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(共16张PPT)
第二章　相交线与平行线
1　两条直线的位置关系
第1课时　对顶角、补角和余角
观察图中的直线，你认为两条直线有哪些位置关系？
解：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.
1　相交线和平行线的概念
1. 在同一平面内，两条直线的位置关系有① 和② 两种.
2. 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为③ ；在同一
平面内，④ 的两条直线叫作平行线.
相交
平行
相交线
不相交
【例1】在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（　C　）.
A. 平行 B. 相交
C. 平行或相交 D. 平行或垂直
下列说法正确的是（　C　）.
A. 同一个平面内，不相交的两条线段是平行线
B. 同一个平面内，两条直线不相交就重合
C. 同一个平面内，没有公共点的两条直线是平行线
D. 不相交的两条直线是平行线
C
C
2　对顶角的概念
1. 有公共⑤ ，一个角的两边分别为另一个角两边的⑥
的两个角，互为对顶角.如图所示，∠1和∠3，∠2和∠4是对顶角.
2. 对顶角⑦ .
顶点
反向延长
线
相等
【例2】（2025·光明区期中）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是
（　C　）.
C
如图，直线AB，CD相交于点O，小明说：“若已知∠AOD的
度数，则∠BOC的大小也等于这个度数.”你知道这是什么数学道理吗？
（　A　）.
A. 对顶角相等 B. 对顶角互补
C. 邻补角相等 D. 邻补角互补
A
3　补角和余角的概念
1. 如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为⑧ ；如果两个角
的和是90°，那么称这两个角互为⑨ .
2. 同角或等角的补角⑩ ，同角或等角的余角 .
补角
余角
相等
相等
【例3】（2025·龙岗区期末）将一副三角板按不同位置摆放，下列选项中，
∠α与∠β互余的是（　A　）.
（2025·宝安中学期中）若一个角的余角为20°，则这个角的补角
度数为 .
A
110°
1. 下面的四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　B　）.
B
2. （2024·龙岗区期末）如图，我们将食品夹的两边抽象为两条直线AB与
CD，它们相交于点O，若∠1＝30°，则∠2＝（　A　）.
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
A
3. （2024春·盐田区校级月考）一副三角板按如图所示的方式摆放，则∠1补
角的度数为（　D　）.
A. 45° B. 135° C. 75° D. 165°
4. （2025·南山外国语学校期中） 一个角等于55°，则这个角的补角等
于 .
D
125°
5. （2024春·盐田区月考）如图，∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，则
∠1，∠2，∠3之间的数量关系为（　D　）.
A. ∠1＋∠2＋∠3＝90°
B. ∠1＋∠2－∠3＝90°
C. ∠2＋∠3－∠1＝90°
D. ∠1－∠2＋∠3＝90°
D
6. （2025·深圳市第二实验学校月考）一个角的余角比它的补角的 少40°，
则这个角的度数为（　A　）.
A. 30° B. 36° C. 42° D. 48°
A
参考答案
【新课引入】
解：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.
【新课导学】
①相交　②平行　③相交线　④不相交
【例1】　C
对点训练1　C
⑤顶点
⑥反向延长线
⑦相等
【例2】 C
对点训练2　A
⑧补角
⑨余角
⑩相等
相等
【例3】 A
对点训练3　110°
【随堂小测】
1. B　2.A　3.D　4.125°　5.D　6.A(共26张PPT)
第二章　相交线与平行线
微专题三　平行线中的拐角模型
类型一　 平行线中一个拐点模型
1. 如图，AB∥CD，DE⊥BE于点E，∠B＝38°，则∠D等于
（　B　）.
A. 38° B. 52° C. 58° D. 62°
第1题图
B
2. 如图，已知AB∥CD∥EF，则x，y，z三者之间的关系是（　B　）.
A. x＋y＋z＝180° B. x＋y－z＝180°
C. y－x－z＝0° D. y－x－2z＝0°
第2题图
B
3. 如图，若AB∥CD，则（　A　）.
A. ∠1＝∠2＋∠3
B. ∠1＝∠3－∠2
C. ∠1＋∠2＋∠3＝180°
D. ∠1－∠2＋∠3＝180°
第3题图
A
4. 如图，已知AB∥CD，∠ABE＝120°，∠C＝25°，则∠E的度数为
（　C　）.
A. 60° B. 75° C. 85° D. 80°
第4题图
C
5. 如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是
（　A　）.
A. 36° B. 34° C. 32° D. 30°
第5题图
A
类型二　平行线中两拐点及多拐点模型
6. 如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝50°，则∠2的度数为（　A　）.
A. 130° B. 120° C. 115° D. 100°
第6题图
A
7. 如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α，β，γ之间的关系是（　C　）.
A. β＋γ－α＝90° B. α＋β＋γ＝180°
C. α＋β－γ＝90° D. β＝α＋γ
第7题图
C
8. 如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1＋∠2＝（　A　）.
A. 30° B. 35° C. 36° D. 40°
第8题图
A
类型三　平行线在生活中的拐点模型
9. 探照灯、锅形天线、汽车灯以及其他很多灯具都与抛物线形状有关，如图
所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB，OC
经灯碗反射以后平行射出.如果图中∠ABO＝α，∠DCO＝β，则∠BOC的
度数为（　B　）.
A. 180°－α－β B. α＋β
D. 90°＋（β－α）
B
第9题图
10. （2025·福田区模考）某公司研发了一款新型护眼台灯，其侧面结构示意
图如图（台灯底座高度忽略不计）.如图所示，AB∥ED，经光学测试发
现，当∠ABC＝130°，∠BCD＝120°时，光线效果最佳，此时灯臂CD与
底座DE的夹角∠CDE的度数为（　A　）
A. 110° B. 105° C. 100° D. 115°
A
11. （2025·蛇口育才教育集团期中）小明研究两条平行线间的拐点问题在生
活中的应用，书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯，其示意图如图所示，EF
与桌面MN垂直.当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，若∠DEF＝
126°，∠BCD＝104°，则∠CDE的度数为 .
