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(共26张PPT)
第一部分
教材梳理 考点通关
第二章 方程（组）与不等式（组）
第4讲 一次方程（组）及其应用
1
2023~2025年贵州中考考情分析
2
考点归纳
3
真题链接
2023~2025年贵州中考考情分析
（1）考点分布：
①一元一次方程：主要考查一元一次方程的基础概念，如方程的定义、标
准形式等，以及一元一次方程的解法，包括去分母、去括号、移项、合并
同类项、系数化为1等步骤.同时，还会重点考查一元一次方程的实际应用，
常见于销售、行程、工程等问题中，需要根据题目中的等量关系列出方程
并求解.
②二元一次方程组：涉及二元一次方程（组）的基础概念，如二元一次方
程的定义、解的概念等.解法上，考查代入消元法和加减消元法，根据方程
组的特点选择合适的解法.在实际应用方面，常以解决实际问题为出题背景，
例如根据两个未知量之间的数量关系列出二元一次方程组并求解.
（2）题型与分值：
考查题型多样，包括选择题、填空题和解答题.此外，一次方程（组）的实
际应用常以解答题的形式出现，所占分值通常为 分，每年考查
道题，具体分值会根据试卷的整体结构和命题侧重点有所不同.
考点归纳
考点1 等式的性质
文字描述 式子表达
性质1 等式两边加（或减）________________ ____，结果仍相等 若，则
______
性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不 为0的数，结果仍______ 若，则 ，
同一个数（或式子）
相等
1.根据等式的性质，下列变形错误的是（ ）
D
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
考点2 一元一次方程的概念及解法
方程 含有________的等式叫作方程
方程的解 使方程______________的未知数的值，叫作方程的解
一元一次方程 只含有____个未知数，并且未知数的次数是___的
__________，叫作一元一次方程
解一元一次方程的 步骤 去分母、________、移项、合并同类项、__________
_
未知数
左右两边相等
一
整式方程
去括号
系数化为1
2.已知是关于的方程的解，则 的值为（ ）
B
A. B. C.1 D.
考点3 二元一次方程组的概念及解法
二元一次 方程 含有____个未知数，且未知数的次数都是___的整式方程，叫
作二元一次方程
二元一次 方程组 含有两个未知数，且未知数的次数都是1的两个整式方程合在
一起，构成二元一次方程组
二元一次 方程的解 使二元一次方程左右两边______的两个未知数的值叫作二元一
次方程的解
解二元一 次方程组 解二元一次方程组的基本思路是______，化“______”为“
______”;解二元一次方程组的基本方法有____________和____
________
两
相等
消元
二元
一元
代入消元法
加减
消元法
3.用加减消元法解方程组时，将 可得（ ）
D
A. B. C. D.
4.方程组 的解是（ ）
A
A. B. C. D.
考点4 二元一次方程（组）与一次函数的关系
二元一次方程 组与一次函数 二元一次方程组 的解就是一次函数
与 的图象
____________________
交点的横、纵坐标值
真题链接
命题点1 一元一次方程的解
1.【2025贵州】已知是关于的方程的解，则 的值为
（ ）
C
A.3 B.4 C.5 D.6
2.【2025深圳】若关于的方程的解为，则 ___.
3.【2025遂宁】已知是关于的方程的解，则 ___.
命题点2 等式的性质
4.【2024贵州】小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边
分别放入“ ”“●”“ ”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“ ”与
“●”的质量分别为， ，则下列关系式正确的是（ ）
C
A. B. C. D.
命题点3 列一次方程（组）
5.【2023贵州】《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每
户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：
有多少户人家？若设有 户人家，则下列方程正确的是（ ）
C
A. B. C. D.
6.【2025内江】学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元.店方
表示：如果多购，可以优惠.结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获
得同样多的利润.求每套课桌椅的成本.设每套课桌椅的成本为 元，则可列
方程为（ ）
B
A. B.
C. D.
7.【2025兰州】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，“方程章”
第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；
一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、
一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为，一头牛价格为 ，则可列
方程组为（ ）
A
A. B.
C. D.
命题点4 一元一次方程的实际应用
8.【2024贵州】在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大
意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上
慢马需要____天.
