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第七章　图形的变化
课标要求
了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小.
命题点7　图形的位似
要点归纳
1. 位似：如图，两个多边形的顶点A与A'，B与B'，C与C'，…，所在
的直线都经过同一点O，并且 ＝ ＝ ＝…，像这样的两个多边
形叫作 ，点O叫作 .
位似多边形
位似中心
2. 位似的性质
(1)两个图形是位似图形，具有相似图形的一切性质；
(2)对应点的连线所在直线都经过同一点；
(3)对应边互相 或在同一条直线上；
(4)在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，位似比为k，那么位
似图形上的对应点的坐标比等于k或－k.
平行
3. 位似作图的步骤
(1)确定位似中心；
(2)确定关键点：通常为图形的顶点；
(3)确定相似比：根据放大或缩小的倍数确定相似比；
(4)确定新图的关键点：分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键
点，根据相似比，确定所作的位似图形的关键点；
(5)确定位似图形：顺次连接上述各点，得到位似图形.
命题点7　图形的位似
随堂检测
1. (2025浙江中考)如图，五边形是ABCDE，A'B'C'D'E'以坐标原点O为
位似中心的位似图形，已知点A，A'的坐标分别为(2，0)，(3，0).若DE
的长为3，则D'E'的长为(　C　)
A. B. 4 C. D. 5
C
解析：∵五边形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位
似图形，点A，A'的坐标分别为（2，0），（3，0），
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∵∠DOE＝∠DOE，∴△DOE∽△D'OE'，
∴ ＝ ＝ ，
∵DE＝3，∴D'E'＝ .
2. (2022广西模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，
A(6，0)，B(0，8)，以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的
位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为(　B　)
A. (0，0)，2
B. (2，2)，
C. (2，2)，2
D. (1，1)，
B
3. (2022梧州)如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形
A'B'C'D'，已知 ＝ ，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A'B'C'D'
的面积是(　D　)
A. 4 B. 6 C. 16 D. 18
D
解析：∵以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D'，
＝ ，∴ ＝ ＝ ，∴S四边形A'B'C'D'＝18，即
四边形A'B'C'D'的面积为18.故选D.
4. (2025山东烟台中考)如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，
△ABC的顶点A的坐标为(4，3).以点P为位似中心作△A1B1C1与
△ABC位似，相似比为2，且与△ABC位于点P同侧；以点P为位似中心
作△A2B2C2与△A1B1C1位似，相似比为2，且与△A1B1C1位于点P同
侧……按照以上规律作图，点A3的坐标为 .

解析：依题意A1P＝2AP＝2 ＝5，
∴A2P＝2A1P＝10，A3P＝2A2P＝20，
设直线AP的解析式为y＝kx＋b（k≠0），
代入 ，（4，3），
∴ 解得：
∴y＝－ x＋6.
设A3 ，
∴（m－6）2＋ ＝202，
解得：m1＝－10，m2＝22（舍去），
∴A3 .
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第七章　图形的变化
课标要求
学会利用对称性和面积计算对剪拼问题进行分析，了解某些特殊的剪拼
办法.
命题点8　图形的裁剪与拼接
要点归纳
1. 图形剪拼的常见图形
(1)在任意直角三角形中，找其中任意两条边的中点，沿着中点的连线裁
剪，可拼接成平行四边形；
(2)等腰直角三角形还可以沿着斜边中线裁剪，拼成以下三种平行四边
形，也就是说两个全等的三角形可以拼成三种平行四边形；
(3)一大一小两个正方形可以裁剪拼接成一个大正方形；
(4)当满足 ＝ 时，左边正方形可剪拼成右边矩形，反之亦然；
(5)分割成两个平行四边形的不规则图形裁剪平分面积的两种方法(M1，
N1，M2，N2均为平行四边形两条对角线的交点).
2. 图形剪拼中面积与周长的变化情况
(1)总面积不变，总周长发生变化；
(2)一个图形裁剪成两个图形，周长增加两个裁剪痕迹的长；
(3)两个图形拼成一个图形，周长减少两个拼接口的长.
命题点8　图形的裁剪与拼接
随堂检测
1. (2023承德二模)如图，将等腰直角三角形纸片ABC沿斜边BC上的高
AD对折，然后从AC中点处向AD中点处剪开，剪掉∠A，展开后得到
的多边形内角和为 .
360°
2. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积
公式的出入相补法.如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，
E，连接DE，过点A作AF⊥DE于点F，将△ABC分割后拼接成矩形
BCHG. 若DE＝8，AF＝6，则△ABC的面积是 .