112°
12. 生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示.若想求解某些特殊状态下的角
度，将其抽象为几何图形，如图2所示，BA垂直于地面AE于点A，CD平行
于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝ .
270°
13. （2025·光明区期中）如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD 及
线段AB把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分.当
动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三
个角.（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）
（1）如图1，当动点P落在第①部分时，∠APB＝∠PAC＋∠PBD是否成
立？（直接回答成立或不成立）.
解：成立；如图1，延长BP交直线AC于点E.
因为AC∥BD，
所以∠PEA＝∠PBD.
因为∠APB＋∠APC＝180°，∠APC＋∠PAE＋∠PEA＝180°，
所以∠APB＝∠PAE＋∠PEA，
所以∠APB＝∠PAC＋∠PBD.
13. （2025·光明区期中）如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD 及
线段AB把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分.当
动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三
个角.（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）
（2）如图2，当动点P落在第②部分时，探究∠PAC，∠APB，∠PBD 之
间的关系并说明理由.
解：∠APB＋∠PAC＋∠PBD＝360°.理由如下：
如图2，过点P作PM∥AC，
因为AC∥BD，
所以PM∥BD，
所以∠PAC＋∠APM＝180°，∠PBD＋∠BPM＝180°，
所以∠APB＋∠PAC＋∠PBD＝360°.
13. （2025·光明区期中）如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD 及
线段AB把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分.当
动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三
个角.（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）
（3）当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的
关系，并写出动点P的具体位置和相对应的结论.
解：由题意知，分3种情况求解：
（a）如图3，当动点P在射线BA 的右侧时，
结论是∠PBD＝∠PAC＋∠APB.
证明：因为AC∥BD，
所以∠PMC＝∠PBD.
又因为∠PMC＋∠AMP＝180°，∠AMP＋∠PAC＋∠APB＝180°，
所以∠PMC＝∠PAC＋∠APB，
所以∠PBD＝∠PAC＋∠APB.
　　 　　
（b）如图4，当动点P在射线BA上时，
结论是∠PBD＝∠PAC＋∠APB，
或∠PAC＝∠PBD＋∠APB或∠APB＝0°，
∠PAC＝∠PBD. （任写一个即可）
证明：因为点P在射线BA上，
所以∠APB＝0°.
因为AC∥BD，
所以∠PBD＝∠PAC，
所以∠PBD＝∠PAC＋∠APB或∠PAC＝∠PBD＋∠APB或∠APB＝
0°，∠PAC＝∠PBD.
（c）如图5，当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC＝∠APB＋
∠PBD.
证明：因为AC∥BD，
所以∠PFA＝∠PBD.
因为∠PAC＋∠PAF＝180°，∠PAF＋∠APB＋∠PFA＝180°，
所以∠PAC＝∠APB＋∠PFA，
所以∠PAC＝∠APB＋∠PBD.
参考答案
1. B　2.B　3.A　4.C　5.A　6.A　7.C　8.A
9. B
10.A
11.112°
12.270°
13. 解：（1）成立；如图1，延长BP交直线AC于点E.
因为AC∥BD，
所以∠PEA＝∠PBD.
因为∠APB＝∠PAE＋∠PEA，
所以∠APB＝∠PAC＋∠PBD.
（2）∠APB＋∠PAC＋∠PBD＝360°.理由如下：
如图2，过点P作PM∥AC，
因为AC∥BD，
所以PM∥BD，
所以∠PAC＋∠APM＝180°，∠PBD＋∠BPM＝180°，
所以∠APB＋∠PAC＋∠PBD＝360°.
（3）由题意知，分3种情况求解：
（a）如图3，当动点P在射线BA 的右侧时，结论是∠PBD＝∠PAC＋
∠APB.
证明：因为AC∥BD，
所以∠PMC＝∠PBD.
又因为∠PMC＝∠PAC＋∠APB，
所以∠PBD＝∠PAC＋∠APB.
　　 　　
（b）如图4，当动点P在射线BA上时，
结论是∠PBD＝∠PAC＋∠APB，
或∠PAC＝∠PBD＋∠APB或∠APB＝0°，
∠PAC＝∠PBD（任写一个即可）
证明：因为点P在射线BA上，
所以∠APB＝0°.
因为AC∥BD，
所以∠PBD＝∠PAC，
所以∠PBD＝∠PAC＋∠APB或∠PAC＝∠PBD＋∠APB或∠APB＝
0°，∠PAC＝∠PBD.
（c）如图5，当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC＝∠APB＋
∠PBD.
证明：因为AC∥BD，
所以∠PFA＝∠PBD.
因为∠PAC＝∠APB＋∠PFA，
所以∠PAC＝∠APB＋∠PBD.(共22张PPT)
第二章　相交线与平行线
1　两条直线的位置关系
第2课时　垂直
观察图中相交的直线，它们有哪些特殊的位置关系？
解：两条相交直线之间的特殊位置关系是垂直关系.
1　垂线的概念
两条直线相交成四个角，如果有一个角是① ，那么称这两条直线互
相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作②
.通常用符号“③ ”表示两条直线互相垂直.
直角
垂
足
⊥
【例1】如图，OA⊥OB，∠AOC＝120°，则∠BOC的度数是（　D　）.
A. 150° B. 120° C. 60° D. 30°
D
如图，点C为直线AB上一点，CD⊥CE，若∠1＝65°，则∠2
的度数是（　B　）.