9.【2025河北】甲、乙两张等宽的矩形纸条，长分别为， ．如图，将甲
纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ____.
10.【2025河北】一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增
加称为线膨胀．在 （本题涉及的温度均在此范围内），原长为
的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量 之间的关系均
为，其中 为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀
系数单位：/；原长为的铁棒从加热到
伸长了 .
（1）原长为的铜棒受热后温度升高 ，求该铜棒的伸长量
（用科学记数法表示）．
解： .
答：该铜棒的伸长量为 .
（2）求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长 ，
求该铁棒温度的增加量.
解： ，
解得 .
设该铁棒温度的增加量为 ，
根据题意，得
，
解得 .
答：铁的线膨胀系数，该铁棒温度的增加量为 .
（3）将原长相等的铜棒和铁棒从 开始分别加热，当它们的伸长量相同
时，若铁棒的温度比铜棒的高 ，求该铁棒温度的增加量.
解：设该铁棒温度的增加量为，铜棒和铁棒的原长为 .
根据题意，得
，
解得 .
答：该铁棒温度的增加量为 .
命题点5 二元一次方程组的实际应用
11.【2025湖北模拟】《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众
客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少
间客房？来了多少房客？请同学们列方程（组），解得客房和房客分别为
（ ）
A
A.8间，63人 B.9间，72人 C.10间，81人 D.10间，72人
12.【2025自贡】某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平
行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长 ，则
小地砖短边长（ ）
B
A. B. C. D.
13.【2025贵州】贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大
的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A，B两种
型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶
共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共 .
（1）求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨.
解：设一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶 .
由题意，得解得
答：一条A型生产线每月生产抹茶 ，一条B型生产线每月生产抹茶
.
（2）为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A，B两种生
产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于 ，至
少需要安装多少条A型生产线？
解：设需要安装条A型生产线，则安装B型生产线 条.
由题意，得 ，
解得 ，
为正整数，
最小取3，
答：至少需要安装3条A型生产线.
14.【2025河南】为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作
社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种
苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5
箱乙种苹果的售价之和为800元．
（1）求甲、乙两种苹果每箱的售价．
解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、 元，
则解得
答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为100元、80元.
（2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的
箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元．
解：设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果 箱，
则 ，
解得 .
设该公司需花费 元，
则 ，
，
随 的增大而增大，
当时，有最小值，最小值为 ，
即该公司最少需花费1 080元.
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第一部分
教材梳理 考点通关
第二章 方程（组）与不等式（组）
第7讲 一元一次不等式（组）及不等式的应用
1
2023~2025年贵州中考考情分析
2
考点归纳
3
真题链接
2023~2025年贵州中考考情分析
（1）考点分布：
①基础解法与解集表示（高频考点） 重点考查去分母、移项、系数化为
1等步骤，尤其注意不等号方向的变化；解集需在数轴上准确标注实心/空
心点及方向；不等式组解集.
②特殊解与参数范围（核心考点） 整数解问题；已知不等式组整数解个
数求参数范围；含参不等式，系数讨论.
③实际应用与建模（高频考点）方案设计问题：资源分配；预算限制；最
值问题，利润最大化，结合二次函数或一次函数；成本最小化.
④综合题型与跨知识点整合（趋势考点）与方程结合：混合建模；解的验
证，解应用题时需同时满足方程和不等式条件；与函数结合，图象分析；
动态问题，结合几何图形的运动.
（2）题型与分值：
题型覆盖选择、填空、解答，分值稳定在 分.单独命题时，分值通常
为分；综合考查时，分值可达分.整体占总分的 ，
每年考查 道题，解答题出现频率较高.
