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单元复习课件
第八章 证明
学习内容导览
单元知识图谱
2
单元复习目标
1
3
考点串讲
针对训练
5
题型剖析
4
6
课堂总结
体会观察、实验、归纳等方法的局限性,进一步感受证明的必要性;通过具体实例理解定义、命题、定理的含义,会准确的区分命题的条件和结论,知道如何利用反例可以判断一个命题是错误的;初步感悟公理化思想,以及公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值。
01
回顾对顶角定理、平行线的判定定理和性质定理的证明过程,进一步掌握综合法证明的步骤、格式和方法,积累分析证明思路的经验,发展几何推理能力;初步养成重论据的思维习惯,在解决问题的过程中能进行有条理的思考和表达;能够克服困难,树立学好数学的信心。
02
一、定义与命题
1.定义：一般地，对名称或术语的含义加以描述，作出明确规定的句子，就叫做该名称或术语的定义。
2.命题：一般地，对某一件事情作出 的语句叫做命题。命题包含 。
常用句式：······叫做···
判断
条件和结论
常用句式：如果······，那么······
真命题： 的命题叫做真命题，
假命题： 的命题叫做假命题
公 理： 的叫做公理
定 理： 的命题叫做定理．
正确
不正确
公认的真命题
经过证明的真命题
一、定义与命题
3.九条基本事实：
①两点确定一条直线；
②两点之间线段最短；
③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
⑥两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
⑦两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；
⑧三边分别相等的两个三角形全等；
⑨两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。（未学）
一、定义与命题
4.证明：演绎推理的过程。
5.定理：同角（或等角）的补角相等
定理：同角（或等角）的余角相等
定理：三角形的两边之和大于第三边
定理：对顶角相等
数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据
二、平行线的证明
1.平行线的判定
平行线的 判定方法 图示 文字叙述 符号语言
判定公理 同位角 ,两直线 。 ∵∠1=∠2(已知),
∴a∥b
判定定理1 内错角相等,两直线 . ∵∠2=∠3,
∴a∥b.
判定定理2 同旁内角互补, 。 ∵∠4+∠2=180°,
∴a∥b.
平行于同一条的两直线平行
两直线平行
相等
平行
平行
二、平行线的证明
2.平行线的性质
平行线的性质 图示 文字叙述 符号语言
判定性质1 两直线 ， 同位角 ∵a∥b
∴∠1=∠2
判定性质2 两直线 ， 内错角 。 ∵a∥b
∴∠2=∠3
判定性质3 两直线 ， 同旁内角互补。 ∵a∥b
∴∠4+∠2=180°
相等
平行
相等
平行
平行
题型一、定义与命题
C
1.“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线” 这个语句是（ ）
A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题
2.下列语句中，是命题的是 ( )
A.直线AB和CD垂直吗 B.过线段AB的中点C画AB的垂线
C.同旁内角不互补，两直线不平行 D.连结A、B两点
3.已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直.其中，正确命题的个数为（ ）
A.0 B.1个 C.2个 D.3个
C
C
题型二、平行线的性质与判定的综合应用
A
1.给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）
A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行
C.同旁内角互补，两直线平行 D.两直线平行，同位角相等
2.用两个相同的三角板按照如图方式作平行线，能解释其中道理的依据是（　　）
A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行
C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两直线平行
B
题型二、平行线的性质与判定的综合应用
B
3.如图所示，不能判定AD∥BC的条件是（ ）．
A.∠2=∠3 B.∠1=∠4 C.∠DAB+∠ABC=180° D.∠ADC+∠BCD=180°
4. 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2＋∠4＝90°；④∠4＋∠5＝180°.其中正确的个数有( ) .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3题
4题
C
题型二、平行线的性质与判定的综合应用
5.请你在横线上填写适当的内容:如图,已知AB∥CD,∠A=∠C,则可推得AD∥BC。理由如下:
∵AB∥CD(已知),
∴∠A+∠D=180°(　　　　　　　 　　)。
∵∠A=∠C(已知),
∴∠C+∠D=180°(　　　 　)。
∴AD∥BC(　　　 　 　　　　　)。
同旁内角互补,两直线平行
两直线平行,同旁内角互补
等量代换
题型二、平行线的性质与判定的综合应用
6.已知：如图，直线a,b被直线c所截，a∥b。
求证：∠1+∠2=180°。
证明：∵a∥b（已知）
∴∠1+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠3=∠2（对顶角相等）
∴∠1+∠2=180°（等量代换）
题型二、平行线的性质与判定的综合应用
7.已知：如图，∠1+∠2=180° .求证：∠3=∠4.
证明：∵∠2=∠5（对顶角相等）
∠1+∠2=180°（已知）
∴∠1+∠5=180°（等量代换）
∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）
总结感悟
题型二、平行线的性质与判定的综合应用
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
线的关系
角的关系
性质
角的关系
线的关系
判定
题型二、平行线的性质与判定的综合应用
8(1)问题发现:如图1,直线AB∥CD,点E是AB与CD之间的一点,连接BE,CE,可以发现∠B+∠C=∠BEC.请把下面的证明过程补充完整:
证明:如图,过点E作EF∥AB.
∵AB∥DC(已知),EF∥AB(辅助线的作法),
∴EF∥DC(　　　　　　　　 　　　),
∴∠C=∠CEF( 　　　　　　　　　　).
∵EF∥AB,∴∠B=∠BEF(同上),
∴∠B+∠C= 　　　　　　(等量代换),
即∠B+∠C=∠BEC.
平行于同一直线的两直线平行
两直线平行,内错角相等
∠BEF+∠CEF
题型二、平行线的性质与判定的综合应用
(2)拓展探究:如果点E运动到图2所示的位置,其他条件不变,求证:∠B+∠C=360°-∠BEC.
证明:如图2,过点E作EF∥AB,
∵AB∥DC,
∴EF∥DC,
∴∠C+∠CEF=180°,∠B+∠BEF=180°,
∴∠B+∠C+∠BEC=360°,
∴∠B+∠C=360°-∠BEC
题型二、平行线的性质与判定的综合应用
(3)解决问题:如图3,AB∥DC,∠C=120°,∠AEC=80°,求∠A的度数.
(3)如图3,过点E作EF∥AB,
∵AB∥DC,
∴EF∥DC,
∴∠C+∠CEF=180°,∠A=∠AEF,
∵∠C=120°,
∴∠CEF=180°-120°=60°,
∵∠AEC=80°,
∴∠AEF=80°-60°=20°,
∴∠A=∠AEF=20°
方法技巧
题型二、平行线的性质与判定的综合应用
处理与平行线有关的问题时,如果图形中没有现成的三线八角,怎么办
破解之策是添加适当的辅助线,构造所需的三线八角,辅助线绝不是挖空心思的凭空想象,而是在分析到位状态下的“水到渠成”.
题型二、平行线的性质与判定的综合应用
∠P+∠A+∠C=360°
∠P=∠A+∠C
9.如图，AB//CD，分别探究下面四个图中∠P 与∠A，∠C之间的关系.
题型二、平行线的性质与判定的综合应用
解：∠APC+∠A=∠C.理由如下：
过点 P 作 PE//AB，则∠EPA+∠A=180°.
∵ ∠EPA=∠APC+∠1，
∴ ∠APC+∠1+∠A=180°，
∴ ∠APC+∠A=180°-∠1.
∵ AB//CD，∴ PE//CD，
∴ ∠1+∠C=180°，∴ ∠C= 180°-∠1.
∴ ∠APC+∠A=∠C.
E
1
题型二、平行线的性质与判定的综合应用
解：∠A=∠APC+∠C.理由如下：
过点 P 作 PE//AB，则∠1+∠A=180°.
∵ AB//CD，∴ PE//CD，
∴ ∠EPC+∠C=180°，即∠1+∠APC+∠C=180°，
∴ 180°-∠A+∠APC+∠C=180°.
∴ ∠A=∠APC+ ∠C.
E
1
(4)
总结感悟
题型二、平行线的性质与判定的综合应用
题型三、其他定理的应用
70
1．如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中OA＝OB， 若剪刀张开的角为40°， 则∠A＝　 　°．

