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(共23张PPT)
第三章　概率初步
2　频率的稳定性
第1课时　感受频率的稳定性
抛一个瓶盖，落地后会出现两种情况，如图所示.
你认为盖口朝上和盖口朝下的可能性相同吗？
解：不一定相同.
1　频率的概念
在n次重复试验中，事件A发生了m次，则比值① 称为事件A发生的
频率.

B D B D B A B C A B
求A的频率.
解：分析数据可得，在30人中，喜欢打羽毛球的有6人，根据频率的求法，
得A的频率＝ ＝ .
【例1】在“我喜欢的体育项目”调查活动中，小明调查了本班30人，记录
结果如下（其中喜欢打羽毛球的记为A，喜欢打乒乓球的记为B，喜欢踢足
球的记为C，喜欢跑步的记为D）：
A A C B A D C C B C
A D D C C B B B B C
小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们
共做了100次试验，结果如表：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 16 14 25 20 12 13
（1）计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率；
解：“1点朝上”的频率为16÷100＝0.16；“6点朝上”的频率为13÷100＝
0.13.
小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们
共做了100次试验，结果如表：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 16 14 25 20 12 13
（2）小亮说：“若掷1 000次，则出现4点朝上的次数正好是200次.”小亮的
说法正确吗？
解：小亮的说法是错误的；因为只有当试验的次数足够大时，该事件发生的
频率稳定在事件发生的概率附近，事件发生具有随机性，
所以小亮的说法是错误的.
2　频率的稳定性
在试验次数很大时，频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的②
性.
【例2】在抛掷一枚硬币的试验中，某小组做了1 000次试验，最后出现正面
的频率为49.6％，此时出现正面的次数为（　A　）.
A. 496 B. 500 C. 516 D. 不能确定
稳
定
A
两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，
绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（　C　）.
C
A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现3点
朝上的频率
B. 小华去看电影，他买的电影票座位
号是2的倍数的频率
D. 从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率
1. 某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4
次，下列说法正确的是（　C　）.
A. 出现反面的频率是6
B. 出现反面的频率是4
C. 出现反面的频率是0.4
D. 出现反面的频率是0.6
C
2. 在掷一枚骰子100次的试验中，“偶数朝上”的频数为47，则“偶数朝
上”的频率为（　C　）.
A. 47 B. 0.53 C. 0.47 D. 53
C
3. 一组数据，在整理频率分布时，将所有频率相加，其和是（　D　）.
A. 0.01 B. 0.02 C. 0.1 D. 1
D
4. 在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是（　A　）.
A. 经过大量重复抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定
B. 抛掷10 000次硬币与抛掷12 000次硬币“正面向上”的频率相同
C. 抛掷50 000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5
D. 若抛掷2 000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率
也为0.518
A
5. 某校对初三年级1 600名男生的身高进行了测量，结果身高（单位：m）在
1.58～1.65这一小组的频率为0.4，则该组的人数为 .
640
6. 在研究抛掷分别标有1，2，3，4，5，6的质地均匀的正六面体骰子时，提
出了一个问题：连续抛掷三次骰子，正面向上的点数是三个连续整数的可能
性有多大？下表是几位同学抛掷骰子的试验数据：
试验次数 100 150 200 250 300 350 400 450
三个连续
整数的 次数 10 12 20 22 25 33 36 41
当抛掷400次时，正面向上的点数是三个连续整数的频率是 .
0.09
7. 在一个不透明的盒子里装有大小、形状一样的黑、白两种球共40个，小颖
与同学们做摸球试验，摸球方法是：将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出
一个球，记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，统计同学们的
摸球结果，记录的数据如下表所示：
试验次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000
摸到白球的次数 70 105 198 235 288 375 408 490 540 599
摸到白球的频率
（1）把表中的数据补充完整（精确到0.01），并根据统计表画出折线统
计图；
解： ＝0.70， ≈0.53， ≈0.66； ≈0.59； ≈0.58；
≈0.63， ≈0.58， ≈0.61； ＝0.60， ≈0.60.
填表如下：
试验 次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000
摸到 白球 的次数 70 105 198 235 288 375 408 490 540 599
摸到 白球 的频率 0.70 0.53 0.66 0.59 0.58 0.63 0.58 0.61 0.60 0.60
折线统计图如图所示.
7. 在一个不透明的盒子里装有大小、形状一样的黑、白两种球共40个，小颖
与同学们做摸球试验，摸球方法是：将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出
一个球，记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，统计同学们的
摸球结果，记录的数据如下表所示：
试验 次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000
摸到 白球 的次数 70 105 198 235 288 375 408 490 540 599
摸到 白球 的频率 0.70 0.53 0.66 0.59 0.58 0.63 0.58 0.61 0.60 0.60
（2）任意摸出一个球是白球的频率是多少？（精确到0.1）
解：根据折线统计图，估计任意摸出一个球是白球的频率是0.6.
参考答案
【新课引入】
解：不一定相同.
【新课导学】
①
【例1】　 解：分析数据可得，在30人中，喜欢打羽毛球的有6人，根据频率
的求法，得A的频率＝ ＝ .
对点训练1　解：（1）“1点朝上”的频率为16÷100＝0.16；“6点朝上”的频率为13÷100＝0.13.
（2）小亮的说法是错误的；因为只有当试验的次数足够大时，该事件发生
的频率稳定在事件发生的概率附近，事件发生具有随机性，
所以小亮的说法是错误的.
②稳定
【例2】　A
对点训练2　C
【随堂小测】
1. C　2.C　3.D　4.A　5.640　6.0.09
7. 解：（1） ＝0.70， ≈0.53， ≈0.66； ≈0.59；
≈0.58； ≈0.63， ≈0.58， ≈0.61； ＝0.60， ≈0.60.
填表如下：
试验 次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000
摸到 白球 的次数 70 105 198 235 288 375 408 490 540 599
摸到 白球 的频率 0.70 0.53 0.66 0.59 0.58 0.63 0.58 0.61 0.60 0.60
折线统计图如图所示.
