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第1章 四边形
1.4 三角形的中位线定理
周六这天，山山奶奶去赶集，她打算在集市上买个蛋糕，让四个孙子换换口味.结果，她带的钱太少买不起一个大蛋糕，于是店员给她推荐了一个三角形的小蛋糕.山山奶奶高兴地把小蛋糕拎回了家.可是等孙子们玩耍回来后，她却犯了难，她发现无法把这个三角形的蛋糕分成四份一样的小蛋糕分发给他们.
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有没有办法将这个三角形蛋糕分成大小和形状都相同的四份？
先连接三角形每两边的中点，再进行裁剪，然后把四个小三角形进行调整后重叠在一起，发现四个小三角形完全重合.
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活动一：给出概念，探究新知
证明平行四边形的性质定理与判定定理时，都是先将平行四边形分割成几个三角形，然后利用全等三角形来证明.反过来，是否可用平行四边形来研究三角形的有关问题？
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如图所示，D，F，E分别为△ABC的边AB，BC，AC的中点，连接DE，DF，EF.把连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.于是△ABC有三条中位线，分别是DE，DF，EF.
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问题：(1)三角形有几条中位线？
(2)说出三角形的中位线与中线的相同之处和
不同之处.
(1)三条.
(2)相同之处：都是线段；都和边的中点有关；都在三角形的内部.
不同之处：三角形的中位线的两个端点都是边的中点，而三角形的中线只有一个端点是边的中点，另一端点是三角形的顶点.
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理解三角形的中位线定义的两层含义.如图.
①因为D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，所以DE为△ABC的中位线.
②由于DE为△ABC的中位线，因此D，E分别为边AB，AC的中点.
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探究：如图，DE是△ABC的中位线，将△ADE以点E为中心，顺时针旋转180°，使点A 和点C重合，得到△CFE.四边形DBCF是平行四边形吗？ 此时DE与BC具有怎样的位置关系和数量关系？
DE∥BC，且DE＝BC.
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证明：如图所示，DE是△ABC的中位线.
延长DE至F，使EF＝DE.连接CF.
因为AE＝CE，∠AED＝∠CEF，DE＝EF，
所以△ADE≌△CFE(边角边)，
于是AD＝CF，∠A＝∠ECF，
从而AB∥FC.
又BD＝AD＝CF，
因此四边形DBCF是平行四边形.
所以DE∥BC，DE＝ DF＝ BC.
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总结：
三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
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做一做：如图所示，DE，DF，EF是△ABC的三条中位线.
(1)三条中位线把△ABC分成了几个小三角形？ 这些小三角形之间有什么关系？
三条中位线把△ABC分成了4 个小三角形，它们之间相互全等.
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(2)以点A，B，C，D，E，F 为顶点能找出多少个平行四边形？并说明理由.
能找出三个平行四边形： DBFE， DFCE， ADFE.
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四边形ADFE是平行四边形，理由如下：
因为EF是△ABC的中位线，
所以EF∥AB，EF＝AB.所以EF∥AD.
又因为D是线段AB的中点，
所以AD＝AB，于是EF＝AD.
所以四边形ADFE是平行四边形.
同理可证：四边形DBFE是平行四边形，四边形DFCE是平行四边形.
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活动二：定理应用
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中点四边形的规律，即顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
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A
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A
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C
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通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？ 在本节课的学习过程中，你运用了哪些数学思想方法？
课堂总结
基础性作业：教材练习第1，2题；教材习题1.4第1，2题.
提高性作业：教材议一议栏目中的问题；教材习题1.4第3~5题.
作业设计

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