A. 15° B. 25° C. 35° D. 65°
B
2　垂线的画法
1. 在同一平面内，过一点④ 条直线与已知直线垂直.
2. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，⑤ 最短.
【例2】过直线m外的一点Q作m的垂线，下列图中借助直角三角尺操作正
确的是（　D　）.
有且只有1
垂线段
D
如图，点P与直线l上的四个点A，B，C，D的所有连线中，最
短的线段是（　B　）.
A. PA B. PB C. PC D. PD
B
3　点到直线的距离
点到直线的距离：直线外一点到这条直线所画的垂线段的长度.
【例3】如图，AC⊥BC，CD⊥AB，则点B到AC的距离为（　D　）.
A. 线段BD的长度 B. 线段AC的长度
C. 线段CD的长度 D. 线段BC的长度
D
下列作图能表示点A到BC的距离的是（　B　）.
B
1. （2025·福田区华富中学月考）如图，直线AB和CD相交于点O，
OE⊥OC，若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为（　B　）.
A. 29° B. 32° C. 45° D. 58°
B
2. 如图，过点P作线段AB的垂线，垂足在（　B　）.
A. 线段AB上
B. 线段AB的延长线上
C. 线段AB的反向延长线上
D. 直线AB外
B
3. 如图，要把河中的水引到村庄A，小凡先作AB⊥CD，垂足为点B，然后
沿AB开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是（　C　）.
A. 两点确定一条直线
B. 两点之间线段最短
C. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最
短
D. 三角形两边之和大于第三边
C
4. 下列说法正确的有（　A　）.
①互为补角的两角的平分线互相垂直；
②在同一平面内，两条互相垂直的线段不一定相交，但它们所在的直线一定
相交；
③两条直线相交成四个角，如果有一对对顶角互余，那么这两条直线垂直；
④画一条射线的垂线，垂足一定落在这条射线上.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
A
5. （2025·罗湖区期末）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线
l外，MC⊥l，若MA＝5 cm，MB＝4 cm，MD＝3 cm，则点M到直线l的
距离可能是 cm.（写出一个即可）
2（答案不唯一）
6. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥OC.
（1）图中∠AOF的余角是 （把符合条件的角都填
上）；
∠AOD，∠BOC
（2）如果∠1＝28°， 求∠2和∠3的度数.
解：因为OE平分∠AOD，
所以∠AOD＝2∠1＝56°（角平分线的定义）.
因为∠AOD＋∠AOC＝∠2＋∠AOC＝180°，
所以∠2＝∠AOD＝56°（同角的补角相等）.
又因为OF⊥CO，
所以∠FOD＝90°，
所以∠3＝90°－∠AOD＝34°.
7. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点.点A、点
B、点C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下面要求画图.
（1）画直线AB；
（2）画线段AC，BC；
（3）过点C画直线AB的垂线，垂足为D；
解：（1）（2）（3）如图所示.
7. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点.点A、点
B、点C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下面要求画图.
（4）在线段AC，BC，CD中，最短的线段为 ，依据是
.
解：因为垂线段最短，
所以最短的线段为CD.
CD
垂线段最
短
参考答案
【新课引入】
解：两条相交直线之间的特殊位置关系是垂直关系.
【新课导学】
①直角　②垂足　③⊥
【例1】　D
对点训练1　B
④有且只有1　⑤垂线段
【例2】　D
对点训练2　B
【例3】　D
对点训练3　B
【随堂小测】
1. B　2.B　3.C　4.A　5.2（答案不唯一）
6. 解：（1）∠AOD，∠BOC
（2）因为OE平分∠AOD，
所以∠AOD＝2∠1＝56°（角平分线的定义）.
因为∠AOD＋∠AOC＝∠2＋∠AOC＝180°，
所以∠2＝∠AOD＝56°（同角的补角相等）.
又因为OF⊥CO，
所以∠FOD＝90°，
所以∠3＝90°－∠AOD＝34°.
7. 解：（1）（2）（3）如图所示.
（4）因为垂线段最短，
所以最短的线段为CD.
故答案为：CD，垂线段最短。(共45张PPT)
第二章　相交线与平行线
章末复习
一个
相交线
公共顶点
互为反向延长线
对顶角
相等
180°
补角
相等
90°
余角
相等
直角
垂直
有且只有一条直线
线段
最短
垂线段的长度
点到直线的距离
同侧
同侧
内侧
两侧
内侧
同侧
不相交
有且只有一条
平行
　对对顶角的概念理解不透彻而出错
【例1】（2025·长沙市期末）如图，∠2与∠4是一对（　A　）.
A. 对顶角 B. 内错角
C. 同旁内角 D. 同位角
A
　　对顶角是指具有共同的顶点且两边互为反向延长线的两个角，对顶
角相等.
1. ∠1与∠2是对顶角的为（　D　）.
D
2. 如图，直线a，b，c交于点O，若∠1＋∠2＝70°，则∠3的度数为
（　D　）.
A. 35° B. 70° C. 100° D. 110°
D
　对点到直线的距离理解不透彻而出错
【例2】已知△ABC，用直角三角板过点A作直线BC的垂线，下列三角板的
位置摆放正确的是（　B　）.
B
　　点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到
直线的距离.距离是线段的长度，不是线段.
3. 如图，点A，B在直线l上，点P在直线l外，连接PA，PB，若PA＝3，
PB＝5，则点P到直线l的距离可能是（　A　）.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
A
4. 如图，AC⊥BC，垂足为点C，AB＝10，点A到BC的距离是8，点C到
AB的距离是4.8，则点B到AC的距离是（　D　）.