2.如图,AB⊥CD于点O,直线EF过O点，∠AOE=65°,求∠DOF的度数.
B
A
C
D
F
E
O
解：
∵AB⊥CD，∴∠AOC=90°.
∵∠AOE=65°,
∴∠COE=25°.
又∵∠COE=∠DOF(对顶角相等），
∴∠DOF=25°.
题型三、其他定理的应用
3.如图．直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，OB平分∠ DOF，∠DOE=50°，求∠AOC、 ∠ EOF、 ∠ COF的度数．
解：∵AB⊥OE （已知），
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义).
∵∠DOE= 50° （已知），
∴ ∠DOB=40°(互余的定义).
∴∠AOC= ∠DOB=40°（对顶角相等）.
又∵OB平分∠DOF，
∴∠BOF= ∠DOB=40°（角平分线定义）.
∴∠EOF= ∠EOB+ ∠BOF=90°+40°=130°.
∴∠COF=∠COD－∠DOF=180°－80°=100°.
1.下列四个选项中,不是命题的是(　 　)
A.对顶角相等 B.作一个角等于已知角
C.三角形任意两边之差小于第三边 D.如果a=b,a=c,那么b=c
2.下列命题是真命题的是(　 　)
A.两直线被第三条直线所截,内错角相等 B.若ab>0,则a>0,b>0
C.同旁内角互补 D.若a∥b,c⊥a,则c⊥b
3.可以用来说明“a2A.a=4,b=3　　　　B.a=-1,b=2
C.a=2,b=-3　　　　D.a=-2,b=1
B
D
C

