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(共22张PPT)
第四章　三角形
★ 问题解决策略：特殊化
1. 如图，在周长为9的等边三角形ABC的内部有一点P，过点P作
PD∥AC，PE∥AB，PF∥BC，分别交三边于点D，E，F，则PD＋
PE＋PF等于（　D　）.
A. 9 B. 8 C. 4 D. 3
D
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解析：如图，延长DP交BC于点M，因为△ABC是等边三角形，
所以∠B＝60°.
因为PD∥AC，
所以∠DMB＝∠C＝60°，∠BDM＝∠A＝60°，∠PEM＝∠B＝60°，
所以△DBM是等边三角形，
所以DM＝MB.
因为∠MPE＝180°－60°－60°＝60°，
所以△PEM是等边三角形，
所以PM＝PE，
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所以DM＝PD＋PM＝PD＋PE，
所以BM＝PD＋PE.
因为PF∥BC，DM∥AC，
所以四边形PMCF是平行四边形，
所以MC＝PF，
所以PD＋PE＋PF＝BM＋MC＝BC.
因为等边△ABC的周长是9，
所以BC＝3，
所以PD＋PE＋PF＝3.
故选D.
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2. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，边BC上的高AD＝8，点
P为BC上一点，且PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F. 求PE＋PF的值.
解：如图，连接AP.
因为S△ABC＝S△ABP＋S△ACP，
所以 ×BC×AD＝ AB×PE＋ AC×PF，
所以 ×12×8＝ ×10×PE＋ ×10×PF，
所以5（PE＋PF）＝48，
所以PE＋PF＝9.6.
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3. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝a，点O为AC的
中点，EO⊥OF. 求：
（1）BE＋BF的值；
解：如图，连接OB，
因为在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点O为AC的中点，
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所以OB⊥AC，OB＝AO，∠EBO＝45°.
因为EO⊥OF，
所以∠AOE＋∠EOB＝∠BOF＋∠EOB＝90°，
所以∠AOE＝∠BOF. 在△AOE和△BOF中，
所以△AOE≌△BOF（ASA），
所以AE＝BF.
因为AB＝AE＋BE，
所以AB＝BF＋BE，
所以BF＋BE＝a.
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3. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝a，点O为AC的
中点，EO⊥OF. 求：
（2）四边形BEOF的面积.
解：因为△AOE≌△BOF，
所以四边形BEOF的面积＝△BEO的面积＋△AEO的面积＝△ABO的面积
＝ S△ABC＝ .
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4. 【问题情境】在学习课本“问题解决策略：特殊化”后，同学们以“正方
形的旋转”为主题开展活动.
数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形ABCD的中心O
处，如图1，绕点O旋转，直角三角板的两条直角边分别与BC，CD交于点
E，F.
【初步探究】猜想线段EC与DF的关系，并加以证明.
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解：【初步探究】EC＝DF. 证明如下：因为∠EOF＝90°，
所以∠EOC＋∠COF＝90°.
在正方形ABCD中，∠COD＝90°，
所以∠DOF＋∠COF＝90°，
所以∠EOC＝∠DOF.
在正方形ABCD中，∠CDO＝∠OCB＝45°，OC＝OD，
所以△DOF≌△COE（ASA），
所以EC＝DF.
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4. 【问题情境】在学习课本“问题解决策略：特殊化”后，同学们以“正方
形的旋转”为主题开展活动.
数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形ABCD的中心O
处，如图1，绕点O旋转，直角三角板的两条直角边分别与BC，CD交于点
E，F.
【类比探究】如图2，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，顶点A与
顶点E重合，将正方形EFGH绕点A按逆时针方向旋转，连接BF，DH. 试
猜想线段BF与DH的关系，并加以证明.
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解：【类比探究】BF＝DH. 证明如下：如图1，因为四边形ABCD和四边
形EFGH都是正方形，
所以AB＝AD，EF＝EH，∠BAD＝∠FEH＝90°，
所以∠BAD－∠DAF＝∠FEH－∠DAF，
所以∠BAF＝∠DEH，
所以△ABF≌△ADH（SAS），
所以BF＝DH.
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4. 【问题情境】在学习课本“问题解决策略：特殊化”后，同学们以“正方
形的旋转”为主题开展活动.