A. 2.4 B. 4.8 C. 8 D. 6
D
　对垂线段最短理解不透彻而出错
【例3】如图，小胡同学的家在点P处，他在行走速度相同的情况下，想尽快
地到达公路边，他选择沿线段PB去公路边，他这一选择用到的数学知识是
（　B　）.
B
A. 经过一点，有无数条直线 B. 垂线段最短
C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短
　　连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
5. 如图是琪琪同学立定跳远的示意图，琪琪从点A起跳，落到了点B处，若
AB＝2.1米，则琪琪的跳远成绩可能是（　D　）.
A. 2.3米 B. 2.2米 C. 2.1米 D. 2.0米
第5题图
D
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3 cm，BC＝4 cm，AC＝5
cm，则点B到直线AC上各点的所有线段中，最短的线段长为（　C　）.
A. 3 cm B. 2.5 cm C. 2.4 cm D. 2 cm
第6题图
C
　对内错角的理解不透彻而出错
【例4】（2025·北京市期末）如图，直线AB，CD分别被EF和EG所截，下
列结论错误的是（　C　）.
A. ∠1与∠3是一对内错角 B. ∠3与∠5是一对同位角
C. ∠1与∠5是一对内错角 D. ∠2与∠4是一对同旁内角
C
　直线AB，CD被第三条直线EF所截，这三条直线形成了两个顶点，围绕
两个顶点的8个角之间有三种特殊关系：
*同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB，CD的同侧，在第
三条直线EF的同旁（即位置相同），这样的一对角叫作同位角；
*内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB，CD之间，在第三
条直线EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫作内错角；
*同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB，CD之间，在第
三条直线EF的同旁，这样的一对角叫作同旁内角.
7. 如图，将一块含有60°角的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1＝
40°，则∠2的度数为（　D　）.
A. 60° B. 40° C. 30° D. 20°
第7题图
D
8. （2025·深圳市高级中学月考）如图，直角三角板的直角顶点落在直尺边
上，若∠1＝55°，则∠2的度数为（　C　）.
A. 55° B. 45° C. 35° D. 25°
第8题图
C
　三线八角的识别
　　三线八角是几何中的一个重要概念，指的是在同一平面内，两条直线被
第三条直线所截形成的八个角.以下是关于三线八角的识别方法：
位置关系 基本模型
同位角 在两被截直线的同一方，在截线的同一
侧，位置相同
内错角 在两被截直线的内部，在截线的两侧，内
部交错
同旁 内角 在两被截直线的内部，截线的同侧，内部
同侧
1. 如图，下列各角中，与∠1是同位角的是（　D　）.
A. ∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5
第1题图
D
2. 如图，下列判断正确的是（　B　）.
A. ∠1和∠2是同位角 B. ∠3和∠4是内错角
C. ∠1和∠5是同旁内角 D. ∠2和∠4是对顶角
第2题图
B
3. 如图，下列5种说法：①∠1与∠4是内错角；②∠1与∠2是同位角；③∠4
与∠5是同旁内角；④∠2与∠4是同位角；⑤∠2与∠5是内错角.其中正确的
有（　C　）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第3题图
C
4. 如图，∠3和∠4的位置关系是（　C　）.
A. 对顶角 B. 同位角
C. 内错角 D. 同旁内角
第4题图
C
5. 如图，已知∠DAB＝65°，∠1＝∠C.
（1）在图中画出∠DAB的对顶角；
解：如图，∠GAH即为所求.
（2）写出∠1的同位角；
解：∠1的同位角是∠DAB.
（3）写出∠C的同旁内角；
解：∠C的同旁内角是∠B和∠ADC.
5. 如图，已知∠DAB＝65°，∠1＝∠C.
（4）求∠B的度数.
解：因为∠1＝∠C，
所以AE∥BC，
所以∠DAB＋∠B＝180°.
又因为∠DAB＝65°，
所以∠B＝115°.
　平行线的判定
平行线的判定方法：
·如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
·同位角相等，两直线平行.
·内错角相等，两直线平行.
·同旁内角互补，两直线平行.
6. 如图，能判定AD∥BC的是（　A　）.
A. ∠1＝∠2 B. ∠1＝∠3
C. ∠3＝∠4 D. ∠B＋∠BCD＝180°
第6题图
A
7. 如图，要得到a∥b，则需要条件（　C　）.
A. ∠2＝∠4 B. ∠1＋∠3＝180°
C. ∠1＋∠2＝180° D. ∠2＝∠3
第7题图
C
8. 如图，点E在AC的延长线上，下列条件中不．能．判定AB∥CD的是
（　B　）.
A. ∠1＝∠2 B. ∠3＝∠4
C. ∠A＝∠DCE D. ∠D＋∠ABD＝180°
第8题图
B
9. 如图所示，把AB，CD，EF三根木棒钉在一起，使之可以在连接点P，
Q处自由旋转，若∠1＝70°，∠2＝50°，则如何旋转木条CD，才能使它
与木条AB平行？（　B　）.
①把木条CD绕点P逆时针旋转20°.
②把木条CD绕点P顺时针旋转160°.
B
A. ①操作正确，②操作错误 B. ①②操作都正确
C. ①操作错误，②操作正确 D. ①②操作都错误
第9题图
10. （2025·深圳第二实验学校期中）已知：如图，∠B＋∠3＝90°，∠B＋
∠E＝90°，∠1＝∠E.
求证：AD平分∠BAC.
请完善证明过程，并在括号内填上相应依据.
证明：因为∠B＋∠3＝90°，∠B＋∠E＝90°（已知），
所以 ＝∠E（　同角的余角相等　），
所以AD∥EG（　同位角相等，两直线平行　），
所以∠2＝∠1（　两直线平行，内错角相等　）.
因为∠1＝∠E（已知），
所以∠2＝∠E，
所以 ＝ （　等量代换　），
所以AD平分∠BAC（　角平分线的定义　）.