96
解析：由题意知，BG＝CH＝AF＝6，
DG＝DF，EF＝EH，
∴DG＋EH＝DE＝8，
∴BC＝GH＝8＋8＝16，
∴△ABC的边BC上的高为12，
∴S△ABC＝ ×16×12＝96.
3. 如图，六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板
的最短边为1，则中间正六边形的面积为 .

解析：如图，∵△ABG≌△BCH，∴AG＝BH.
∵∠ABG＝30°，∴BG＝2AG，
即BH＋HG＝2AG，∴HG＝AG＝1，
∴中间正六边形的面积＝ ×1× ×6＝ .
4. 如图，是由5个边长为1的小正方形组成的图形，嘉嘉将图1所示的纸
片通过裁剪拼接成了一个大正方形(如图2).
(说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余)
(1)大正方形的边长为 ；
解析：（1）根据题意得，大正方形的边长为： ＝ ，
故答案为： ；

(2)嘉嘉借助平面直角坐标系进一步探究大正方形的边长，如图3，以点
O为原点，以小正方形的边长为单位长度，建立如图所示的坐标系，则
点A的坐标是 .
解析：（2）∵以点O为原点，以小正方形的边长为单位长度，
∴由图得点A在第二象限，且边长为 ，
∴点A的坐标是 .
（－ ， ）
5. 图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同，但大小不
同，其中AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠B＝60°，现利用这
两张卡片分别裁剪拼接出两个正方形.嘉嘉利用纸片1按图示方法截取正
方形AEFG，设BE＝x.
(1)①纸片1中的EF＝ (用含x 的代数式表示)；若正方形AEFG
的面积为27，则可列一元二次方程： ；
解：（1）①∵四边形AEFG为正方形，
∴∠AEF＝90°，∴∠BEF＝90°.
∵∠B＝60°，∴∠EFB＝30°，
∴FB＝2BE＝2x，
∴EF＝ ＝ x，
∴S正方形AEFG＝EF2＝3x2＝27.
故答案为： x，3x2＝27；
x
3x2＝27
②请解①中的方程，并求AB的长.
解：（1）②3x2＝27，
x2＝9，
∴x1＝3，x2＝－3（舍去），
∴BE＝3，AE＝EF＝3 ，
∴AB＝AE＋BE＝3 ＋3.
故答案为：3 ＋3；
(2)①淇淇将纸片2只剪一次，并利用旋转知识拼出一个面积最大的正方
形.请在图2中画出正确的图形(剪拼痕迹均用虚线表示)；
解：（2）①过点A作AM⊥BC于点M，
设AM为裁剪线，
∵题图1中的四边形纸片1与题图2中的四边形纸片2形
状相同，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴将△ABM绕点A逆时针旋转90°得出△ADN，如图，
∴AM＝AN，∠B＝∠ADN，∠BAD＝90°.
∵∠BCD＝90°，
∴∠B＋∠ADC＝180°，
∴∠ADC＋∠ADN＝180°，
∴C、D、N三点共线，
∴∠N＝∠MCN＝∠AMC＝90°，
∴四边形AMCN为矩形，
∴矩形AMCN为正方形，即此时拼出的正方形面积最大；
②若图2中AB＝ ，请比较(1)(2)的条件下得到的两个正方形中，哪
个面积较大？
解：（2）②由（2）①可知∠AMB＝90°，
又∵题图1中的四边形纸片1与题图2中的四边形纸片2形状相同，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝ AB＝ × ＝ ，
∴AM＝ ＝5，
∴S正方形AMCN＝AM2＝25，
∴（1）中的正方形面积较大.
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第七章　图形的变化
课标要求
①通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：在成轴对称的
两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分.
②能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的
对称图形.
③理解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、
圆的轴对称性质.
④认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.
⑤运用图形的轴对称进行图案设计.
解析：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6，
∵2，3的最小公倍数是6，
如图，
∴6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6，
∴需图②的个数：6×2＝12（个）；
同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4， 3， 2的长方体，
用4×3＝12个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方
体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体，
此时需要：2×3×4×6＝144（个）.
1. 轴对称图形与轴对称
项目 轴对称图形 轴对称
图形
项目 轴对称图形 轴对称
定义 如果一个图形沿某条直线对折
后，直线两边的部分能够完
全 ，那么这个图形就
叫作轴对称图形，这条直线叫
作 .如上图，
△ABC是轴对称图形，直线l
为对称轴　 如果两个图形沿某条直线对折
后，这两个图形能够完全
，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫
作 .
