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1.为什么要证明
第八章 证明
学 习 目 标
1
2
了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，必须进行推理．（重点）
会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论是否正确．（难点）
情景引入
平行线:不敢相信图中的横线是平行的,不过它们就是平行线!
你觉得观察得到的结论正确吗？
新知探究
以前，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论. 观察、实验、 归纳得到的结论一定正确吗？我们再感受几个！
(1)图1中两条线段a, b的长度相等吗？图2中的四边形是正方形吗？请你先观察，再设法检验你观察到的结论.
图1
图2
新知探究
(2)如图3,把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一致，并与同伴进行交流.
别太信任你的眼睛和直觉哟！
图3
解：设赤道周长为c，铁丝与地球赤道之间的间隙为：
它们的间隙能放进一个拳头。
新知探究
1.许多猜想的结论，数学上的一些结论以及数学之外的其他事实，
应当追其缘由，推理证明是非常必要的．
(1)要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是
不够的，必须进行有根有据的证明．
(2)没有经过严格的推理，仅由若干特例归纳得出的结论可能潜藏
着错误．
(3)要肯定一个结论是正确的，必须通过一步一步推理论证才行.
归纳总结
新知探究
归纳总结
(1)直觉有时会产生错误，不是永远可信的；
(2)图形的性质并不都是通过测量得出的；
(3)少数具体例子的观察、测量或计算得出的结论，并不能保证一般情况下都成立；
(4)只有通过推理的方法研究问题，才能揭示问题的本质．
新知探究
尝试思考
探究一 代数式 n2 - n + 11 的值是质数吗？取 n = 0，1，2，3，……，10 试一试，你能否由此得到结论：对于所有的自然数n，n2 -n +11的值都是质数？
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n2-n+11
质数/合数
11
11
13
17
23
31
41
53
67
83
101
质数
质数
质数
质数
质数
质数
质数
质数
质数
质数
质数
当 n = 11 时，n2 - n + 11 的值为 121 = 112，
所以，对于所有自然数 n，n2 - n + 11 的值未必都是质数.
新知探究
费 马
对于所有自然数 n，
的值都是质数
当 n = 0，1，2，3，4 时，
= 3，5，17，257，65 537
都是质数.
欧 拉
当 n = 5 时，
= 4 294 967 297
= 641×6 700 417.
举出反例是检验错误数学结论的有效方法.
新知探究
探究二 如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，连接 DE. DE 与 BC 有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想.
A
D
E
B
C
位置关系：DE∥BC
数量关系：
验证方法：测量推理
测量得出的几何结论不一定正确
你能肯定你的结论对所有的 △ABC 都成立吗？与同伴进行交流.
新知探究
归纳总结
要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明.
常用的证明方法：实验验证、举出反例、推理证明.
典例分析
先观察得出结论，再实验验证 . 观察事物不能依靠直觉，依靠直觉认识事物，可能正确，也可能不正确，关键是参照物会给人错觉，只需动手利用刻度尺、三角板等测量工具实际测量验证即可 .
例1.先观察再验证．
(1)图①中实线是直的还是弯曲的？
(2)图②中两条线段a与b哪一条更长？
(3)图③中的直线AB与直线CD平行吗？
典例分析
先观察得出结论，再实验验证 . 观察事物不能依靠直觉，依靠直觉认识事物，可能正确，也可能不正确，关键是参照物会给人错觉，只需动手利用刻度尺、三角板等测量工具实际测量验证即可 .
解：观察可能得出的结论是：
(1)实线是弯曲的；
(2)a更长一些；
(3)AB与DC不平行．
而我们用科学的方法验证后发现：
(1)实线是直的；
(2)a与b一样长；
(3)AB平行于CD.
典例分析
先观察得出结论，再实验验证 . 观察事物不能依靠直觉，依靠直觉认识事物，可能正确，也可能不正确，关键是参照物会给人错觉，只需动手利用刻度尺、三角板等测量工具实际测量验证即可 .
例2.如图，从点 O 出发作出四条射线 OA、OB、OC、OD，已知 OA⊥OC，OB⊥OD.
(1) 若∠BOC＝30°，求∠AOB 和∠COD 的度数；
(2) 若∠BOC＝54°，求∠AOB 和∠COD 的度数；
(3) 由 (1)、(2) 你发现了什么？
(4) 你能肯定上述发现吗？
典例分析
本题只要紧扣题目中的条件推理验证结论是否正确即可 .
例2.如图，从点 O 出发作出四条射线 OA、OB、OC、OD，已知 OA⊥OC，OB⊥OD.
(1) 若∠BOC＝30°，求∠AOB 和∠COD 的度数；
(2) 若∠BOC＝54°，求∠AOB 和∠COD 的度数；
解：(1) 因为 OA⊥OC，OB⊥OD，
所以∠AOC＝∠BOD＝90°.
所以∠BOC＝30°，
所以∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－30°＝60°，
∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－30°＝60°.
(2)∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－54°＝36°，
∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－54°＝36°.
典例分析
例2.如图，从点 O 出发作出四条射线 OA、OB、OC、OD，已知 OA⊥OC，OB⊥OD.
(3) 由 (1)、(2) 你发现了什么？
(4) 你能肯定上述发现吗？
解：(3) 发现∠AOB＝∠COD.
(4) 因为∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝90°，
∠COD＋∠BOC＝∠BOD＝90°，
所以∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC.
所以∠AOB＝∠COD.
本题只要紧扣题目中的条件推理验证结论是否正确即可 .
课堂小结
为什么要证明
怎么证
实验验证
举出反例
推理证明
观察直觉不可靠
归纳说理不全面
实验测量有误差
1. 下列结论中你能肯定的是（ ）
A. 今天下雨，明天必然还下雨
B. 三个连续整数的积一定能被 6 整除
C. 小明在数学竞赛中一定能获奖
D. 两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人
变式训练
B
变式训练
3.在学习中， 小明发现：n＝1，2，3 时，n2－6n的值都是负数. 于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2－6n的值都是负数. 小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由.
解：不正确．
理由：当n＝7时，n2－6n＝7＞0.

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