（2）根据折线统计图，估计任意摸出一个球是白球的频率是0.6.(共18张PPT)
第三章　概率初步
1　感受可能性
如图，某商场进行促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘.活动规则：
1. 顾客每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会.
2. 自由转动转盘时，转盘要转1圈以上才算有效.
3. 如果转盘停止时，指针正好落在红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以
分别获得面额100元、50元、20元的购物券.
张阿姨购物消费110元，获得一次转动转盘的机会.
（1）她一定能获得购物券吗？
解：她不一定能获得购物券；
如图，某商场进行促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘.活动规则：
1. 顾客每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会.
2. 自由转动转盘时，转盘要转1圈以上才算有效.
3. 如果转盘停止时，指针正好落在红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以
分别获得面额100元、50元、20元的购物券.
张阿姨购物消费110元，获得一次转动转盘的机会.
（2）她能获得面额10元的购物券吗？
解：她不可能获得面额10元的购物券；
如图，某商场进行促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘.活动规则：
1. 顾客每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会.
2. 自由转动转盘时，转盘要转1圈以上才算有效.
3. 如果转盘停止时，指针正好落在红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以
分别获得面额100元、50元、20元的购物券.
张阿姨购物消费110元，获得一次转动转盘的机会.
（3）她获得的购物券一定不超过100元吗？
解：她获得的购物券一定不超过100元.
1　必然事件
在一定条件下一定发生的事件，叫作① .
【例1】下列诗句所描述的事件中，属于必然事件的是（　A　）.
A. 黄河入海流 B. 手可摘星辰
C. 锄禾日当午 D. 大漠孤烟直
必然事件
A
（2025·深圳实验学校期末）下列成语所描述事件是必然事件的
是（　A　）.
A. 水涨船高 B. 守株待兔
C. 水中捞月 D. 一箭双雕
A
2　不可能事件
在一定条件下一定不会发生的事件，叫作② .必然事件和不
可能事件统称为③ .
【例2】不透明的袋子中只有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外无其他差
别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（　A　）.
A. 3个球都是黑球 B. 3个球都是白球
C. 三个球中有黑球 D. 3个球中有白球
（2025·龙岗区沙湾中学期中）事件“某人的体温是100 ℃”
是 （填“随机”“不可能”或“必然”）事件.
不可能事件
确定事件
A
不可能
3　随机事件
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫作不确定事件，也称为
④ .不确定事件发生的可能性是⑤ 的.
【例3】（2025·开封市期末）下列事件是随机事件的是（　D　）.
A. 地球绕着太阳转
B. 将油滴入水中，油和水相融
C. 菱形的四条边相等
D. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势
随机事件
有大有小
D
某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯
亮5秒，当你抬头看此信号灯时，下列说法正确的是（　C　）.
A. 一定是红灯亮 B. 不可能是黄灯亮
C. 有可能是绿灯亮 D. 以上说法都不正确
C
1. 下列事件是必然事件的是（　C　）.
A. 内错角相等
B. 成语“水中捞月”所描述的事件
C. 在一个三角形中，任意两边之和大于第三边
D. 明天一定是晴天
C
2. 下列各事件中，为不可能事件的是（　D　）.
A. 掷一枚骰子，出现6点朝上
B. 回家后打开电视，正在播放广告
C. 太阳从东方升起
D. 口袋中有10个红球，从中摸出一个是黄球
D
3. 下列事件中，属于随机事件的是（　B　）.
A. 抛出的篮球往下落
B. 购买10张体育彩票，中一等奖
C. 将油滴入水中，油会浮在水面
D. 在只有白球的袋子里摸出一个红球
B
4. 用数学的眼光看下列成语，事件发生的可能性最大的是（　A　）.
A. 旭日东升 B. 大海捞针
C. 返老还童 D. 水中捞月
A
5. （2025·深圳外国语学校期末）下列说法不正确的是（　D　）.
A. 锐角三角形中每个内角都小于90°是必然事件
B. 翻开数学课本，恰好翻到30页是随机事件
C. 竹篮打水属于不可能事件
D. 在纸上任意画两条直线，这两条直线互相平行是必然事件
D
6. 在下列事件中，随机事件的个数为（　C　）.
①标准大气压下，加热到100 ℃时，水沸腾；
②篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中；
③掷一次骰子，向上一面的点数是6；
④任意画一个三角形，其内角和是360°；
⑤经过有交通信号灯的路口时，遇到红灯；
⑥射击运动员射击一次，命中靶心.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
C
7. 一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从
中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（　A　）.
A. 至少有1个球是黑球 B. 至少有1个球是白球
C. 至少有2个球是黑球 D. 至少有2个球是白球
A
参考答案
【新课引入】
解：（1）她不一定能获得购物券；（2）她不可能获得面额10元的购物券；
（3）她获得的购物券一定不超过100元.
【新课导学】
①必然事件
【例1】　A
对点训练1　A
②不可能事件
③确定事件
【例2】
A
对点训练2　不可能
④随机事件
⑤有大有小
【例3】
D
对点训练3　C
【随堂小测】
1. C　2.D　3.B　4.A　5.D　6.C　7.A(共19张PPT)
第三章　概率初步
2　频率的稳定性
第2课时　用频率估计概率
掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后，会出现两种情况，如图所示.
你认为正面朝上和正面朝下的可能性相同吗？
解：相同.
1　频率与概率的关系
我们把刻画事件发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的① ，
记为P（A）.一般地，大量重复的试验中，我们常用随机事件A发生的
② 来估计事件A发生的概率.
注意：概率是个③ ，而频率随不同试验次数而有所不同，是概率的
④ ，二者不能简单地等同.
概率
频率
定值
近似值
【例1】关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（　B　）.
A. 频率等于概率
B. 当试验次数很大时，频率稳定在概率附近
C. 当试验次数很大时，概率稳定在频率附近
D. 试验得到的频率与概率不可能相等
B
下列说法不正确的是（　A　）.
A. 增加几次试验，事件发生的频率与这一事件发生的概率的差距可能扩大
B. 增加几次试验，事件发生的频率越来越接近这一事件发生的概率的差距可
能缩小
C. 试验次数很大时，事件发生的频率稳定在这一事件发生的概率附近
D. 试验次数增大时，事件发生的频率越来越接近这一事件发生的概率
A
2　 用频率估计概率
必然事件发生的概率为⑤ ，不可能事件发生的概率为⑥ ，随机事
件发生的概率是⑦ 之间的一个常数.
