资源简介

第六章 平行四边形自我评估
（本试卷满分100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 在□ABCD中，∠B=50°，则∠C的度数是（　　）
A. 140° B. 130°
C. 50° D. 40°
2. 如图1，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.若AC=12，则OA的长是（　　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
图1 图2 图3
3. 如图2，已知直线a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，∠ABC是钝角.若AB=5，则a，b两直线之间的距离可以是（　　）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 8
4. 如图3，在□ABCD中，已知AD=8 cm，AB=5 cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（　　）
A. 1 cm B. 2 cm
C. 3 cm D. 4 cm
5. 如图4，已知AB∥CD，添加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是（　　）
A. ∠1=∠2 B. OA=OC
C. AD=BC D. AD=AB
图4 图5 图6 图7
6.如图4，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE.若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（　　）
A．50° B．45°
C．40° D．35°
7. 如图6，AD∥BC，AB=BD，以B为圆心，AD的长为半径的圆弧交BC于点E，连接DE.若∠A=50°，则∠DBC的度数为（　　）
A. 65° B. 60°
C. 40° D. 50°
8. 如图7，在□ABCD中，E为边BC延长线上一点，连接AE，DE.若 ABCD的面积为12，则△ADE的面积为（　　）
A. 6 B. 4
C. 8 D. 3
9. 如图8，将□ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F.若∠B=80°，∠ACE=2∠ECD，则∠BAC的度数为（　　）
A. 80° B. 60°
C. 50° D. 40°
10. 在□ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角，要在对角线BD上找点M，N，使四边形ANCM为平行四边形，现有图9中甲、乙、丙三种方案，其中正确的是（　　）
A. 只有甲、乙 B. 只有甲、丙
C. 只有乙、丙 D. 甲、乙、丙
图9
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 在□ABCD中，若AB=3，BC=5，则AD的长为 ．
12.图10是人字梯及其侧面示意图，AB，AC为支撑架，DE为拉杆，D，E分别是AB，AC的中点.若DE=40 cm，则B，C两点的距离为 cm．
图10 图11 图12 图13
13. 如图11，乐乐将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°，发现旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，依据是 .
14. 如图12，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.若AC=3，BD=5，则四边形OCED的周长为 .
15. 如图13，在□ABCD中，AB=3，∠ABC与∠BCD的平分线交于点E，若点E恰好在AD边上，则CE2+BE2的值为 .
16. 如图14，在四边形ABCD中，∠A=60°，AD=2，AB=5，M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 ．
图14
三、解答题（本大题共7小题，共52分）
17.（6分）如图15，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO=CO，∠ABD=∠CDB.求证：四边形ABCD是平行四边形.
图15
18.（6分）如图16，在△ABC中，点D在BC上，且DC=AC，CE⊥AD于点E，F是AB的中点．求证：BD=2EF．
图16
19.（6分）如图17，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，1），请找出格点D，使以A，B，C，D四个点为顶点的四边形为平行四边形，画出所有符合条件的平行四边形，并在图上标出点D的位置.
图17
20.（8分）尺规作图题：
如图18-①，E是□ABCD边AD边上一点（不与点A，D重合），连接CE.用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点.
小明：如图18-②，以点C为圆心，AE的长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE.
小丽：以点A为圆心，CE的长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE.
（1）根据小明的作法，求证：AF∥CE；
（2）你认为小丽的作法正确吗？若不正确，请说明理由.
图18
21.（8分）如图19，在□ABCD中，连接BD，∠ADB=90°，AD=6 cm，BD=8 cm，动点P从点A出发，沿线段AB匀速运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD匀速运动.当P，Q中的一点到达终点时，另一点也停止运动.设运动时间为t s.
（1）AB= cm，CD= cm；
（2）已知点P的速度为4 cm/s，点Q的速度为2 cm/s.当四边形PBCQ为平行四边形时，求t的值.
图19
22.（8分）阅读与思考
若两个等腰三角形有公共腰，则称这两个等腰三角形不在公共腰上的两个顶点关于腰互为对顶点，在此基础上，若满足不在公共腰上的两个角的和是90°，则称这两个顶点关于腰为互余对顶点.例如，如图20-①，在四边形ABCD中，AC是对角线，若CD=CA=CB，则点B与点D关于AC互为对顶点；若再满足∠B+∠D=90°，则点B与点D关于AC为互余对顶点.
