∠1＝∠5，∴l1∥l2，∴∠3＝∠6，∵∠3＝56°，∴∠6＝56°，∵∠4＋∠6＝180°，∴∠4＝180°－56°＝124°.故选C.6. 如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线(与水平线OB平行)从点C射入，经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，则∠DEB的度数是 .76°感谢观看(共22张PPT)第四章 三角形课标要求①理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角；②掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.③掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.④掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等.⑤证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.命题点9 全等三角形的性质和判定(必考)要点归纳1. 全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边 ，对应角 ；(2)全等三角形的周长相等，面积 ；(3)全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都 .相等相等相等相等2. 全等三角形的判定SSS(边边边) SAS(边角边) ASA(角边角) AAS(角角边) HL三边对应相等的两个三角形全等(基本事实) 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(基本事实) 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(基本事实) 两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等3. 证明全等的思路(1)已知两对等边(2)已知一对等边和一对等角(3)已知两对等角找夹边相等→ASA找其中任意一对等角的对边相等4. 常见的全等模型模型一：平移模型此模型的特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动方向上加(减)公共线段，构造线段相等，再利用平行线性质找到对应角相等，证明两个三角形全等.模型二：轴对称模型此模型的特征是所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角.模型三：一线三等角三个等角的顶点在同一直线上，称一线三等角模型(角度有锐角、钝角，若为直角称一线三垂直)，利用三等角关系找全等三角形所需的角相等条件，如：∠1＝∠2＝∠3.一线三等角的解题理念：有边相等证全等；无边相等证相似.模型四：手拉手模型此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的.在旋转过程中，两个三角形无重叠或有公共角，找等角或运用角的和差得到等角.模型五：半角模型当一个角包含着这个角的半角，常将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等. 等边三角形含半角 △EDF≌△GDF 等腰直角三角形含半角 △DAE≌△FAE 正方形含半角 △AFE≌△AGE命题点9 全等三角形的性质和判定(必考)随堂检测1. (2024邯郸模拟)如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是( C )A. 两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等B. 两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等C. 两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等D. 两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等C解析：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定，所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等.故选C.2. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，BF＝EC，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是( B )A. ∠A＝∠D B. AC＝DFC. AB＝ED D. AC∥DFB3. (2025吉林长春中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点D为边AC的中点，点E为边AB上一动点，连接DE. 将线段DE绕点E顺时针旋转45°得到线段EF.(1)线段AB的长为 ；（1）解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，∴AB＝ ＝4 ；＝4(2)当EF∥AC时，求AE的长；（2）解：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点D为边AC的中点，∴∠A＝∠B＝45°，AD＝CD＝2，∵EF∥AC，∴∠FEB＝∠A＝45°，而∠DEF＝45°，∴∠DEB＝90°＝∠AED，∴AE＝AD· cos 45°＝2× ＝ ；(3)当点F在边BC上时，求证：△ADE≌△BEF； （3）证明：∵将线段DE绕点E顺时针旋转45°得到线段EF，∴DE＝DF，∠DEF＝45°，如图，∵∠DEF＋∠BEF＝∠DEB＝∠A＋∠ADE，∠DEF＝∠A＝45°，∴∠BEF＝∠ADE，∵∠A＝∠B＝45°，DE＝FE，∴△ADE≌△BEF；(4)当点E到BC的距离是点F到BC距离的2倍时，直接写出AE的长.（4）解：如图，当F在BC的左边时，结合题意可得：EG⊥BC，FQ⊥BC，EG＝2FQ，过点D作DH⊥AB于点H，过点F作FK⊥EG于点K，∴四边形FKGQ为矩形，∴FQ＝GK＝GE，结合（1）可得：DH＝AH＝ ，∵EG⊥BC，∠B＝45°，∴∠GEB＝∠B＝45°，∴GB＝GE＝2GK＝2EK，∵∠DEF＝45°，∴∠DEF＋∠GEB＝90°，∴∠DEH＋∠FEK＝90°，∵∠DHE＝90°＝∠HDE＋∠HED，∴∠HDE＝∠KEF，∵DE＝EF，∴△DHE≌△EKF，∴EK＝DH＝ ，∴BG＝BG＝2 ，∴BE＝ ＝4，∴AE＝4 －4；如图，当F在BC的右边时，过点D作DH⊥AB于点H，过点F作FK⊥EG于点K，同理：EK＝DH＝ ，∴四边形FKGQ为矩形，∴FQ＝GK，∵GE＝2FQ，∴GE＝2GK，∴EG＝ ，GK＝FQ＝ ，同理可得：EG＝BG＝ ，BE＝ × ＝ ，∴AE＝4 － ；综上：AE的长为4 －4或4 － .感谢观看 展开更多...... 收起↑ 资源列表 命题点10 相似三角形的性质和判定(必考).pptx 命题点11 锐角三角函数及其应用.pptx 命题点1 线段与直线(必考).pptx 命题点2 角及角平分线(必考).pptx 命题点3 相交线与平行线(必考).pptx 命题点4 命题、定理、证明.pptx 命题点5 三角形的分类及边角关系(必考).pptx 命题点6 三角形中的重要线段.pptx 命题点7 等腰三角形的性质和判定(必考).pptx 命题点8 直角三角形的性质和判定.pptx 命题点9 全等三角形的性质和判定(必考).pptx
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