1
0
0与1
A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8
【例2】（2025·福田区期末）小福每天早上七点在站台等候搭乘公共汽车，
他把每天等待上车的时间整理如下：
等候次数 10 20 50 100 200 300
等待上车的时间少于5 min的次数 5 13 38 79 162 240
等待上车的时间少于5 min的频率 0.5
0 0.6
5 0.7
6 0.7
9 0.8
1 0.8
0
小福再等一次公共汽车，等待上车的时间少于5min的概率是( )
D
（好题推荐）某收费站在2小时内对经过该站的机动车统计如
下：
类型 轿车 货车 客车 其他
数量（辆） 36 24 8 12
若有一辆机动车经过这个收费站，利用上面的统计估计它是轿车的概率为
（　B　）.
B
1. 有同学预测“小明在校初一乒乓球赛的决赛夺冠的可能性是80％”.则下
列理解最合理的是（　A　）.
A. 小明夺冠的可能性较大
B. 小明夺冠的可能性较小
C. 小明肯定会赢
D. 若决赛赛10局，他一定会赢8局
A
2. 下列说法正确的是（　B　）.
A. 某彩票的中奖概率是5％，那么买100张彩票一定有5张中奖
B. 某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次
试验“钉尖向上”的频率是0.616
C. 当试验次数很大时，概率稳定在频率附近
D. 试验得到的频率与概率不可能相等
B
3. （2025·宝安区期末）数学学习小组在课外时间继续开展“掷骰子”的数
学实验，记录了“点数6朝上”的次数，如下表所示：
实验次数 100 200 500 1 000 2 000
点数6朝上的次数 18 32 95 170 334
根据以上数据，下列说法错误的是（　C　）.
A. 随着实验次数的增加，“点数6朝上”的频率会在一个常数附近摆动
B. 当实验次数为500时，“点数6朝上”的频数为95
C. 若再进行1 000次实验，“点数6朝上”的频率一定是0.17
D. 估计“点数6朝上”的概率约为16.7％
C
4. 下列事件发生的概率为0的是（　D　）.
A. 掷两枚骰子，同时出现数字“6”朝上
B. 小明从家里到学校用了10分钟，从学校回到家里却用了15分钟
C. 今天是星期天，昨天必定是星期六
D. 小明步行的速度是每小时60千米
D
5. （2025·深圳市翠园初级中学模考）为推动农业现代化进程，某农科所在
相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表：
种子个数 100 400 600 700 900 1 000
发芽种子个数 94 337 530 664 858 951
发芽种子频率 0.940 0.843 0.883 0.949 0.953 0.951
由此估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率（精确到0.01）约为
（　D　）.
A. 0.94 B. 0.84 C. 0.88 D. 0.95
D
6. 在创建国家生态园林城市活动中，某市园林部门为了扩大城市的绿化面
积，进行了大量的树木移栽.下表记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的
棵数与成活棵数：
移栽棵数 100 1 000 10 000
成活棵数 89 910 9 008
依此估计这种幼树成活的概率是 .（结果用小数表示，精确到0.1）
0.9
7. （2025·龙岗区沙湾中学期中）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树
苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如
下表：
每批棵数n 50 100 150 400 800 1 000
成活的棵数m 37 77 a 316 640 800
成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 b
（1）完成上述表格：a＝ ，b＝ ；
解：a＝150×0.78＝117，b＝ ＝0.80.故答案为117；0.80.
117
0.80
7. （2025·龙岗区沙湾中学期中）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树
苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如
下表：
每批棵数n 50 100 150 400 800 1 000
成活的棵数m 37 77 a 316 640 800
成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 b
（2）这种树苗成活的概率估计值为 ；（精确到0.1）
0.80
解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的
近似值，而实验数据量最大为1 000棵，对应频率为0.80，
所以这种树苗成活的概率估计值是0.80，
0.80（精确到0.1）＝0.8，故答案为0.8.
7. （2025·龙岗区沙湾中学期中）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树
苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如
下表：
每批棵数n 50 100 150 400 800 1 000
成活的棵数m 37 77 a 316 640 800
成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 b
（3）如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少
棵树苗？
解：600÷0.80＝750（棵）.
答：在相同条件下至少需要买750棵树苗.
参考答案
【新课引入】
解：相同.
【新课导学】
①概率　②频率　③定值　④近似值
【例1】　B
对点训练1　A
⑤1
⑥0
⑦0与1
【例2】 D
对点训练2　B
【随堂小测】
1. A　2.B　3.C　4.D　5.D　6.0.9
7. 解：（1）a＝150×0.78＝117，b＝ ＝0.80.故答案为117；0.80.
（2）因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率
的近似值，而实验数据量最大为1 000棵，对应频率为0.80，
所以这种树苗成活的概率估计值是0.80，
0.80（精确到0.1）＝0.8，故答案为0.8.
（3）600÷0.80＝750（棵），
答：在相同条件下至少需要买750棵树苗.(共31张PPT)
第三章　概率初步
章末复习
一定发生
1
一定不会发生
0
随机事件
0与1

稳定性
可能性大小
P（A）
频率
　混淆必然事件、不可能事件和随机事件
【例1】从数学的观点看，对以下成语及诗句中的事件判断正确的是
（　A　）.
A. 成语“守株待兔”是随机事件
B. 成语“水中捞月”是随机事件
C. 诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件
D. 诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件
A
　　必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定
条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能
不发生的事件.
1. 下列事件是必然事件的是（　B　）.
A. 打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻
B. 从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同
一个班级
C. 小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票
D. 从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》
B
2. 下列说法正确的是（　D　）.
A. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是必然事件
B. 任意画一个三角形，其内角和是360°是随机事件
C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是不可能事件
D. 射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件
D
　对不确定事件发生的可能性的大小理解不透彻而出错
【例2】抛掷一枚质地均匀的骰子1次，下列事件发生的可能性最大的是
（　B　）.