考点归纳
考点1 一元一次不等式的概念和基本性质
1.不等式的有关概念
不等式 用________来表示不等关系的式子叫作不等式；常用的不
等号有：“ ”“ ”“ ”“ ”“ ”
不等式的解 使不等式成立的____________叫作这个不等式的解
不等式的解集 一个含有未知数的不等式的________，组成这个不等式的
解集
解不等式 求不等式解集的过程，叫作解不等式
不等号
未知数的值
所有解
2.不等式的基本性质
文字描述 式子表达
性质1 不等式的两边加（或减）同一个 数（或式子），不等号的方向 ______ 如果，那么___
性质2 不等式的两边乘（或除以）同一 个正数，不等号的方向______ 如果，，那么 ___
，___
性质3 不等式的两边乘（或除以）同一 个负数，不等号的方向______ 如果，，那么 ___
，___
不变
不变
改变
1.已知 ，那么下列不等式成立的是（ ）
D
A. B.
C. D.
2.若 ，则在下列式子中，正确的是（ ）
D
A. B. C. D.
3.已知，则___（填“ ”“ ”或“ ”）
考点2 一元一次不等式（组）的解法
一元一次不等式 的概念 只含有______未知数，并且未知数的次数是___的不等
式，叫作一元一次不等式
解一元一次不等 式的一般步骤 （1）去分母；（2）________；（3）移项；（4）
____________；（5）系数化为1
解一元一次不等 式组的一般步骤 先求出各不等式的解集，各不等式解集的__________
就是不等式组的解集；可以借助于数轴求解
一个
去括号
合并同类项
公共部分
4.不等式 的最大整数解为（ ）
C
A.5 B.4 C.3 D.2
考点3 一元一次不等式（组）的应用
1.列不等式解应用题的基本步骤：（1）审题；（2）设未知数；（3）列不
等式；（4）解不等式；（5）检验；（6）作答.
2.在实际问题中，常见的关键词与不等号的对应关系如下：
常见关键词 不等号
大于，多于，超过，高于
小于，少于，不足，低于
至少，不低于，不小于，不少于 ___
至多，不高于，不大于，不超过 ___
5.“与5的差不小于 的3倍”用不等式表示为___________.
6.某工程队计划在10天内共栽1 500棵树，开始4天，受天气影响，每天只
能完成105棵树．后来天气转好，为了按期或提前完成，天气转好后平均
每天至少要栽种_____棵树.
真题链接
命题点1 在数轴上表示不等式的解集
1.【2024贵州】不等式 的解集在数轴上的表示，正确的是（ ）
C
A. B.
C. D.
2.【2025福建】不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
C
A. B.
C. D.
命题点2 解一元一次不等式（组）
3.【2023贵州】已知，．若，求 的取值范围．
解：由，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
即的取值范围是 ．
4.【2025兰州】解不等式组： .
解：解不等式，得 .
解不等式，得 .
不等式组的解集为 .
5.【2025凉山】解不等式： .
解： ，
，
，
解得 ，
原不等式的解集为 .
命题点3 一元一次不等式的应用
6.【2024贵州】为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组
织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、
乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲
作物和2亩乙作物需要22名学生．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？
解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要名、 名学生.
根据题意，得.解得 .
答：种植1亩甲作物需要5名学生，种植1亩乙作物需要6名学生
（2）种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植
甲作物多少亩？
解：设种植甲作物亩，则种植乙作物 亩.
根据题意，得 ，
解得 .
答：至少种植甲作物5亩.
7.【2025长沙】为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农
产品由粗加工向精加工转变.根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加
工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千
克B等级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产
品共收入68元.（不考虑加工损耗）
（1）求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元.
解：设A等级农产品每千克销售单价为 元，B等级农产品每千克销售单价
为 元，
由题意，得. 解得 .
答：A等级农产品每千克销售单价为12元，B等级农产品每千克销售单价
为10元.
（2）若该食品企业以每千克8元购进6 000千克农产品，全部加工后对外
销售，要求总利润不低于16 000元，则至少需加工A等级农产品多少千克？
解：设需加工A等级农产品千克，则需加工B等级农产品 千克.
由题意，得 .
解得 .
答：要求总利润不低于16 000元，则至少需加工A等级农产品2 000千克.