∠3
同角的余角相等
同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
∠3
∠2
等量代换
角平分线的定义
　平行线的性质
　　平行线的性质：1.两直线平行，同位角相等；2.两直线平行，内错角相
等；3.两直线平行，同旁内角互补.
11. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，过点B作DE∥AC，则∠CBE的度
数是（　C　）.
A. 30° B. 50° C. 60° D. 120°
第11题图
C
12. 如图，AB∥CD，BC∥DE. 若∠CDE＝134°，则∠ABC的大小为
（　C　）.
A. 36° B. 44° C. 46° D. 56°
第12题图
C
13. （2025·宝安区多校期中）把下面的说理过程补充完整并解答第（2）题.
（1）如图，点E，F分别在AB，CD上，AF⊥CE于点G，∠1＝∠B，
∠A＋∠2＝90°.
求证：AB∥CD.
理由：因为AF⊥CE（已知），
所以∠AGE＝90°（ ）.
因为在△AGE中，∠A＋∠1＋∠AGE＝ °，
所以∠A＋∠1＝ °.
又因为∠A＋∠2＝90°（已知），
所以∠1＝ （ ）.
垂直的定义
180°
90°
∠2
同角的余角相等
又因为∠1＝∠B（已知），
所以∠B＝∠2（ ），
所以AB∥CD（ ）.
等量代换
内错角相等，两直线平行
13. （2025·宝安区多校期中）把下面的说理过程补充完整并解答第（2）题.
（2）若∠B＝2∠A，求∠C的度数.
解：因为∠B＝2∠A，
所以设∠A＝x，则∠B＝2x且∠B＝∠1，
所以∠1＝2x.
又因为∠AGE＝90°，
所以∠A＋∠1＝90°，即x＋2x＝90°，
解得x＝30°，2x＝60°.
又因为AB∥CD，
所以∠C＝∠1＝60°.
参考答案
【思维导图】
①一个
②相交线
③公共顶点
④互为反向延长线
⑤对顶角
⑥相等
⑦180°
⑧补角
⑨相等 ⑩90° 余角 相等 直角 垂直 有且只有一条直线
线段 最短 垂线段的长度 点到直线的距离 同侧 同侧 内侧
两侧 内侧 同侧 不相交 有且只有一条 平行
【易错点剖析】
【例1】 A
跟踪练习
1.D
2.D
【例2】 B
跟踪练习
3.A
4.D
【例3】 B
跟踪练习
5.D
6.C
【例4】 C
跟踪练习
7.D
8.C
【重难点突破】
1. D　2.B　3.C　4.C
5. 解：（1）如图，∠GAH即为所求.
（2）∠1的同位角是∠DAB.
（3）∠C的同旁内角是∠B和∠ADC.
（4）因为∠1＝∠C，
所以AE∥BC，
所以∠DAB＋∠B＝180°.
又因为∠DAB＝65°，
所以∠B＝115°.
6. A　7.C　8.B　9.B
所以∠3＝∠E（同角的余角相等），
所以AD∥EG（同位角相等，两直线平行），
所以∠2＝∠1（两直线平行，内错角相等），
因为∠1＝∠E（已知），
所以∠2＝∠E，
所以∠3＝∠2（等量代换），
所以AD平分∠BAC（角平分线的定义）.
11. C　12.C
10. 证明：因为∠B＋∠3＝90°，∠B＋∠E＝90°（已知），
所以∠AGE＝90°（垂直的定义）.
因为在△AGE中，∠A＋∠1＋∠AGE＝180°，
所以∠A＋∠1＝90°.
又因为∠A＋∠2＝90°（已知），
所以∠1＝∠2（同角的余角相等）.
又因为∠1＝∠B（已知），
所以∠B＝∠2（等量代换），
所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）.
13. 解：（1）理由：因为AF⊥CE（已知），
（2）因为∠B＝2∠A，
所以设∠A＝x，则∠B＝2x且∠B＝∠1，
所以∠1＝2x.
又因为∠AGE＝90°，
所以∠A＋∠1＝90°，即x＋2x＝90°，
解得x＝30°，2x＝60°.
又因为AB∥CD，
所以∠C＝∠1＝60°.(共17张PPT)
第二章　相交线与平行线
2　探索直线平行的条件
第1课时　利用同位角判定两条直线平行
在日常生活中，人们经常用到平行线.如左图，装修工人要在墙上钉木条，
如果木条b与竖直木条垂直，那么木条a与竖直木条所成的角为多少度时，
才能使木条a与木条b平行？如右图，若木条b不与竖直木条垂直呢？
解：题左图中，木条a与竖直木条成90°时符合条件.右图中，木条a与竖直
木条所成的角等于木条b与竖直木条所成的角即可.
1　同位角
两条直线a，b被第三条直线c所截，处于直线c的同侧，处于直线a，b的
同一方，这样位置的角称为① .
同位角
【例1】（2025·龙岗区沙湾中学期中）下列选项中，∠1和∠2是同位角的是
（　A　）.
A
下列选项中，∠1与∠2是同位角的是（　A　）.
A
2　利用同位角相等判定两直线平行
同位角② ，两直线平行.
【例2】如图，将木条a，b与木条c钉在一起，∠1＝70°，转动木条b，当
∠2＝ °时，木条a与b平行.
相等
70
如图，在直线AB外取一点P，经过点P作AB的平行线，这种作
法的依据是（　A　）.
A
A. 同位角相等，两直线平行
B. 两直线平行，同位角相等
C. 内错角相等，两直线平行
D. 两直线平行，内错角相等
3　平行公理及推论
1. 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
2. 平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线③ .
【例3】过直线m外一点A作m的平行线，可以作（　B　）条.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
平行
B
若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（　C　）.
