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第四章 因式分解自我评估
（本试卷满分100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A.2a-1＝a（2-） B．2a-2b＝2（a-b）
C．x（x+1）＝x2+x D．x2+2x+3＝（x+1）2+2
2．多项式2xmyn-1-4xm-1yn（m，n均为大于1的整数）各项的公因式是（　　）
A．4xm-1yn-1 B．2xm-1yn-1 C．2xmyn D．4xmyn
3．多项式a2-10a+25因式分解的结果为（　　）
A.（a+5）（a-5） B.（a+5）2
C.（a-5）2 D.a（a-10）+25
4.下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（　　）
A．-x2+2x-1 B．x2-9 C．x2+x+ D．x2+4y2
5.图1是甲、乙两位同学因式分解-x2+x的结果，下列判断正确的是（　　）
甲、乙的结果都正确 B．甲、乙的结果都不正确
C．只有甲的结果正确 D．只有乙的结果正确
图1
6.下列因式分解正确的是（　　）
A．x2+y2＝（x+y）（x-y） B．x2-a2＝（x-a）2
C．m3-m＝m（m2-1） D.x2-3x+2＝（x-2）（x-1）
7.对于多项式xa-y2（其中1≤a≤6，且a为整数）能够利用平方差公式进行因式分解，则a的值可能有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
8.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x-y，a-b，2，x2-y2，a，x+y分别对应下列六个字：西、爱、我、美、游、山．现将2a（x2-y2）-2b（x2-y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．我爱美 B．山西游 C．我爱山西 D．美我山西
9．如果a+b=3，ab=1，那么a3b+2a2b2+ab3的值为（　　）
A．0 B．1 C．4 D．9
10.若a，b，c是△ABC的三边长，且a2-b2=c（a-b），则△ABC一定是（　　）
A．直角三角形 B．三条边都不相等的三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 因式分解：m2（a-3）+m（3-a）=_________.
12.多项式n2-1与n2+n的公因式是_______.
13.请你写出一个既要运用公式法因式分解，又要用提公因式法因式分解的多项式，你写的多项式是_____，分解的结果是_______.（写出一个即可）
14．已知2x2+3x-6+=（x-2）（2x+5）是一个正确的因式分解，但是其中部分一次式被墨水污染看不清了，则被墨水污染的一次式为 .
15．已知a与b互为相反数，则代数式a2+2ab+b2-2025的值为　 　．
16.已知M是含字母x的单项式，要使多项式16x2+M+1是某个多项式的平方，则M为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共52分）
17.（每小题3分，共12分）因式分解：
（1）8m2-12mn； （2）a4-1；
（3）a2（x-y）+b2（y-x）； （4）16x4-8x2y2+y4．
18. （每小题3分，共6分）利用因式分解简便运算：
（1）32024+6×32025+32026； （2）5×782-222×5．
19.（4分）利用因式分解说明：255+511能被30整除．
20.（6分）在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：将（2x+y）2-（x+2y）2分解因式
小彬：原式=（4x2+4xy+y2）-（x2+4xy+4y2）……第1步=3x2-3y2 ……第2步=3（x+y）（x-y）. ……第3步 小颖：原式=（2x+y+x+2y）（2x+y-x+2y）……第1步=（3x+3y）（x+3y） ……第2步=3（x+y）（x+3y）. ……第3步
任务：
（1）老师批阅后发现两人中只有一人的解答结果正确，则解答正确的同学是 ；
（2）老师认为两名同学的解答过程都有道理：小彬同学的第1步依据是运用了 公式；小颖同学的第1步依据是运用了 公式；
（3）请你按照做错同学的思路，写出正确的解答过程．
21.（6分）如图2，有一段长为100 cm的铁丝，小明将它剪成两段，两段长分别为x cm和y cm，然后将每段弯成边长为a cm和b cm的正方形（接口部分忽略不计），现知这两个正方形的面积差为50 cm2.
（1）求a-b的值；
（2）求x，y的值.