A. 向上一面的点数是1
B. 向上一面的点数是2的整数倍
C. 向上一面的点数是3的整数倍
D. 向上一面的点数大于4
B
　　一般地，必然事件发生的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大
小为0，随机事件发生的可能性大小在0与1之间.
3. 在下列事件中，发生的可能性最小的是（　D　）.
A. 在地面上抛一颗骰子，骰子终将落下
B. 射击运动员射击一次，命中10环
C. 杭州五一当天的最高温度为35 ℃
D. 用长为10 cm，10 cm，20 cm的三根木棒做成一个三角形
D
4. 不透明袋子中有2个红球、3个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子
中随机取出1个球，则（　D　）.
A. 能够事先确定取出球的颜色
B. 取到红球的可能性更大
C. 取到红球和取到绿球的可能性一样大
D. 取到绿球的可能性更大
D
　对用频率估计概率理解不透彻而出错
【例3】如图是小明用计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果.随着试验次
数的增加，“钉尖向上”的频率稳定在某个数附近，可以估计“钉尖向上”
的概率是（　B　）.
B
A. 0.620 B. 0.618 C. 0.610 D. 0.600
　　事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少
时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐
渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.大
量反复试验下频率稳定值即概率.注意随机事件发生的概率在0与1之间.
5. （2025·深圳市大望学校期中）一个不透明的箱子里装有仅颜色不同的红
色卡片和蓝色卡片共10张，随机从箱子里摸出1张卡片，记下颜色后再放
回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.4附近，由此
估计箱子中蓝色卡片有 张.
4
6. （2025·南山区期末） 一个不透明的袋子里装有红、蓝两种颜色的球共40
个，每个球除颜色外都相同，每次摸球前先把球摇匀，从中随机摸出一个
球，记下它的颜色后再放回袋子里，不断重复这一过程，将实验后的数据整
理成如表：
摸球次数 50 100 200 500 800 1 000
摸到红球的频数 11 27 50 124 201 249
摸到红球的频率 0.220 0.270 0.250 0.248 0.251 0.249
请估计袋中红球的个数是 .
10
　感受可能性
　　
1. 确定事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这
些事情称为必然事件，其发生的可能性为1；有些事情我们事先能肯定它一
定不会发生，这些事情称为不可能事件，其发生的可能性为0，必然事件与
不可能事件统称为确定事件.
2. 不确定事件：有许多事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情
称为不确定事件，也称为随机事件.其发生的可能性介于0和1之间.
1. （2025·深圳实验学校期中）下列事件中是必然事件的是（　D　）.
A. 抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次
B. 清明时节雨纷纷
C. 三角形的内角和为360°
D. 367个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日
D
2. “明天会下雨”，这个事件是（　B　）.
A. 必然事件 B. 随机事件
C. 不可能事件 D. 以上都不正确
3. 下列事件中，是随机事件的是（　B　）.
A. 通常温度降到0 ℃以下，纯净水结冰
B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数
C. 我们班里有46个人，必有两个人是同月生的
D. 一个不透明的袋中有2个红球和1个白球，它们除了颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球比摸到红球的可能性大
B
B
4. 在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区
别.其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀.若从袋中随机取出1个球，取
出红球的可能性大，则红球有（　D　）.
A. 4个 B. 5个
C. 4个以下 D. 6个或6个以上
D
　频率的稳定性
　　
1. 频率：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值 称
为事件A发生的频率.
2. 频率的稳定性：无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很
大时正面朝上（钉尖朝上）的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频
率的稳定性.
3. 概率：我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生
的概率，记作P（A）.
5. 为了看一种图钉落地后钉尖着地的概率有多大，小明做了1 000次试验，其
中钉尖着地的次数是480次.下列说法错误的是（　B　）.
A. 钉尖着地的频率是0.48
B. 前500次试验结束后，钉尖着地的次数一定是240次
C. 钉尖着地的概率大约是0.48
D. 随着试验次数的增加，钉尖着地的频率稳定在0.48
B
6. 将黄豆在相同条件下进行发芽试验，结果如表.下面三个推断：①当n＝
100时，黄豆发芽的频率是0.970，所以黄豆发芽的概率为0.970；②根据表格
数据，估计黄豆发芽的概率为0.95；③当n＝6 000时，估计黄豆发芽的粒数
约为5 700.其中正确的个数为（　C　）.
每批粒数n 30 60 100 500 1 000 3 000 5 000
发芽的粒数m 28 58 97 479 957 2 844 4 752
0.933 0.967 0.970 0.958 0.957 0.948 0.950
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
C
　等可能事件的概率
　　
1. 必然事件发生的概率为1；不可能事件发生的概率为0；随机事件A发
生的概率P（A）是0与1之间的一个常数.
2. 一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，事件A包含其中的m个
结果，那么事件A发生的概率为P（A）＝ .
3. 几何图形中的概率计算公式：P（A）＝
.
7. （2025·福田区外国语学校期中）某奶茶店举办“盲盒抽奖”活动，在一
个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完
全相同，每次摸奖，店员将球搅匀后，顾客从盒子里随机摸出一个球记下颜
色，再把球放回盒子中，店员记录了抽奖数据如下：
摸球的次数n 50 100 300 500 800 1 000 2 000
摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602
0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301
（1）通过以上摸奖数据，摸到红球的概率估计为多少.（结果精确到0.01）
解：通过以上实验，摸到红球的概率估计为0.30.
7. （2025·福田区外国语学校期中）某奶茶店举办“盲盒抽奖”活动，在一
个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完
全相同，每次摸奖，店员将球搅匀后，顾客从盒子里随机摸出一个球记下颜
色，再把球放回盒子中，店员记录了抽奖数据如下：
摸球的次数n 50 100 300 500 800 1 000 2 000
摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602
0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301
（2）若先从袋子中取出x（x＞1）个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1
个球，此时“摸出黑球”为必然事件，求x的值.
解：因为估计摸到红球的概率为0.3，
所以盒子里红球的数量为40×0.3＝12（个）.
因为 “摸出黑球”为必然事件，
所以袋子中只有黑球，需要拿出所有的红球，
所以x＝12.
