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第3章 一次函数
3.5 一次函数与二元一次方程的关系
学校计划采购一批笔记本奖励优秀学生，现有两种方案：
方案一：每本笔记本3 元，另需支付运费10 元.
方案二：每本笔记本4 元，无运费.
如果记购买数量为x(本)，总费用为y(元)，请回答下列问题：
(1)分别写出两种方案的总费用y(元)与购买数量x(本)之间的函数表达式.
(2)当购买多少本时，两种方案的总费用刚好相等？
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(1)方案一：y＝3x＋10.
方案二：y＝4x.
(2)3x＋10＝4x，解得x＝10.
所以当购买10 本时，两种方案的总费用刚好相等.
(2)中得到的3x＋10＝4x是一个含未知数的等式，也就是一个方程.一次函数与方程之间有什么关系？
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环节一：探究一次函数与二元一次方程的关系
议一议：(1) (4，1)与(1，7)是二元一次方程2x＋y－9＝0的解吗？ 方程还有其他解吗？ 如有，再说出几个.
(4，1)与(1，7)都是二元一次方程2x＋y－9＝0的解，且这个方程有无数个解，如(－1，11)，(0，9)，等等.
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(2)给定一个二元一次方程2x＋y－9＝0，若把方程中的未知数y 用含未知数x 的代数式表示，可以将其看作一次函数的表达式吗？
对于二元一次方程2x＋y－9＝0，整理可得y＝－2x＋9.若把x 看作自变量，y 看作因变量，则得到一次函数y＝－2x＋9.反过来，一次函数y＝－2x＋9也可以写成二元一次方程2x＋y－9＝0的形式.
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思考：(1)一次函数y＝－2x＋9的图象上任一点的坐标都是二元一次方程2x＋y－9＝0的解吗？
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如图，一次函数y＝－2x＋9的图象上任一点的坐标可以表示为(c，－2c＋9)，其中c为任意实数.
由于其都能使方程左右两边相等，因而都是二元一次方程2x＋y－9＝0的解.
(2)以二元一次方程2x＋y－9＝0的解为坐标的点组成的图形是一次函数y＝－2x＋9的图象吗？
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又二元一次方程2x＋y－9＝0的所有解都可以表示为(c，－2c＋9)，其中c为任意实数.而所有点(c，－2c＋9)都在一次函数y＝－2x＋9的图象(一条直线)上，如图所示.于是以二元一次方程2x＋y－9＝0的解为坐标的点组成的图形是一条直线，它是一次函数y＝－2x＋9的图象.
根据以上探究过程，能归纳一次函数与二元一次方程的关系吗？
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根据以上探究过程，能归纳一次函数与二元一次方程的关系吗？
在平面直角坐标系中，关于x，y 的二元一次方程ax＋by＋c＝0(a≠0，b≠0)表示一条直线，这条直线是一次函数 的图象.
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环节二：知识运用
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给了一条与坐标轴不平行且不重合的直线，可以任选直线上的两点，用待定系数法求出一次函数y＝kx＋b的表达式，这个一次函数的图象就是这条直线.
由于一次函数y＝kx＋b的图象就是二元一次方程kx－y＋b＝0表示的直线，因此，所给的直线就是二元一次方程kx－y＋b＝0表示的直线.
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环节三：探究二元一次方程所表示的直线与x轴的交点
议一议：关于x，y的二元一次方程kx－y＋b＝0(k≠0)所表示的直线与x 轴的交点坐标是什么？
一次函数y＝kx＋b的图象上任一点的坐标是(c，kc＋b).由于函数的图象与x 轴的交点的纵坐标为0，因此交点的横坐标c满足kc＋b＝0，于是 ，从而一次函数y＝kx＋b的图象与x 轴的交点坐标是 .
因此，关于x，y 的二元一次方程kx－y＋b＝0(k≠0)所表示的直线与x 轴的交点坐标是 .
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课堂评价
A
课堂评价
通过本节课的学习，你学会了哪些内容？ 在学习的过程中，你都运用到了哪些数学思想方法？
课堂总结
基础性作业：教材练习第1~3题.
提高性作业：教材习题3.5第4，5题.
拓展性作业：查阅资料，了解函数与方程的思想在初高中数学学习中的意义，与同学分享.
作业设计

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