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第三章 图形的平移与旋转自我评估
（本试卷满分100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.简单的七巧板能拼出千变万化的图形．殊不知七巧板作为中国传统玩具在国外也甚为流传，被称为“唐图”．下面四幅七巧板拼图的形状是中心对称图形的是（　　）
A B C D
2.【跨学科】“一去二三里，烟村四五家，亭台六七座，八九十枝花．”这首仅20个字的小诗，数字就占了一半．领悟到了数学和语文的学科融合．下面四个“数”字的图片中可以通过平移图1得到的是（　　）
3.电风扇是一种常见的家用电器，可以为人们带来凉爽的风和舒适的感觉．图2是一款五叶电风扇，在其持续运转的过程中，叶片A旋转到叶片B的位置时，旋转的角度可以是（　　）
A．60° B．72° C．75° D．108°
甲 乙
图2 图3 图5
4．在平面直角坐标系中，已知点P（2，5），将点P先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，则点关于原点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5.如图3，将△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△AB′C′.若点C，B，C′共线，则∠ACB的度数为（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
6.如图4，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，下列选项不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7.图5-甲和图5-乙中所有的小正方形都全等，将图甲的正方形放在图乙中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
8．如图6，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点B的坐标是（-3，1）．现将△ABC绕点B逆时针旋转90°，则旋转后点C的坐标是（ ）
A．（3，3） B．（-2，3） C．（-5，2） D．（0，0）
① ②
图7 图8
9．如图7-①，从一个边长为4的正方形纸片中剪掉两个边长为a的正方形得到图7-②所示的图形，若图②的周长为22，则a的值是（　 　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
10.如图8，在等边三角形ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED.若△AED的周长是17，BD=8，则等边三角形ABC的周长是（ 　）
A．25 B．26 C．27 D．30
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11.如图9，从甲到乙的图形变换，分别是①　 　， ②　 　，③　 　.（填“翻折”“旋转”或“平移”）
① ② ③
图9
12.如图10，将△ABC沿BC方向平移到△DEF，若A，D之间的距离为2，CE=3，则BF= 　.
图10 图11
图12 图13
13.小明从早上8时离开家上学到中午12时回到家，钟表的时针旋转了 度.
14. 如图11，在12×7的正方形网格中，△ABC≌△DEF，通过平移、旋转和轴对称变换，将两个小三角形拼成一个大的等腰三角形，其变换过程可以是 .
15．学习了《图形的平移与旋转》后，在数学实践活动课上，小明在图12所示的平面直角坐标系中将△ABC绕某个点顺时针旋转一定度数后得到△A'B'C'，A，B，C的对应点分别为，，，则该旋转中心的坐标是 ，旋转角度是 .
16. 如图13，将含有角的直角三角板OAB按图13所示的方式放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上.若OA=4，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2029秒时，点B的对应点的坐标为 .
三、解答题（共52分）
17.（5分）如图14，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转40°，得到△C，若AC⊥，求∠A的度数.
18.（6分）（1）如图15-①，选择点O为对称中心，画出线段AB关于点O的对称线段；
（2）在图15-②中作出“三角旗”绕点O按顺时针方向旋转90°后的图案.
图15
19.（6分）如图16，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（-1，3），B（-4，4），C（-2，1）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）把△A1B1C1向上平移4个单位长度，得△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）△ABC和△A2B2C2关于某点成中心对称，直接写出该对称中心的坐标_________．
20.（7分）实践与操作：如图17，图①是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，画两段相等的圆弧而成的轴对称图形，图②是以图①为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形．
（1）请你仿照图①，用两段相等的圆弧（小于或等于半圆），在图③中重新设计一个不同的轴对称图形；
（2）以你在图③中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图④中拼成一个中心对称图形．
图17
21.（7分）如图18，在△ABC中，∠ABC=60°，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA，BF．
（1）求证：DA∥BC；
（2）若BF=AF=，求DF的长．
图18
22.（9分）如图19-①，已知中，，，AE是过点A的一条直线，且B，C在A，E的异侧，于点D，于点E.
（1）【初步探索】试说明：；
（2）【拓展探索1】若直线AE绕点A旋转到图19-②的位置时，其余条件不变，问：BD，DE与CE的数量关系如何？请写出结果并证明；
（3）【拓展探索2】若直线AE绕点A旋转到图19-③的位置时，其余条件不变，请直接写出BD，DE与CE的数量关系.
② ③
图19
23.（12分）综合与实践
【问题情境】如图20-①，已知△ABC是等边三角形，AB=6，D是AC边的中点，以AD为边，在△ABC外部作等边三角形ADE.
【操作探究】将△ADE从图①的位置开始，沿射线AC方向平移，点A，D，E的对应点分别为点A′，D′，E′.
（1）如图20-②，善思小组的同学画出了BA′=BD′时的情形，求此时△ADE平移的距离；
（2）如图20-③，F是BC的中点，在△ADE平移的过程中，连接E′F交射线AC于点O，敏学小组的同学发现OE′=OF始终成立，请你证明这一结论；
【拓展延伸】在△ADE平移的过程中，当以 F，A′，D′为顶点的三角形成为直角三角形时，直接写出△ADE平移的距离.