8.【2025湖南】同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A，B两种材
料.已知A种材料的单价比B种材料的单价多3元，且购买4件A种材料与购
买6件B种材料的费用相等.
（1）求A种材料和B种材料的单价；
解：设A种材料的单价为元，B种材料的单价为 元，
依题意，得. 解得 .
答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元.
（2）若需购买A种材料和B种材料共50件，且总费用不超过360元，则最
多能购买A种材料多少件？
解：设购买A种材料件，则购买B种材料 件.
依题意，得 ，
解得 .
的最大值为20.
答：最多能购买A种材料20件.
请完成精练册第14页习题(共24张PPT)
第一部分
教材梳理 考点通关
第二章 方程（组）与不等式（组）
第5讲 分式方程及其应用
1
2023~2025年贵州中考考情分析
2
考点归纳
3
真题链接
2023~2025年贵州中考考情分析
（1）考点分布：
①分式方程的解法（高频考点） 基础解法：主要考查去分母、解整式方
程及检验增根的完整步骤；特殊解法：部分题目涉及分组通分、分离分式
等技巧；增根问题：掌握增根的概念及检验方法.
②分式方程的实际应用（核心考点） 行程问题，常结合速度、时间关系
命题；工程问题；经济问题；销售问题，包括利润计算、价格调整等.
③分式方程与其他知识的综合（趋势考点）.
（2）题型与分值：
选择题侧重考查分式方程的基本概念和解法，填空题常考查增根判断或简
单应用，解答题以实际应用为主，要求完整的建模和解题过程.单独命题时，
分值通常为分；综合考查时，分值可达 分.整体占总分的
，每年考查 道题，解答题出现频率较高.
考点归纳
考点1 分式方程及其解法
1.分母中含有________的方程叫作分式方程.
2.解分式方程的基本思想是化分式方程为__________，分式方程的解法有
去分母法、换元法.
3.去分母法解分式方程的步骤:#3
未知数
整式方程
步骤 方法
去分母 方程两边同乘各分母的____________，约去分母，化分式
方程为__________
解整式方程 解这个整式方程
检验 把整式方程的解代入____________，使最简公分母的值为0
的解是______，必须舍去;使最简公分母的值不等于0的解
是原方程的解
最简公分母
整式方程
最简公分母
增根
1.解分式方程 时，去分母的结果正确的是（ ）
D
A. B.
C. D.
考点2 分式方程的增根
分式方程增根的特征:（1）使____________为0;（2）是所化成的
___________的解.
最简公分母
整式方程
2.如果关于的分式方程有增根，那么实数 的值是（ ）
C
A.3 B.2 C.1 D.
考点3 分式方程的应用
列分式方程解应用题的步骤与列整式方程解应用题的步骤一样，但要
注意“______”这一步，列分式方程解应用题要检验两次，一是检验是不是
原方程的解，二是检验是否符合题意.
检验
真题链接
命题点1 解分式方程
1.【2025湖南】将分式方程 去分母后得到的整式方程为（ ）
A
A. B. C. D.
2.【2025资阳】方程的解为 ___.
3.【2025宜宾】分式方程 的解为______.
4.【2025北京】方程 的解为______.
5.【2025浙江】解分式方程： .
解：方程两边同时乘，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
检验：当时， .
是原方程的解.
命题点2 分式方程的增根
6.【2025广东】在解分式方程 时，小李的解法如下：
第一步： ，
第二步： ，
第三步： ，
第四步： ．
第五步：检验：当时， ．
第六步： 原分式方程的解为 ．
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过
程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程．
解：小李的解法中，第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边乘同一
个数（或式子），结果仍相等.
小李的解答过程不正确，正确解答过程如下：
，
，
，
，
解得 .
经检验： 是增根.
原方程无解.
命题点3 分式方程的实际应用
7.【2023贵州】为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，
某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比
更新前提高了，设更新设备前每天生产 件产品．解答下列问题：
（1）更新设备后每天生产_______件产品（用含 的式子表示）；
【解析】 更新设备前每天生产 件产品，更新设备后生产效率比更新前
提高了 ，
更新设备后每天生产产品的数量为 件.
