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第4章 数据分析
4.2 方差
有甲、乙两支仪仗队，准备抽取其中一支参与检阅，已知这两支仪仗队队员的身高(单位： cm)如下表：
(1)求甲、乙两队身高的平均数、中位数和众数.
甲队身高的平均数、中位数和众数分别是179，179，179；
乙队身高的平均数、中位数和众数分别是179，179，179.
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有甲、乙两支仪仗队，准备抽取其中一支参与检阅，已知这两支仪仗队队员的身高(单位： cm)如下表：
(2)你认为应选取哪支仪仗队？
这两队身高的平均数、中位数和众数都相同，选甲、乙两队均可.
这两支仪仗队身高的平均数都是179，通过观察发现甲队队员比较整齐，因此选甲队.如何判断一组数据比较整齐？
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任务一：探究方差的概念
刘亮和李飞参加射击训练的成绩(单位：环)如下：
刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；
李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9.
(1)两人的平均成绩分别是多少？
(2)如何反映这两组数据与其平均数的偏离程度？
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(1)刘亮成绩的平均数是
李飞成绩的平均数是
即两人的平均成绩相同.
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(2)为了直观地看出这两组数据与其平均数的偏离程度，我们用下图来表示数据的分布情况.
由上面两幅图可以发现，刘亮的射击成绩大多集中在平均成绩8环附近，而李飞的射击成绩与其平均成绩的偏离程度较大.
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问题：一组数据中的各数据与这组数据的平均数的偏离程度是数据的一个重要特征，它反映了一组数据的离散程度或波动大小.那么，如何表示各数据与这组数据的平均数的偏离程度？
将每个数据与平均数相减.
强调：将每个数据与平均数相减可以得到各个数据与平均数的偏差.
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能求出偏差的和吗？ 可否用偏差之和来刻画一组数据的离散程度？
设一组数据为x1，x2，…，xn，则这组数据的各个数据与其平均数
的偏差之和为 这时由于出现了正负偏差抵消的情况，因此无法用各个数据与平均数的偏差之和来刻画这组数据的离散程度.
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直接求和会出现正负偏差抵消，那么还有什么办法？
可以用各个数据与 的差的绝对值之和，或者利用各个数据与 的差的平方和.
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例如，有两组数据：(1)4，5，6，7，8；(2)3，6，6，6，9.
对于(1)，这组数据的平均数 为6，则这组数据与 的差的绝对值之和、这组数据与 的差的平方和分别为|4－6|＋|5－6|＋|6－6|＋|7－6|＋|8－6|＝6，(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2＝10.
对于(2)，这组数据的平均数 为6，则这组数据与 的差的绝对值之和、这组数据与 的差的平方和分别为|3－6|＋|6－6|＋|6－6|＋|6－6|＋|9－6|＝6，(3－6)2＋(6－6)2＋(6－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2＝18.
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绝对值之和也有可能相等，所以统计中经常用各个数据与平均数的差的平方和来刻画数据的离散程度.
离差平方和：设一组数据为x1，x2，…，xn，各个数据与平均数之差的平方和，称为这组数据的离差平方和，记作S2，即
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离差平方和S2刻画了一组数据与其平均数 的总离散程度.当两组数据的个数不相同时能直接根据离差平方和研究数据的离散程度吗？ 借助于前期所学的知识，如何刻画一组数据与其平均数 的平均离散程度？
当两组数据的个数不相同时不能直接根据离差平方和研究数据的离散程度，可以求各个数据与平均数 之差的平方的平均数来研究平均离散程度.
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设一组数据为x1，x2，…，xn，各个数据与平均数 之差的平方的平均值，称为这组数据的方差，记作s2，即
s2与S2有何关系？
结合二者的计算式可知
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任务二：探究方差的计算步骤与方差的意义
问题1：能用自己的语言叙述对方差定义的理解吗？ 能概括方差计算的步骤吗？
方差就是一组数据中各个数据与平均数的差的平方的平均值.
步骤：先求平均数，再求离差平方和，最后除以数据个数.
问题2：如何由方差来描述一组数据的离散程度？
一组数据的方差越小，表明这组数据的离散程度越小，这组数据也就越稳定.
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问题3：在比较两组数据的离散程度时，离差平方和与方差有什么区别？
离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制.
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任务三：方差的应用
例1 刘亮和李飞参加射击训练的成绩(单位：环)如下：
刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；
李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9.
分别计算刘亮与李飞的射击成绩的离差平方和与方差，并判断谁的射击成绩更稳定.
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例2 两个女声小合唱队各由5名队员组成，她们的身高(单位：cm)为：
甲队：160，162，159，160，159；
乙队：169，165，157，150，164.
试判断哪队队员身高比较整齐.
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任务四：公式的进一步推导
问题：能否根据方差的公式推导出其他不同的形式的方差公式？
因为 ，i＝1，2，…，n，
所以
又方差 ，于是 .
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强调：此公式为简化后的公式，方便计算.当一组数据个数很多时，求离差平方和与方差的运算量很大，于是常常借计算器来求.
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1.通过本节课的学习，你学会了哪些内容？
2.在学习的过程中，你都运用了哪些数学思想方法？
课堂总结
基础性作业：教材习题4.2第1，2题.
提高性作业：教材习题4.2第3题.
拓展性作业：查阅资料，通过具体实例说明方差在解决实际问题中的意义，与同学分享.
作业设计

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