如上图，△ABC与△A'B'C'关
于直线l成轴对称
重合
对称轴
重合
对称轴
区别 (1)轴对称图形是指具有特殊
形状的一个图形； (2)对称轴至少有一条 (1)轴对称是指两个全等图形
之间的相互位置关系；
(2)对称轴有且只有一条
轴对称 的性质 (1)对应点的连线被对称轴 ； (2)对应线段 ，对应角 ； (3)对应线段(不平行时)或延长线的交点在 上； (4)成轴对称的两个图形 常见的
轴对 称图形 线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、正n(n≥3，
且n是整数)边形、圆等 垂直平分
相等
相等
对称轴
全等
2. 图形的折叠
(1)折叠的性质：
①几何图形的折叠实质是轴对称，位于折痕两侧的图形关于折痕成
轴对称；
②满足折叠性质，即折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段、
周长、面积等均相等；
③折叠前后，对应点的连线被折痕垂直平分.
图形 性质
将矩形ABCD沿
对角线 AC折叠得到
△AB'C 对称轴：AC所在直线，△ABC与△AB'C关于AC所
在直线对称
相等的线段：AB'＝AB，CB'＝CB
相等的角：∠BAC＝∠B'AC，∠BCA＝∠B'CA，
∠ABC＝∠AB'C
垂直平分线：AC垂直平分BB'，可得BO＝B'O，
∠AB'O＝∠ABO，∠CB'O＝∠CBO
(2)几种常考的矩形折叠模型：
模型(图形) 结论
矩形ABCD先上下对折，展开后再将
顶点A折叠到折痕EF上 ①△ABG为 三角形；
②∠CBG＝ ；
③ ＝ 　 　
等边
30°

模型(图形) 结论
将矩形ABCD顶点B沿着直线AE折叠
到对角线AC上，点B的对称点为点
F，设AB＝a，BC＝b，BE＝x ①AF＝AB，CF＝AC－AB
＝ －a；
②EF⊥AC；
③△CEF∽△CAB；
④在Rt△CFE中有：
CE2＝EF2＋CF2，
即(b－x)2＝x2＋(－a)2
模型(图形) 结论
将矩形ABCD顶点C沿着直线BE折叠到边AD上，设AB＝a，BC＝b ①BC'＝BC＝b，AC'＝
；
②△ABC'∽△DC'E，即
＝ ＝
模型(图形) 结论
将矩形ABCD顶点C沿着直线EF折叠到与顶点A重合，设AB＝a，BC＝
b，BE＝x ①四边形AECF是 ；
②D'，F，C三点共线；
③点A，B，C，D，D'在同一个圆上；
④△AD'F≌△CDF≌△ABE；
⑤DD'∥AC；
⑥在Rt△ABE中有：
BE2＋AB2＝AE2，x2＋a2＝(b－x)2
菱形
模型(图形) 结论
正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F在BC上，将△BEF沿EF所在直线折叠，点B的对应点为B'，则点B'在以E为圆心，BE长为半径的圆上，设AB＝a 当E，B'，C三点共线时，B'C
有最小值，
BE＝ a，EC＝
＝ a，
B'C的最小值为
EC－B'E＝ a－ a＝ a
3. 轴对称与线段最值问题
(1)一点一线：点线之间，垂线段最短.
(2)两点一线：两点之间，线段最短.
①异侧线段之和最小值：在直线l上找一点P，要使AP＋BP的值最
小，连接AB，与直线l的交点P'即为所求点；
②同侧线段之和最小值：在直线l上找一点P，要使AP＋BP的值最小，作B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点P即为所求点.
(3)两线一点：两点之间，线段最短.
点P在∠AOB内部，在OA，OB上分别找点M，N，要使PM＋PN＋
MN的值最小，分别作P关于OA，OB所在直线的对称点 P'，P″，连接
P'P″，与OA，OB的交点M，N即为所求点.
(4)两线两点：两点之间，线段最短.
A，B两个村庄位于小河的两岸，要在河上修一座桥，使得桥到两个村
庄的距离之和最短，请确定桥的位置.过点B作BC⊥l1于点C，在BC上
截取BB'等于河宽，连接AB'交l1于点M，过点M作MN⊥l2于点N，连
接BN，则MN即为桥的位置.
4. 折叠求最值模型
如图，点N为定点，点M为动点，折叠图形后.
①求A'B的最小值；
②求点A'到BC距离的最小值.
应用的原理： ①平面内的点与圆上距离最大和最小的点均在该点与圆
心连线所在的直线上；②垂线段最短.
