资源简介 (共14张PPT)第四章 三角形★ 问题解决策略：特殊化 运用特殊化策略解决一般性问题当直接求解一般性问题较为困难或复杂时，通过将问题简化为一个或多个① 情况来寻找解题思路和规律，进而推广到② 情况.【例】请解答下列各小题：特殊一般（1）如图1，正方形AEFG的顶点E在正方形ABCD的边AD上，连接DG，BE，则线段DG与BE的大小关系为 ，位置关系为 .DG＝BEDG⊥BE解析：因为四边形AEFG和四边形ABCD都为正方形，所以AG＝AE，AD＝AB，∠EAG＝∠BAD＝90°，所以△DAG≌△BAE（SAS），所以DG＝BE，∠ADG＝∠ABE.延长BE交DG于点H，如图1.因为∠AGD＋∠ADG＝90°，所以∠AGD＋∠ABE＝90°，所以∠BHG＝90°，所以DG⊥BE，故答案为DG＝BE， DG⊥BE.【例】请解答下列各小题：（2）当正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转适当角度时，如图2，（1）中线段DG与BE的关系还是否成立？若成立，请给出证明过程；若不成立，请说明理由.解：成立.证明如下：同（1）可知△DAG≌△BAE（SAS），所以DG＝BE， ∠ADG＝∠ABE，设BE交AD于点O，交DG于点H，如图2.因为∠HOD＝∠AOB，所以∠ADG＋∠HOD＝∠ABE＋∠AOB＝90°，所以∠DHB＝90°，所以DG⊥BE.如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE，AD分别与过点C的直线垂直，且垂足分别为E，D.（1）猜想线段AD，DE，BE三者之间的数量关系，并给予证明.解：DE＝AD＋BE，理由如下：因为∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，所以∠ACD＋∠BCE＝90°＝∠ACD＋∠CAD，所以∠BCE＝∠CAD.在△ACD和△CBE中，所以△ACD≌△CBE（AAS），所以AD＝CE，BE＝CD，所以DE＝AD＋BE.如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE，AD分别与过点C的直线垂直，且垂足分别为E，D.（2）如图2，当过点C的直线绕点C旋转到图中位置时，其他条件不变，线段AD，DE，BE三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系；若不改变，请说明理由.解：改变，AD＝BE＋DE，因为∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，所以∠ACD＋∠BCE＝90°＝∠ACD＋∠CAD，所以∠BCE＝∠CAD.在△ACD和△CBE中，所以△ACD≌△CBE（AAS），所以AD＝CE，BE＝CD，所以AD＝CE＝CD＋DE，即AD＝BE＋DE.参考答案【新课导学】①特殊 ②一般【例】 解：（1）DG＝BE DG⊥BE 解析：因为四边形AEFG和四边形ABCD都为正方形，所以AG＝AE，AD＝AB，∠EAG＝∠BAD＝90°，所以△DAG≌△BAE（SAS），所以DG＝BE，∠ADG＝∠ABE.延长BE交DG于点H，如图1.因为∠AGD＋∠ADG＝90°，所以∠AGD＋∠ABE＝90°，所以∠BHG＝90°，所以DG⊥BE，故答案为DG＝BE， DG⊥BE.（2）成立.证明如下：同（1）可知△DAG≌△BAE（SAS），所以DG＝BE， ∠ADG＝∠ABE，设BE交AD于点O，交DG于点H，如图2.因为∠HOD＝∠AOB，所以∠ADG＋∠HOD＝∠ABE＋∠AOB＝90°，所以∠DHB＝90°，所以DG⊥BE.对点训练 解：（1）DE＝AD＋BE，理由如下：因为∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，所以∠ACD＋∠BCE＝90°＝∠ACD＋∠CAD，所以∠BCE＝∠CAD.在△ACD和△CBE中，所以△ACD≌△CBE（AAS），所以AD＝CE，BE＝CD，所以DE＝AD＋BE.（2）改变，AD＝BE＋DE，因为∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，所以∠ACD＋∠BCE＝90°＝∠ACD＋∠CAD，所以∠BCE＝∠CAD.在△ACD和△CBE中，所以△ACD≌△CBE（AAS），所以AD＝CE，BE＝CD，所以AD＝CE＝CD＋DE，即AD＝BE＋DE.(共23张PPT)第四章 三角形1 认识三角形第1课时 三角形及其内角和观察右图，回答下列问题：（1）你能从图中找出几个不同的三角形吗？解：图中共有10个不同的三角形.（2）这些三角形有什么共同的特点？解：这些三角形的共同特点有：①都有三条边和三个角；②三条线段不在同一条直线上；③三条线段首尾顺次相接.1 三角形的有关概念由不在同一直线上的三条线段① 相接而成的图形叫作三角形.如图，记作② .三条边：③ ；三个内角：④ ； 三个顶点：⑤ .首尾顺次△ABCa，b，c∠A，∠B，∠CA，B，C【例1】如图，共有 个三角形，分别是 ，其中△ABC的三个内角分别是 ，在△ACD中，∠C的对边是 ，CD的对角是 .3△ABC，△ABD，△ADC∠BAC，∠B，∠CAD∠DAC如图，△DBC的三个内角分别是 ，三边分别是 .∠ABC是三角形 的内角；在△CDE中，∠C的对边是 ；在△ABC中，∠C的对边是 .∠BDC，∠DBC，∠CDB，BC，DCABCDEAB2 三角形中角的关系三角形中角的关系：三角形的三个内角之和是⑥ ；直角三角形的两个锐角⑦ .【例2】如图，若∠B＝25°，∠C＝75°，则∠A＝ ，若∠A＝∠C＝75°，则∠B＝ .180°互余80°30°如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.（1）AB是 边，AC，BC是 边.（2）若∠A＝75°，则∠B＝ ，若∠B＝30°，则∠A＝ .斜直角15°60°3 三角形按角分类三角形按角可分为三类：⑧ 三角形，⑨ 三角形和⑩ 三角形.【例3】（教材第87页随堂练习2） 一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是什么三角形？（1）30°和60°； 解：因为三角形两个内角的度数分别为30°，60°，所以这个三角形的第三个角为180°－60°－30°＝90°，所以这个三角形是直角三角形.锐角直角钝角【例3】（教材第87页随堂练习2） 一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是什么三角形？（2）40°和70°； 解：因为三角形两个内角的度数分别为40°和70°，所以这个三角形的第三个角为180°－40°－70°＝70°，所以这个三角形是锐角三角形.【例3】（教材第87页随堂练习2） 一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是什么三角形？（3）50°和20°.解：因为三角形两个内角的度数分别为50°和20°，所以这个三角形的第三个角为180°－50°－20°＝110°，所以这个三角形是钝角三角形.下列图形中，是直角三角形的是（ B ）.B1. 下列都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（ C ）.C2. “三角形的内角和为180°”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是180°”的是（ B ）.A. 过点C作EF∥ABBB. 作CD⊥AB于点DC. 过AB上一点D作DE∥BC，DF∥ACD. 延长AC至点F，过点C作CE∥AB3. 如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C＝（ B ）.A. 100° B. 80° C. 60° D. 40°B4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果∠1＝30°，那么∠A＝ °，∠2＝ °，∠B＝ °.5. 一个三角形，三个角的度数都不相等，最小的角是47°，那么这个三角形一定是 .306060锐角三角形6. （教材第92页第2题）在下面的空白处，分别填入“锐角”“钝角”或“直角”：（1）如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是 三角形；（2）如果三角形的一个内角等于另外两个内角之和，那么这个三角形是 三角形；（3）如果三角形的两个内角都小于45°，那么这个三角形是 三角形.锐角直角钝角7. 用两种方法证明“三角形的内角和等于180°”.已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角.求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.证法1：如图，过点A 作AD∥BC.因为AD∥BC，所以∠1＝ ， ＋ ＝180°，所以∠BAC＋∠1＋∠B＝180°，所以∠BAC＋∠C＋∠B＝180°.请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.∠C∠BAD∠B证法2：如图2，过点A作DE∥BC，因为DE∥BC，所以∠EAC＝∠C，∠DAB＝∠B.因为∠EAC＋∠BAC＋∠DAB＝180°，所以∠BAC＋∠C＋∠B＝180°.参考答案【新课引入】解：（1）图中共有10个不同的三角形.（2）这些三角形的共同特点有：①都有三条边和三个角；②三条线段不在同一条直线上；③三条线段首尾顺次相接.【新课导学】①首尾顺次 ②△ABC ③a，b，c ④∠A，∠B，∠C ⑤A，B，C【例1】 3 △ABC，△ABD，△ADC ∠BAC，∠B，∠CAD ∠DAC对点训练1 ∠BDC，∠DBC，∠C DB，BC，DC ABC DE AB⑥180° ⑦互余【例2】80°30°对点训练2 （1）斜 直角 （2）15° 60°⑧锐角 ⑨直角 ⑩钝角【例3】 解：（1）因为三角形两个内角的度数分别为30°，60°，所以这个三角形的第三个角为180°－60°－30°＝90°，所以这个三角形是直角三角形.