7. （2025·福田区外国语学校期中）某奶茶店举办“盲盒抽奖”活动，在一
个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完
全相同，每次摸奖，店员将球搅匀后，顾客从盒子里随机摸出一个球记下颜
色，再把球放回盒子中，店员记录了抽奖数据如下：
摸球的次数n 50 100 300 500 800 1 000 2 000
摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602
0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301
（3）若先从袋子中取出x个红球，再放入x个一样的黑球并摇匀，随机摸出
1个红球的概率为 ，求x的值.
解：由（2）知红球的数量为12个，根据题意得 ＝ ，解得x＝2.
参考答案
【思维导图】
①一定发生　②1　③一定不会发生　④0　⑤随机事件　⑥0与1　⑦ 　
⑧稳定性　⑨可能性大小　⑩P（A） 频率
【易错点剖析】
【例1】 A
跟踪练习
1.B
2.D
【例2】 B
跟踪练习
3.D
4.D
【例3】 B
跟踪练习
5.4
6.10
【重难点突破】
1. D　2.B　3.B　4.D　5.B　6.C　
7. 解：（1）通过以上实验，摸到红球的概率估计为0.30.
（2）因为估计摸到红球的概率为0.3，
所以盒子里红球的数量为40×0.3＝12（个）.
因为 “摸出黑球”为必然事件，
所以袋子中只有黑球，需要拿出所有的红球，
所以x＝12.
（3）由（2）知红球的数量为12个，根据题意得 ＝ ，解得x＝2.(共24张PPT)
第三章　概率初步
3　等可能事件的概率
第3课时　几何图形的概率问题
某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并将转盘等分成20
个扇形，如图那样涂上颜色.商场规定：顾客每购买100元商品，就能获得一
次转动转盘的机会.如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区
域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券.
（1）自由转动转盘，当转盘停止时，指针落在不同扇形的可能的结果共有
多少种？这些结果是等可能的吗？
解：可能的结果共有20种，这些结果是等可能的.
某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并将转盘等分成20
个扇形，如图那样涂上颜色.商场规定：顾客每购买100元商品，就能获得一
次转动转盘的机会.如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区
域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券.
（2）某顾客购物消费120元，获得一次转动转盘的机会.他获得100元、50
元、20元购物券的概率分别是多少？他能获得购物券的概率是多少？
解：在这20个扇形中，有1个是红色，2个是黄色，4个是绿色，因此转盘停止
时，指针落在红色区域、黄色区域、绿色区域的结果分别是1种、2种、4种.
所以，对于该顾客来说，P（获得100元购物券）＝ ，P（获得50元购物券）＝ ＝ ，P（获得20元购物券）＝ ＝ .
P（获得购物券）＝ ＝ .
1　几何图形中的概率
几何图形中的概率计算公式：
P（A）＝① .
【例1】如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，把游戏板平
放到露天地面上，请问落在该游戏板上的第一滴雨正好打中阴影部分的概率
是 .


（2024春·福田区期末）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正
方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中
阴影部分的概率为 .

2　转盘中的概率
转盘中的概率计算公式：P（指针停在某扇形内）＝② .
【例2】（2025·咸阳市期末）儿童节，乐乐的爸爸买了一个如图所示的圆形
飞镖盘（飞镖盘被平均分成8个大小相同的扇形），若乐乐每次投掷飞镖都
能扎中飞镖盘，则乐乐随机投掷一次飞镖，恰好扎中阴影部分的概率是
（　D　）.

D
如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针
落在 色区域的概率最大.
蓝
1. （2025·深圳市高级中学月考）如图，是由9个全等的小正方形组成的图
案，假设可以在图案中随意取一个点（不包括边界线），那么这个点取在阴
影部分的概率是（　B　）.
D. 1
B
2. （2025·龙华区模考）如图1，长为10 cm，宽为8 cm的长方形内部有一不
规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多
少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在
不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如图2的数据：
由此可估计不规则图案的面积大约为（　B　）.
A. 32 cm2 B. 24 cm2 C. 16 cm2 D. 8 cm2
B
3. 一枚飞镖任意投掷到如图所示的同心圆镖盘上，此镖盘上有两个同心圆，
三条直径把大圆分成六等份，飞镖落在白色区域的概率为 .

4. 如图是一个转盘，转盘上共有红、黄、蓝三种不同颜色的区域，已知红色
区域的圆心角为100°，黄色区域的圆心角为140°，自由转动转盘，指针落
在蓝色区域的概率是 .

5. 如图，在正方形ABCD中，分别以四个顶点为圆心，以边长的一半为半径
画圆弧，若随机向正方形ABCD内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米粒
落在图中阴影部分的概率为 .

6. 小明家里的阳台地面铺设着仅黑、白颜色不同的18块方砖，他从房间里向
阳台抛小皮球，小皮球最终停留在某块方砖上.
（1）求小皮球分别停留在黑色方砖和白色方砖上的概率.
解：小皮球停留在黑色方砖上的概率为 ，小皮球停留在白色方砖上的概率
为 .
6. 小明家里的阳台地面铺设着仅黑、白颜色不同的18块方砖，他从房间里向
阳台抛小皮球，小皮球最终停留在某块方砖上.
（2）（1）中哪个概率较大？要使这两个概率相等且美观，应改变哪块方砖
的颜色？
解：（1）中停留在黑色方砖上的概率较大；要使这两个概率相等且美观，
应改变第二行第四列黑色方砖为白色方砖.
7. （2025·宝安区多校联考期中）概率与统计在我们日常生活中应用非
常广泛.
（1）请将下列事件发生的概率标在图1中（用字母表示）：
①记为点A：随机地从0，1，2，…，9这十个数中选取两个数，和为20；
②记为点B：将3个人分成两组，一定有2个人分在一组；
③记为点C：从装有3个红球、7个白球的不透明口袋中任取一个球，恰好是
白球（这些球除颜色外完全相同）；
④记为点D：如图2所示的正方形纸片上做随机扎针试验，则针头恰好扎在
阴影区域内.