处理方法： 以点N为圆心、AN的长为半径作圆.①连接BN交☉N于一
点，当点A'与该交点重合时，A'B取最小值；②过点N作BC的垂线，交
☉N于一点，当点A'与该交点重合时，点A'到BC的距离最小.
命题点4　轴对称与图形的折叠(必考)
随堂检测
1. (2024巴中)下列图形中，是轴对称图形的是(　D　)
A B
C D
D
2. (2025河北保定三模)如图，矩形ABCD中，AD＝ AB，点E在BC边上从点C向点B运动(含端点)，作四边形AECD关于直线AE对称的四边形AEC'D'，点D，C的对应点分别为点D'，C'，连接DD'交AE于点O.
甲：点E不可能落在DD'上；
乙：点D'，C'运动路径的长度比始终为 .下列说法正确的是(　D　)
D
A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对
C. 甲、乙都错 D. 甲、乙都对
解析：如图，连接AC，AC'，
由题意可得：DD'⊥AE，AC＝AC'，AD＝AD'，
∴∠AOD＝90°，
∴点O在以AD为直径的半圆上，该半圆与BC没有交点，
而点E在BC上，
∴点O与点E不会重合，即点E不可能落在DD'上，故甲对；
由题意可得：AB＝CD，∠ADC＝90°，
∵AD＝ AB，∴AD＝ CD，
∴AC＝ ＝2CD，
∴ ＝ ＝ ，
从点E在点C位置开始，点D'，C'运动路径的长度为以点A为圆心，分
别以AD'，AC'为半径的弧长，且AC'与AD'转过的角度相等，
∵ ＝ ＝ ，
∴点D'，C'运动路径的长度比始终为 ，故乙对.
3. (2025吉林长春中考)将直角三角形纸片ABC(∠C＝90°)按如图方式
折叠两次再展开，下列结论错误的是(　D　)
A. MN∥DE∥PQ
B. BC＝2DE＝4MN
C. AN＝BQ＝ NQ
D. ＝ ＝
D
解析：由折叠可得：DE⊥AC，PQ⊥AC，MN⊥AC，
AM＝MD＝DP＝PC，
∴MN∥DE∥PQ∥BC，故A正确，不符合题意；
∴△ADE∽△ACB∽△AMN，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴BC＝2DE，DE＝2MN，
∴BC＝4MN，
∴BC＝2DE＝4MN，故B正确，不符合题意；
∵MN∥PQ∥BC，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴BQ＝AN＝ AB，QN＝ AB，
∴AN＝BQ＝ NQ，故C正确，不符合题意；
∵△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ≠ ≠ ，故D错误，符合题意.
4. 在 ABCD中，∠ACB＝25°，现将 ABCD沿EF折叠，使点C与
点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数为(　C　)
A. 135° B. 120°
C. 115° D. 100°
C
解析：由折叠可得∠EAC＝∠ECA＝25°，
∠FEC＝∠AEF，∠DFE＝∠GFE.
∵∠EAC＋∠ECA＋∠AEC＝180°，
∴∠AEC＝130°，∴∠FEC＝65°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DFE＋∠FEC＝180°，
∴∠DFE＝115°，
∴∠GFE＝115°.故选C.
5. (2024通辽)剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对
称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点A(－4，2)关于对称轴对称
的点的坐标为(　C　)
A. (－4，－2) B. (4，－2)
C. (4，2) D. (－2，－4)
C
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第七章　图形的变化
课标要求
①通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念；
②会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断
简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体.
命题点2　投影与视图(必考)
要点归纳
1. 投影
平行投影 由平行光线照射在物体上所形成的投影
正投影 投影线垂直照射在投影面上的物体投影
中心投影 由同一点发出的光线照射在物体上所形成的投影
2. 三视图的概念与画法
视图：当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫作物体的一
个视图. 物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图.
(1)主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫作主视图.
(2)俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫作俯视图.
(3)左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫作左视图，有
时也叫作侧视图.
视图的 画法 (1)主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，左视图与俯视图宽相等
(2)画图时，看得见的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成虚线
3. 常见几何体的三视图
几何体 主视图 左视图 俯视图 总结
三个视图是等大的正方形
三个视图中有两个等大的矩
形和一个圆
三个视图均为矩形，但不一
定相同
4. 根据三视图还原几何体
(1)想象：根据各视图想象从三个方向看到的几何体形状.
(2)定形：综合确定几何体(实物原型)的形状.
(3)定大小、位置：根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，确
定轮廓线的位置以及各个方向的大小.
