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第13章 数据的分析
13.3 数据的离散程度
第2课时 离差和方差
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关于“激活沉默用户”的问题中两个方案分别实施7天的激活人数情况如下表：
A，B两个方案的平均激活人数都是1 046，但是它们的离散程度不同，应该用什么统计量来比较它们的离散程度呢？
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任务一：认识离差——量化波动的基础
请阅读教材“观察与发现”.
问题1：什么是离差？
在一组数据中，一个数据与这组数据的平均数的差叫作这个数据的离差.
问题2：离差可能是什么数？
离差可能是正数、负数或0.
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问题3：离差的符号及其绝对值有什么有意义？
离差的符号及其绝对值分别反映了该数据偏离平均数的方向与大小.离差符号为正表示该数据大于平均数，离差符号为负表示该数据小于平均数.
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请计算“激活沉默用户”问题中 A，B两个方案相应的两组数据的离差.
离差分别为:
A组 27 44 54 -21 -25 -21 -58
B组 -24 -136 234 -126 246 -24 -170
问题4：把离差相加得到的和能表示一组数据的离散程度吗？
A 组、B组数据的离差和均为0，不能表示一组数据的离散程度.
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任务二：优化方法——推导方差公式
(1)为了解决离差符号对和(即离差正负抵消)的影响，可以采取什么方法呢？
取离差的绝对值.
具有局限性，绝对值运算在计算器运算中容易出错.
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(2)还有什么方法能避免离差正负抵消且运算方便？
计算离差的平方和：
A 组：272+442+542+(-21)2+(-25)2+(-21)2+(-58)2=10 452；
B组：(-24)2+(-136)2+2342+(-126)2+2462+(-24)2+(-170)2=179 696.
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(3)若两组数据个数不同，直接对比平方和合理吗？怎样优化？
求离差的平方的平均数：
A 组：=；
B组：=.
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(4)定义离差平方和与方差.
设n个数据x1，x2，…，xn 的平均数为，各个数据离差的平方和叫作这组数据的离差平方和，即
(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2.
各数据离差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记作s2，即
s2 =[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2].
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(5)验证意义.
A 组、B组数据的方差分别是=，= ，由< 可知，A方案7天的激活人数与B方案相比，波动较小，更加稳定，这与前面直观判断的结果是一致的.
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离差平方和、方差都是刻画一组数据的离散程度的统计量.
当一组数据的离差平方和较大时，方差也较大；当一组数据的离差平方和较小时，方差也较小.反过来也成立.
方差刻画了一组数据偏离平均数的程度，克服了数据量的影响，所以通常用于比较多组数据的离散程度.(方差越小，数据波动越小，越稳定.)
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任务三：知识迁移与运用
例 甲、乙两名篮球运动员本赛季出场次数分别为10次和9次，得分情况为：
甲 12 15 28 15 26 19 11 10 8 6
乙 14 16 13 15 19 13 17 13 15
依照这些数据，如何评价这两名运动员本赛季的得分能力？
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解：甲==15，
乙 ==15.
两名运动员在这个赛季的平均得分相同，说明他们的得分能力相当.
=×[(12-15)2+(15-15)2+(28-15)2+(15-15)2+(26-15)2+(19-15)2+
(11-15)2+(10-15)2+(8-15)2+(6-15)2]=48.6，
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=×[(14-15)2+(16-15)2+(13-15)2+(15-15)2+(19-15)2+(13-15)2+
(17-15)2+(13-15)2+(15-15)2]≈3.78，
由> 可知，甲运动员在这个赛季的得分波动较大，乙运动员在这个赛季的得分更稳定.
课堂评价
1.求下列两组数据的方差：
甲组：4，5，6，7，8；
乙组：2，4，6，8，10.
甲组数据的方差为2，乙组数据的方差为8.
课堂评价
2.某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每天投篮10次，现对甲、乙两名队员在五天中进球数(单位：个)进行统计，结果如下表：
(1)求甲进球的中位数；
(2)经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2.如果综合考虑平均数和进球稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁
课堂评价
(1)将10，6，10，6，8按从小到大的顺序排列，可得6，6，8，10，10，所以甲进球的中位数为8.
(2)乙进球的平均数=8，
乙进球的方差为×[(7-8)2+(9-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(9-8)2]=0.8.
因为两人进球的平均数相同，=3.2，=0.8，所以> ，
所以乙的进球更稳定，所以应选乙去参加定点投篮比赛.
课堂总结
1.什么是离差？有何意义？
2.什么是方差？有何意义？
3.学习了本节课，你有何感想？请畅所欲言.
作业设计
基础性作业：教材练习第1，2题.
提高性作业：教材习题13.3第4题.
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