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期中自我评估
（本试卷满分120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.如图1所示，在数轴上表示了关于x的某不等式的解集，则这个不等式可能是（ 　）
A．x-1≥0 B．x-1＞0 C．x-1＜0 D．x-1≤0
图1
2.下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ 　）
A B C D
3．如图2，将直线l向右平移，当直线l经过点O时，直线l还经过点（　　）
A．M B．N C．P D．Q
牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设（　　）
一个三角形中有两个角是直角 B．一个三角形中有两个角是钝角
C．一个三角形中有两个角是锐角 D．一个三角形中有一个角是直角
5.已知2025 6a＞2025 6b，则一定有a□b，“□”中应填的符号是（　　）
A．≤ B．≥ C．＜ D．＞
6. 下列说法错误的是（　　）
A. 等腰三角形底边上的高所在的直线是底边的垂直平分线
B. 两组边对应相等的两个直角三角形全等
C. 如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半
D. 有一个角等于60°的三角形是等边三角形
7.如图3，△DEF是由△ABC绕点O顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（　　）
A．∠COF=∠BOE B．OA=OD C．∠OAC=∠ODF D．AC=EF
图3 图4
8.某平板电脑支架如图4所示，EA＝ED，∠AEC＝140°.为了使用的舒适性，可调整∠AEC的大小．若∠AEC增大16°，则∠BDE的变化情况是（　　）
A．增大16° B．减小16° C．增大8° D．减小8°
9.如图5，直线y＝kx+2与直线y＝mx相交于点A（3，1），与x轴交于点B，则关于x的不等式组0＜kx+2＜mx的解集是（ ）
A．x＜6 B．x＞3 C．3＜x＜6 D．x＜6或x＞3
图5 图6
10.如图6，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是（　　）
A．3 B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1关于原点O成中心对称，则点C1（3，-2）的对称点C的坐标是 ．
12.在平面直角坐标系xOy中，将点A（-2，3）先向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得点B，则点B的坐标是 ．
13.若x=-2是关于x的不等式的一个解，则m的取值范围是 ．
14. 某学校八年级同学到劳动基地进行实践活动，第一天的任务是用100斤黄豆磨豆浆．由于操作不熟练，开始的半小时只磨完9斤黄豆，基地要求完成全部任务的时间不超4小时，若设在剩余时间内每小时需磨完x斤黄豆，则可列不等式为 .
15.如图7，在△ABC中，∠C=90°，O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，垂足为D，且AB=10 cm，BC=8 cm，CA=6 cm，则OD的长为 cm.
图7
16.如图8，在△ABC中， BE平分∠ABC交AC于点E，过点A作AD∥BC，交BE的延长线于点D ，且AD＝DE，∠ADE＝36°.若，，则EC的长为 .
图8
解答题（本大题共8小题，共66分）
17.（6分）解不等式组并把解集在数轴上表示出来.
18.（6分）如图9，用三角尺可按下面的方法画角平分线，在已知的∠AOB的两边上分别取OM=ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，为什么？
图9
19.（7分）如图10，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-1，4），B（-4，2），C（-3，5）.（每个方格的边长均为1个单位长度）
（1）平移△ABC得到△A1B1C1，若点A1的坐标为（2，2），画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标：　 　；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2．
图10
20.（7分）如图11，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB上．
（1）若BC=6，BD=9，求线段AE的长；
（2）连接AD，若∠C=110°，∠BAC=40°，求∠BDA的度数．
图11
21.（8分）如图12，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
图12
22.（10分）如图13，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A（-2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y=3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）请直接写出不等式kx+b＞3x的解集；
（3）若在x轴上存在一点D，且△OCD是以OC为腰的等腰三角形，求此时点D的坐标．
图13
23.（10分）数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了实地调研，获得如下信息：
信息1 购物车的尺寸如图14-①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图14-②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列．
① ②
图14
如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题：
（1）当辆购物车按图14-②的方式叠放时，形成购物车列的长度为L米，则L与n的函数关系式是　 　；
（2）求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量；
（3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种使用电梯次数的分配方案？请说明理由．
24.（12分）综合与实践
【问题情境】
在综合实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转变换”为主题展开数学活动．△ABC和△DEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DFE=90°，将△ABC和△DEF的直角顶点A与F重合，再将△DEF绕点A旋转．
【解决问题】
（1）“勤奋小组”将△ABC和△DEF按图15-①所示的方式摆放，连接BD，CE，发现△ABD≌△ACE，请给予证明；
① ② ③ ④
图15
（2）“智慧小组”先连接BD，CE，然后将△DEF旋转至点B，D，E在同一直线上．如图15-②，则∠AEC的度数为 ；
（3）“创新小组”同样先连接BD，CE，在旋转过程中发现，当点D落在线段CE上时，如图15-③，可以得到BD=CD+AD，请你证明他们的发现；
【拓展探究】
（4）“攀登小组”将△DEF旋转至图15-④所示的位置，连接BD，CE相交于点P，连接AP．求证：PA平分∠EPB．
期中自我评估 参考答案
三、17.不等式组的解集为x＜-1，数轴表示略.