图20
附加题（20分，不计入总分）
如图所示，BA⊥x轴于点A，点B的坐标为（-1，2），将△OAB沿x轴负方向平移3个单位长度，平移后的图形为△EDC．
（1）直接写出点C和点E的坐标；
（2）在四边形ABCD中，点P从点A出发，沿“AB→BC→CD”移动，移动到点D停止．若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题：
①当t为何值时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数？
②用含t的代数式表示点P在运动过程中的坐标（写出过程）；
③当5＜t＜7时，四边形ABCP的面积为4，直接写出点P的坐标．
第三章 图形的平移与旋转自我评估
答案详解
解析：因为三角板每秒旋转60°，所以点的位置6秒一循环．因为2029=338×6+1，所以第2029秒时，点B的对应点的位置与第1 秒时位置相同，如图1所示.根据旋转可知，，，.所以.所以此时点在y轴上.所以
轴.所以的纵坐标为4.因为，所以.所以.
解得（负值舍去）.所以此时点的坐标为．
三、17．解：因为△ACB绕点C顺时针旋转40°得△A′CB′，所以∠BCB′=∠ACA′=40°，∠A=∠A′.
设AC与A′B′交于点D.因为AC⊥A′B′，所以∠CDA′=90°.
所以∠A′=90°﹣40°=50°.所以∠A=∠A′=50°.
18.（1）（2）图略.
（1）（2）图略.
（3）（0，2）
20．解：（1）答案不唯一，作出一种如图2所示.
图2 图3
（2）如图3所示.
21.（1）证明：因为△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，所以AB=BD，∠ABD=60°，所以△ABD是等边三角形.所以∠DAB=60°.
又因为∠ABC=60°，所以∠DAB=∠ABC.所以DA∥BC.
（2）解：因为△ABD是等边三角形，所以AD=BD，∠ADB=60°.
又因为AF=BF，所以DF垂直平分AB.所以∠DEB=90°，∠ADF=∠BDF=30°.
因为△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，所以∠C=∠DEB=90°.
因为DA∥BC，所以∠DAF=180°﹣∠C=90°.
因为∠ADF=30°，所以DF=2AF=．
22.解：（1）因为BD⊥AE，CE⊥AE，所以∠ADB=∠CEA=90°.
所以∠ABD+∠BAD=90°.
又因为∠BAC=90°，所以∠EAC+∠BAD=90°.所以∠ABD=∠CAE.
在△ABD和△CAE中，∠ADB=∠CEA，∠ABD=∠CAE，AB=CA，所以△ABD≌△CAE.
所以BD=AE，AD=CE.
因为AE=DE+AD，所以BD=DE+CE．
BD=DE-CE．证明如下：
因为BD⊥AE，CE⊥AE，所以∠ADB=∠CEA=90°.所以∠ABD+∠BAD=90°.
又因为∠BAC=90°，所以∠EAC+∠BAD=90°.所以∠ABD=∠CAE.
在△ABD和△CAE中，∠ADB=∠CEA，∠ABD=∠CAE，AB=CA，所以△ABD≌△CAE.
所以△ABD≌△CAE.所以BD=AE，AD=CE.
因为AE=DE-AD．所以BD=DE-CE．
（3）BD=DE-CE．
23.（1）解：因为△ABC是等边三角形，AB=6，所以∠BAC=∠BCA，AC=AB=BC=6.
因为BA′=BD′，所以∠BA′D′=∠BD′A′.
因为∠BA′D′＋∠BA′A=∠BD′A′＋∠BD′C=180°，所以∠BA′A=∠BD′C.
又因为∠BAA′=∠BCD′，BA=BC，所以△BA′A≌△BD′C.所以AA′=CD′.
因为D是AC的中点，所以AD=AC=3.
因为△ADE沿射线AC的方向平移得到△A′D′E′，所以A′D′=AD=3.
所以AA′=CD′=(AC－A′D′)=1.5.
所以△ADE平移的距离为1.5.
（2）证明：因为△ABC与△ADE都是等边三角形，所以∠DAE=∠BCA=60°，AE=AD.
由（1）得AD=AC，AC=BC.
因为F是BC边的中点，所以CF=BC=AD=AE.
因为△ADE沿射线AC的方向平移得到△A′D′E′，所以A′E′=AE=CF，∠D′A′E′=∠DAE=∠BCA.
又因为∠E′OA′=∠FOC，所以△E′OA′≌△FOC.
所以OE′=OF.
△ADE平移的距离是或.
解析：当时，如图4，则.
因为，所以.所以.
所以. 所以△ADE平移的距离是；
当时，如图5，同理，可得. 所以.所以△ADE平移的距离是.
附加题
解：（1）C（-4，2），E（-3，0）.
（2）①因为点P的横、纵坐标互为相反数，当点P在AB上时，有P（-1，t）.所以t=1；
当点P在BC上时，设P（xp，2），则xp=-2，即-1-（t-2）=-2.解得t=3.
综上，当t为1或3时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数.
②当点P在AB上时，有P（-1，t）；
当点P在BC上时，有点P的纵坐标为2，横坐标为-1-（t-2）=1-t，此时P（1-t，2）；
当点P在CD上时，有点P的横坐标为-4，纵坐标为2-（t-2-3）=7-t，此时P（-4，7-t）．
③点P的坐标为（-4，）． 解析：当5＜t＜7时，点P在CD上时，由②知P（-4，7-t）．S四边形ABCP=
．解得t=.所以7-t=．所以P（-4，）.
图4
图6
图14
．
O
②
①
图16
答案速览
一、1. B 2. A 3. B 4. D 5. B 6. D 7.C 8. C 9. B 10. C
二、11. ①翻折 ②旋转 ③平移 12.7 13. 120
14.把△ABC绕点C顺时针旋转90°，向左平移8格，再作关于EF对称（答案不唯一）
QUOTE 15.（0，-1） 90° 16.
三、解答题见答案详解

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