（2）更新设备前生产5 000件产品比更新设备后生产6 000件产品多用2天，
求更新设备后每天生产多少件产品．
解：由题意，知 ，
去分母，得 ，
解得 .
经检验， 是所列分式方程的解，
（件）.
更新设备后每天生产125件产品.
8.【2025广州】智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采
摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．
（1）若用人工采摘的成本为 元，相比人工采摘，用智能采摘机器人采摘
的成本可降低 ．求用智能采摘机器人采摘的成本是多少元；
（用含 的代数式表示）
解： 用人工采摘的成本为 元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成
本可降低 .
用智能机器人采摘的成本是 元.
（2）若要采摘4 000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工
人同时采摘所需的天数还少1，已知这台智能采摘机器人的效率是一个工
人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克.
解：设一个工人每天采摘该种水果 千克，则智能采摘机器人每天采摘该
种水果 千克，
，
解得 .
经检验， 是原方程的解，且符合题意.
.
答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1 000千克.
9.【2025长春】小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉的平均速度是小
林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到达终点.求小林跑步的平均速度.
解：设小林跑步的平均速度为米/秒，则小吉的平均速度为 米/秒，
由题意，得 ，
解得 .
经检验， 是原方程的解，且符合题意.
原方程的解为 ，
答：小林跑步的平均速度为4米/秒.
10.【2025云南】某化工厂采用机器人A、机器人B搬运化工原料，机器人
A比机器人B每小时少搬运20千克，机器人A搬运800千克所用时间与机器
人B搬运1 000千克所用时间相等.求机器人A、机器人B每小时分别搬运多
少千克化工原料.
解：设机器人A每小时搬运 千克化工原料，则机器人B每小时搬运
千克化工原料.
由题意，得 ，
解得 .
经检验， 是原方程的解，且符合题意.
.
答：机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化
工原料.
11.【2025山西】我国自主研发的 型快速换轨车，采用先进的
自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换
轨车每小时更换钢轨的千米数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换
116千米钢轨比一个工作队人工更换80千米钢轨所用时间少22小时．求一
辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米．
解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨 千米.
根据题意，得 .
解得 .
经检验， 是原方程的解，且符合题意.
答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2千米.
12.【2025自贡】去年暑假，小张与小李同学主动帮刘大爷掰玉米，他们各
掰了36筐和30筐，两人劳动时间相同，小张平均每小时比小李多掰2筐，
请问小李平均每小时掰玉米多少筐？
解：设小李平均每小时掰玉米筐，则小张平均每小时掰玉米 筐.
根据题意，得 ，
解得 .
经检验， 是原方程的解且符合题意.
答：小李平均每小时掰玉米10筐.
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第一部分
教材梳理 考点通关
第二章 方程（组）与不等式（组）
第6讲 一元二次方程及其应用
1
2023~2025年贵州中考考情分析
2
考点归纳
3
真题链接
2023~2025年贵州中考考情分析
（1）考点分布：
①基础概念与解法（高频考点） 考查一元二次方程的识别及系数判断.解
法核心：因式分解法；公式法与配方法；直接开平方法.
②根的判别式与根的关系（核心考点） 运用判别式，判断根的情况；求
含参方程的参数范围；根与系数的关系（韦达定理）；已知根求参数；代
数式求值.
③实际应用与建模（高频考点） 增长率问题；利润与价格调整；几何图
形问题，面积与体积计算；勾股定理应用.
④综合题型与跨知识点整合（趋势考点） 与二次函数结合；最值问题；
与不等式结合等.
（2）题型与分值：
题型覆盖选择、填空、解答，分值稳定在 分.整体占总分的
，每年考查 道题，解答题出现频率较高，尤其注重实际问
题的数学化表达.