18.解：因为OM⊥MP，ON⊥NP，所以∠OMP=∠ONP=90°.
在Rt△OMP和Rt△ONP中，OM=ON，OP=OP，所以Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）.
所以∠MOP=∠NOP.
所以OP平分∠AOB．
19.（1）图略，（-1，0）
（2）图略．
20.解：（1）因为将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，所以BE=BC=6，BD=AB=9.
所以AE=AB-BE=3.
（2）因为∠C=110°，∠BAC=40°，所以∠ABC=180°-∠BAC-∠C=30°.
因为将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，所以BD=BA，∠DBA=∠ABC=30°.
所以∠BDA=∠BAD=×（180°-∠DBA）=75°．
21.（1）证明：连接BE.
因为DE是AB的垂直平分线，所以AE＝BE.
所以∠ABE＝∠A＝30°.
因为∠ACB＝90°，∠A＝30°，所以∠ABC＝60°.
所以∠CBE＝∠ABC-∠ABE＝30°.
所以BE＝2CE.
所以AE＝2CE.
（2）解：△BCD是等边三角形．理由如下：
因为DE是AB的垂直平分线，所以BD=AB.
因为∠ACB＝90°，∠A＝30°，所以BC=AB.所以BD=BC.
又因为∠DBC=60°，所以△BCD是等边三角形.
解：（1）因为函数y=kx+b与函数y=3x的图象交于点C，且点C的横坐标为1，所以yC=3×1=3.
所以C（1，3）.
将A（-2，6），C（1，3）代入y=kx+b，得解得
所以y=-x+4.
（2）x＜1.
（3）由勾股定理，得OC=.
当OC=OD时，因为点D在x轴上，所以点D的坐标为D1（，0），D2（，0）；
当OC=CD时，直线x=1是OD的垂直平分线，所以OD=2.
所以点D的坐标为D3（2，0）.
综上，点D的坐标为（，0），（，0），（2，0）．
23.解：（1）L=0.2n+1
（2）当L=2.6时，0.2n+1=2.6.解得n=8.
（辆）.
答：该超市直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车.
（3）设用扶手电梯运输m次，则用直立电梯运输（5-m）次.
根据题意，得24m+16（5-m）≥100.解得.
又因为5-m≥0，所以.所以.
因为m为正整数，所以m可以取3，4，5.
所以共有3种运输方案：用扶手电梯运输3次，直立电梯运输2次；用扶手电梯运输4次，直立电梯运输1次；用扶手电梯运输5次，直立电梯运输0次．
24.（1）证明：因为△ABC和△DEF均为等腰直角三角形，所以AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°.
所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE．
所以△ABD≌△ACE.
（2）135°
（3）证明：同（1）可得AD=AE，∠DAE=90°，△ABD≌△ACE.
所以DE==AD，BD=CE．
所以BD=CE=CD+DE=CD+AD．
（4）证明：如图，过点A作AM⊥BD，AN⊥CE，垂足分别为M，N.
因为△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，所以AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°.
所以∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE．所以△ABD≌△ACE．
所以BD=CE，S△ABD=S△ACE．
所以.所以AM=AN．又因为AM⊥BD，AN⊥CE，所以PA平分∠EPB．
答案速览
一、1. A 　 2. D 3. B 4.A　 5.C 6.D 　7．D　 8．D 9.C 10.B
二、11.（-3， 2） 12.（3，-1） 13. 14.9+（4-0.5）x≥100 15.2
16.
三、解答题见答案详解

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