（2）因为三角形两个内角的度数分别为40°和70°，所以这个三角形的第三个角为180°－40°－70°＝70°，所以这个三角形是锐角三角形.（3）因为三角形两个内角的度数分别为50°和20°，所以这个三角形的第三个角为180°－50°－20°＝110°，所以这个三角形是钝角三角形.对点训练3 B【随堂小测】1. C 2.B 3.B4.3060605.锐角三角形6. （1）锐角 （2）直角 （3）钝角7. 解：证法1：如图1，过点A 作AD∥BC.因为AD∥BC，所以∠1＝∠C，∠BAD＋∠B＝180°，所以∠BAC＋∠1＋∠B＝180°，所以∠BAC＋∠C＋∠B＝180°. 证法2：如图2，过点A作DE∥BC，因为DE∥BC，所以∠EAC＝∠C，∠DAB＝∠B.因为∠EAC＋∠BAC＋∠DAB＝180°，所以∠BAC＋∠C＋∠B＝180°.(共25张PPT)第四章 三角形3 探索三角形全等的条件第4课时 用尺规作三角形已知一个三角形，你能利用尺规作图，作一个三角形与它全等吗？有哪些方法？解：可以，主要的方法是通过SSS，AAS，ASA，SAS四种判定三角形全等的方法来作图.1 已知三角形的三边，用尺规作这个三角形已知三角形的三边，用尺规作三角形：画一条① 等于一边，以一端为圆心、另一边为半径画② ，再以另一端为圆心、第三边为半径画③ ，两弧④ 即为第三顶点，连接各顶点成三角形.线段弧弧交点【例1】如图，已知线段a，b，c，用尺规作△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a.（不写作法，保留作图痕迹）解：如图所示.尺规作图：已知△ABC. 请根据“SSS”作出△A'B'C'，使△A'B'C'≌△ABC. （不写作法，保留作图痕迹）解：如图所示.2 已知三角形的两角及其夹边，用尺规作这个三角形已知三角形的两角及其夹边，用尺规作三角形.作一个⑤ 等于已知角；在这个角的一边上截取线段，等于已知⑥ ；以夹边的另一个端点为顶点，作第二个已知⑦ .已知角的两条边相交，交点为第三顶点，连接各顶点成三角形.角夹边角【例2】尺规作图，已知∠α，∠β和线段c，用直尺和圆规作△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c.（只要求画出图形，并保留作图痕迹，不必写作法）解：如图，△ABC就是所求三角形.（教材第106页第4题）已知∠α和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于2∠α，且这两内角的夹边等于a.解：如图，△ABC即为所求.3 已知三角形的两边及其夹角，用尺规作这个三角形已知三角形的两边及其夹角，用尺规作三角形.作一个⑧ 等于已知夹角；在这个角的两边上分别截取两条⑨ ，等于已知边；线段的另一个端点即为三角形的顶点，连接各顶点形成三角形.角线段【例3】已知线段a，c和∠β（如图），利用直尺和圆规作△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠β.（不写作法，保留作图痕迹）解：如图所示.（根据教材第106页第6题改编）如图，已知线段a和b，求作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于线段a和b.（不写作法，但要保留作图痕迹）解：如图所示，△AOB为所求作的直角三角形.1. 已知三边作三角形，用到的基本作图方法是（ C ）.A. 作一个角等于已知角B. 平分一个已知角C. 在射线上截取一条线段等于已知线段D. 作一条直线的垂线C2. 课本第109页有一道习题：“先画一个△ABC，然后选择△ABC中适当的边和角，用尺规作出与△ABC全等的三角形.”晋晋的作法如图.这一作法中，“△DEF≌△ABC”的依据是（ B ）.A. 三边分别相等的两个三角形全等B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等B3. （2025·福田外国语学校模考）用直尺和圆规作一个三角形全等于已知三角形的示意图如图所示，则说明△OCD≌△O'C'D'的依据是 .SSS4. 已知∠α和线段a，用尺规作△ABC，使∠A＝∠α，∠C＝2∠α，AC＝a，则全班同学用尺规作图作出的三角形都是全等的，其根据是 .ASA5. 如图1，已知△ABC，∠A'＝∠A，请用尺规作图，在图2中画出△A'B'C'，使A'B'＝AB，A'C'＝AC. （不要求写作法，保留作图痕迹即可）解：如图，△A'B'C'即为所求作的三角形.6. 尺规作图：已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形.已知：∠α，∠β，线段a.求作：△ABC，使得∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝a.（不要求写作法，保留作图痕迹即可）解：如图，△ABC即为所求.7. 如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边上的点.尺规作图：在△ABC的外侧作△CBE，使得△CBE≌△CAD. （不写作法，保留作图痕迹）解：法一：如图1，作BE＝AD，CE＝CD.法二：如图2，作∠CBE＝∠CAB，BE＝AD，连接CE.参考答案【新课引入】解：可以，主要的方法是通过SSS，AAS，ASA，SAS四种判定三角形全等的方法来作图.【新课导学】①线段 ②弧 ③弧 ④交点【例1】 解：如图所示.对点训练1 解：如图所示.⑤角 ⑥夹边 ⑦角【例2】 解：如图，△ABC就是所求三角形.对点训练2 解：如图，△ABC即为所求.⑧角 ⑨线段【例3】 解：如图所示.对点训练3 解：如图所示，△AOB为所求作的直角三角形.【随堂小测】1. C 2.B 3.SSS 4.ASA 5. 解：如图，△A'B'C'即为所求作的三角形.6. 解：如图，△ABC即为所求.7. 解：法一：如图1，作BE＝AD，CE＝CD.法二：如图2，作∠CBE＝∠CAB，BE＝AD，连接CE.(共22张PPT)第四章 三角形3 探索三角形全等的条件第3课时 利用“边角边”判定三角形全等如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢？每种情况下得到的三角形都全等吗？解：如果已知一个三角形的两边及一角，那么有“①两边及其夹角分别相等，②两边相等且其中一组等边的对角相等”两种情况.情况①得到的三角形全等，情况②得到的三角形不一定全等.1 全等三角形的判定（SAS）分别相等的两个三角形全等.几何语言：在△ABC与△DEF中，所以△ABC≌△DEF（SAS）.两边及其夹角【例1】如图，在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，AC＝AD. 求证：△ABC≌△AED.证明：因为∠BAE＝∠CAD，所以∠BAE＋∠CAE＝∠CAD＋∠CAE，即∠BAC＝∠EAD.在△ABC与△AED中，所以△ABC≌△AED（SAS）.（2025·南山外国语学校（集团）期中）如图，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且AE＝CF，CE，BF交于点P. 求证：CE＝BF.证明：因为△ABC是等边三角形，所以∠BCF＝∠CAE，BC＝CA.因为AE＝CF，所以△BCF≌△CAE（SAS），所以CE＝BF.2 灵活运用全等三角形的判定方法全等三角形的判定方法主要有：①SSS（边边边）；②SAS（边角边）；③ASA（角边角）；④AAS（角角边）.在实际应用中，灵活运用这些判定方法可以帮助我们解决各种几何问题.【例2】下列各图中a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ B ）.BA. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 只有丙（2025·广州市期末）根据下列条件，能画出唯一一个△ABC的是（ A ）.A. AB＝4，BC＝6，∠A＝120°B. AB＝1，BC＝2，AC＝3C. AB＝4，BC＝3，∠A＝30°D. ∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°A1. 如图，AC与BD相交于点P，AP＝DP，若用“SAS”证明△APB≌△DPC，还需添加的条件是（ B ）.A. BA＝CDB. PB＝PCC. ∠A＝∠DD. ∠APB＝∠DPCB2. 如图，OA＝OB，运用“SAS”证明△OAC≌△OBD，还需补充的一个条件可以是 .OD＝OC（答案不唯一）3. （2025·龙华区期末）如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC，下列结论不一定成立的是（ A ）.A. AF＝EF B. ∠C＝∠EC. BC＝DE D. ∠B＝∠DA4. 如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD. 求证：△AOB≌△COD.证明：因为∠AOC＝∠BOD，所以∠AOC－∠AOD＝∠BOD－∠AOD，即∠COD＝∠AOB.在△AOB和△COD中，所以△AOB≌△COD（SAS）.5. 如图，把长短确定的两根木棍AB，AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC，木棍AB固定，木棍AC绕点A转动，得到△ABD，这个实验说明（ A ）.A. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等B. 有两角分别相等且其中等角的对边相等的两个三角形不一定全等C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等A6. 