数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形ABCD的中心O
处，如图1，绕点O旋转，直角三角板的两条直角边分别与BC，CD交于点
E，F.
【拓展提升】如图3，将两个大小一样的正六边形按照一个正六边形的顶点
与另一个的中心重合的方式摆放.探究重叠部分的面积S1和一个正六边形面
积S2之间的数量关系，请求出探究结果.
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解：【拓展提升】如图2，连接OA，OB，
由题意得∠AOB＝120°，OA＝OB，∠OAM＝∠OBN＝60°.
因为∠MON＝120°，
所以∠AOM＝∠BON，
所以△AOM≌△BON（ASA），
所以重叠部分的面积S1＝四边形ACBO的面积＝ S2，即S1＝ S2.
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参考答案
1. D　解析：如图，延长DP交BC于点M，因为△ABC是等边三角形，
所以∠B＝60°.
因为PD∥AC，
所以∠DMB＝∠C＝60°，∠BDM＝∠A＝60°，∠PEM＝∠B＝60°，
所以△DBM是等边三角形，
所以DM＝MB.
因为∠MPE＝180°－60°－60°＝60°，
所以△PEM是等边三角形，
所以PM＝PE，
所以DM＝PD＋PM＝PD＋PE，
所以BM＝PD＋PE.
因为PF∥BC，DM∥AC，
所以四边形PMCF是平行四边形，
所以MC＝PF，
所以PD＋PE＋PF＝BM＋MC＝BC.
因为等边△ABC的周长是9，
所以BC＝3，
所以PD＋PE＋PF＝3.
故选D.
2. 解：如图，连接AP.
因为S△ABC＝S△ABP＋S△ACP，
所以 ×BC×AD＝ AB×PE＋ AC×PF，
所以 ×12×8＝ ×10×PE＋ ×10×PF，
所以5（PE＋PF）＝48，
所以PE＋PF＝9.6.
3. 解：（1）如图，连接OB，
因为在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点O为AC的中点，
所以OB⊥AC，OB＝AO，∠EBO＝45°.
因为EO⊥OF，
所以∠AOE＋∠EOB＝∠BOF＋∠EOB＝90°，
所以∠AOE＝∠BOF. 在△AOE和△BOF中，
所以△AOE≌△BOF（ASA），
所以AE＝BF.
因为AB＝AE＋BE，
所以AB＝BF＋BE，
所以BF＋BE＝a.
（2）因为△AOE≌△BOF，
所以四边形BEOF的面积＝△BEO的面积＋△AEO的面积＝△ABO的面积
＝ S△ABC＝ .
4. 解：【初步探究】EC＝DF. 证明如下：因为∠EOF＝90°，
所以∠EOC＋∠COF＝90°.
在正方形ABCD中，∠COD＝90°，
所以∠DOF＋∠COF＝90°，
所以∠EOC＝∠DOF.
在正方形ABCD中，∠CDO＝∠OCB＝45°，OC＝OD，
所以△DOF≌△COE（ASA），
所以EC＝DF.
【类比探究】BF＝DH. 证明如下：如图1，因为四边形ABCD和四边形
EFGH都是正方形，
所以AB＝AD，EF＝EH，∠BAD＝∠FEH＝90°，
所以∠BAD－∠DAF＝∠FEH－∠DAF，
所以∠BAF＝∠DEH，
所以△ABF≌△ADH（SAS），
所以BF＝DH.
【拓展提升】如图2，连接OA，OB，
由题意得∠AOB＝120°，OA＝OB，∠OAM＝∠OBN＝60°.
因为∠MON＝120°，
所以∠AOM＝∠BON，
所以△AOM≌△BON（ASA），
所以重叠部分的面积S1＝四边形ACBO的面积＝ S2，即S1＝ S2.(共24张PPT)
第四章　三角形
1　认识三角形
第3课时　三角形的高、中线和角平分线
A. 基础夯实
1. （2025·深圳第二实验学校期中）图中能表示△ABC的BC边上的高的是
（　D　）.
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2. 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是（　D　）.