4.(2025洛阳期中)要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题,可举出一个反例:　　 　　　　　　。
5.“互为相反数的两个数相加得0”改写成“如果……,那么……”的形式为　 。
6.如图,直线l1∥l2,∠α=∠β,∠1=40°,则∠2=　　　。
70°

锐角是15°,钝角是100°(答案不唯一)
如果两个数互为相反数,那么这两个数相加得0
7.如图,这是路政工程车的工作示意图,工作篮底部与支撑平台平行.若∠1=35°,∠3=155°,则∠2的度数为(　 　)
A.50°　　　　B.60°　　　　C.65°　　　　D.55°
8.如图,已知∠1=∠2,AD∥EF,∠D=120°,CA平分∠DCB交EF于点G,有下列结论:①∠DCB=60°;②∠1=∠ACD;③∠AGF=∠D;④与∠1相等的角有2个.其中正确的有(　 　)
A.4个　　　　B.3个 C.2个　　　　D.1个

B
C

9.完成下面的证明:
如图,已知AB∥EF,EP⊥EQ,∠1+∠APE=90°,求证:AB∥CD.
证明:∵AB∥EF,
∴∠APE=　 　(　　　　　　 　　　　),
∵EP⊥EQ,
∴∠PEQ=　 　, 即∠2+∠3=90°,
∴∠APE+∠3=90°,
∵∠1+∠APE=90°,
∴∠1=　　(　　　　　　　　　　),
∴　　∥CD(　　　　 　　　　　　),
又∵AB∥EF,
∴AB∥CD(　 　　　　　　　　　).

∠2
两直线平行,内错角相等
90°
∠3
等量代换
EF
　内错角相等,两直线平行
平行于同一直线的两条直线互相平行


10.如图，MN，EF 表示两面互相平行的镜面，光线 AB 照射到镜面 MN 上，反射光线为 BC，此时∠1=∠2；光线 BC 经过镜面 EF 反射后的光线为 CD，此时∠3=∠4.试判断 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由.
解：AB//CD.理由如下：
∵ MN//EF(已知)，
∴ ∠2=∠3(两直线平行，内错角相等).
∵ ∠1=∠2，∠3=∠4(已知)，
∴ ∠1=∠2=∠3=∠4， ∴∠1+∠2=∠3+∠4.
∵ ∠ABC+∠1+∠2=180°，
∠BCD+∠3+∠4=180°(平角的性质)，
∴ ∠ABC=∠BCD(等量代换).
∴ AB//CD(内错角相等，两直线平行).
知识构建：证明
体会观察、实验、归纳等方法的局限性，进一步感受证明的必要性；掌握综合法证明的步骤、格式和方法，积累分析证明思路的经验，发展几何推理能力。
思想方法：
转化与化归思想：以基本事实作为证明的出发点和依据，将复杂的几何问题转化为基于公理和定理的推理过程。
数形结合思想：证明过程中需要在图形上找到对应关系，遵循“图形 - 文字 - 符号”三种语言的转换规则，将几何图形与数量关系相结合。
今天，我们都有哪些收获？快来说说吧.

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