如图，AB＝AC，点D，E分别是AC，AB的中点，求证：△ABD≌△ACE.证明：因为AB＝AC，点D，E分别是AC，AB的中点，所以AE＝AD.在△ABD和△ACE中，因为所以△ABD≌△ACE（SAS）.7. （2025·深圳中学期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF.（1）求证：AC∥DF；证明：因为AB∥DE，所以∠B＝∠DEF.因为BE＝CF，所以BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF. 在△ABC和△DEF中，所以△ABC≌△DEF（SAS），所以∠ACB＝∠F，所以AC∥DF.7. （2025·深圳中学期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF.（2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数.解：由（1）得，∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，所以∠DEF＝∠B＝65°，∠ACB＝∠F＝35°.在△EOC中，∠DEF＋∠ACB＋∠EOC＝180°，所以∠EOC＝180°－∠DEF－∠ACB＝180°－65°－35°＝80°.参考答案【新课引入】解：如果已知一个三角形的两边及一角，那么有“①两边及其夹角分别相等，②两边相等且其中一组等边的对角相等”两种情况.情况①得到的三角形全等，情况②得到的三角形不一定全等.【新课导学】两边及其夹角【例1】 证明：因为∠BAE＝∠CAD，所以∠BAE＋∠CAE＝∠CAD＋∠CAE，即∠BAC＝∠EAD.在△ABC与△AED中，所以△ABC≌△AED（SAS）.对点训练1 证明：因为△ABC是等边三角形，所以∠BCF＝∠CAE，BC＝CA.因为AE＝CF，所以△BCF≌△CAE（SAS），所以CE＝BF.【例2】 B对点训练2 A【随堂小测】1. B 2.OD＝OC（答案不唯一） 3.A4. 证明：因为∠AOC＝∠BOD，所以∠AOC－∠AOD＝∠BOD－∠AOD，即∠COD＝∠AOB.在△AOB和△COD中，所以△AOB≌△COD（SAS）.5. A6. 证明：因为AB＝AC，点D，E分别是AC，AB的中点，所以AE＝AD.在△ABD和△ACE中，因为所以△ABD≌△ACE（SAS）.7. （1）证明：因为AB∥DE，所以∠B＝∠DEF.因为BE＝CF，所以BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF.在△ABC和△DEF中，所以△ABC≌△DEF（SAS），所以∠ACB＝∠F，所以AC∥DF.（2）解：由（1）得，∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，所以∠DEF＝∠B＝65°，∠ACB＝∠F＝35°.在△EOC中，∠DEF＋∠ACB＋∠EOC＝180°，所以∠EOC＝180°－∠DEF－∠ACB＝180°－65°－35°＝80°.(共30张PPT)第四章 三角形章末复习大于小于两边直角SAS对应角全等 等腰三角形的各边要满足三边关系【例1】（2025·深圳第二实验学校期末）等腰三角形的一边长10 cm，另一边长4 cm，它的第三边长为（ B ）.A. 4 cm B. 10 cm C. 6 cm D. 4 cm或10 cm 三角形各边要满足三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，三边4 cm，10 cm，10 cm满足三边关系，三边4 cm，4 cm，10 cm不满足三边关系.B1. 已知等腰三角形的两边长为5和6，则周长是 .2. 已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为 .16或176.5 AAA，SSA不能判定两个三角形全等【例2】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，BE与CD相交于点O，已知∠ABC＝∠ACB，补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（ C ）.A. AD＝AE B. OB＝OCC. BE＝CD D. ∠BDC＝∠CEBC 判定两个三角形全等的一般方法有SSS，SAS，ASA，AAS. 注意AAA，SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.3. 如图，线段AD，BC相交于点O. 若OC＝OD，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△AOC≌△BOD的是（ D ）.A. OA＝OB B. ∠A＝∠BC. ∠C＝∠D D. AC＝BD第3题图D4. 如图，已知∠1＝∠2，补充下列条件中的一个后，仍不能判定△ABC≌△DCB的是（ B ）.A. ∠A＝∠D B. AB＝DCC. AC＝DB D. ∠ABC＝∠DCB第4题图B 判定钝角三角形的高【例3】如图，△ABC中AC边上的高正确的是（ C ）. 直接利用高线的概念（从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫作三角形的高），正确把握相关定义是解题关键.C5. （2025·佛山期中）下列四个图形中，线段BE是△ABC中AC边上的高的是（ A ）.A6. （2025·梅州期中）作△ABC的BC边上的高，下列作法中，正确的是（ D ）.D 三角形的角度运算 综合运用三角形的内角和以及各类几何知识求某个角的度数.1. （2025·深圳实验学校初中部期中）将一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为（ B ）.A. 140° B. 130° C. 50° D. 120°第1题图B2. 如图，在△ABC中，AE是角平分线，AD⊥BC，垂足为D，点D在点E的左侧，∠B＝60°，∠C＝40°，则∠DAE的度数为 . 第2题图10°3. （2024·南山区校级开学）如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°）沿线段CD折叠，使点B落在B'处，若∠ACB'＝74°，则∠ACD的度数为 .第3题图8° 确定三角形的边长或周长 由三角形三边的关系可以确定三角形边的取值范围或特定三角形的边长.4. （2025·宝安区期末）已知三角形中两条边的长度分别为3和8，则此三角形的第三边的长度可能是 .（写出一个值即可）5. 已知等腰△ABC的三边长分别为1，3，x，则△ABC的周长为 .6. 已知等腰三角形的两边长分别为4和6，则周长为 .6（答案不唯一）714或16 三角形全等的判定和性质的运用 判定两个三角形全等的一般方法有：SSS，SAS，ASA，AAS. 注意：AAA，SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与.7. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，BE，CD相交于点F，若AB＝AC，BD＝CE，则下列结论不一定正确的是（ C ）.A. AD＝AE B. BE＝CDC. AB＝BC D. DF＝EFC8. （2024春·南山区校级期中）如图，已知A，D，C，E在同一直线上，BC和DF相交于点O，AD＝CE，AB∥DF，AB＝DF.（1）求证：△ABC≌△DFE；证明：因为AB∥DF，所以∠A＝∠EDF.因为AD＝CE，所以AD＋CD＝CD＋CE，即AC＝DE.在△ABC和△DFE中，所以△ABC≌△DFE（SAS）.8. （2024春·南山区校级期中）如图，已知A，D，C，E在同一直线上，BC和DF相交于点O，AD＝CE，AB∥DF，AB＝DF.（2）连接CF，若∠BCF＝54°，∠DFC＝20°，求∠DFE的度数.解：因为∠BCF＝54°，∠DFC＝20°，∠FOC＋∠DFC＋∠BCF＝180°，∠DOC＋∠FOC＝180°，所以∠DOC＝∠BCF＋∠DFC＝54°＋20°＝74°.因为AB∥DF，所以∠B＝∠DOC＝74°.因为△ABC≌△DFE，所以∠DFE＝∠B＝74°.9. （2024秋·南开区校级月考）如图，AB＝AC，∠B＋∠C＝180°，点E，F分别在BD，CD上，∠EAF＝ ∠BAC，求证：EF＝BE＋CF.证明：如图，将△ACF绕点A顺时针旋转到△ABG，使AC与AB重合，则△ACF≌△ABG，所以∠FAC＝∠BAG，AF＝AG，CF＝GB，∠C＝∠ABG，所以∠GAF＝∠BAG＋∠BAF＝∠BAF＋∠CAF＝∠BAC.因为∠ABE＋∠C＝180°，所以∠ABG＋∠ABE＝180°.因为∠EAF＝ ∠BAC，所以∠EAF＝ ∠FAG，所以∠EAF＝∠EAG.在△EAG和△EAF中，所以△EAG≌△EAF（SAS），所以GE＝EF.因为GE＝GB＋BE＝CF＋BE，所以EF＝BE＋CF.参考答案【思维导图】①大于 ②小于 ③两边 ④直角 ⑤SAS ⑥对应角⑦全等【易错点剖析】【例1】 B跟踪练习1.16或172.6.5【例2】C3. D 4.B【例3】C跟踪练习5. A 6.D【重难点突破】1. B 2.10° 3.8° 4.6（答案不唯一） 5.7 6.14或16 7.C跟踪练习所以∠A＝∠EDF.因为AD＝CE，所以AD＋CD＝CD＋CE，即AC＝DE.在△ABC和△DFE中，所以△ABC≌△DFE（SAS）.8. （1）证明：因为AB∥DF，（2）解：因为∠BCF＝54°，∠DFC＝20°，∠FOC＋∠DFC＋∠BCF＝180°，∠DOC＋∠FOC＝180°，所以∠DOC＝∠BCF＋∠DFC＝54°＋20°＝74°.因为AB∥DF，所以∠B＝∠DOC＝74°.因为△ABC≌△DFE，所以∠DFE＝∠B＝74°.9. 