A. 因为a∥b，b∥c，所以c∥d
B. 因为a∥c，b∥d，所以c∥d
C. 因为a∥b，a∥c，所以b∥c
D. 因为a∥b，c∥d，所以a∥c
C
1. 下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（　B　）.
A. ①③ B. ①②③ C. ①②④ D. ②④
B
2. 三条直线a，b，c中，a∥b，b∥c，则直线a与直线c的关系是
（　B　）.
A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 不确定
B
3. 如图，直线a，b被直线c所截，∠2＝60°，下列条件能判定a∥b的是
（　C　）.
A. ∠1＝150°
B. ∠1＝120°
C. ∠1＝60°
D. ∠1＝30°
C
4. 下列说法：①等角的余角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平
行；③相等的角是对顶角；④同位角相等.正确的共有（　D　）.
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
5. 如图，要得到a∥b，则需要条件（　B　）.
A. ∠1＋∠2＝180° B. ∠1＝∠2
C. ∠1＋∠2＝90° D. ∠1＋∠2＝120°
D
B
6. （2025·深圳外国语学校龙华学校期中）为响应国家新能源建设，某公交
站亭装上了太阳能电池板.当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线最
大夹角为62°.如图，电池板AB与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电
池板CD与水平线夹角为48°，要使AB∥CD，需将电池板CD至少转
动 度.
20
7. 如图，直线AB，CD被EF所截，且∠1＝∠2，以下是证明AB∥CD的过
程，请补充完整.
证明：因为∠1＝∠2（已知），
∠2＝∠3（ ），
所以 （等量代换），
所以 （ ）.
对顶角相等
∠1＝∠3
AB∥CD
同位角相等，两直线平行
参考答案
【新课引入】
解：题左图中，木条a与竖直木条成90°时符合条件.右图中，木条a与竖直
木条所成的角等于木条b与竖直木条所成的角即可.
【新课导学】
①同位角
【例1】　A
对点训练1　A
②相等
【例2】　70
对点训练2　A
③平行
【例3】　B
对点训练3　C
【随堂小测】
1. B　2.B　3.C　4.D　5.B　6.20
7. 对顶角相等　∠1＝∠3　AB∥CD　同位角相等，两直线平行(共19张PPT)
第二章　相交线与平行线
3　平行线的性质
第2课时　平行线的性质与判定的综合
回顾直线相交与平行的探究过程，你积累了哪些研究几何图形的方法与
经验？
解：（答案不唯一）一般来说，初中几何研究平面图形，大都从实际情境的
具体事物中抽象出几何图形，然后对图形的定义、表示、分类、性质、判
定、关系、应用等展开较为系统的研究.研究的方法既包括合情推理的方
法，也包括演绎推理的方法.
1　运用平行线的性质求角度
平行线的性质：两直线平行，同位角① ；两直线平行，内错角
② ；两直线平行，同旁内角③ .
相等
相等
互补
A. 65° B. 55° C. 45° D. 125°
【例1】（2025·龙华区期末）当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向
会发生改变，这就是光的折射现象.如图，一束平行光线AB与DE射入水平
放置的水杯中，其折射光线BC∥EF，若∠1＝125°，则∠2的度数为
（　B　）.
B
如图，直线a∥b，AC⊥BC，若∠1＝55°，则∠2＝
（　A　）.
A. 35° B. 40° C. 45° D. 50°
A
2　作平行线求角度
【例2】如图，直线a∥b，等腰直角△ABC的直角顶点A在直线a上，点B
在直线b上，若∠1＝28°，则∠2的度数为（　B　）.
A. 18° B. 17° C. 16° D. 15°
B
如图，AB∥CD，∠A＝130°，∠CED＝80°，则∠D的度数
为（　D　）.
A. 70° B. 65° C. 60° D. 50°
D
3　平行线的性质与判定的综合
平行线的判定：同位角④ ，两直线平行；内错角⑤ ，两直
线平行；同旁内角⑥ ，两直线平行.
【例3】如图，已知∠1＝98°，∠2＝82°，∠3＝76°，则∠4的度数为
（　A　）.
A. 76° B. 82° C. 98° D. 104°
相等
相等
互补
A
如图，直线AB∥CD，点E，F在AB上，点H在CD上，连接
EH，FH，∠DHF＝2∠EHF，若∠AEH＝60°，则∠HFB的度数为
（　C　）.
A. 160° B. 120° C. 140° D. 100°
C
1. 如图，∠AOB＝50°，CD∥OB交OA于点E，则∠AEC的度数为
（　D　）.
A. 50° B. 100° C. 120° D. 130°
D
2. 自行车尾灯内部的角反射器是由许多垂直的平面镜组成，其工作原理如图
2所示，平面镜AO⊥BO，当光线CD射向镜面OB时，经过两次反射后，光
线EF沿平行于CD的方向射出，若∠1＝50°，则∠2的度数是（　C　）.
A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
C
3. 如图，点E在AD的延长线上，下列条件不能判定AB∥CD的是
（　C　）.
A. ∠A＝∠C，AD∥BC
B. ∠A＝∠CDE
C. ∠1＝40°，∠2＝40°
D. ∠3＝70°，∠4＝70°
C
4. 如图，∠A＝80°，O是AB上的一点，直线OD与AB的夹角∠BOD＝
90°，若要使OD∥AC，则直线OD绕点O按逆时针方向至少旋
转 °.
10
5. 如图，已知直线a，b，c被直线m所截，截点分别为A，B，C，已知
a∥b，∠1＝60°，当∠2＝ ° 时，直线c∥a.
120
6. 如图，AB∥DE，∠B＝116°，∠D＝120°，则∠BCD的度数
为 .