A. BD是△ABC的角平分线 B. CE是△BCD的角平分线
C. ∠ACB＝2∠3 D. CE是△ABC的角平分线
第2题图
D
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3. 如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BE⊥AC于点E. 图中线段可作为
△ABC的高的有（　D　）条.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
第3题图
D
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4. 在△ABC中，AB＝20，BC＝18，BD是AC边上的中线，若△ABD的周
长为45，则△BCD的周长是 .
5. 如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝8，DE＝3，则BD＝ .
第5题图
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6. （2025·光明区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，延长AB至
点E，使AB＝BE，连接CE，若AD＝CD＝2BD＝4，则△ACE的面积
为 .
第6题图
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7. 如图，每个小正方形的边长为1个单位.
（1）画出△ABC的AB边上的高CD，垂足为D；
解：如图1，延长AB，过点C作AB延长线的垂线，垂足为D，线段CD即为
△ABC的AB边上的高.
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7. 如图，每个小正方形的边长为1个单位.
（2）求△ABC的面积.
解：如图2，因为每个小正方形的边长为1个单位，
所以S△ABC＝5×7× －5×1× －7×2× ＝8.
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8. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE为角平分线，若∠BFC＝
110°，求∠BCF的度数.
解：因为CD是AB边上的高，
所以∠BDC＝90°.
因为∠BFC＝110°，
所以∠BFD＝180°－∠BFC＝70°，
所以∠DBF＝90°－∠BFD＝20°.
因为BE为角平分线，
所以∠ABC＝2∠DBF＝40°，
所以∠BCF＝90°－∠ABC＝50°.
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B. 能力提升
9. 如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AB＝9，BC＝8，AE＝7，P为
AB边上一动点，连接CP，则CP的最小值为 .
第9题图

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解析：如图，过点C作CD⊥AB于点D，在△ABC中，因为AE⊥BC于点
E，AB＝9，BC＝8，AE＝7，
所以S△ABC＝ AB·CD＝ BC·AE，
所以AB·CD＝BC·AE，
所以9CD＝8×7，解得CD＝ .
因为垂线段最短，
所以当点P与点D重合时，PC最小，即PC的最小值为 .
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10. 如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于
点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是（　B　）.
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
第10题图
B
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11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为△ABC角平分线的交点，
OD⊥BC于点D.
（1）求∠AOB的度数；
解：由题意得AO，BO分别为∠BAC和∠CBA的平分线，
所以∠OAB＝ ∠BAC，∠OBA＝ ∠CBA.
在Rt△ABC中，∠BAC＋∠CBA＝180°－∠C＝90°，
所以∠AOB＝180°－∠OAB－∠OBA
＝180°－ （∠BAC＋∠CBA）
＝180°－ ×90°
＝135°.
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11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为△ABC角平分线的交点，
OD⊥BC于点D.
（2）若AC＝6，BC＝8，AB＝10，求OD的长.
解：如图，连接OC，
因为O为△ABC角平分线的交点，
所以由角平分线的性质定理可证点O到三边的距离相等，
所以S△ABC＝ ×6×8＝24，
所以S△ABC＝S△ACO＋S△ABO＋S△BCO，
即 ×6OD＋ ×8OD＋ ×10OD＝24，解得OD＝2.
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C. 拓展思维
12. 如图，在△ABC中，BE是△ABC的角平分线，点D在边AB上（不与点
A，B重合），CD与BE交于点O.
（1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差
为 ；
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解析：因为CD是中线，
所以BD＝AD.
因为BC＝3，AC＝2，
所以C△BCD＝BC＋BD＋CD＝3＋BD＋CD，C△ACD＝AD＋CD＋AC＝2
＋AD＋CD，
所以C△BCD－C△ACD＝1.故答案为1.
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12. 如图，在△ABC中，BE是△ABC的角平分线，点D在边AB上（不与点
A，B重合），CD与BE交于点O.
（2）若CD是△ABC的角平分线，试说明∠BOC与∠A的数量关系.
解：因为BE，CD是△ABC的角平分线，
所以∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
所以∠OBC＋∠OCB＝ （∠ABC＋∠ACB）.
因为∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，
所以∠BOC＝180°－（∠OBC＋∠OCB）＝180°
－ （180°－∠A）＝90°＋ ∠A.
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参考答案
1. D　2.D　3.D　4.43　5.5　6.24
7. 解：（1）如图1，延长AB，过点C作AB延长线的垂
线，垂足为D，线段CD即为△ABC的AB边上的高.
