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第3章 一次函数
3.6 一次函数的应用
第2课时 建立一次函数模型解决实际问题
办理一个新的手机流量套餐，看到了两个不错的方案.
方案A：月租费20 元，每月包含的流量免费，超出部分按0.1 元/MB收费.
方案B：月租费0 元，但所有流量都按0.2 元/MB收费.
应该如何选择才最划算？
“用得少”和“用得多”该如何量化？
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环节一：问题探究
问题：在第二、三、四届奥运会比赛中，男子撑竿跳高的纪录如下表所示：
观察表中的数据，能为上述三届奥运会比赛男子撑竿跳高纪录与所在年份的关系建立一个函数模型吗？
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观察这些数据，该纪录随着时间变化有什么大致的变化趋势？
该纪录随着时间变化呈现增长趋势.
(1)在数学上，如何清晰地描述这种增长关系？
利用函数描述.
(2)如果要画图表示，横轴和纵轴分别应该代表什么？
横轴代表年份；纵轴代表高度.
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(3)为了处理方便，可以对年份数据进行怎样的简化处理？
设定基准年份：设1900 年为第 0 年，从而建立新表格.
(4)现在有三个点(0，3.3)，(4，3.5)，(8，3.71).把它们大致画出来.这三个点大致构成什么图形？
三个点大致在一条直线上.
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由于数据点近似在一条直线上，我们可以用一次函数y=kt+b(k，b为常数， k≠0)来近似地描述它们之间的关系，这叫作利用函数模型模拟数据.
(5)如何求出这个一次函数的表达式？
利用待定系数法.
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分组活动，选择不同的点对(如用前两点、后两点、首尾两点)分别求一次函数的表达式.
方法1：用(0，3.3)和(4，3.5)?y＝0.05t＋3.3.
方法2：用(4，3.5)和(8，3.71)?y＝0.052 5x＋3.29.
方法3：用(0，3.3)和(8，3.71)?y＝0.051 25x＋3.3.
可以发现，用不同的点算出的k和b非常接近.可以取一个相对居中的值，或者为了简便，就选用y＝0.05t＋3.3作为函数模型.
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表中每一届的记录比上一届都大约提高了0.2 m，于是可以尝试建立一次函数模型来刻画.
用t表示从1900 年起增加的年份，那么可以设奥运会男子撑竿跳高的纪录y(m)与t之间的一次函数表达式为y＝kt＋b(k，b为常数，k≠0).
由于t＝0(即1900年)时，男子撑竿跳高的纪录为3.3 m，t＝4(即1904 年)时，男子撑竿跳高的纪录为3.5 m，因此b＝3.3，4t＋b＝3.5.
解得b＝3.3，k＝0.05.于是y＝0.05t＋3.3.
?
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当t＝8时，y＝3.7，说明1908 年奥运会的男子撑竿跳高纪录基本符合y＝0.05t＋3.3.
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根据一次函数模型y＝0.05t＋3.3，预测一下，如果趋势不变，1912 年(第5 届，即t＝12时)的纪录会是多少米？
当t＝12时y＝3.9(m).
经查询可知，1912 年奥运会的男子撑竿跳高纪录为3.95 m，这一记录也接近符合y＝0.05t＋3.3.于是， y＝0.05t＋3.3可以大致反映上述三届奥运会男子撑竿跳高纪录与所在年份之间的函数关系.
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那么，能否用y＝0.05t＋3.3这个一次函数模型预测很多年后的撑竿跳高纪录？ 比如预测1988 年的纪录？
1988 年对应t＝88，y＝0.05×88＋3.3＝7.7(m).
7.7 m这个成绩现实吗？
1988 年男子撑竿跳高纪录为5.90 m，远低于7.7 m.
为什么模型“失灵”了？
任何模型都有适用范围.模型是基于早期三届的数据建立的，只反映了在那个技术阶段下的增长趋势，所以要理性地看待它的预测结果.
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环节二：典例剖析
例 某地为保护环境，鼓励节约用电，实行阶梯电价制度，规定：每户居民每月用电量不超过200 kW·h，按0.6 元/(kW·h)收费；若超过200 kW·h，则超出部分每1 kW·h加收0.3 元.
(1)写出某户居民某月应缴纳的电费y(元)与用电量x(kW·h)之间的函数表达式；
(2)画出这个函数的图象；
(3)小玲家3 月份、4 月份分别用电150 kW·h和220 kW·h，各应缴纳电费多少元？
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阶梯电价制度的核心规则是什么？ 用简洁的语言概括.
第一档：0≤x≤200，0.6元/(kW·h).
第二档：x＞200，超出部分0.9元/(kW·h).
当用电量x在不同范围内时，计算总电费的方法一样吗？ 应该怎么做？
不一样，需要分类讨论.
情况一：当每月用电量不超过200 kW·h时，y＝0.6x(0≤x≤200).
情况二：当每月用电量超过200 kW·h时，y＝0.9x－60(x＞200).
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得到了两个函数表达式，它们的图象会是一条直线吗？ 该怎么画？
注意：自变量的取值范围决定了图象的“起点”和“终点”，以及端点处实心点与空心圈的区别.
150 kW·h和220 kW·h这两个用电量，分别属于哪个计费区间？ 应该用哪个表达式来计算？
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得到的函数图象由两个一次函数的图象拼接在一起.
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解决此类问题的一般步骤：
理解规则—分类讨论—建立模型—数形结合—解决问题.
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课堂评价
一次
课堂评价
课堂评价
1.通过本节课的学习，你有哪些收获？
2.在解决问题的过程中，你认为最需要注意的是什么？
知识层面：
建立一次函数模型解决实际问题的步骤：
1.审题(找出数量关系)；
2.建模(注意自变量的取值范围)；
3.求解(计算或画图)；
4.回归(解释与决策).
思想方法层面：函数思想、分类讨论思想、数形结合思想.
课堂总结
基础性作业：教材练习.
提高性作业：教材习题3.6第3~5题.
拓展性作业：请你自己去寻找一个生活中可以用分段的一次函数模型解决的例子，并尝试建立模型进行分析(例如：共享单车套餐、打印店收费等).
作业设计

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