考点归纳
考点1 一元二次方程的定义
定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知
数的最高次数是2（二次）的方程，叫作一元二次方程
一般形式 形如_________________（，，是常数且 ）的式子，
任何一个一元二次方程都能化成它的一般形式
1.一元二次方程 的常数项是（ ）
C
A.2 B. C. D.1
考点2 一元二次方程的解法
直接开平方法 适合于或 形式
的方程
配方法 一般步骤：
（1）化二次项系数为1；
（2）将含未知数的项保留在方程左边，常数项移到方程
右边；
（3）两边同时加上一次项系数______的平方；
（4）将方程化成 的形式；
（5）若 ，则可以运用直接开平方法求出方程的解；
若 ，则原方程无解
一半
续表
因式分解法 一般步骤：
（1）将方程的右边各项移到左边，使右边为0；
（2）将方程左边分解为两个一次因式的积；
（3）令每个因式为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解
续表
公式法 一元二次方程 的求根公式是
_ ______________ .
一般步骤：
（1）将方程化为一元二次方程的一般形式，确定， ，
的值，求出 的值；
（2）若 ，则运用求根公式，求出方程的
解；若 ，则原方程无解
续表
2.根据表格中的信息，估计一元二次方程 的一个解的范围
是（ ）
0 1 2
5
A
A. B. C. D.
3.方程 的解是（ ）
D
A. B.
C.， D.，
考点3 一元二次方程根的性质
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程 的 判别式 方程________________实
数根
方程______________实数
根
方程____实数根
有两个不相等的
有两个相等的
无
2.一元二次方程根与系数的关系
若，是一元二次方程的两个根，那么
____， __.
【注意】利用根与系数的关系时，要满足两个隐含条件：（1） ；
（2） ．
4.若一元二次方程的一个根是 ，则另一个根是（ ）
D
A.4 B.1 C.0 D.
5.已知，其中和 为方程的两个根，
，则 的值为___.
考点4 一元二次方程的应用
1.列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤完全
一样，共分审、设、列、解、验、答六步.
2.常见类型：（1）增长率问题：
①增长率 ；
②设为原来的量，为平均增长率，为增长次数， 为增长后的量，则
；
当为平均下降率，为下降次数， 为下降后的量时，有_______________.
（2）销售利润问题：
毛利润 销售总额-进货总额
纯利润 销售总额-进货总额-其他费用
利润率利润 成本
销售总额 售价×销量
进货总额 进价×进货数量
6.一群人走进果园摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，
第三个人摘了3个石榴……以此类推，后进果园的人都比前一个人多摘一
个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘完.如果平均分配，每个人可以得
到10个石榴，这群人共有____人.
真题链接
命题点1 列一元二次方程
1.【2025广东】广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现
快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2 500万元，预计7
月产值将增至9 100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为 ，可
列出的方程为（ ）
A
A. B.
C. D.
命题点2 一元二次方程的解
2.【2025贵州】一元二次方程 的根是_________________.
，
3.【2024贵州】一元二次方程 的解是（ ）
B
A.， B.，
C.， D.，
命题点3 一元二次方程根的性质
4.【2023贵州】若一元二次方程 有两个相等的实数根，
则 的值是__.
5.【2025广州】关于的方程 的根的情况为（ ）
C
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.无实数根 D.只有一个实数根
6.【2025北京】若关于的一元二次方程 有两个相等的实
数根，则实数 的值为（ ）
C
A. B. C.1 D.4
7.【2025河北】若一元二次方程 的两根之和与两根之积分
别为，，则点 在平面直角坐标系中位于（ ）
C
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8.【2025河南】一元二次方程 的根的情况是（ ）
A
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
9.【2025广东】不解方程，判断一元二次方程 的根的情况
是______________________.
有两个不相等的实数根
10.【2025苏州】已知，是关于的一元二次方程 的两
个实数根，其中，则 ____.
11.【2025上海】已知关于的一元二次方程 没有实数根，
则 的取值范围是_ ________.
12.【2025南充】设，是关于的方程 的两根.
（1）当时，求及 的值．
解：把代入方程，得， .
，即 .
解方程，得， .
故， .
（2）求证： ．
证明：方程可化为 ，
，
原方程有两个不相等的实数根，
由根与系数的关系，得， ，
.
，
.
请完成精练册第12页习题

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