（2）如图2，因为每个小正方形的边长为1个单位，
所以S△ABC＝5×7× －5×1× －7×2× ＝8.
8. 解：因为CD是AB边上的高，
所以∠BDC＝90°.
因为∠BFC＝110°，
所以∠BFD＝180°－∠BFC＝70°，
所以∠DBF＝90°－∠BFD＝20°.
因为BE为角平分线，
所以∠ABC＝2∠DBF＝40°，
所以∠BCF＝90°－∠ABC＝50°.
9. 　解析：如图，过点C作CD⊥AB于点D，在
△ABC中，因为AE⊥BC于点E，AB＝9，BC＝8，AE＝7，
所以S△ABC＝ AB·CD＝ BC·AE，
所以AB·CD＝BC·AE，
所以9CD＝8×7，解得CD＝ .
因为垂线段最短，
所以当点P与点D重合时，PC最小，即PC的最小值为 .
10. B
11. 解：（1）由题意得AO，BO分别为∠BAC和∠CBA的平分线，
所以∠OAB＝ ∠BAC，∠OBA＝ ∠CBA.
在Rt△ABC中，∠BAC＋∠CBA＝180°－∠C＝90°，
所以∠AOB＝180°－∠OAB－∠OBA
＝180°－ （∠BAC＋∠CBA）
＝180°－ ×90°
＝135°.
（2）如图，连接OC，
因为O为△ABC角平分线的交点，
所以由角平分线的性质定理可证点O到三边的距离相等，
所以S△ABC＝ ×6×8＝24，
所以S△ABC＝S△ACO＋S△ABO＋S△BCO，
即 ×6OD＋ ×8OD＋ ×10OD＝24，解得OD＝2.
12. 解：（1）1　解析：因为CD是中线，
所以BD＝AD.
因为BC＝3，AC＝2，
所以C△BCD＝BC＋BD＋CD＝3＋BD＋CD，C△ACD＝AD＋CD＋AC＝2
＋AD＋CD，
所以C△BCD－C△ACD＝1.故答案为1.
（2）因为BE，CD是△ABC的角平分线，
所以∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
所以∠OBC＋∠OCB＝ （∠ABC＋∠ACB）.
因为∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，
所以∠BOC＝180°－（∠OBC＋∠OCB）＝180°－ （180°－∠A）＝
90°＋ ∠A.(共15张PPT)
第四章　三角形
3　探索三角形全等的条件
第4课时　用尺规作三角形
A. 基础夯实
1. 如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是
（　C　）.
A. 两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
B. 两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
C. 两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等
D. 两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
C
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2. 如图，小敏做试题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，她
想在一张白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，她作图的依据
是（　C　）.
A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS
第2题图
C
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3. 如图，已知∠BOA和OB上一点C，用尺规作图“过点C作CN∥OA”
的实质就是作∠NCE＝∠DOM，其作图依据是（　B　）.
A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS
第3题图
B
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4. 如图1，已知∠α，∠β，线段m，求作△ABC. 作法：如图2，①作线段
AB＝m；②在AB的同旁作∠A＝∠α，∠B＝∠β，∠A与∠B的另一边交
于点C. 则△ABC就是所作三角形，这样作图的依据是（　C　）.
A. 已知两边及夹角 B. 已知三边
C. 已知两角及夹边 D. 已知两边及一边对角
第4题图
C
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5. 如图，给定一个△ABC，用直尺和圆规作△A'B'C'≌△ABC，有人的作
法是：
①作∠DA'E＝∠A；②以点A'为圆心，以AB长为半径作弧，交A'D于点B'；
③以点A'为圆心，以AC长为半径作弧，交A'E于点C'；④连接B'C'.△A'B'C'
就是所求作三角形.在此作法中，判定△A'B'C'≌△ABC的依据是 .
（填简记）
SAS
第5题图
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6. 如图1所示，已知线段a，∠1，求作△ABC，使BC＝a，∠ABC＝
∠BCA＝∠1，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是
（　A　）.
