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第一章 三角形的证明及其应用自我评估
（本试卷满分100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.已知一个等腰三角形的顶角为100°，则它的底角的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
一个长方形的抽屉长3 cm，宽4 cm，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（　　）
A．4 cm B．5 cm C.6 cm D．7 cm
如图1，，添加下列选项中的条件后能用“HL”判定的是（　　）
A．AD=CB B. C. D.
图1 图2 图3 图4
4.下列命题中，没有逆定理的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余
B．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
C．如果，，那么ab＞0
D．相等的两个角是对顶角
5.如图2，将正方形沿虚线裁去一个角，得到“钻石”型五边形后，下列说法正确的是（　　）
A．外角和减少180° B．外角和增加180°
C．内角和减少180° D．内角和增加180°
6.某中学将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图4示．将图3-①抽象成图3-②的数学问题：在平面内，AB∥CD，DC的延长线交AE于点F．若∠BAE=75°，∠E=35°，则∠DCE的度数为（　　）
A．75° B．110° C．115° D．120°
7. 如图4，在等边三角形ABC中，BC=2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则CE的长为（　 　）
A. 1 B.
C. D.
8.如图5，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，BC=8，则△ABC的面积为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
图5
9. 在下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（　 ）
A B C D
10.如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC上一点，连接AD，若S△ABD∶S△ACD=AB∶AC，∠B=40°，则∠DAC的度数为（ 　）
A. 20° B. 22°
C. 25° D. 30°
图6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11.用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应该假设 .
12.【新素材】歇山顶，即歇山式屋顶，宋朝称九脊殿，又名九脊顶，是古代中国建筑屋顶样式之一.图6-①是典型的重檐歇山式建筑，建筑顶端可以近似看作是等腰三角形ABC（如图7- ②），其中AB = AC，小明作出BC边上的中线AD，则可以判断出AD是∠BAC的平分线，小明这样判断的依据是 .
① ②
图7 图8 图9
13. 如图8，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，连接CD.若AB=8，AC=4，则△ACD的周长为 .
14.如图9，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE=12，DF=5，则点E到直线AD的距离为 ．
15．定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”.已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A＝50°，∠C＞90°，则∠B的度数为　 　．
16.【跨学科】如图10-①，是一块光学直角棱镜，其截面为图9-②所示的Rt△ABC，AB所在的面为不透光的磨砂面，∠ACB=90°，∠A=30°.现有一束单色光从CB边的点E处垂直射入，到达AB边的点D，恰有CD⊥AB，经过反射后（即∠CDE =∠FDC）从 AC边的点 F处射出.若光线在棱镜内部经过的路径ED+DF=12 cm，则这块棱镜的高度AC为 cm.
① ②
图10
三、解答题（本大题共7小题，共52分）
17.（5分）如图11，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D.若BD=CD，求证：AD平分∠BAC．
图11
（6分）如图12，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，边AB的垂直平分线交边BC于点E，垂足为D，连接AE.求证：AC＝BE．
图12
19.（6分）如图13，AB=BC，∠BAD=∠BCD=90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于点E，CF⊥EF于点F，AE=CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．
图13
20.（7分）将一副直角三角板按图14所示摆放，等腰直角三角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD.求证：△CDO是等腰三角形．
图14
21.（7分）如图15，在△ABC中，AB=AC，点D是边BA延长线上一点．
（1）尺规作图：过点D作DE⊥BC于点E，交AC于点F（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）；
（2）在（1）得到的图中，若∠DAC=60°，求证：△ADF是等边三角形．
图15
22.（9分）图16是风筝的结构示意图，D是等边三角形ABC外部的一点，且AD＝CD，过点D作DE∥AB交AC于点F，交BC于点E．
（1）求证：BD垂直平分线段AC；
（2）若BC＝10，CF＝4，求DE的长．
图16
23.（12分）综合与探究
（1）【问题发现】如图17-①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.
①∠AEB的度数为 ；
②线段AD，BE之间的数量关系是 .
（2）【类比探究】如图17-②，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中边DE上的高，连接BE.
①求∠AEB的度数；
②请写出线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展延伸】在（2）的条件下，若BE=5，CM=3，求四边形ABEC的面积 .
① ②
图17
附加题（20分，不计入总分）
综合与实践
在综合实践课上，老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动.
在等腰三角形纸片ABC中，CA=CB=5，∠ACB=120°，将一块含30°角的足够大的直角三角板PMN（∠M=90°，∠MPN=30°）按如图所示放置，顶点P在线段BA上滑动（点P不与A，B重合），三角板的直角边PM始终经过点C，并与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D.
（1）特例感知：当∠BPC=110°时，α= °，点P从B点向A点运动时，∠ADP逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）合作交流：当AP的长为 时，△APD≌△BCP，请说明理由；
（3）思维拓展：在点P滑动的过程中，存在△PCD是等腰三角形吗？若可以，请求出α的值；若不可以，请说明理由.