命题点2　投影与视图(必考)
随堂检测
1. (2025山东东营中考)下图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如
下，则此领奖台的左视图是(　C　)
A.
B.
C.
D.
C
2. (2024山东)下列四个几何体中，主视图是下图的是(　D　)
A B
D
C D
3. (2024辽宁)如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体
的俯视图是(　A　)
A
4. (2023湖北)如图是一个立体图形的三视图，该立体图形是(　D　)
A. 三棱柱 B. 圆柱
C. 三棱锥 D. 圆锥
D
5. (2023台湾)如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成.判断
拿走图中的哪一个积木后，此图形主视图的形状会改变(　B　)
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
B
6. (2025河北邯郸三模)如图1，某小区内有一条笔直的小路，路的旁边
有一盏路灯，图象(图2)表示小红晚上在灯光照射下的影长l与行走的路
程s之间的关系，则小红的行走过程是(　C　)
A. 由A走向D，再走回A
B. 由B走向C
C. 由A走向C，再走回A
D. 由C走向B，再走回A
C
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第七章　图形的变化
课标要求
①能用尺规完成以下基本作图：作一个角等于已知角；作一个角的平分
线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线.
②能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；
已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三
角形.
③能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、
内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形.
④在尺规作图中，了解作图的原理，保留作图的痕迹，不要求写出
作法.
命题点1　尺规作图(必考)
要点归纳
1. 基本作图一：作一条线段等于已知线段.
(1)图示：
(2)作法：
①作射线OP；
②以O为圆心，a为半径作弧，交OP于点A，OA即为所求线段.
(3)运用：
①已知三边作三角形：
②作圆的内接正六边形：
2. 基本作图二：作一个角等于已知角.
(1)图示：
(2)作法：
①在∠α上以 O为圆心，适当的长为半径作弧，交∠α的两边于点
P，Q；
②作射线 O'A；
③以 O'为圆心，OP长为半径作弧，交 O'A于点M；
④以点 M为圆心、PQ长为半径作弧，交前弧于点N；
⑤过点 N作射线 O'B，∠BO'A即为所求角.
(3)运用：
①作已知直线的平行线：
②已知两边及其夹角作三角形：
③已知两角及其夹边作三角形：
3. 基本作图三：作角的平分线.
(1)图示：
(2)作法：
①以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交 OA，OB于点N，M；
②分别以点M，N为圆心，大于 MN长为半径作弧，两弧相交于点P；
③作射线OP，OP即为所求角平分线.
(3)运用：作三角形的内切圆.
4. 基本作图四：作线段的垂直平分线.
(1)图示：
(2)作法：
①分别以点A，B为圆心，大于 AB长为半径在线段AB两侧作弧；
②连接两弧交点，所成直线即为所求垂直平分线.
(3)运用：
①已知底边及底边上的高作等腰三角形：
②在三角形一边上确定一点到另一边两个端点的距离相等(如在BC上找
一点P使得PA＋PC＝BC)：
③过不在同一条直线上的三点作圆，即作三角形的外接圆：
④作圆的内接正多边形：
5. 基本作图五：过一点作已知直线的垂线.
(1)图示与作法：
a.点在直线上：
①以点P为圆心，任意长为半径向点P两侧作弧，交直线于A，B两点；
②分别以点A，B为圆心，以大于 AB长为半径向直线两侧作弧，交点
分别为M，N；
③作直线MN，MN即为所求垂线.
b.点在直线外：
①在直线另一侧取点M；
②以P为圆心，PM长为半径作弧，交直线于A，B两点；
③分别以A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，交于点M同侧的点N；
④作直线PN，则直线PN即为所求垂线.
(2)运用：
①已知一直角边和斜边作直角三角形：
②已知一三角形作三角形一边上的高线：
　
命题点1　尺规作图(必考)
随堂检测
1. (2025天津中考)如图，CD是△ABC的角平分线.按以下步骤作图：①
以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交
于点F；②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点G；③
以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；
④作射线BH，与CD相交于点M，与边AC相交于点N. 则下列结论一
定正确的是(　D　)
A. ∠ABN＝∠A B. BN⊥AC
C. CM＝AD D. BM＝BD
D
解析：由作法得：∠CBN＝∠A，根据题意无法得到∠ABN与∠CBN
的大小关系，所以无法确定∠ABN与∠A的大小关系，故A选项错误；
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠BCD＝∠ACD，
∵∠BMD＝∠BCD＋∠CBN，∠BDM＝∠A＋∠ACD，
∴∠BMD＝∠BDM，
∴BD＝BM，故D选项正确；
题干中没有说明∠ACB，∠A的大小关系，
∴无法判断∠ACB，∠CBN的大小关系，则无法得到∠BNC的度数，
故B选项错误；
根据题意无法得到AD，CM的大小关系，故C选项错误.