A. 作△ABC的依据为ASA
B. 弧EF是以DK长为半径画的
C. 弧MN是以A为圆心，a为半径画的
D. 弧GH是以OD长为半径画的
A
第6题图
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B. 能力提升
7. 如图，已知∠β，∠γ，线段c，求作△ABC，使得∠A＝∠β，∠B＝
∠γ，AB＝c.
作法：
（1）作∠ ＝∠β；
（2）在射线 上截取线段 ＝c；
MAN
AM
AB
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（3）以 为顶点，以 为一边，作∠ ＝∠γ，
交 于点 ，则△ABC就是所求作的三角形.
根据作法在下面作出图形（保留作图痕迹）.
解：图形如图.
B
BA
ABP
BP
AN
C
7. 如图，已知∠β，∠γ，线段c，求作△ABC，使得∠A＝∠β，∠B＝
∠γ，AB＝c.
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8. 用没有刻度的直尺和圆规作图.（保留作图痕迹，不必写作法）
（1）如图，已知线段a，b和∠MON，求作△ABC，使AB＝a，AC＝
b，∠A＝∠MON.
解：如图，△ABC即为所求，此时AB＝a，AC＝b，∠A＝∠MON.
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8. 用没有刻度的直尺和圆规作图.（保留作图痕迹，不必写作法）
（2）如图，已知△ABC，以BC为公共边，在△ABC下方作△DBC，使DB
＝AB，DC＝AC.
解：如图△DBC即为所求，此时DB＝AB，DC＝AC.
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C. 拓展思维
9. 如图，已知△ABC.
求作：△A'B'C'，使△A'B'C'≌△ABC（要求：用两种不同的方法尺规作图.
不写作法，保留作图痕迹，并根据作图过程写出△A'B'C'≌△ABC的依据）.
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解：方法一，如图，△A'B'C'为所求，作图依据：边边边或SSS.
方法二， 如图，△A'B'C'为所求，作图依据：边角边或SAS.
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参考答案
1. C　2.C　3.B　4. C　5.SAS　6.A
7. 解：（1）MAN　（2）AM　AB
（3）B　BA　ABP　BP　AN　C
图形如图.
8. 解：（1）如图，△ABC即为所
求，此时AB＝a，AC＝b，∠A＝
∠MON.
（2）如图△DBC即为所求，此时DB＝AB，DC＝AC.
9. 解：方法一，如图，△A'B'C'为所求，作图
依据：边边边或SSS.
方法二， 如图，△A'B'C'为所求，作图依据：
边角边或SAS.(共16张PPT)
第四章　三角形
1　认识三角形
第2课时　三角形的三边关系
A. 基础夯实
1. 下列各组线段能组成三角形的是（　A　）.
A. 3 cm，4 cm，5 cm B. 4 cm，5 cm，10 cm
C. 3 cm，3 cm，6 cm D. 5 cm，12 cm，18 cm
2. （2025·深圳中学期末） 一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长可以
是（　D　）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A
D
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3. （2025·龙华区期末）如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小丽在
池塘的一侧选取点P，测得PA＝20 m，PB＝15 m，那么A，B间的距离可
能是（　C　）.
A. 40 m B. 35 m C. 25 m D. 5 m
C
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4. 下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（　D　）.
D
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5. （2025·深圳外国语学校期中）在△ABC中，若AB＝2，AC＝4，且BC
的长为整数，则△ABC的周长可能是（　B　）.
A. 8 B. 11 C. 12 D. 15
6. 已知三角形的三边长分别是3，x和7，则x的取值范围是 .
7. 如果一个等腰三角形的两边长分别是5 cm和8 cm，那么此三角形的周长
是 .
B
4＜x＜10
18 cm或21 cm
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8. 已知等腰三角形的一边长为2，周长为5，则它的腰长为 .
9. 已知△ABC的三边分别为a，b，c，且满足a2＋b2－8a－4b＋20＝0，
那么第三边 c的取值范围是 .
10. 有4根长度分别为2 cm，3 cm，4 cm，6 cm的木棒，从中任意取3根，则
这3根木棒恰好能首尾相接构成的三角形的周长是 .
2或1.5
2＜c＜6
9 cm或13 cm
解析：因为2＋3＞4，2＋3＜6，2＋4＝6，3＋4＞6，
所以恰好能首尾相接构成三角形的三根木棒长为2 cm，3 cm，4 cm或3 cm，
4 cm，6 cm，
所以这3根木棒恰好能首尾相接构成的三角形的周长是2＋3＋4＝9（cm）或3
＋4＋6＝13（cm）.故答案为9 cm或13 cm.