证明：如图，将△ACF绕点A顺时针旋转到△ABG，使AC与AB重合，则△ACF≌△ABG，所以∠FAC＝∠BAG，AF＝AG，CF＝GB，∠C＝∠ABG，所以∠GAF＝∠BAG＋∠BAF＝∠BAF＋∠CAF＝∠BAC.因为∠ABE＋∠C＝180°，所以∠ABG＋∠ABE＝180°.因为∠EAF＝ ∠BAC，所以∠EAF＝ ∠FAG，所以∠EAF＝∠EAG.在△EAG和△EAF中，所以△EAG≌△EAF（SAS），所以GE＝EF.因为GE＝GB＋BE＝CF＋BE，所以EF＝BE＋CF.(共11张PPT)第四章 三角形微专题四 关于三角形内角和的练习题类型1 直接运用三角形内角和求角度1. 一个三角形3个内角的度数比是1∶2∶3，其中最大的内角是（ C ）.A. 30° B. 60° C. 90° D. 150°2. 如图，点P是△ABC内一点，∠ACB＝80°，且∠1＝∠2，则∠P的度数为（ B ）.A. 80° B. 100° C. 120° D. 140°CB3. （2025·福田区外国语学校期中）已知△ABC中，∠A＝38°，∠B＝42°，则△ABC是 三角形.（填“锐角”“直角”或“钝角”）钝角类型二 综合运用三角形内角和解决问题4. （2025·深圳市福田实验教育集团期中）如图，在△ABC中，∠B＝44°，点D，E分别是BA，BC边上的点，将△BDE沿DE所在直线翻折，得到△FDE. 若∠ADF＝136°，则∠CEF的度数为（ B ）.A. 46° B. 48° C. 50° D. 52°B5. （2025·深圳实验学校期末）如图，三角板ABC（其中∠A＝30°，∠C＝90°）和三角板DEF（其中∠E＝45°，∠EDF＝90°）按照如图所示的位置摆放，点D在边AC上，若AB∥EF，则∠FDC的度数为（ D ）.A. 8° B. 10° C. 12° D. 15°D6. （2025·罗湖区期中）如图1，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C，D分别落在H，G的位置，再沿BC折叠成图2，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝ °.727. （2025·南山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝52°，D，E分别在AB，AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠EDF＝ °.718. 如图，在△ABC中，点D是边BC上的一点，连接AD.（1）若∠ADC＝60°，∠B＝2∠BAD，求∠BAD的度数；解：因为∠ADC＝60°，∠B＝2∠BAD，∠B＋∠BAD＝180°－∠ADB＝∠ADC＝60°，所以2∠BAD＋∠BAD＝60°，所以∠BAD＝20°.8. 如图，在△ABC中，点D是边BC上的一点，连接AD.（2）若AD平分∠BAC，∠B＝40°，∠ADC＝65°，试说明：AC⊥BC.证明：因为∠B＝40°，∠ADC＝65°，所以∠BAD＝180°－∠ADB－∠B＝∠ADC－∠B＝65°－40°＝25°.因为AD平分∠BAC，所以∠DAC＝∠BAD＝25°，所以∠ADC＋∠DAC＝65°＋25°＝90°，所以∠C＝180°－（∠ADC＋∠DAC）＝180°－90°＝90°，所以AC⊥BC.参考答案1. C 2.B3.钝角4. B 5.D6. 72 7.718. （1）解：因为∠ADC＝60°，∠B＝2∠BAD，∠B＋∠BAD＝180°－∠ADB＝∠ADC＝60°，所以2∠BAD＋∠BAD＝60°，所以∠BAD＝20°.（2）证明：因为∠B＝40°，∠ADC＝65°，所以∠BAD＝180°－∠ADB－∠B＝∠ADC－∠B＝65°－40°＝25°.因为AD平分∠BAC，所以∠DAC＝∠BAD＝25°，所以∠ADC＋∠DAC＝65°＋25°＝90°，所以∠C＝180°－（∠ADC＋∠DAC）＝180°－90°＝90°，所以AC⊥BC.(共28张PPT)第四章 三角形3 探索三角形全等的条件第2课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？每种情况下得到的三角形都全等吗？解：如果已知一个三角形的两角及一边，那么有“①两角及其夹边分别相等，②两角相等且其中一组等角的对边相等”两种情况.两种情况下得到的三角形都全等.1 全等三角形的判定（ASA）① 分别相等的两个三角形全等.几何语言：如图，在△ABC与△DEF中， 所以△ABC≌△DEF（ASA）.两角及其夹边【例1】如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE. 求证：△ABD≌△BCE.证明：因为点B为线段AC的中点，所以AB＝ BC.因为AD∥BE，所以∠A＝∠EBC.因为BD∥CE，所以∠C＝∠DBA. 在△ABD与△BCE中，所以△ABD≌△BCE（ASA）.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB. 求证：△CED≌△ABC.证明：因为DE⊥AC，∠B＝90°，所以∠DEC＝∠B＝90°.因为CD∥AB，所以∠A＝∠DCE.在△CED和△ABC中，所以△CED≌△ABC（ASA）.2 全等三角形的判定（AAS）② 分别相等且其中一组等角的③ 相等的两个三角形全等.几何语言：如图，在△ABC与△DEF中， 所以△ABC≌△DEF（AAS）.两角对边【例2】如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌△CFE.证明：因为FC∥AB，所以∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F.在△ADE与△CFE中，所以△ADE≌△CFE（AAS）.如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD. 试说明：BC＝DE.解：因为AC是∠BAE的平分线，所以∠BAC＝∠DAE.在△BAC和△DAE中，所以△BAC≌△DAE（AAS）.所以BC＝DE.1. 如图，点B，E，F，C在同一直线上，已知∠A＝∠D，∠B＝∠C，要直接利用“ASA”说明△ABF≌△DCE，可补充的条件是（ C ）.A. ∠AFB＝∠DEC B. AB＝DEC. AB＝DC D. AF＝DEC2. 如图，AB＝AC，若利用“AAS”判定△ABE≌△ACD，则需要添加的一个直接条件是（ D ）.A. AD＝AE B. ∠B＝∠CC. BE＝CD D. ∠AEB＝∠ADCD3. 如图，已知△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A，B，E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是 .（只填一个即可）∠D＝∠C（答案不唯一）4. （2025·深圳市第二实验学校期中）小明不小心将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1，2，3，4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样尺寸的三角形玻璃？应该带（ B ）.A. 第1块 B. 第2块 C. 第3块 D. 第4块B5. 如图， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5 cm，则AE＝ cm.3解析：因为∠ACB＝90°，所以∠ECF＋∠BCD＝90°.因为CD⊥AB，所以∠BCD＋∠B＝90°，所以∠ECF＝∠B.在△ACB和△FEC中，因为∠ECF＝∠B，EC＝CB，∠ACB＝∠FEC＝90°，所以△ACB≌△FEC（ASA），所以AC＝EF.因为AE＝AC－CE，EC＝BC＝2 cm，AC＝EF＝5 cm，所以AE＝5－2＝3（cm）.6. （2025·龙华区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，且AD＝AE. 请判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由.解：猜想：BD＝CE. 理由：如图，取BC的中点H，则BH＝CH. 连接AH.因为AB＝AC，BH＝CH，AH＝AH，所以△ABH≌△ACH（SSS），所以∠B＝∠C.同理∠ADE＝∠AED，所以180°－∠ADE＝180°－∠AED，即∠ADB＝∠AEC.在△ABD和△ACE中，所以△ABD≌△ACE（AAS），所以BD＝CE.7. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D，E分别在BC，AC上，且∠B＝∠1＝∠C，若AD＝DE.（1）求证：△ABD≌△DCE；证明：因为∠B＝∠1＝∠C，所以∠BAD＋∠ADB＝180°－∠B＝180°－∠C.又因为∠ADB＋∠EDC＝180°－∠1，所以∠BAD＝∠EDC.在△ABD和△DCE中，所以△ABD≌△DCE（AAS）.7. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D，E分别在BC，AC上，且∠B＝∠1＝∠C，若AD＝DE.（2）求AE的长.解：由（1）可知，△ABD≌△DCE，所以AB＝CD，BD＝CE.因为AB＝AC＝4，所以CD＝4.因为BC＝6，所以CE＝BD＝BC－CD＝2，所以AE＝AC－CE＝4－2＝2.参考答案【新课引入】解：如果已知一个三角形的两角及一边，那么有“①两角及其夹边分别相等，②两角相等且其中一组等角的对边相等”两种情况.两种情况下得到的三角形都全等.【新课导学】①两角及其夹边【例1】 证明：因为点B为线段AC的中点，所以AB＝ BC.因为AD∥BE，所以∠A＝∠EBC.因为BD∥CE，所以∠C＝∠DBA.在△ABD与△BCE中，所以△ABD≌△BCE（ASA）.对点训练1 证明：因为DE⊥AC，∠B＝90°，所以∠DEC＝∠B＝90°.