解：①先判断此事件为不可能事件，再根据不可能事件的概率为0求解；
②先判断此事件为必然事件，再根据必然事件的概率为1求解；
③先判断此事件为随机事件，再根据随机事件的概率公式求出概率值为 ；
④先判断此事件为随机事件，再根据随机事件的概率公式求出概率值为
25％.然后依次标在图中即可.
如图所示.
7. （2025·宝安区多校联考期中）概率与统计在我们日常生活中应用非
常广泛.
（2）一个不透明的口袋中装有8个白球和12个红球，每个球除颜色外都相
同.从口袋中取走x个红球后，再放入x个白球，并充分摇匀，如果随机摸出
白球的概率是 ，x的值是多少？
解：由题意，口袋中有（8＋x）个白球和（12－x）个红球，共有20个球，
（能说明共20个球即可）
所以从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是 ＝ ，解得x＝8.
参考答案
【新课引入】
解：（1）可能的结果共有20种，这些结果是等可能的.
（2）在这20个扇形中，有1个是红色，2个是黄色，4个是绿色，因此转盘停
止时，指针落在红色区域、黄色区域、绿色区域的结果分别是1种、2种、4
种.所以，对于该顾客来说，
P（获得100元购物券）＝ ，P（获得50元购物券）＝ ＝ ，P（获得
20元购物券）＝ ＝ .
P（获得购物券）＝ ＝ .
①
【例1】　
【新课导学】
对点训练1　
②
【例2】　D
对点训练2　蓝
【随堂小测】
1. B　2.B　3. 　4. 　5.
6. 解：（1）小皮球停留在黑色方砖上的概率为 ，小皮球停留在白色方砖上
的概率为 .
（2）（1）中停留在黑色方砖上的概率较大；要使这两个概率相等且美观，
应改变第二行第四列黑色方砖为白色方砖.
7. 解：（1）①先判断此事件为不可能事件，再根据不可能事件的概率
为0求解；
②先判断此事件为必然事件，再根据必然事件的概率为1求解；
③先判断此事件为随机事件，再根据随机事件的概率公式求出概率值为 ；
④先判断此事件为随机事件，再根据随机事件的概率公式求出概率值为
25％.然后依次标在图中即可.
如图所示.
（2）由题意，口袋中有（8＋x）个白球和（12－x）个红球，共有20个
球，（能说明共20个球即可）
所以从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是 ＝ ，解得x＝8.(共19张PPT)
第三章　概率初步
3　等可能事件的概率
第2课时　游戏的公平性
一个袋中装有2个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个
球，摸到红球的概率是多少？
解：任意摸出一个球，摸到红球的概率是 .
1　游戏的公平性
游戏对双方公平是指双方获胜的① .判断游戏是否公平的实质
是看两个事件或多个事件发生的② 是否相等，即获胜的可能性是否
相同.若③ ，则游戏公平；否则，游戏不公平.
概率相等
概率
相同
【例1】一个不透明的箱子中放有1个红球、2个黄球和3个黑球，这些小球除
颜色外都相同，小明、小芳、小雪三人先后去摸球，每人每次只能摸出一个
球，每次摸出球后放回，摸出红球的人获得礼品（可以所有人都获得礼
品）.你觉得这个游戏（　A　）.
A. 对所有人都公平
B. 无法判断是否公平
C. 先摸者获得礼品的可能性大
D. 后摸者获得礼品的可能性大
A
小兰和小青两人做游戏，如果小兰掷出的骰子的点数是偶数，则
小兰赢；如果小青掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢.那么这个游戏对
小兰和小青公平吗？ （填“公平”或“不公平”）， 获
胜的概率大.
不公平
小兰
2　设计游戏
设计游戏存在一个公平性的问题，这取决于随机事件发生的④ 的大
小.设计游戏时应根据要求定好规则.
【例2】利用一个口袋和10个除颜色外均相同的球设计一个摸球游戏：
（1）使摸到红球的概率为 ；
解：10个除颜色外均相同的球，其中2个红球，8个黄球.（合理即可）
概率
（2）使摸到红球和白球的概率都是 .
解：10个除颜色外均相同的球，其中4个红球，4个白球，2个其他颜色的球.
国庆假期，小明一家准备去西安某景点旅游，出发前需要采购一
些生活用品，小明提议采用掷骰子的方式决定谁去采购.小明抛掷一枚质地
均匀的骰子（六个面分别标有数字1～6），若向上的点数是3的倍数，则妈
妈去；若向上的点数不是3的倍数，则爸爸去.
（1）上述方式公平吗？请说明理由.
解：根据题意可知，抛掷这个骰子得到的数共有6种等可能结果，其中是3的
倍数的是3，6，共2种结果，
所以向上的点数是3的倍数的概率为 ＝ ，向上的点数不是3的倍数的概率
为 ＝ .
所以爸爸去的概率大，不公平.
国庆假期，小明一家准备去西安某景点旅游，出发前需要采购一
些生活用品，小明提议采用掷骰子的方式决定谁去采购.小明抛掷一枚质地
均匀的骰子（六个面分别标有数字1～6），若向上的点数是3的倍数，则妈
妈去；若向上的点数不是3的倍数，则爸爸去.
（2）为了能使游戏更为公平，请你帮小明设计一种对爸爸、妈妈都公平的
规则，并说明你的设计依据.
解：保证爸爸、妈妈去的概率相等即可，
如：若向上的点数是奇数，则妈妈去，若向上的点数是偶数，则爸爸去，此
时他们去的概率都为 ，
所以公平.
1. 一个质地均匀的骰子各面分别标记着1，2，3，4，5，6.甲、乙两人玩掷
骰子游戏，无论谁掷骰子，只要正面向上的点数小于3，就算甲赢，否则就
算乙赢.对这个游戏公平性判断正确的是（　C　）.
A. 游戏公平 B. 对甲有利
C. 对乙有利 D. 无法判断
C
2. 小明和小斌都想去参加一项重要的活动，但只有一个名额.于是他们决定
抓阄，两张纸条：一张写着“yes”，一张写着“no”，他们两人闭上眼睛随
机各抓一张，抓到“yes”的就去，抓到“no”的就不去，这对双方公平吗？
答： .（填“公平”或“不公平”）
公平
3. 小胖和小明一起玩掷骰子游戏，骰子质地均匀，六面分别标有1，2，3，
4，5，6这六个数字，如果朝上的数字是偶数，小胖赢；如果朝上的数字是
合数，小明赢.你认为这个游戏规则公平吗？ （填“公平”或
“不公平”）.