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B. 能力提升
11. 有长度分别为4 cm，8 cm，10 cm，12 cm的四根木条，从中选出三根组
成三角形，能组成（　C　）个三角形.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12. 设a，b，c是△ABC的三边，则｜a＋b＋c｜－｜a－b－c｜＋｜a
＋c－b｜＝ .
C
3a－b＋c
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13. 用一条长21厘米的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少？
解：设底边长为x厘米，则腰长为3x厘米，
依题意得x＋3x＋3x＝21，解得x＝3，
则等腰三角形的腰长为3×3＝9（厘米），
所以等腰三角形的各边长分别为3厘米，9厘米，9厘米.
（2）能围成有一边的长是5厘米的等腰三角形吗？为什么？
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解：能，理由如下：
当5厘米的边为底边时，其腰长为（21－5）÷2＝8（厘米），
5＋8＝13＞8，能围成等腰三角形；
当5厘米的边为腰长时，其底边长为21－5－5＝11（厘米），
5＋5＝10＜11，不能构成三角形.
综上所述，能围成有一边的长是5厘米的等腰三角形.
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C. 拓展思维
14. 先阅读下面的内容，再解决问题.
例题：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值.
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0，
即（m＋n）2＋（n－3）2＝0，
∴m＋n＝0，n－3＝0，
∴m＝－3，n＝3.
问题：（1）若x2＋2y2－2xy＋4y＋4＝0，求xy的值；
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解：因为x2＋2y2－2xy＋4y＋4＝0，
x2－2xy＋y2＋y2＋4y＋4＝0，
即（x－y）2＋（y＋2）2＝0，
所以x－y＝0，y＋2＝0，解得x＝－2，y＝－2，
所以xy＝（－2）－2＝ .
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14. 先阅读下面的内容，再解决问题.
例题：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值.
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0，
即（m＋n）2＋（n－3）2＝0，
∴m＋n＝0，n－3＝0，
∴m＝－3，n＝3.
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长（a，b，c互不相等），满足a2＋b2
＝10a＋8b－41，且△ABC中最长边长为c，求c的取值范围.
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解：因为a2＋b2＝10a＋8b－41，
所以a2－10a＋25＋b2－8b＋16＝0，
即（a－5）2＋（b－4）2＝0，
所以a－5＝0，b－4＝0，
解得a＝5，b＝4.
因为c是△ABC中最长的边长，且a，b，c互不相等，
所以5＜c＜9.
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参考答案
1. A　2.D　3.C　4.D　5.B　6.4＜x＜10
7.18 cm或21 cm
8.2或1.5
9.2＜c＜6
10.9 cm或13 cm　解析：因为2＋3＞4，2＋3＜6，2＋4＝6，3＋4＞6，
所以恰好能首尾相接构成三角形的三根木棒长为2 cm，3 cm，4 cm或3 cm，
4 cm，6 cm，
所以这3根木棒恰好能首尾相接构成的三角形的周长是2＋3＋4＝9（cm）或3
＋4＋6＝13（cm）.故答案为9 cm或13 cm.
11. C　12.3a－b＋c
13. 解：（1）设底边长为x厘米，则腰长为3x厘米，
依题意得x＋3x＋3x＝21，解得x＝3，
则等腰三角形的腰长为3×3＝9（厘米），
所以等腰三角形的各边长分别为3厘米，9厘米，9厘米.
（2）能，理由如下：
当5厘米的边为底边时，其腰长为（21－5）÷2＝8（厘米），
5＋8＝13＞8，能围成等腰三角形；
当5厘米的边为腰长时，其底边长为21－5－5＝11（厘米），
5＋5＝10＜11，不能构成三角形.
综上所述，能围成有一边的长是5厘米的等腰三角形.
14. 解：（1）因为x2＋2y2－2xy＋4y＋4＝0，
x2－2xy＋y2＋y2＋4y＋4＝0，
即（x－y）2＋（y＋2）2＝0，
所以x－y＝0，y＋2＝0，解得x＝－2，y＝－2，
所以xy＝（－2）－2＝ .