因为CD∥AB，所以∠A＝∠DCE.在△CED和△ABC中，所以△CED≌△ABC（ASA）.②两角 ③对边【例2】 证明：因为FC∥AB，所以∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F.在△ADE与△CFE中，所以△ADE≌△CFE（AAS）.对点训练2 解：因为AC是∠BAE的平分线，所以∠BAC＝∠DAE.在△BAC和△DAE中，所以△BAC≌△DAE（AAS）.所以BC＝DE.【随堂小测】1. C 2.D 3.∠D＝∠C（答案不唯一） 4.B 5.3 解析：因为∠ACB＝90°，所以∠ECF＋∠BCD＝90°.因为CD⊥AB，所以∠BCD＋∠B＝90°，所以∠ECF＝∠B.在△ACB和△FEC中，因为∠ECF＝∠B，EC＝CB，∠ACB＝∠FEC＝90°，所以△ACB≌△FEC（ASA），所以AC＝EF.因为AE＝AC－CE，EC＝BC＝2 cm，AC＝EF＝5 cm，所以AE＝5－2＝3（cm）.6. 解：猜想：BD＝CE. 理由：如图，取BC的中点H，则BH＝CH. 连接AH.因为AB＝AC，BH＝CH，AH＝AH，所以△ABH≌△ACH（SSS），所以∠B＝∠C.同理∠ADE＝∠AED，所以180°－∠ADE＝180°－∠AED，即∠ADB＝∠AEC.在△ABD和△ACE中，所以△ABD≌△ACE（AAS），所以BD＝CE.7. （1）证明：因为∠B＝∠1＝∠C，所以∠BAD＋∠ADB＝180°－∠B＝180°－∠C.又因为∠ADB＋∠EDC＝180°－∠1，所以∠BAD＝∠EDC.在△ABD和△DCE中，所以△ABD≌△DCE（AAS）.（2）解：由（1）可知，△ABD≌△DCE，所以AB＝CD，BD＝CE.因为AB＝AC＝4，所以CD＝4.因为BC＝6，所以CE＝BD＝BC－CD＝2，所以AE＝AC－CE＝4－2＝2.(共28张PPT)第四章 三角形1 认识三角形第3课时 三角形的高、中线和角平分线观察右图，点D是BC边上的一个动点，连接AD，在点D的运动过程中，观察点D和线段AD有哪些特殊的位置.解：（1）当AD⊥BC时，点D为垂足，线段AD是三角形的高线.（2）当点D为BC边的中点时，线段AD是三角形的中线.（3）当点D是∠BAC的平分线与BC边的交点时，∠BAD＝∠CAD，线段AD是三角形的角平分线.1 三角形的高线如图，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作① ，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.三角形的三条高所在的直线相交于② .垂线一点【例1】（教材第92页随堂练习2改编）（1）如图1，AB边上的高是 ； AC边上的高是 ；BC边上的高是 ；（2）如图2，AB边上的高是 ；AC边上的高是 ；BC边上的高是 .BCBDABCEBFAD（2025·福田区红岭实验学校月考）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ B ）.B2 三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它对边③ 的线段，叫作这个三角形的中线.三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的④ .中点重心【例2】（1）如图1，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，若BE＝3，则BC＝ .（2）如图2，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是 .122（1）如图1，AD是△ABC的一条中线.若S△ABD＝3，则S△ACD＝ .（2）如图2，在△ABC中，点D是BC边上的中点，若△ABD和△ACD的周长分别为16和11，则AB－AC的值为 .353 三角形的角平分线三角形一个角的⑤ 和这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.三角形的三条角平分线交于⑥ .平分线一点【例3】（教材第93页第7题）在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.解：如图，∠C＝180°－∠BAC－∠B＝75°，因为AD平分∠BAC，所以∠DAC＝ ∠BAC＝30°，所以∠ADC＝180°－∠DAC－∠C＝180°－30°－75°＝75°.所以∠ADB＝180°－∠ADC＝180°－75°＝105°.如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，CE平分∠ACD交AD于点E，若∠DCE＝35°，求∠CAD的度数.解：因为CE平分∠ACD，所以∠DCA＝2∠DCE.因为∠DCE＝35°，所以∠DCA＝2∠DCE＝70°.因为AD为BC边上的高，所以∠ADB＝90°.在△ACD中，∠CAD＝180°－90°－70°＝20°.1. 下面四个图形中，线段BE能表示△ABC的高的是（ B ）.B2. 如图，已知△ABC，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则点C到AB边的距离是 . 3. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝40°，AD是△ABC的角平分线，则∠ADC＝ °.854. 如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线和高，下列各式中错误的是（ D ）.A. BC＝2CDC. ∠AFB＝90° D. AE＝CED5. 下列结论正确的是（ C ）.A. 钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部B. 锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部C. 三角形的重心是三角形三条中线的交点D. 直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点C6. 如图，已知△ABC中，点D，E分别是边BC，AB的中点.若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（ A ）.A. 2 B. 3 C. 4 D. 5A7. （2025·深圳实验学校期中）如图，已知△ABC的面积为1，分别延长BC至点D，使CD＝BC，延长CA至点E，使AE＝AC，延长AB至点F，使BF＝AB，依次连接DE，EF，FD，则阴影部分的面积为（ B ）.A. 3 B. 6 C. 9 D. 12B8. （教材第94页第14题）如图所示，在△ABC中，∠A＝62°，∠B＝74°，CD是∠ACB的平分线，点E在AC上，且DE∥BC，求∠CDE的度数.解： 因为∠A＝62°，∠B＝ 74°，所以∠ACB＝180°－62°－74°＝44°.因为CD平分∠ACB，所以∠ACD＝∠DCB＝22°.因为DE∥BC，所以∠CDE＝∠DCB＝22°.9. 如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D.（1）若AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数；解：因为∠B＝40°，∠C＝60°，所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°.因为AE是∠BAC的平分线，所以∠EAC＝ ∠BAC＝ 40°.因为AD⊥BC，所以∠ADC＝90°，所以∠DAC＝90°－∠C＝30°，所以∠DAE＝∠EAC－∠DAC＝10°.9. 如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D.（2）若AE是BC边上的中线，△ABC的面积为12，CE＝3，求AD的长.解：因为AE是BC边上的中线，所以BC＝2CE＝6.因为△ABC的面积为12，所以 BC·AD＝12，所以BC·AD＝24，所以6AD＝24，所以AD＝4.参考答案【新课引入】解：（1）当AD⊥BC时，点D为垂足，线段AD是三角形的高线；（2）当点D为BC边的中点时，线段AD是三角形的中线.（3）当点D是∠BAC的平分线与BC边的交点时，∠BAD＝∠CAD，线段AD是三角形的角平分线.【新课导学】①垂线 ②一点【例1】 （1）BC BD AB （2）CE BF AD对点训练1 B③中点 ④重心【例2】（1）12（2）2对点训练2 （1）3 （2）5⑤平分线 ⑥一点【例3】 解：如图，∠C＝180°－∠BAC－∠B＝75°，因为AD平分∠BAC，所以∠DAC＝ ∠BAC＝30°，所以∠ADC＝180°－∠DAC－∠C＝180°－30°－75°＝75°.所以∠ADB＝180°－∠ADC＝180°－75°＝105°.对点训练3 解：因为CE平分∠ACD，所以∠DCA＝2∠DCE.因为∠DCE＝35°，所以∠DCA＝2∠DCE＝70°.因为AD为BC边上的高，所以∠ADB＝90°.在△ACD中，∠CAD＝180°－90°－70°＝20°.【随堂小测】1. B 2. 3.85 4.D 5.C 6.A 7.B8. 解： 因为∠A＝62°，∠B＝ 74°，所以∠ACB＝180°－62°－74°＝44°.因为CD平分∠ACB，所以∠ACD＝∠DCB＝22°.因为DE∥BC，所以∠CDE＝∠DCB＝22°.9. 解： （1）因为∠B＝40°，∠C＝60°，所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°.因为AE是∠BAC的平分线，所以∠EAC＝ ∠BAC＝ 40°.因为AD⊥BC，所以∠ADC＝90°，所以∠DAC＝90°－∠C＝30°，所以∠DAE＝∠EAC－∠DAC＝10°.