不公平
4. 编号为1～10的十张卡片，甲从中任意抽取一张，若其号码数能被3整除则
获胜，甲抽取的卡片放回后，乙也从中任意抽取一张，若其号码数除以3余
数为1则获胜，这项游戏对甲、乙两人公平吗？ （填“公平”或
“不公平”）， 获胜的概率大.
不公平
乙
5. （2025·青岛市期末） 2025年春节期间电影《哪吒2：魔童闹海》火热上
映，现有一张《哪吒2：魔童闹海》的电影票，小颖和小华都想获得，小明
为她们出了一个主意：从印有数字1，2，2，3，3，4，5，6，7的9个小球
（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字为奇数，则小颖得到电
影票；否则，小华得到电影票.你认为用这种方式获得电影票对小颖、小华
公平吗？请说明理由.
解：任意摸出一球，共有9种等可能的结果，其中摸到一个球的球面数字为
奇数的结果有5种，摸到偶数的结果有4种.所以P（小颖得到电影票）＝ ，
P（小华得到电影票）＝ .
因为 ≠ ，
所以这种方式不公平.
6. 小华要设计一个摸球游戏，使得摸到红球的概率为 ，如果设计符合要
求，那么他周末就可以逛公园了，但妈妈对他的设计作出如下要求：
（1）至少有四种颜色的球；（2）至少有一个球是黄球.
小华应该怎样设计呢？
解：用6个除颜色外完全相同的红球、白球、蓝球、黄球设计一个摸球游
戏，其中2个红球，1个白球、1个蓝球，2个黄球.（答案不唯一）
参考答案
【新课引入】
解：任意摸出一个球，摸到红球的概率是 .
【新课导学】
①概率相等　②概率　③相同
【例1】　A
对点训练1　不公平　小兰
④概率
【例2】　解：（1）10个除颜色外均相同的球，其中2个红球，8个黄球.（合
理即可）
（2）10个除颜色外均相同的球，其中4个红球，4个白球，2个其他颜色的球.
对点训练2　解：（1）根据题意可知，抛掷这个骰子得到的数共有6种等可
能结果，其中是3的倍数的是3，6，共2种结果，
所以向上的点数是3的倍数的概率为 ＝ ，向上的点数不是3的倍数的概率
为 ＝ .
所以爸爸去的概率大，不公平.
（2）保证爸爸、妈妈去的概率相等即可，
如：若向上的点数是奇数，则妈妈去，若向上的点数是偶数，则爸爸去，此
时他们去的概率都为 ，
所以公平.
【随堂小测】
1. C　2.不公平　3.不公平　4.不公平　乙
5. 解：任意摸出一球，共有9种等可能的结果，其中摸到一个球的球面数字
为奇数的结果有5种，摸到偶数的结果有4种.所以P（小颖得到电影票）＝
，P（小华得到电影票）＝ .
因为 ≠ ，
所以这种方式不公平.
6. 解：用6个除颜色外完全相同的红球、白球、蓝球、黄球设计一个摸球游
戏，其中2个红球，1个白球、1个蓝球，2个黄球.（答案不唯一）(共27张PPT)
第三章　概率初步
3　等可能事件的概率
第1课时　概率计算
思考下列问题：
1. 一个袋中装有5个球，分别标有1，2，3，4，5这5个号码，这些球除号码
外都相同，混合均匀后任意摸出一个球.
（1）会出现哪些可能的结果？
解：会出现摸到1号球，2号球，3号球，4号球，5号球这5种结果.
（2）每种结果出现的可能性相同吗？猜一猜它们的概率分别是多少.
解：每种结果出现的可能性是相同的，猜想每种结果出现的概率应该都是 .
2. 前面我们提到的掷硬币、掷骰子和摸球的游戏有什么共同的特点？
解：掷硬币、掷骰子和摸球的游戏共同的特点有两个，一是每种游戏的结果
都是有限个；二是每种结果出现的概率都是相同的.
1　等可能事件
设一个试验的所有可能的结果有n种，每次试验有且只有其中的一种结果出
现.如果每种结果出现的可能性① ，那么我们就称这个试验的结果
是等可能的.
相同
【例1】下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（　A　）.
A. 掷一枚质地均匀的骰子
B. 篮球运动员定点投篮
C. 掷一个矿泉水瓶盖
D. 从装有若干小球的透明袋子里摸球
A
下列关于概率的描述属于“等可能性事件”的是（　D　）.
A. 交通信号灯有“红、绿、黄”三种颜色，它们发生的概率
B. 掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下”的概率
C. 小亮在沿着“直角三角形”三边的小路上散步，他出现在各边上的概率
D. 小明用随机抽签的方式选择以上三种答案，则A，B，C被选中的概率
D
2　等可能事件的概率
一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，
那么事件A发生的概率为P（A）＝② .

【例2】（2024·深圳）二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时
间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为春季
（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏
至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季
（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节
气，则抽到的节气在夏季的概率为（　D　）.
D
（2025·盐田区期末）2025年夏季某科技展设置了3个展区：①绿
色能源；②量子通信；③智能机器人.若小宇随机选择一个展区参观，则她
恰好选中“智能机器人”展区的概率是 .

1. 一个布袋中装有7个红球，2个黑球和1个白球，它们除颜色外都相同.从中
任意摸出一个球，被摸到的可能性最大的球是（　A　）.
A. 红球 B. 黑球 C. 白球 D. 黄球
A
2. （2025·深圳中学期末）10张卡片编号依次为1，2，…，10，且除编号以
外这些卡片无任何差别.随机抽取一张卡片，抽到编号为3的倍数的卡片的概
率是 .
3. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各面分别标有数字1，2，3，4，
5，6，则出现朝上的数字小于3的概率是 .