（2）因为a2＋b2＝10a＋8b－41，
所以a2－10a＋25＋b2－8b＋16＝0，
即（a－5）2＋（b－4）2＝0，
所以a－5＝0，b－4＝0，
解得a＝5，b＝4.
因为c是△ABC中最长的边长，且a，b，c互不相等，
所以5＜c＜9.(共22张PPT)
第四章　三角形
3　探索三角形全等的条件
第3课时　利用“边角边”判定三角形全等
A. 基础夯实
1. 如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判
定△ABO≌△DCO的依据是 .
第1题图
SAS
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2. 如图，已知BD＝CD，要根据“SAS”判定△ABD≌△ACD，则还需添加
的一个条件是 .
第2题图
∠CDA＝∠BDA
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3. 如图，已知AD∥BC，欲证△ABC≌△CDA，根据“SAS”知，需要补充
的一个条件是 .　　　　　
第3题图
DA＝BC
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4. （2025·罗湖区期末）如图，公园里有一座假山，要测量假山两端A，B的
距离，先在平地上取一个可以直接到达A，B的点C，分别延长AC，BC到
D，E，使CE＝CB，CA＝CD，连接DE，这样就可以利用三角形全等，
通过测量DE的长得到假山两端A，B的距离，则这两个三角形全等的依据
是 .
第4题图
SAS
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5. 如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不
能证明△ABF≌△DCE的是（　D　）.
A. ∠A＝∠D B. ∠AFB＝∠DEC
C. AB＝DC D. AF＝DE
第5题图
D
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6. （2025·罗湖区期末）如图，在3×3的正方形网格中，线段AB，CD的端
点均在格点上，则∠1和∠2的数量关系是（　A　）.
A. ∠1＋∠2＝180° B. ∠1＝∠2
C. ∠2＝∠1＋90° D. ∠2＝2∠1
第6题图
A
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7. （2025·宝安区期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角
形（阴影部分）与△ABC全等的是（　D　）.
第7题图
D
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8. 如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC.
（1）试说明：△AOD≌△OBC；
解：因为点O是线段AB的中点，
所以AO＝BO.
因为OD∥BC，
所以∠AOD＝∠OBC.
在△AOD和△OBC中，
所以△AOD≌△OBC（SAS）.
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8. 如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC.
（2）若∠ADO＝35°，求∠DOC的度数.
解：因为△AOD≌△OBC，
所以∠ADO＝∠OCB＝35°.
因为OD∥BC，
所以∠DOC＝∠OCB＝35°.
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B. 能力提升
9. 下列所叙述的两个三角形，一定全等的是（　C　）.
A. 含60°角的两个直角三角形
B. 腰对应相等的两个等腰三角形
C. 周长为15 cm的两个等边三角形
D. 一个钝角对应相等的两个等腰三角形
C
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10. 根据下列条件，能作出唯一的△ABC的是（　C　）.
A. AB＝4，AC＝5，∠B＝60°
B. AB＝1，BC＝2，AC＝3
C. ∠A＝40°，∠B＝50°，AB＝2
D. ∠C＝90°，AB＝3
C
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11. （2025·宝安区期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
D为平面上一点，连接CD，点E为CD的中点，连接AE，AD，BD，
BE，AD＝AE，且∠DAE＝90°，若CD＝6，求△BEC的面积.
解：因为∠DAE＝90°，∠BAC＝90°，
所以∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE，
所以∠CAE＝∠BAD.
因为AB＝AC，AD＝AE，
所以△ABD≌△ACE，
所以BD＝CE，∠ADB＝∠AEC.
因为AD＝AE，且∠DAE＝90°，
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所以∠ADE＝∠AED＝45°，
所以∠ADB＝∠AEC＝135°，
所以∠BDE＝∠ADB－∠ADE＝90°.
因为点E为CD中点，CD＝6，
所以CE＝ CD＝3，
所以△BEC的面积为 CE×BD＝ ×3×3＝ .
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C. 拓展思维
12. 如图，在△ABC和△CDE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝
∠DCE，连接AD，BE交于点M.
（1）如图1，当点B，C，D在同一条直线上，且∠ACB＝∠DCE＝45°
时，可以得到图中的一对全等三角形，即 .