（2）因为AE是BC边上的中线，所以BC＝2CE＝6.因为△ABC的面积为12，所以 BC·AD＝12，所以BC·AD＝24，所以6AD＝24，所以AD＝4.(共18张PPT)第四章 三角形4 利用三角形全等测距离在实际生活中，我们会经常遇到测量距离的问题，其中一些不能直接测量或者不容易直接测量的问题，就需要借助工具和科学手段.结合本章我们学习的三角形全等的性质与判定，你能否将不易测量的距离转化成方便测量的距离来解决呢？解：因为全等三角形的对应边相等，可以通过构建全等三角形，将测量一条不易测量的线段长度的问题转化为测量对应三角形中易测量的对应边长的问题，从而实现问题的转化. 利用三角形全等测距离利用已知条件构造出两个① ，根据全等三角形的性质，将不可直接测量的距离转化为② ，解决实际问题.全等三角形可测量的距离【例】（根据教材第110页材料改编）一位经历过战争的老战士讲述了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望.为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离，一个战士想出来这样的办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子；他转过一个角度，这时视线落在了自己所在岸的某一点上，这个距离就是他与碉堡间的距离.将这位战士看成一条线段，碉堡看成一点，示意图如图.下面是彤彤同学写出的不完整的已知和求证，请你补全已知和求证，并完成证明.已知：如图3，AB⊥CD， .求证： .∠ABC＝∠ABDAD＝AC证明：因为AB⊥CD，所以∠BAD＝∠BAC.在△ABD与△ABC中，所以△ABD≌△ABC（ASA），所以AD＝AC.（教材第112页第2题）如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇.他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点，然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点.那么C，D两点间的距离就是在A点处小明与游艇的距离.请你用学过的数学知识说明其中的道理.解：在△ABS和△CBD中，所以△ABS≌△CBD（ASA），所以AS＝CD，即C，D两点间的距离就是在A点处小明与游艇的距离.1. （2025·坪山区期末）如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点A和B，在岸边标记目标点C，D，使AC＝CD，并利用测角仪测得∠BAC＝∠EDC＝90°.此时，利用三角形全等的性质，测量DE长度即可得到河宽.要说明两个三角形全等最恰当的理由是（ B ）.A. SSS B. ASA C. SSA D. SASB2. 如图，亮亮想测量某湖A，B两点之间的距离，他选取了可以直接到达点A，B的一点C，连接CA，CB，并作BD∥AC，截取BD＝AC，连接CD，他说，根据三角形全等的判定定理，可得△ABC≌△DCB，所以AB＝CD，他用到三角形全等的判定定理是 .SAS3. （2025·深圳中学期末）如图，为了测量B点到河对岸的目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝30°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝65°，∠MCB＝30°，测得MB的长是20米，BC的长是30米，则A，B两点间的距离为（ C ）.A. 10米 B. 15米 C. 20米 D. 30米C4. （2025·福田区期末）如图是一段双向等宽道路，点A，B是马路两边正对面的两个公交站牌，点E是隔离带EF中的一个花坛，AC∥BD∥EF. 小田所在点C，学校门口D和花坛E在同一条直线上.小田测量出点A，C之间的距离是18 m，就可知道学校门口D与公交站牌B之间的距离为18 m.此方案的依据是（ B ）.A. SSS B. ASA C. SSA D. SASB5. 某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度.他们是这样做的：①在河流的岸边点B处，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直行15 m处有一棵树C，继续前行15 m到达点D处；③从点D处沿与河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时，停止行走；④测得DE的长为10 m.根据测量数据求河的宽度.解：河流的两岸是平行的，由题意得AB⊥BC，DE⊥BC，BC＝CD＝15，所以∠ABC＝∠EDC＝90°.在△ABC和△EDC中，所以△ABC≌△EDC（ASA），所以AB＝DE.因为DE的长为10 m，所以AB＝DE＝10 m.答：河宽为10 m.参考答案【新课引入】解：因为全等三角形的对应边相等，可以通过构建全等三角形，将测量一条不易测量的线段长度的问题转化为测量对应三角形中易测量的对应边长的问题，从而实现问题的转化.【新课导学】①全等三角形 ②可测量的距离【例】 解：已知：如题图3，AB⊥CD，∠ABC＝∠ABD.求证：AD＝AC.证明：因为AB⊥CD，所以∠BAD＝∠BAC.在△ABD与△ABC中，所以△ABD≌△ABC（ASA），所以AD＝AC.对点训练 解：在△ABS和△CBD中，所以△ABS≌△CBD（ASA），所以AS＝CD，即C，D两点间的距离就是在A点处小明与游艇的距离.【随堂小测】1. B 2.SAS 3.C 4.B 5. 解：河流的两岸是平行的，由题意得AB⊥BC，DE⊥BC，BC＝CD＝15，所以∠ABC＝∠EDC＝90°.在△ABC和△EDC中，所以△ABC≌△EDC（ASA），所以AB＝DE.因为DE的长为10 m，所以AB＝DE＝10 m.答：河宽为10 m.(共21张PPT)第四章 三角形2 全等三角形在生活中，我们会看到完全一样的图形，如果把它们叠在一起，它们就能够完全重合.观察下图，你能指出它们的对应点、对应边和对应角吗？解：对应点： 点A和点D、点B和点E、点C和点F；对应边： 边AB和边DE、边BC和边EF、边AC和边DF；对应角： ∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F.1 全等三角形能够① 的两个三角形叫作全等三角形.如图，△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF.注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在② 上.完全重合对应的位置【例1】以下四个选项中的图形前后发生了变化，变化前后不是全等图形的一对是（ C ）.C如图所示，将△ABC沿AC对折，点B与点E重合，则全等的三角形有（ C ）.A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对C2 全等三角形的性质全等三角形的③ 相等，④ 相等.【例2】（根据教材第97页第1题改编）如图，已知△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，求∠AEB的度数.对应边对应角解：因为△OAD≌△OBC，所以∠D＝∠C＝25°.因为∠O＋∠D＋∠OAD＝180°，∠OAD＋∠CAE＝180°，所以∠CAE＝∠O＋∠D＝95°，同理，∠AEB＝∠C＋∠CAE＝25°＋95°＝120°.（1）如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝80°，∠C＝35°，∠EAC＝40°，则∠DAC＝ .25°（2）如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点，如果AB＝8 cm，BD＝7 cm，AD＝6 cm，那么BC的长是 .6 cm1. 下列说法正确的是（ C ）.A. 全等三角形是指形状相同的三角形B. 全等三角形是指面积相等的两个三角形C. 全等三角形的周长和面积相等D. 所有等边三角形是全等三角形C2. 如图，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A＝110°，∠B＝40°，则∠C1＝（ A ）.A. 30° B. 110° C. 40° D. 50°A3. 已知△ABC≌△ADE，如果AB＝3 cm，BC＝6 cm，AC＝7 cm，那么DE的长是（ A ）.A. 6 cmB. 5 cmC. 7 cmD. 无法确定A4. （教材第96页随堂练习1改编）如图，△AOD≌△BOC. 其中，（1）相等的角有： ；（2）相等的边有： .∠A＝∠B，∠D＝∠C，∠AOD＝∠BOCOD＝OC，OA＝OB，AD＝BC5. （2025·龙岗区沙湾中学期中）如图，已知△ACE≌△DBF，下列结论中正确的个数是（ C ）.①AC＝DB；②AB＝DC；③∠1＝∠2；④AE∥DF；⑤S△ACE＝S△DFB；⑥BC＝AE.A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个C6. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是CD上的一点.若△BDE≌△CDA，AB＝14，AC＝10，则△BDE的周长为（ C ）.A. 20 B. 23 C. 24 D. 26C7. （2025·福田外国语学校期中）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB边上，DE与AC交于点F.（1）若AE＝9，BC＝13，求线段DE的长；解：因为△ABC≌△DEB，所以BC＝EB，AB＝DE.因为 BC＝13，所以EB＝13.