任务：
如图20-②，□ABCD与四边形ABCE有两边重合，AC为两个四边形的对角线，AE=AD=AC，∠ACB=70°.
（1）求证：点B与点E关于AC互为对顶点；
（2）当点B与点E关于AC为互余对顶点时，求∠DCE的度数.
图20-②
23.（10分）综合与实践
折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究.“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片ABCD中，E为BC边上任意一点，将△ABE沿AE折叠，点B的对应点为B'.
（1）【感知】如图21-①，若点B'恰好落在边AD上时，求证：四边形B′ECD是平行四边形；
（2）【探究】如图21-②，若点E，B'，D三点在同一条直线上，求证：DA=DE；
（3）【应用】如图21-③，若∠BAE=45°，连接BB'并延长，交CD于点F.若平行四边形纸片ABCD的面积为6，CD=2，直接写出线段B′F的长.
图21
附加题（20分，不计入总分）
（1）【问题探究】如图①，已知AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，CE，求证：四边形ABEC是平行四边形；
（2）【拓展提升】如图②，在△ABC的中线AD上任取一点M（不与点A重合），过点M，C分别作ME∥AB，CE∥AD，连接AE，求证：四边形ABME是平行四边形；
（3）【灵活应用】如图③，在△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=6，D是BC的中点，M是直线AD上的动点，过点M作ME∥AB（点E在点M上方），CE∥AD，当ME+MC取最小值时，直接写出线段CE的长.
① ② ③
第六章 平行四边形自我评估 参考答案
答案速览
一、1. B 2. D 3.A 4. C 5. B 6. C 7. D 8. A 9. B 10. D
二、11.5 12. 80 13.两组对边分别相等的四边形是平行四边形（答案不唯一）
14. 8 15. 36 16. 提示：过点D作DH⊥AB于点H.
答案详解
三、17. 证明：在△ABO和△CDO中，∠ABO=∠CDO，∠AOB=∠COD，AO=CO，所以△ABO≌△CDO（AAS）.所以BO=DO.
又因为AO=CO，所以四边形ABCD是平行四边形.
18.证明：因为DC=AC，CE⊥AD，所以AE=DE.
因为F是AB的中点，所以EF是△ABD的中位线.
所以BD=2EF.
19. 解：如图1，D，D′，D″即为所求.
图1
20.（1）证明：根据小明的作法知，CF=AE.
因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，即AE∥CF.
又因为CF=AE，所以四边形AFCE是平行四边形.
所以AF∥CE.
（2）解：不正确.理由如下：
因为以点A为圆心，CE的长为半径画弧，可能与边BC有两个交点，只有其中之一符合题意，所以小丽的作法不正确.
21. 解：（1）10 10
（2）根据题意，得AP=4t cm，CQ=2t cm.
当四边形PBCQ是平行四边形时，BP=CQ，此时点P在线段BA上时，BP=AB-AP=（10-4t）cm.
所以10-4t=2t，所以t=.
22. （1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC.
因为AE=AD=AC，所以AE=AC=BC.
所以点B与点E关于AC互为对顶点.
（2）解：因为AC=BC，∠ACB=70°，所以∠B=∠CAB=（180°-∠ACB）=55°.
因为点B与点E关于AC为互余对顶点，所以∠E=90°-∠B=35°.
因为AE=AC，所以∠ACE=∠E=35°.
因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD.
所以∠ACD=∠CAB=55°.
所以∠DCE=∠ACD-∠ACE=55°-35°=20°.
23. 证明：（1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，∠B=∠D.
由折叠的性质，得∠B=∠AB′E，所以∠AB′E=∠D.
所以EB′∥CD.
又因为B′D∥EC，所以四边形B′ECD是平行四边形.
（2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC.
所以∠DAE=∠AEB.
由折叠的性质，得∠AEB=∠AEB'.
所以∠DAE=∠AEB′.
所以DA=DE.
（3） 解析：如图2，延长AB'交CD于点H.
由折叠的性质，得∠B'AE=∠BAE=45°，AB=AB'，所以∠BAB'=90°.
所以△ABB'是等腰直角三角形，∠ABB'=45°.
因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB=AB'=CD=2.
所以∠AHD=∠BAB'=90°，∠B'FH=∠ABB'=45°.
所以△B′HF是等腰直角三角形.所以B′H=HF.
因为S ABCD=AB AH=6，所以AH=3.
所以HF=B'H=AH-AB'=1.
所以B′F==.
附加题
证明：（1）证明略.
（2）如图1，延长AD到点F，使DF=AD，连接CF.
因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD.
在△ADB和△FDC中，AD=FD，∠ADB=∠FDC，BD=CD，所以△ADB≌△FDC（SAS）.
所以CF=BA，∠DCF=∠DBA.所以AB∥CF.
因为AB∥ME，所以ME∥CF.
又因为CE∥MF，所以四边形CEMF是平行四边形.
所以ME=CF.所以ME=AB.
又因为ME∥AB，所以四边形ABME是平行四边形.
图1 图2
（3）线段CE的长为. 解析：如图2，延长AD到点F，使DF=AD，连接CF.
同（2）可得，ME=CF=AB=4，CE=MF，则ME+MC取最小值时，CM最小，故CM⊥AD时，CM最小.
因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD=3.
由勾股定理，得AD=5.所以DF=5.
S△CDF=×5×CM=×3×4，解得CM=.
在Rt△CMF中，由勾股定理，得MF=.所以CE=．
图8
图20-①

展开更多......

收起↑