第一章 三角形的证明及其应用自我评估
答案详解
三、17.证明：因为BE⊥AC，CF⊥AB，所以∠BFD=∠CED=90°.
在△BDF和△CDE中，∠BFD=∠CED，∠BDF=∠CDE，BD=CD，所以△BDF≌△CDE.所以DF=DE.
因为DF⊥AB，DE⊥AC，所以AD是∠BAC的平分线.
18.证明：因为DE是AB的垂直平分线，所以AE＝BE.所以∠EAB＝∠B＝15°.所以∠AEC＝∠EAB+∠B＝30°.
因为∠ACE＝90°，所以AC＝AE.所以AC＝BE．
19.证明：连接BD.
在Rt△ABD和Rt△CBD中，BD=BD，AB=CB，所以Rt△ABD≌Rt△CBD.所以AD=CD.
因为AE⊥EF，CF⊥EF，所以∠E=∠F=90°.
在Rt△ADE和Rt△CDF中，AD=CD，AE=CF，所以Rt△ADE≌Rt△CDF．
20. 证明：因为∠DBC=30°，BC=BD，所以∠BCD=∠BDC=×（180°-30°）=75°.
因为∠ACB=45°，所以∠DOC=∠OBC+∠OCB=30°+45°=75°．
所以∠DOC=∠BDC.所以CO=CD.
所以△CDO是等腰三角形.
21.（1）解：如图，DE为所求作．
（2）证明：因为AB=AC，所以∠B=∠C.
因为DE⊥BC，所以∠DEB=∠DEC=90°.
所以∠B+∠BDE=90°，∠C+∠CFE=90°.
所以∠BDE=∠CFE.
因为∠CFE=∠AFD，所以∠BDE=∠AFD.
所以AD=AF．
又因为∠DAC=60°，所以△ADF是等边三角形．
22.（1）证明：因为△ABC是等边三角形，所以BA＝BC.
又因为AD＝CD，所以BD垂直平分线段AC.
（2）解：因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°.
因为BD垂直平分线段AC，所以∠CBD＝30°.
因为DE∥AB，所以∠FEC＝∠ABC＝60°.
所以△CEF是等边三角形.所以CE＝CF＝4.
所以BE＝BC-CE＝10-4=6.
因为∠EDB＝∠FEC-∠CBD＝60°-30°=30°，所以∠EDB＝∠EBD.所以DE＝BE＝6.
23. 解：（1）①60° ②AD=BE
（2）①因为△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，所以CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°.
所以∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，即∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，所以△ACD≌△BCE（SAS）．
所以AD=BE，∠ADC=∠BEC．
因为△DCE为等腰直角三角形，所以∠CDE=∠CED=45°．
因为点A，D，E在同一直线上，所以∠ADC=135°.
所以∠BEC=135°.
所以∠AEB=∠BEC-∠CED=90°.
②因为△DCE为等腰直角三角形，CM⊥DE，所以△CMD和△CME都是等腰直角三角形.
所以DM=ME=CM．
所以AE=AD+DE=BE+2CM．
（3）由（2）得∠AEB=90°，AD=BE=5，DE=2CM=6.
所以AE=AD+DE=5+6=11.
所以S四边形ABEC=S△ACE+S△ABE =AE·CM+AE·BE=×11×3+×11×5=44.
附加题
解：（1）40 小
（2）5 理由如下：
因为∠ACB=120°，CA=CB，所以∠A=∠B=30°.
所以∠APC=∠B+∠α=30°+∠α.
因为∠APC=∠DPC+∠APD=30°+∠APD，所以∠α=∠APD.
在△APD和△BCP中，∠A=∠B，AP=BC=5，∠APD=∠BCP，所以△APD≌△BCP.
（3）存在△PCD是等腰三角形.
在△PCD中，∠PCD=∠ACB-∠PCB=120°-α，∠CPD=30°.
①当PC=PD时，∠PCD=∠PDC=（180°-30°）=75°，即120°-α=75°，所以∠α=45°；
②当PD=CD时，∠PCD=∠CPD=30°，即120°-α=30°，所以α=90°；
③当PC=CD时，∠CDP=∠CPD=30°，此时点P与点B重合，点D和A重合，不合题意.
综上，存在△PCD是等腰三角形，此时α的值为45°或90°.
A
B
C
D
答案速览
一、1. B 2. B 3. A 4. C 5. D 6. B 7. B 8. D 9. C 10. C
二、11.∠B=∠C 12. 等腰三角形顶角的平分线与底边上的中线重合 13.12 14.
15. 20°或35° 16. 16
三、解答题见“答案详解”

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