因为 AE＝9，所以AB＝AE＋EB＝9＋13＝22，所以DE＝22.7. （2025·福田外国语学校期中）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB边上，DE与AC交于点F.（2）若∠A＝37°，∠DBE＝50°，求∠EFC的度数.解：因为△ABC≌△DEB，所以∠D＝∠A＝37°，所以∠DEB＝180°－∠D－∠DBE＝180°－37°－50°＝93°，所以∠AEF＝180°－∠DEB＝180°－93°＝87°，所以∠AFE＝180°－∠A－∠AEF＝180°－37°－87°＝56°，所以∠EFC＝180°－∠AFE＝180°－56°＝124°.参考答案【新课引入】解：对应点： 点A和点D、点B和点E、点C和点F；对应边： 边AB和边DE、边BC和边EF、边AC和边DF；对应角： ∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F.【新课导学】①完全重合 ②对应位置【例1】 C对点训练1 C③对应边 ④对应角【例2】 解：因为△OAD≌△OBC，所以∠D＝∠C＝25°，所以∠CAE＝∠O＋∠D＝95°，所以∠AEB＝∠C＋∠CAE＝25°＋95°＝120°.对点训练2 （1）25° （2）6 cm【随堂小测】1. C 2.A 3.A4. （1）∠A＝∠B，∠D＝∠C，∠AOD＝∠BOC（2）OD＝OC， OA＝OB，AD＝BC5. C6. 2.4或2所以BC＝EB，AB＝DE.因为 BC＝13，所以EB＝13.因为 AE＝9，所以AB＝AE＋EB＝9＋13＝22，所以DE＝22.7. 解：（1）因为△ABC≌△DEB，（2）因为△ABC≌△DEB，所以∠D＝∠A＝37°，所以∠DEB＝180°－∠D－∠DBE＝180°－37°－50°＝93°，所以∠AEF＝180°－∠DEB＝180°－93°＝87°，所以∠AFE＝180°－∠A－∠AEF＝180°－37°－87°＝56°，所以∠EFC＝180°－∠AFE＝180°－56°＝124°.(共19张PPT)第四章 三角形1 认识三角形第2课时 三角形的三边关系观察右图，你能猜想它们各自的边长之间有什么关系吗？解：有的三角形三边各不相等，有的三角形有两边相等，有的三角形三边都相等.1 三角形的三边关系三角形的任意两边之和① 第三边；三角形的任意两边之差② 第三边.【例1】（1）（2025·福田区外国语学校期中）小敏同学想用三根木棍做一个置物架支架，现有以下长度的木棍（单位：dm），她能成功拼成三角形支架的是（ C ）.A. 4，5，10 B. 6，7，13C. 2，2，3 D. 1，3，5大于小于C【例1】（2）（2025·龙岗区期末）已知一个三角形的边长均为整数，且其中两条边长分别为3 cm和5 cm，则第三边的长度可能是 cm.（写出满足条件的一个答案即可）（1）（2025·蛇口育才教育集团期中）下列长度的三条线段首尾相接能构成三角形的是（ B ）.A. 1，2，3 B. 3，4，5C. 2，4，6 D. 3，3，8（2）（2025·福田区期末）某款自行车的三角形车架中，有两根钢架长分别为5分米和8分米，则第三根的长可能是（ B ）.A. 3分米 B. 9分米 C. 13分米 D. 15分米3（答案不唯一）BB2 等腰三角形的边长和周长有两边相等的三角形叫作③ .如图，在等腰△ABC中，腰是④ ，底边是⑤ ，底角是⑥ ，顶角是⑦ .⑧ 的三角形是等边三角形.等腰三角形AB，ACBC∠B，∠C∠A三边都相等【例2】已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为 .已知等腰三角形的两边长分别为3和4，则周长为 .910或113 三角形按边分类三角形按边分类，可分为⑨ ，⑩ ；特别地，等边三角形是特殊的 .【例3】下列说法：①三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；②等边三角形一定是等腰三角形；③有两边相等的三角形一定是等腰三角形.其中正确的有（ B ）.A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个不等边三角形等腰三角形等腰三角形B△ABC的三边满足关系式：（a－b）·（b－c）·（a－c）＝0，则这个三角形一定是（ A ）.A. 等腰三角形 B. 等边三角形C. 等腰直角三角形 D. 无法确定A1. 下列长度的线段能组成三角形的是（ D ）.A. 2，3，5 B. 4，6，10C. 2，4，6 D. 3，5，7D2. 将周长为12 cm的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（ C ）.C3. 已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则第三边长为 .4. 如图所示，图中A部分表示 .8等边三角形5. （2025·深圳实验学校期中）设a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足｜a－5｜＋｜2－b｜＝0，求该三角形的周长.解：因为｜a－5｜＋｜2－b｜＝0，所以a－5＝0，2－b＝0，所以a＝5，b＝2.分两种情况：（1）当2为底边长时，腰长为5，因为2＋5＞5，所以能组成三角形，此时三角形的周长为5＋5＋2＝12；（2）当5为底边长时，腰长为2，因为2＋2＜5，所以不能组成三角形.综上可知，此三角形的周长为12.6. 如图，用五个螺丝将五条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为1，2，3，4，5，且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝距离的最大值为 .77. 若a，b，c为△ABC的三边长，化简：｜－a－b＋c｜＋2｜a－b＋c｜－｜b－a－c｜.解：由三角形三边关系定理，得a＋b＞c，a＋c＞b，｜－a－b＋c｜＋2｜a－b＋c｜－｜b－a－c｜＝｜c－（a＋b）｜＋2｜a＋c－b｜－｜b－ （a＋c）｜＝a＋b－c＋2（a＋c－b）－（a＋c－b）＝a＋b－c＋2a＋2c－2b－a－c＋b＝2a.参考答案【新课引入】解：有的三角形三边各不相等，有的三角形有两边相等，有的三角形三边都相等.【新课导学】①大于 ②小于【例1】（1）C （2）3（答案不唯一）对点训练1 （1）B （2）B③等腰三角形④AB，AC⑤BC⑥∠B，∠C⑦∠A⑧三边都相等【例2】 9对点训练2 10或11⑨不等边三角形⑩等腰三角形 等腰三角形【例3】 B对点训练3 A【随堂小测】1. D 2.C 3.8 4.等边三角形5. 解：因为｜a－5｜＋｜2－b｜＝0，所以a－5＝0，2－b＝0，所以a＝5，b＝2.分两种情况：（1）当2为底边长时，腰长为5，因为2＋5＞5，能组成三角形，此时三角形的周长为5＋5＋2＝12；（2）当5为底边长时，腰长为2，因为2＋2＜5，不能组成三角形.综上可知，此三角形的周长为12.6.77. 解：由三角形三边关系定理，得a＋b＞c，a＋c＞b，｜－a－b＋c｜＋2｜a－b＋c｜－｜b－a－c｜＝｜c－（a＋b）｜＋2｜a＋c－b｜－｜b－ （a＋c）｜＝a＋b－c＋2（a＋c－b）－（a＋c－b）＝a＋b－c＋2a＋2c－2b－a－c＋b＝2a.(共20张PPT)第四章 三角形3 探索三角形全等的条件第1课时 利用“边边边”判定三角形全等要画一个三角形，使它与下图中的三角形全等，你会怎么画？（1）要画一个与已知三角形全等的三角形，至少需要几个与边或角的大小有关的条件？解：要画一个三角形，使它与题图中的三角形全等，就是要三组对应边相等且三组对应角相等.（1）要画一个与已知三角形全等的三角形，至少需要3个与边或角的大小有关的条件；要画一个三角形，使它与下图中的三角形全等，你会怎么画？（2）只给一个条件（一条边或一个角）可以吗？解：只给一个条件（一条边或一个角）不可以；（3）给出两个条件画三角形时，有哪几种可能的情况？每种情况下画出的三角形一定全等吗？请你试一试.解：给出两个条件画三角形时，有两边、两角、一边一角3种情况，每种情况下画出的三角形不一定全等.1 全等三角形的判定（SSS）① 分别相等的两个三角形全等.几何语言：在△ABC与△DEF中，所以△ABC≌△DEF②（ SSS ）.三边SSS【例1】（教材第100页随堂练习1 改编）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线.（1）△ABD与△ACD全等吗？为什么？解：全等.理由：因为AD是BC边上的中线，所以BD＝CD.在△ABD和△ACD中，所以△ABD≌△ACD（SSS）.【例1】（教材第100页随堂练习1 改编）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线.（2）AD⊥BC吗？为什么？解：AD⊥BC，理由：由（1）得，∠ADB＝∠ADC，因为∠ADB＋∠ADC＝180°，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，所以AD⊥BC.如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：△ABC≌△DEF.证明：因为BE＝CF，所以BC＝EF.在△ABC和△DEF中，所以△ABC≌△DEF（SSS）.2 三角形的稳定性只要三角形三条边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这个性质称为三角形的稳定性.【例2】（2025·福田实验教育集团期中）如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（ B ）.BA. 两点之间，线段最短B. 三角形具有稳定性C. 三角形两边之和大于第三边D. 垂线段最短空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是 .三角形的稳定性1. 