2. (2025湖北中考)如图，△ABC内接于☉O，∠BAC＝30°.分别以点
A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作
直线MN交AC于点D，连接BD并延长交☉O于点E，连接OA，OE，
则∠AOE的度数是(　C　)
A. 30° B. 50°
C
C. 60° D. 75°
解析：由作图可得：MN是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，而∠BAC＝30°，
∴∠BAD＝∠ABD＝30°，
∴∠AOE＝2∠ABD＝60°.
3. (2024北京)下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.
(1)如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点
C，D；
(2)作射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；以点
C'为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D'；
(3)过点D'作射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB.
上述方法通过判定△C'O'D'≌△COD得到∠A'O'B'＝∠AOB，其中判定
△C'O'D'≌△COD的依据是(　A　)
A
A. 三边分别相等的两个三角形全等
B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
解析：由题作图过程可得，OC＝OD＝O'C'＝O'D'，C'D'＝CD，
∴△C'O'D'≌△COD（SSS），
∴判定△C'O'D'≌△COD的依据是三边分别相等的两个三角形全等.
故选A.
4. (2022邢台模拟)如图，在△ABC中，∠C＝90°，分别以A，B为圆
心，大于 AB的长为半径画弧，所画的弧交于两点，再连接该两点所在
直线交BC于点D，连接AD. 若BD＝2，则AD的长为 .
2
5. (2024无锡)如图，在△ABC中，AB＞AC.
尺规作图：作∠BAC的角平分线，在角平分线上确定点D，使得DB＝
DC. (不写作法，保留痕迹)
解：如图：AD即为所求.
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第七章　图形的变化
课标要求
①了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作模型；
②通过实例，了解展开图在现实生活中的应用.
命题点3　立体图形的展开与折叠(必考)
要点归纳
1. 常见立体图形的展开与折叠
正方体的展开图是六个 .
直棱柱的展开图是两个全等的n边形与n个 (n≥3).
圆锥的展开图是一个圆与一个 .
圆柱的展开图是两个 与一个 .
全等的正方形
矩形
扇形
全等的圆
矩形
2. 正方体的表面展开图类型(颜色相同的为折成正方体时的相对面)
(1)“一四一”型：
(2)“二三一”型：
(3)“三三”型：
(4)“二二二”型：
注意：正方体表面展开图的记忆口诀.
中间四个面，上下各一面；中间三个面，一二隔河见；中间二个面，楼
梯天天见；中间没有面，三三连一线.(结合要点2的正方体展开图的常
见类型及相对面进行理解)
3. 判断正方体表面展开图上的相对面、相邻面
(1)相间“Z”端是对面：
①相间的两个小正方形(中间隔着一个小正方形)是正方体的两个对面.如
图，“信”与“着”相对.
②“Z”字型“ ”两端处的小正方形是正方体的对面.如图，
“自”与“超”相对，“沉”与“越”相对.
(2)间二拐角是邻面：
①中间隔着两个小正方形的面是正方体的邻面；
②拐角型“ ”的三个面是正方体的邻面.
注意：正方体的表面展开图中不能出现“ ”“ ”“ ”图
形，更不能出现五个面排一行，若出现“ ”类型，另两面必须在
两侧，在做选择题时，可借助此方法排除错误选项.
4. 立体图形的折叠：一个几何体能展开成一个平面图形，这个平面图
形也能折叠成相应的几何体，展开与折叠是一个互逆的过程.
5. 立体图形上两点之间最短距离的求法：将立体图形展开转化为平面
图形或将曲面转化为平面图形，然后运用“两点之间，线段最短”并结
合勾股定理求解.
蚂蚁要吃到蜂蜜的最短路线长是圆柱的侧面展开图中线段AB的长度.
命题点3　立体图形的展开与折叠(必考)
随堂检测
1. (2024济宁)如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，
有“建”字一面的相对面上的字是(　D　)
A. 人 B. 才 C. 强 D. 国
D
2. (2025山西三模)如图是某几何体的表面展开图，则该几何体是
(　A　)
A B
A
C D
3. (2023达州)下列图形中，是长方体表面展开图的是(　C　)
A B
C D
C
4. 下图中，有10个无阴影的正方形，从中选出1个和5个有阴影的正方
形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有n个，则n
的值为(　D　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D
5. (2024扬州)如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何
体是(　C　)
A. 三棱锥 B. 圆锥
C. 三棱柱 D. 长方体
C
6. (2024山东青岛中考)如图①，将边长为2的正方形纸板沿虚线剪掉边
长为1的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的
“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高分
别为4，2，2的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为4，1，1的长方
体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼
成正方体，最少需要 块.