0.3

4. （2025·南山区哈工大实验学校模考）中国象棋中，马走“日”字格，如
图，马位于河界下方，其可达位置已用“ ”标记，则马随机移动一次，到达
的位置在河界上方的概率是 .

5. 一个口袋中装有2个红球，m个绿球，n个黄球，每个球除颜色外其他都
相同，搅匀后随机地从中摸出一个球是红球的概率是 ， 则m＋n 的值为
（　C　）.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
C
6. （2025·深圳外国语学校龙华学校期中）在一个不透明的袋子里装有除颜
色外，其他都相同的5个红球和2个蓝球.
（1）先从袋子里取出m（m≠0）个蓝球，再从袋子里随机摸出一个球，将
“摸出红球”记为事件A.
①如果事件A是必然事件，则m的值为 .
②如果事件A是随机事件，则m的值为 .
2
1
解：先从袋子里取出m（m≠0）个蓝球，不放回，再从袋子里随机摸出一
个球，将“摸出红球”记为事件A，
①如果事件A是必然事件，则袋子中只有红球，则拿出了2个蓝球，则m的
值为2；
②如果事件A是随机事件，则袋子中既有红球又有蓝球，则取出的蓝球个数
为1个，则m的值为1.
故答案为①2；②1.
6. （2025·深圳外国语学校龙华学校期中）在一个不透明的袋子里装有除颜
色外，其他都相同的5个红球和2个蓝球.
（2）先从袋子中取出n个红球，再放入（n－1）个一样的蓝球并摇匀，若
摸出一个球是蓝球的概率是 ，求n的值.
解：先从袋子中取出n个红球，再放入（n－1）个一样的蓝球，则球的总个
数为5＋2－n＋（n－1）＝7－n＋n－1＝6.
因为摸出一个球是蓝球的概率是 ，
所以现在蓝球的总个数为6× ＝4，
所以放入蓝球的个数为4－2＝2，
所以n－1＝2，解得n＝3.
7. （2025·深圳市高级中学期中）国家规定，中小学生每天在校体育活动时
间不少于1 h（即等于或多于1 h），为了解这项政策的落实情况，有关部门
就“你某天在校体育活动时间是多少”的问题，在某校某天随机抽查了部分
学生，再根据活动时间进行分组（A组：0～0.5 h，B组：0.5～1 h，C组：
1～1.5 h，D组：不少于1.5 h），绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图
中信息回答问题：
（1）此次抽查的学生有多少人；
解：60÷20％＝300（人）.
答：此次抽查的学生有300人.
7. （2025·深圳市高级中学期中）国家规定，中小学生每天在校体育活动时
间不少于1 h（即等于或多于1 h），为了解这项政策的落实情况，有关部门
就“你某天在校体育活动时间是多少”的问题，在某校某天随机抽查了部分
学生，再根据活动时间进行分组（A组：0～0.5 h，B组：0.5～1 h，C组：
1～1.5 h，D组：不少于1.5 h），绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图
中信息回答问题：
（2）补全条形统计图；
解：C组的人数＝300×40％＝120（人），
A组的人数＝300－60－100－120＝20（人），
补全条形统计图如图所示.
7. （2025·深圳市高级中学期中）国家规定，中小学生每天在校体育活动时
间不少于1 h（即等于或多于1 h），为了解这项政策的落实情况，有关部门
就“你某天在校体育活动时间是多少”的问题，在某校某天随机抽查了部分
学生，再根据活动时间进行分组（A组：0～0.5 h，B组：0.5～1 h，C组：
1～1.5 h，D组：不少于1.5 h），绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图
中信息回答问题：
（3）从抽查的学生中随机询问一名学生，
该生当天在校体育活动时间低于1小时的概率是多少；
解：该生当天在校体育活动时间低
于1小时的概率是 ＝ .
7. （2025·深圳市高级中学期中）国家规定，中小学生每天在校体育活动时
间不少于1 h（即等于或多于1 h），为了解这项政策的落实情况，有关部门
就“你某天在校体育活动时间是多少”的问题，在某校某天随机抽查了部分
学生，再根据活动时间进行分组（A组：0～0.5 h，B组：0.5～1 h，C组：
1～1.5 h，D组：不少于1.5 h），绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图
中信息回答问题：
（4）若当天在校学生数为1 800人，
请估计在当天达到国家规定体育活动时
间的学生有多少人？
解：1 800× ＝1 080（人）.
答：当天达到国家规定体育活动时间的学生有1 080人.
参考答案
【新课引入】
1. 解：（1）会出现摸到1号球，2号球，3号球，4号球，5号球这5种结果.
（2）每种结果出现的可能性是相同的，猜想每种结果出现的概率应该都是
.
2. 解：掷硬币、掷骰子和摸球的游戏共同的特点有两个，一是每种游戏的结
果都是有限个；二是每种结果出现的概率都是相同的.
【新课导学】
①相同
【例1】　A
对点训练1　D
②
【例2】　D
对点训练2　
【随堂小测】
1. A　2.0.3　3. 　4. 　5.C
6. 解：（1）先从袋子里取出m（m≠0）个蓝球，不放回，再从袋子里随机
摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A，
①如果事件A是必然事件，则袋子中只有红球，则拿出了2个蓝球，则m的
值为2；
②如果事件A是随机事件，则袋子中既有红球又有蓝球，则取出的蓝球个数
为1个，则m的值为1.
故答案为①2；②1.
（2）先从袋子中取出n个红球，再放入（n－1）个一样的蓝球，则球的总
个数为5＋2－n＋（n－1）＝7－n＋n－1＝6.
因为摸出一个球是蓝球的概率是 ，
所以现在蓝球的总个数为6× ＝4，
所以放入蓝球的个数为4－2＝2，
所以n－1＝2，解得n＝3.
7. 解：（1）60÷20％＝300（人）.
答：此次抽查的学生有300人.
（2）C组的人数＝300×40％＝120（人），
A组的人数＝300－60－100－120＝20（人），
补全条形统计图如图所示.
（3）该生当天在校体育活动时间低于1小时的概率是 ＝ .
（4）1 800× ＝1 080（人）.
答：当天达到国家规定体育活动时间的学生有1 080人.

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