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第11章 不等式与不等式组
11.2 不等式的性质
第1课时 不等式的性质
【学习目标】
1. 通过活动探究和实例操作，经历观察、分析，理解并掌握不等式的性质，培养自主学习的习惯和观察推理能力.
2. 会用不等式的基本性质解简单的不等式，培养学生的应用意识；在解题的过程中发展数感和运算能力，渗透数形结合思想.
【学习重点】不等式的性质，
【学习难点】会用不等式的基本性质解简单的不等式
【自主学习】
1. 直接说出下列不等式的解集：
(1) x＋4＞10； (2) 2x＜6.
2. 如何解下列不等式的解集呢？
2＞
问题：小明和小丽在学习不等式之后对不等式提出了一些问题：
(1) 若 a＞b，则有 b＜a.
(2) 若 a＞b，b＞c，则有 a＞b＞c.
请同学举例说明他们的说法是否正确
要点归纳：交换不等式两边，不等号的方向改变：如果 a＞b，那么 b＜a.
不等关系可以传递：如果 a＞b，b＞c，那么 a＞b＞c.
【合作探究】
探究点一、不等式的性质 1
活动1：用不等号填空：
(1) 5 > 3，
① 5 + 2 ______ 3 + 2，② 5 + 0______ 3 + 0，③ 5 + (－2)_____ 3 + (－2)；
(2) －1 < 3，
① －1 + 4 ______ 3 + 4，② －1 + 0______ 3 + 0，③ －1 +(－7)______3 + (－7).
根据发现的规律填空：不等式两边加同一个数，不等号的方向 .
[归纳总结]
由于减法可以转化为加法，因而这个规律对于不等式两边减去同一个数的情形仍然成立.
一般地，不等式有如下性质：不等式的性质1 当不等式两边加 (或减) 同一个数 (或式子)，不等号的方向不变.
数学语言：如果 a > b，那么 a ± c > b±c .
例1 用“＞”或“＜”填空：
(1) 已知 a＞b，则 a＋7 b＋7；
(2) 已知 3＜7，则3－x_____7－x.
练一练
1. 用“＞”或“＜”填空，并说明是根据不等式的 哪一条性质：
(1) 若 x＋3＞6，则 x______3，根据______________；
(2) 若 a－2＜3，则 a______5，根据______________．
活动 2：用不等号填空：
(1) 6 > 2，
① 6×5 ______ 2×5. ② 6÷5 ______ 2÷5.
(2) －2 < 3，①－2×4 ______ 3×4. ② －2÷4 ______ 3÷4.
根据发现的规律填空：
不等式两边乘同一个负数，不等号的方向 .
不等式的性质 2
当不等式两边乘 (或除以) 同一个正数，不等号的方向不变.即：如果 a＞b，
c＞0，那么 ac＞bc (或 ＞ ).
例2 用“＞”或“＜”填空：
(1) 已知 a＜b，则 aπ_____bπ；
(2)已知 a＞b，则
2. 利用 ＞2，比较 与 的大小.
活动 3：用不等号填空：
(1) 6 > 2，
③ 6×(－5) ____2×(－5). ④ 6÷(－5) ____2÷(－5).
(2) －2 < 3，
③ －2×(－0.5) ___3×(－0.5). ④－2÷(－0.5) ___3÷(－0.5).
根据发现的规律填空：
不等式两边乘同一个负数，不等号的方向 .
不等式的性质 3
当不等式两边乘 (或除以) 同一个负数，不等号的方向改变.即：如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc (或 ＜ ).
[典型例题]
例3 用“＞”或“＜”填空：
(1) 已知 a＜b，则 － －
(2) 已知 a＞b，则 － －
例4 已知 a＞b，比较下列两个式子的大小，并说明依据.
(1) a + 3 与 b + 3 ； (2) －2a 与 －2b.
思考：不等式的基本性质与等式的基本性质有什么相同点和不同点？
[练一练]
3. 设 a＞b，用“＜”“＞”填空，并回答是根据不等式的哪一条基本性质。
(1) a－3 ____ b－3；
(2) a÷3 ____ b÷3；
(3) 0.1a ____ 0.1b；
(4) －4a ____ －4b；
(5) 2a + 3 ____ 2b + 3；
(6) (m2 + 1)a ____ (m2 + 1)b (m 为常数)
不等式的性质与等式的性质的不同点和相同点：
类别 不同点 相同点
不等式
等式
课堂检测
1.如果a＜b，c＜0，那么下列不等式中不成立的是(　　)
A.a＋c＜b＋c B.ac2＞bc2 C.ac＞bc D.ac＋1＞bc＋1
2.[教材变式]若x＞－2，则下列各式中错误的是(　　)
A.3x＞－6 B.x＋9＞7
C.＞－ D.－7x＞14
3.已知－x＜－y，用“＜”或“＞”填空：
(1)－2x　　－2y；
(2)2x　　2y；
(3)x＋1　　y＋1.
4.由ac＞bc得到a＜b的条件是：c　　0(填“＞”“＜”或“＝”).
参考答案
【自主学习】
问题：(1) x＞6 (2) x＜3
例：5＞3，3＜5 成立， (1) 正确；
6＞4，4＞2，且 6＞4＞2， (2) 正确
【合作探究】
探究点一、不等式的性质 1
活动1 (1) ＞ ＞ ＞ (2) ＜ ＜ ＜
不变
例1 解：(1) 因为a＞b，根据不等式的基本性质1 得，
a＋7＞b＋7.
(2) 因为 3＜7，根据不等式的基本性质1 得，
3－x＜7－x.
练一练
1. (1) ＞ 不等式性质1
(2) ＜ 不等式性质1
活动2 (1) ＞ ＞ (2) ＜ ＜ 不变
例2 解：(1) 因为 a＜b，π＞0，根据不等式的基本性质2 得， aπ＜bπ.
(2) 因为 a＞b，＞0，根据不等式的基本性质2 得， ＞
2. 解：因为 ＞2，根据不等式的基本性质1得，
1＞2－1，即 1＞1.
又因为 ＞0，根据不等式的基本性质2 得，
＞
活动3 (1) ＞ ＞ (2) ＜ ＜ 改变
例3 (1)＞ (2)＜
例4解：(1) 因为 a＞b，所以 a + 3＞b + 3.
(2) 因为 a＞b，所以 －2a＜－2b.
3. (1) ＞ 不等式的性质 1 (2) ＞ 不等式的性质 2
(3) ＞ 不等式的性质 2 (4) ＜ 不等式的性质 3
(5) ＞ 不等式的性质 1，2 (6) ＞ 不等式的性质 2
课堂检测
1.B 2. D 3. ＜ ＞ ＞ 4. ＜

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