12
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第七章　图形的变化
课标要求
①通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移
所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等；
②认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用；
③运用图形的平移进行图案设计.
命题点6　图形的平移(必考)
要点归纳
1. 图形的平移
定义 在平面内，一个图形整体沿着一定的方向移
动一定的距离，这样的图形运动称为平移　
要素 平移的 和
性质 (1)平移前后，对应线段 ，对应角 ；
(2)连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)且相等，可
构成平行四边形；
(3)平移前后的图形全等
方向
距离
相等
相等
作图 步骤 (1)确定平移的方向和距离；
(2)找出原图形的关键点；
(3)过关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移距
离相等的线段，得到关键点的对应点；
(4)按原图形依次连接各对应点，得到平移后的图形
2. 图形变换与点的坐标的关系
在平面直角坐标系中，若图形位置发生了平移、对称或旋转变换，其各
点坐标也相应改变.设图形上任一点的坐标为(x，y)：
变换方式 变换后的坐标
平移 向上(下)平移m个单位长度 (x，y＋m)[(x，y－m)]
向右(左)平移n个 单位长度 (x＋n，y)[(x－n，y)]
对称 关于x轴对称 (x，－y)
关于y轴对称 (－x，y)
关于原点对称 (－x，－y)
关于点(a，b)对称 (2a－x，2b－y)
旋转 旋转角为180°时，直接按中心
对称性质求解；旋转角为90°
时，可考虑用全等知识计算
命题点6　图形的平移(必考)
随堂检测
1. (2025四川自贡中考)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得
到△EFG，点E，F在坐标轴上.若∠A＝90°，tanB＝ ，A(－4，
3)，则点G坐标为(　B　)
A. (11，－4) B. (10，－3)
C. (12，－3) D. (9，－4)
B
解析：过点A作AH⊥y轴，过点B作BK⊥AH交
HA的延长线于点K，则：
∠AHO＝∠BKA＝90°＝∠BAO，
∴∠BAK＝∠AOH＝90°－∠HAO，
∴△AHO∽△BKA，∴ ＝ ＝ ，
∵∠A＝90°，tan∠ABO＝ ，A（－4，3），
∴OH＝3，AH＝4， ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，∴BK＝8，AK＝6，
∵平移，∴OF＝BK＝8，OE＝AK＝6，
∴E（6，0），
∴将点A先向右平移10个单位，再向下平移3个单
位得到点E，
∴将点O（0，0）先向右平移10个单位，再向下
平移3个单位得到点G，
∴G（10，－3）.
2. (2023南充)如图，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF，若BC＝5，
BE＝2，则CF的长是(　A　)
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 5
A
3. (2023河北中考)在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从
点(x，y)移动到点(x＋2，y＋1)称为一次甲方式；从点(x，y)移动到点(x
＋1，y＋2)称为一次乙方式.
例如：点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点
M(4，2)；若都按乙方式，最终移动到点N(2，4)；若按1次甲方式和1次
乙方式，最终移动到点E(3，3).
(1)设直线l1经过上例中的点M，N，求l1的解析式；并直接写出将l1向
上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式.
解：（1）设l1的解析式为y＝kx＋b，把M（4，2）、N（2，4）代
入，得
解得：
∴l1的解析式为y＝－x＋6；
将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式为y＝－x＋15；
(2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终
移动到点Q(x，y).其中，按甲方式移动了m次.
①用含m的式子分别表示x，y；
解：（2）①∵点P按照甲方式移动了m次，
点P从原点O出发连续移动10次，
∴点P按照乙方式移动了（10－m）次，
∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为（2m，m）；
∴点（2m，m）按照乙方式移动（10－m）次后得到的点的横坐标为
2m＋10－m＝m＋10，纵坐标为m＋2（10－m）＝20－m，
∴x＝m＋10，y＝20－m；
②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上.设这条直线
为l3，在图中直接画出l3的图象；
解：（2）②由于x＋y＝m＋10＋20－m＝30，
∴直线l3的解析式为y＝－x＋30；
函数图象如图所示：
(3)在(1)和(2)中的直线l1，l2，l3上分别有一个动点A，B，C，横坐标
依次为a，b，c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时
a，b，c之间的关系式.