图2
22.（8分）如图3，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的同样大小的小长方形，且m＞n.（以上长度单位：cm）
（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 ．
（2）若每块小长方形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58 cm2．试求图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和.
图3
23.（10分）综合与实践：特值法是解决数学问题的一种常用方法，即通过取题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．综合实践课上田老师展示了如下例题：
例：已知多项式2x3-2x2+m有一个因式是x+2，求m的值．
解：由题意，设2x3-2x2+m=A （x+2）（A为整式）.
由于上式为恒等式，为了方便计算，取x=-2，则2×（-2）3-2×（-2）2+m=0，解得m=■．
（1）数学思考：“■”处m的值为 ；
（2）方法应用：已知多项式2x3-x2-x+b有一个因式是2x-3，求b的值；
（3）深入探究：若多项式x4+ax3+bx-4有因式（x+1）和（x-2），求a，b的值．
附加题（20分，不计入总分）
【材料阅读】
用“十字相乘法”分解因式2x2-x-3的方法（如图）．
第一步：二次项2x2=x 2x；
第二步：常数项-3=-1×3=1×（-3），画“十字图”验算“交叉相乘之和”；
第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项-x，即2x2-x-3=（x+1）（2x-3）；
像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．
【应用新知】
（1）用“十字相乘法”分解因式：x2-x-2= ；
（2）用“十字相乘法”分解因式：5x2-13x-6= ；
【拓展提升】
（3）若3x2+px+5可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数p的所有可能值．
第四章 因式分解自我评估
答案详解
三、17.（1）原式=4m（2m-3n）；
（2）原式=（a2+1）（a+1）（a-1）；
（3）原式=（x-y）（a+b）（a-b）；
（4）原式=（2x+y）2（2x-y）2．
18.（1）原式=32024×（1+6×3+32）=28×32024；
（2）原式＝5×（782-222）＝5×（78+22）×（78-22）＝5×100×56＝28000.
19.解：因为原式=（52）5+511=510+511=510×（1+5）=510×6=30×59，所以255+511能被30整除.
20.解：（1）小彬
（2）完全平方 平方差
（3）原式=（2x+y+x+2y）（2x+y-x-2y）=（3x+3y）（x-y）=3（x+y）（x-y）．
21.解：（1）根据题意，得a2-b2=50，x+y=100，x=4a，y=4b.
所以4a+4b=100，（a+b）（a-b）=50.所以a+b=25，25（a-b）=50.所以a-b=2.
由（1），得a+b=25，a-b=2，联立，得解得
所以x=4a=4×13.5=54，y=4b=4×11.5=46.
解：（1）（2m+n）（2n+m）
（2）①由题意，知mn=10，2m2+2n2=58，所以m2+n2=29.所以（m+n）2=m2+n2+2mn=29+2×10=49.
因为m+n＞0，所以m+n=7.
图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为6（m+n）.
6（m+n）=42.
所以图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和为42 cm.
23.解：（1）24
（2）由题意，设 2x3-x2-x+b=B （2x-3）（B为整式）.
令2x-3=0，解得 x=.将 x=代入原多项式，得 2×--+b=0，解得b=-3.
（3）依题意，设 x4+ax3+bx-4=C （x+1）（x-2）（C为整式）.
令x+1=0，解得 x=-1.
将x=-1代入原多项式，得 （-1）4+a×（-1）3+b×（-1）-4=0，即a+b=-3；
令x-2=0，解得 x=2.
将x=2代入原多项式，得 24+a×23+b×2-4=0，即4a+b=-6.
联立方程组得 解得
所以a，b的值分别为-1，-2．
附加题
解：（1）（x-2）（x+1）
（2）（x-3）（5x+2）
（3）画好“十字图”如图所示：

根据上图可得出p的所有可能值为16，8，-8，-16.
答案速览
一、1. B 2. B 3.C 4. D 5. A 6. D 7.C 8. C 9. D 10. D
二、11. m（a-3）（m-1） 12.n+1 13.（答案不唯一）如：a3-a a（a+1）（a-1）
14.-2x-4 15.-2025 16.±8x或64x4
三、解答题见答案详解

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