124°
7. 如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，求∠AGD的大小.
解：因为EF∥AD（已知），
所以∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）.
又因为∠1＝∠2（已知），
所以∠1＝∠3（等量代换）.
所以AB∥DG（内错角相等，两直线平行）.
所以∠BAC＋∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）.
又因为∠BAC＝70°（已知），
所以∠AGD＝110°（等式的性质）.
参考答案
【新课引入】
解：（答案不唯一）一般来说，初中几何研究平面图形，大都从实际情境的
具体事物中抽象出几何图形，然后对图形的定义、表示、分类、性质、判
定、关系、应用等展开较为系统的研究.研究的方法既包括合情推理的方
法，也包括演绎推理的方法.
【新课导学】
①相等　②相等　③互补
【例1】　B
对点训练1　A
【例2】　B
对点训练2　D
④相等
⑤相等
⑥互补
【例3】 A
对点训练3　C
【随堂小测】
1. D　2.C　3.C　4.10　5.120　6.124°
7. 解：因为EF∥AD（已知），
所以∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）.
又因为∠1＝∠2（已知），
所以∠1＝∠3（等量代换）.
所以AB∥DG（内错角相等，两直线平行）.
所以∠BAC＋∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）.
又因为∠BAC＝70°（已知），
所以∠AGD＝110°（等式的性质）.(共20张PPT)
第二章　相交线与平行线
3　平行线的性质
第1课时　平行线的性质
如图，直线a与直线b平行.
（1）测量同位角∠1和∠5的大小，它们有什么关系？图中还有其他同位角
吗？它们的大小有什么关系？改变直线c与直线a所成角的大小再试一试，
你能得到相同的结论吗？
解：∠1＝∠5；图中的同位角还有∠3和∠7，∠2和∠6，∠4和∠8，它们也
是相等关系；改变直线c与直线a所成的角的大小，结论依然成立.
如图，直线a与直线b平行.
（2）图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？
解：图中的内错角有2对，分别是∠3和∠6，∠4和∠5；它们的大小分别相
等，可以通过对顶角相等和两直线平行，同位角相等来证明.
如图，直线a与直线b平行.
（3）图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？
解：图中的同旁内角有2对，分别是∠3和∠5，∠4和∠6；它们分别互补，可
以通过邻补角互补和两直线平行，内错角相等来证明.
1　两直线平行，同位角相等
【例1】如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁DE，使DE∥BC. 若
∠ABC＝30°，则∠ADE应为（　A　）.
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
A
（2025·蛇口育才教育集团期中）如图，直线a，b被直线c所
截，且a∥b，若∠1＝45°，则∠2的度数为（　A　）.
A. 45° B. 115° C. 125° D. 135°
A
2　两直线平行，内错角相等
【例2】如图，已知直线c与直线a，b都相交.若a∥b，∠1＝50°，则∠2
＝（　D　）.
A. 53° B. 52° C. 51° D. 50°
D
如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同.如果第二次的
拐角∠BCD＝127°，那么第一次的拐角∠ABC＝（　A　）.
A. 127° B. 107° C. 53° D. 43°
A
3　两直线平行，同旁内角互补
【例3】如图，是用天平称量物体质量的情景，已知悬挂重物的两条绳AB和
CD互相平行，若∠BAC＝110°，则∠ACD＝（　C　）.
A. 120° B. 110° C. 70° D. 20°
C
如图，直线c与直线a，b都相交，若a∥b，∠1＝55°，则∠2
＝（　A　）.
A. 125° B. 115° C. 55° D. 35°
A
1. 如图是一款吸管杯的截面示意图，已知AB∥CD，吸管看作一条直线，
若∠1＝55°，则∠2的度数为（　D　）.
A. 105° B. 115° C. 120° D. 125°
D
2. （2025·福田区期末） 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一
边上，如果∠1＝25°，那么∠2的度数是 .
65°
3. 如图，AB∥CD，点E在CD上，连接BC，BE，若BC平分∠ABE，
∠BED＝56°，则∠C的度数为（　C　）.
A. 26° B. 27° C. 28° D. 29°
C
4. 如图，小刚家在学校的北偏东30°方向，距离学校2 000 m处，则学校在
小刚家的位置是（　C　）.
A. 北偏东30°，距离小刚家2 000 m
B. 南偏西60°，距离小刚家2 000 m
C. 南偏西30°，距离小刚家2 000 m
D. 北偏东60°，距离小刚家2 000 m
C
5. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝47°，则∠2的度数为
（　C　）.
A. 53° B. 45° C. 43° D. 33°
C
6. 如图是路灯维护工程车工作时的示意图，工作篮底部与支撑平台平行.当
∠1＝75°，∠2＝45°时，∠3的度数为（　D　）.
A. 120° B. 130° C. 140° D. 150°
D
7. 如图，点C是∠AOB的边OB上一点，CD⊥OA于点D，CE∥OA，
∠OCD＝25°，求∠BCE的度数.
解：因为CD⊥OA，
所以∠CDO＝90°.
因为∠OCD＝25°，
所以∠O＝180°－∠CDO－∠OCD＝65°.
因为CE∥OA，
所以∠BCE＝∠O＝65°.
参考答案
【新课引入】
解：（1）∠1＝∠5；图中的同位角还有∠3和∠7，∠2和∠6，∠4和∠8，它们也是相等关系；改变直线c与直线a所成的角的大小，结论依然成立.
（2）图中的内错角有2对，分别是∠3和∠6，∠4和∠5；它们的大小分别相
等，可以通过对顶角相等和两直线平行，同位角相等来证明.
（3）图中的同旁内角有2对，分别是∠3和∠5，∠4和∠6；它们分别互补，
可以通过邻补角互补和两直线平行，内错角相等来证明.