解：（3）∵点A，B，C的横坐标依次为a，b，c，且分别在直线
l1，l2，l3上，
∴A（a，－a＋b），B（b，－b＋15），C（c，－c＋30），
设直线AB的解析式为y＝mx＋n（m≠0），
把A，B两点坐标代入，得
解得：
∴直线AB的解析式为
y＝ x＋6－ ，
∵A，B，C三点始终在一条直线上，
∴c ＋6－ ＝－c＋30，
整理得：5a＋3c＝8b，
即a，b，c之间的关系式为：5a＋3c＝8b.
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第七章　图形的变化
课标要求
①通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转.探索它的基本性
质： 一个图形和旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相
等， 两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.
②了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质：成中心对
称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.
③探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质.
④认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.
⑤运用图形的旋转进行图案设计.
命题点5　中心对称与图形的旋转(必考)
要点归纳
1. 中心对称图形与中心对称
项目 中心对称图形 中心对称
图形
项目 中心对称图形 中心对称
定义 如果一个图形绕某一个点旋
转 后能与它自身重
合，我们就把这个图形叫作
中心对称图形，这个点叫作
它的 ，其中对
称的点叫作 . 如上图， ABCD是中心对
称图形，点O是 如果一个图形绕某一点旋
转 后与另一个图形
重合，我们就把这两个图形
叫作成中心对称，这个点叫
作 ，其中成中
心对称的点、线段和角，分
别叫作对应点、对应线段和
对应角.如上图，△ABC与
△A'B'C'关于点 O成中心对称
180°
对称中心
对应点
对称中心
180°
对称中心
项目 中心对称图形 中心对称
区别 中心对称图形是指具有特殊
形状的一个图形 中心对称是指两个全等图形
之间的相互位置关系
中心对称 的性质 (1)成中心对称的两个图形，对应点连线都经过 ，并且被对称中心 ； (2)成中心对称的两个图形 常见的 中心 对称图形 线段、平行四边形、正2n(n是大于1的正整数)边形、圆等 对称中心
平分
全等
2. 图形的旋转
定义 把一个平面图形绕着平面内的某一点转动
一个角度叫作图形的旋转，这个点叫作旋
转中心，转动的角度叫作旋转角
要素 旋转中心、旋转 和旋转
方向
角
性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等，一定可以得到等腰三角
形；
(2)每组对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前后的图形全等
作图 步骤 (1)确定旋转中心、旋转方向和旋转角；
(2)找出原图形的关键点；
(3)连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋
转，得到各关键点的对应点；
(4)按原图形依次连接各对应点，得到旋转后的图形
命题点5　中心对称与图形的旋转(必考)
随堂检测
1. (2025黑龙江中考)我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很
多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是
(　B　)
A B
B
C D
2. (2022上海)有一个正n边形旋转90°后与自身重合，则n为(　C　)
A. 6 B. 9 C. 12 D. 15
C
3. (2022青岛)如图，将△ABC先向右平移3个单位长度，再绕原点O旋
转180°，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是(　C　)
A. (2，0)
B. (－2，－3)
C. (－1，－3)
D. (－3，－1)
C
4. (2024无锡)如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝65°，将△ABC
绕点A逆时针旋转得到△AB'C'.当AB'落在AC上时，∠BAC'的度数为
(　B　)
A. 65° B. 70° C. 80° D. 85°
B
5. (2025陕西中考)如图，过原点的直线与反比例函数y＝ (k＞0)的图象
交于A(m，n)，B(m－6，n－6)两点，则k的值为 .
9
解析：∵过原点的直线与反比例函数y＝ （k＞0）的图象交于A
（m，n），B（m－6，n－6）两点，
∴A（m，n），B（m－6，n－6）两点关于原点O对称，即A的横
坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数，
∴－m＝m－6，－n＝n－6，
∴m＝3，n＝3，
∴A（3，3），
把A（3，3）代入y＝ ，
得3＝ ，解得k＝9.
6. (2024黑龙江)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个
单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－
1，1)，B(－2，3)，C(－5，2).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
解：（1）△A1B1C1如图所示，
B1的坐标为（2，3）；
(2)画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2，并写出点B2的
坐标；
解：（2）△AB2C2如图所示，B2的坐标为（－3，0）；
(3)在(2)的条件下，求点B旋转到点B2的过程中所经过的路径长(结果保
留π).
解：（3）∵AB＝ ＝ ，∠BAB2＝90°，
∴点B旋转到点B2的过程中所经过的路径长为：
＝ π.
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