资源简介

(共22张PPT)
3.平行线的证明
第2课时 平行线的性质
第八章 证明
学 习 目 标
1
2
掌握平行线的性质定理，会运用两条直线是平行关系判断角相等或互补.
了解性质定理和判定定理的联系，初步感受互逆的思维过程.
3
进一步理解证明的步骤、格式和方法，发展演绎推理能力.
情景引入
如图所示是马栏河，河上有两座桥：新华桥和光明桥．河的两岸是两条平行的公路：黄河路与高尔基路，某测量员在A点测得∠BAD=60°．如果你不通过测量，能否猜出∠ABC、∠ADC、∠DCB的度数是多少？
新知探究
两直线平行
1.同位角相等
2.内错角相等
3.同旁内角互补
问题 平行线的判定方法是什么？
思考 反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢
新知探究
问题1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”，你能作出相关的图形吗？
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？
已知：如图，直线 AB∥CD，∠1 和∠2 是直线 AB、CD 被直线 EF 所截得的同位角.
求证：∠1 =∠2.
新知探究
问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
文字语言
符号语言
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
新知探究
已知：如图，直线AB//CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线
EF截出的同位角.
求证：∠1 = ∠2.
如果∠1≠∠2，
AB与CD的位置关系会怎样呢？
A
C
E
2
1
B
F
D
M
N
G
H
证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过M点作直线GH，使∠EMH =∠2，如图所示.
根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH∥CD.
又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2.
新知探究
定理 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
①文字简述：两直线平行，同位角相等.
②符号语言：
如图，AB∥CD（已知），
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.
A
C
E
2
1
B
F
D
M
N
典例分析
紧扣平行线的性质定理得出角的数量关系，进而证明角相等.
例1.如图，已知AE∥BC，∠B＝∠C， AE是∠DAC的平分线吗？若是，请写出证明过程；若不是，请说明理由.
解：AE是∠DAC 的平分线．
证明如下：∵AE∥BC(已知)，
∴∠DAE＝∠B(两直线平行，同位角相等)，
又∵∠B＝∠C(已知)，∴∠DAE＝∠CAE (等量代换)，
∴AE是∠DAC 的平分线（角平分线的定义）．
新知探究
利用上述定理，你能证明哪些熟悉的结论？
两直线平行，内错角相等.
两直线平行，同旁内角互补.
尝试来证明一下
新知探究
已知：如图，直线 l1∥l2，∠1和∠2是直线 l1 ， l2 被直线 l 截出的内错角.
求证：∠1=∠2.
l1
l2
l
1
2
3
证明：∵ l1∥l2（已知），
∴ ∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）.
∴ ∠1=∠2（等量代换）.
又∵ ∠2=∠3（对顶角相等），
新知探究
定理 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
①文字简述：两直线平行，内错角相等.
②符号语言：
如图，l1∥l2（已知），
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）.
l1
l2
l
1
2
新知探究
已知：如图，直线 l1∥l2，∠1 和∠2 是直线 l1，l2 被直线 l 截得的同旁内角.
求证：∠1 +∠2 = 180°.
证明：∵ l1∥l2 (已知)，
∴∠2 =∠3 (两条直线平行，同位角相等).
∵∠1 +∠3 = 180° (平角的定义)，
∴∠1 +∠2 = 180° (等量代换) .
l1
l2
3
2
1
l
新知探究
定理 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
l1
l2
l
1
2
①文字简述：两直线平行，同旁内角互补.
②符号语言：
如图，l1∥l2（已知），
∴∠1+∠2=180°
（两直线平行，同旁内角互补）.
新知探究
已知：如图，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线 d 截出的同位角.
求证：b∥c.
a
c
d
1
2
b
3
证明：∵b∥a（已知），
∴∠2=∠1（两直线平行，同位角相等）.
∵c∥a（已知），
∴∠3=∠1（两直线平行，同位角相等）.
∴∠2=∠3（等量代换）.
∴b∥c（同位角相等，两直线平行）.
新知探究
定理 平行于同一条直线的两条直线平行.
a
c
b
符号语言：
如图，b∥a，c∥a（已知），
∴ b∥c
（平行于同一条直线的两条直线平行）.
典例分析
通过 观察图形猜测这两条直线平行，然后利用已知条件、平行线的性质定理和判定定理进行证明 .
A
D
C
B
例3.如图所示，已知四边形ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC,试问∠A与∠C，∠B与∠D 的大小关系如何？
解：∠A= ∠ C, ∠B=∠D.
理由：∵AB∥CD （已知 ）,
∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补 ）.
又 ∵ AD∥BC （已知）,
∴∠C+∠D=180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）,
∴∠ B=∠D （ 同角的补角相等 ）.
同理 ∠A=∠C.
新知探究
回顾反思
证明命题的一般步骤：
①弄清题设和结论；
②根据题意画出相应的图形；
③根据题设和结论写出已知、求证；
④分析证明思路，写出证明过程.
新知探究
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
平行线的判定
平行线的性质
线的关系
角的关系
性质
角的关系
线的关系
判定
讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定有什么区别？
课堂小结
平行线的性质
性质定理
命题证明步骤
两直线平行，同位角相等
根据题意画出图形
根据题意写出已知及求证
写出证明过程
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
平行于同一条直线的两条直线平行
1.如图，CD//AB，点 O 在 AB 上，OE 平分∠BOD，OF⊥OE，∠D=110°，则∠AOF 的度数是（ ）
A.20° B.25° C.30° D.35°
变式训练
D
变式训练
2.如图，在 ABC中，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，AC//ED，CE是∠ACB的平分线，则∠EDF=∠BDF，请说明理由.
解：∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴DF//EC .
∴∠BDF=∠1， ∠EDF=∠3.
∵ED//AC， ∴∠3=∠2 ，
∴∠EDF=∠2.
又CE平分∠ACB ，
∴∠1=∠2 ，
∴∠BDF=∠EDF.

展开更多......

收起↑