【新课导学】
【例1】　A
对点训练1　A
【例2】　D
对点训练2　A
【例3】　C
对点训练3　A
【随堂小测】
1. D　2.65°　3.C　4.C　5.C　6.D
7. 解：因为CD⊥OA，
所以∠CDO＝90°.
因为∠OCD＝25°，
所以∠O＝180°－∠CDO－∠OCD＝65°.
因为CE∥OA，
所以∠BCE＝∠O＝65°.(共20张PPT)
第二章　相交线与平行线
2　探索直线平行的条件
第2课时　利用内错角、同旁内角判定两条直线平行
李老师有一块小画板，他想知道它的上、下边缘是否平行，于是他在两个边
缘之间画了一条线段AB. 李老师身边只有一个量角器，他通过测量某些角的
大小就能知道这个画板的上、下边缘是否平行，你知道他是怎么做的吗？
解：方法1：测量∠1和∠3或者∠2和∠4是否相等，
若相等，则平行，若不相等，则不平行.
方法2：测量∠1和∠2或者∠3和∠4是否互补，若互补，
则平行，若不互补，则不平行.
1　内错角
两条直线a，b被第三条直线c所截，处于直线c的异侧，且处于直线a，b
之间，这样位置的角称为① .
【例1】如图，请指出图中与∠B是内错角的是（　D　）.
A. ∠C B. ∠EAC
C. ∠BAC D. ∠DAB
内错角
D
如图，直线a，b被直线c所截，和∠1是内错角的是（　A　）.
A. ∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5
A
2　同旁内角
两条直线a，b被第三条直线c所截，处于直线c的同侧，处于直线a，b之
间，这样位置的角称为② .
【例2】如图，下列各对角中，属于同旁内角的是（　D　）.
A. ∠5与∠1 B. ∠3与∠4
C. ∠4与∠2 D. ∠5与∠2
同旁内角
D
下列图形中，∠1与∠2的位置关系属于同旁内角的是（　C　）.
C
3　内错角相等，两直线平行
内错角③ ，两直线平行.
【例3】下面是王丽同学画一条直线的平行线的方法，这种画法的依据是
（　D　）.
相等
D
A. 同旁内角互补，两直线平行
B. 两直线平行，同位角相等
C. 同位角相等，两直线平行
D. 内错角相等，两直线平行
如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中能判定a∥b的是
（　D　）.
A. ∠1＝∠4 B. ∠2＋∠3＝180°
C. ∠2＝∠5 D. ∠4＝∠5
D
4　同旁内角互补，两直线平行
同旁内角④ ，两直线平行.
【例4】把一副三角板（∠B＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠E＝30°）按如
图所示的方式摆放，当∠1为 °时，AC∥EF.
互补
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（2025·南山区模考）下列尺规作图中，不一定能判定直线a平行
于直线b的是（　C　）.
C
1. 如图所示，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是（　A　）.
A. 内错角 B. 同位角
C. 同旁内角 D. 对顶角
A
2. 如图，在“垃圾入桶”标志的平面示意图中，∠1与∠2的位置关系是
（　C　）.
A. 同位角 B. 内错角
C. 同旁内角 D. 对顶角
C
3. 如图，一条街道有两个拐角∠ABC和∠BCD，测得∠ABC＝145°，则
∠BCD＝145°，就可以知道AB∥CD，其依据的定理是（　C　）.
A. 同位角相等，两直线平行
B. 同旁内角互补，两直线平行
C. 内错角相等，两直线平行
D. 平行于同一条直线的两直线平行
C
4. （2025·深圳市高级中学期末）如图，点E在BC的延长线上，下列选项
中，能判断AD∥BC的是（　D　）
A. ∠1＝∠4 B. ∠2＝∠5
C. ∠4＝∠B D. ∠1＝∠3
D
5. 如图，一个弯形管道的拐角∠ABC＝120°，若工人师傅准备在点C处对
管道进行加工拐弯，要保证拐弯的部分CD与AB平行，则加工后拐角
∠BCD的度数是 .
60°或120°
6. 数学中我们学过尺规作图.在如图中，已知直线l及l外一点A，请只用圆
规和直尺在直线l外画出一点P，使得点A，P所在直线与直线l平行.（不写
画法，保留画图痕迹）
解：如图所示，AP即为所求.
7. 如图，AB⊥BC，∠1＋∠2＝90°，∠2＝∠3，BE与DF平行吗？为
什么？
解：BE∥DF. 理由：因为AB⊥BC（已知），
所以∠ABC＝90°（垂直的定义），
即∠3＋∠4＝90°（等量代换）.
又∠1＋∠2＝90°，∠2＝∠3（已知），
所以∠1＝∠4（等角的余角相等），
所以BE∥DF（同位角相等，两直线平行）.
解：方法1：测量∠1和∠3或者∠2和∠4是否相等，
若相等，则平行，若不相等，则不平行.
方法2：测量∠1和∠2或者∠3和∠4是否互补，若互补，
则平行，若不互补，则不平行.
参考答案
【新课引入】
【新课导学】
①内错角
【例1】　D
对点训练1　A
②同旁内角
【例2】　D
对点训练2　C
③相等
【例3】　D
对点训练3　D
④互补
【随堂小测】
1. A　2.C　3.C　4.D　
5. 60°或120°
6. 解：如图所示，AP即为所求.
7. 解：BE∥DF. 理由：因为AB⊥BC（已知），
所以∠ABC＝90°（垂直的定义），
即∠3＋∠4＝90°（等量代换）.
又∠1＋∠2＝90°，∠2＝∠3（已知），
所以∠1＝∠4（等角的余角相等），
所以BE∥DF（同位角相等，两直线平行）.

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