如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆AB＝AC，点E，F分别为AB，AC的中点，ED，FD是连接立杆和支撑杆的支架，且ED＝FD. 立杆在伸缩过程中，总有△AED≌△AFD，其判定依据是 .SSS2. 请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的示意图.请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是 .SSS3. 如图，C是BD的中点，AB＝ED，AC＝EC. 求证：△ABC≌△EDC.证明：因为C是BD的中点，所以BC＝DC.在△ABC和△EDC中，所以△ABC≌△EDC（SSS）.4. 如图，E是AC上一点，BC＝CE，BC＋AE＝DE，AB＝CD，求证：△ABC≌△DCE.证明：因为BC＝CE，BC＋AE＝DE，所以CE＋AE＝DE，所以AC＝DE.在△ABC和△DCE中，所以△ABC≌△DCE（SSS）.5. 如图所示，四边形木架ABDC中，AB＝BD，AC＝DC.（1）为使木架不易变形，你会如何操作？依据的数学原理是什么？解：在B，C或A，D两端固定一个木条，根据：三角形具有稳定性.（2）若连接BC，试说明BC平分∠ABD.解：因为AB＝DB，AC＝DC，BC＝BC，所以△ABC≌△DBC（SSS），所以∠ABC＝∠DBC，所以BC平分∠ABD.参考答案【新课引入】解：要画一个三角形，使它与题图中的三角形全等，就是要三组对应边相等且三组对应角相等.（1）要画一个与已知三角形全等的三角形，至少需要3个与边或角的大小有关的条件；（2）只给一个条件（一条边或一个角）不可以；（3）给出两个条件画三角形时，有两边、两角、一边一角3种情况，每种情况下画出的三角形不一定全等.①三边 ②SSS【例1】 解：（1）全等.理由：因为AD是BC边上的中线，所以BD＝CD.在△ABD和△ACD中，所以△ABD≌△ACD（SSS）.【新课导学】（2）AD⊥BC，理由：由（1）得，∠ADB＝∠ADC，因为∠ADB＋∠ADC＝180°，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，所以AD⊥BC.对点训练1 证明：因为BE＝CF，所以BC＝EF.在△ABC和△DEF中，所以△ABC≌△DEF（SSS）.【例2】 B对点训练2 三角形的稳定性【随堂小测】1. SSS 2.SSS3. 证明：因为C是BD的中点，所以BC＝DC.在△ABC和△EDC中，所以△ABC≌△EDC（SSS）.4. 证明：因为BC＝CE，BC＋AE＝DE，所以CE＋AE＝DE，所以AC＝DE.在△ABC和△DCE中，所以△ABC≌△DCE（SSS）.5. 解：（1）在B，C或A，D两端固定一个木条，根据：三角形具有稳定性.（2）因为AB＝DB，AC＝DC，BC＝BC，所以△ABC≌△DBC（SSS），所以∠ABC＝∠DBC，所以BC平分∠ABD.(共20张PPT)第四章 三角形微专题五 判定三角形全等的思路归纳类型1 已知两边对应相等，寻找第三边相等，用“SSS”1. 如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等，下面的4个条件：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（ A ）.A. ①或② B. ②或③C. ①或③ D. ①或④A2. 如图，点B，E，F，C在同一直线上，点A，D为线段BC上方两点，连接AB，DC，AF，DE，AF与DE交于点O，AB＝CD，BE＝CF，AF＝DE. 求证：OA＝OD.证明：因为BE＝CF，所以BE＋EF＝CF＋EF，所以BF＝CE. 在△DCE和△ABF中，因为所以△DCE≌△ABF（SSS），所以∠DEC＝∠AFB，即∠OEF＝∠OFE.过点O作∠EOF的平分线交EF于点H，则∠EOH＝∠FOH.又因为∠OEF＝∠OFE，OH＝OH，所以△OEH≌△CFH（AAS），所以OE＝OF.又AF＝DE，所以AF－OF＝DE－OE，即OA＝OD.类型2 已知两边对应相等，寻找夹角相等，用“SAS”3. 如图，在等腰三角形ABE中，AB＝AE，点D为AE右侧一点，连接AD，BD，DE，点C是BD上一点，连接AC，AC＝AD. 若∠BAE＝∠CAD，∠1＋∠2＋∠3＝100°，则∠3的度数为（ C ）.A. 60° B. 55° C. 50° D. 45°C4. 如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD，AG.求证：（1）AD＝AG；证明：因为AF⊥GC，BE⊥AC，所以∠AFG＝∠AFC＝∠BEA＝90°，所以∠CAF＋∠ACF＝90°，∠CAF＋∠ABE＝90°，所以∠ACF＝∠ABE.在△AGC和△DAB中，所以△AGC≌△DAB（SAS），所以AD＝AG.4. 如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD，AG.求证：（2）AD⊥AG.证明：因为△AGC≌△DAB（SAS），所以∠G＝∠BAD.因为∠AFG＝90°，所以∠G＋∠GAF＝90°，所以∠BAD＋∠GAF＝90°，所以∠GAD＝90°，所以AD⊥AG.类型3 已知两角对应相等，寻找夹边相等用“ASA”，寻找一角的对边相等用“AAS”5. 如图，AB＝AC，添加下列条件，仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ D ）.A. ∠B＝∠C B. ∠AEB＝∠ADCC. AE＝AD D. BE＝DCD6. 如图，点B，C，E，F共线，AB∥CD，∠A＝∠D，BF＝CE. 求证：△ABE≌△DCF.证明：因为AB∥CD，所以∠B＝∠C.因为BF＝CE，所以BF＋EF＝CE＋EF，即BE＝CF.在△ABE和△DCF中，因为∠B＝∠C，∠A＝∠D，BE＝CF，所以△ABE≌△DCF（AAS）.类型4 已知一边一角对应相等，①寻找另一角对应相等，用“AAS”或“ASA”；②寻找夹该角的另一边对应相等，用“SAS”7. 如图，点B，D，C，F在同一条直线上，AB＝EF，∠B＝∠F，补充下列一个条件后，不能判定△ABC与△EFD全等的是（ D ）.A. ∠A＝∠E B. AC∥DEC. BD＝CF D. AC＝DED8. 如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D.（1）尺规作图：在AC上求作一点E，使∠ADE＝∠ADB，交AC于点E（不要求写作法，保留作图痕迹），作图依据是 ；（提示：SSS，SAS，ASA，AAS）解：如图，点E为所求作，作图依据是SSS.SSS8. 如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D.（2）求证：△ABD≌△AED；证明：因为AD平分∠BAC，所以∠DAB＝∠DAE.在△ABD和△AED中，所以△ABD≌△AED（ASA）.8. 如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D.（3）已知AB＝9，△CDE的周长为15，求△ABC的周长.解：由（2）可知△ABD≌△AED，所以BD＝DE，AB＝AE＝9.因为△CDE的周长为15，所以CD＋DE＋CE＝15，所以CD＋BD＋CE＝BC＋CE＝15，所以△ABC的周长＝AB＋BC＋CE＋AE＝9＋15＋9＝33.参考答案1. A 2.证明：因为BE＝CF，所以BE＋EF＝CF＋EF，所以BF＝CE. 在△DCE和△ABF中，因为所以△DCE≌△ABF（SSS），所以∠DEC＝∠AFB，即∠OEF＝∠OFE.过点O作∠EOF的平分线交EF于点H，则∠EOH＝∠FOH.又因为∠OEF＝∠OFE，OH＝OH，所以△OEH≌△CFH（AAS），所以OE＝OF.又AF＝DE，所以AF－OF＝DE－OE，即OA＝OD.3. C4. 证明：（1）因为AF⊥GC，BE⊥AC，所以∠AFG＝∠AFC＝∠BEA＝90°，所以∠CAF＋∠ACF＝90°，∠CAF＋∠ABE＝90°，所以∠ACF＝∠ABE.在△AGC和△DAB中，所以△AGC≌△DAB（SAS），所以AD＝AG.（2）因为△AGC≌△DAB（SAS），所以∠G＝∠BAD.因为∠AFG＝90°，所以∠G＋∠GAF＝90°，所以∠BAD＋∠GAF＝90°，所以∠GAD＝90°，所以AD⊥AG.5. D所以∠B＝∠C.因为BF＝CE，所以BF＋EF＝CE＋EF，即BE＝CF.在△ABE和△DCF中，因为∠B＝∠C，∠A＝∠D，BE＝CF，所以△ABE≌△DCF（AAS）.7. D8. （1）解：如图，点E为所求作，作图依据是SSS.6. 证明：因为AB∥CD，（2）证明：因为AD平分∠BAC，所以∠DAB＝∠DAE.在△ABD和△AED中，所以△ABD≌△AED（ASA）.（3）解：由（2）可知△ABD≌△AED，所以BD＝DE，AB＝AE＝9.因为△CDE的周长为15，所以CD＋DE＋CE＝15，所以CD＋BD＋CE＝BC＋CE＝15，所以△ABC的周长＝AB＋BC＋CE＋AE＝9＋15＋9＝33. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 2 全等三角形.pptx 4 利用三角形全等测距离.pptx ★ 问题解决策略：特殊化.pptx 微专题五 判定三角形全等的思路归纳.pptx 微专题四 关于三角形内角和的练习题.pptx 章末复习.pptx 第1课时 三角形及其内角和.pptx 第2课时 三角形的三边关系.pptx 第3课时 三角形的高、中线和角平分线.pptx 第1课时 利用“边边边”判定三角形全等.pptx 第2课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等.pptx 第3课时 利用“边角边”判定三角形全等.pptx 第4课时 用尺规作三角形.pptx
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