解析：因为∠ACB＝∠DCE＝45°，
所以∠ACD＝∠BCE.
在△BCE和△ACD中，
所以△BCE≌△ACD（SAS）.
故答案为△BCE≌△ACD.
△BCE≌△ACD
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12. 如图，在△ABC和△CDE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝
∠DCE，连接AD，BE交于点M.
（2）当点D不在直线BC上时，如图2所示位置，且∠ACB＝∠DCE＝α.
①试说明AD＝BE；
②直接写出∠EMD的大小（用含α的代数式表示）.
解：①因为∠ACB＝∠DCE＝α，
所以∠ACD＝∠BCE.
在△ACD和△BCE中，
所以△ACD≌△BCE（SAS），
所以AD＝BE.
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12
②因为△ACD≌△BCE，
所以∠CAD＝∠CBE.
因为∠BAC＋∠ABC＝180°－α，
所以∠BAM＋∠ABM＝180°－α，
所以∠EMD＝∠AMB＝180°－（180°－α）＝α.
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参考答案
1. SAS　2.∠CDA＝∠BDA　3.DA＝BC　4.SAS
5. D
6.A
7.D
8. 解：（1）因为点O是线段AB的中点，
所以AO＝BO.
因为OD∥BC，
所以∠AOD＝∠OBC.
在△AOD和△OBC中，
所以△AOD≌△OBC（SAS）.
（2）因为△AOD≌△OBC，
所以∠ADO＝∠OCB＝35°.
因为OD∥BC，
所以∠DOC＝∠OCB＝35°.
9. C　10.C
11. 解：因为∠DAE＝90°，∠BAC＝90°，
所以∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE，
所以∠CAE＝∠BAD.
因为AB＝AC，AD＝AE，
所以△ABD≌△ACE，
所以BD＝CE，∠ADB＝∠AEC.
因为AD＝AE，且∠DAE＝90°，
所以∠ADE＝∠AED＝45°，
所以∠ADB＝∠AEC＝135°，
所以∠BDE＝∠ADB－∠ADE＝90°.
因为点E为CD中点，CD＝6，
所以CE＝ CD＝3，
所以△BEC的面积为 CE×BD＝ ×3×3＝ .
12. 解：（1）△BCE≌△ACD　解析：因为∠ACB＝∠DCE＝45°，
所以∠ACD＝∠BCE.
在△BCE和△ACD中，
所以△BCE≌△ACD（SAS）.
故答案为△BCE≌△ACD.
（2）①因为∠ACB＝∠DCE＝α，
所以∠ACD＝∠BCE.
在△ACD和△BCE中，
所以△ACD≌△BCE（SAS），
所以AD＝BE.
②因为△ACD≌△BCE，
所以∠CAD＝∠CBE.
因为∠BAC＋∠ABC＝180°－α，
所以∠BAM＋∠ABM＝180°－α，
所以∠EMD＝∠AMB＝180°－（180°－α）＝α.(共21张PPT)
第四章　三角形
2　全等三角形
A. 基础夯实
1. 如图，△AOC≌△BOD，∠A的对应角是 ，∠C的对应角
是 ，边AC的对应边是 .
第1题图
∠B
∠D
BD
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12
2. 如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则∠1的度数为
（　A　）.
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
第2题图
A
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3. （2025·深圳市高级中学（集团）期末） 如图，△DBE是由△ABC绕点B
按逆时针方向旋转40°得到的.若AB⊥DE，则∠A的度数为（　A　）.
A. 50° B. 45° C. 40° D. 30°
第3题图
A
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12
4. 如图，点E，F在线段AC上，AE＝5，CE＝3，那么EF的长度是
（　A　）.
A. 2 B. 3 C. 5 D. 8
第4题图
A
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12
5. 如图，△ABD≌△ACE，若AB＝13，AE＝7，则CD的长度为 .
第5题图
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12
6. 如图，AC，BD交于点O，△ABO≌△CDO，则下列结论错误的是
（　C　）.
A. AB＝CD B. AB∥CD
C. OA＝OD D. OB＝OD
第6题图
C
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12
7. 如图，一栅栏顶部由全等三角形组成，其中AC＝0.2 m，BC＝2AC，则
BD＝ m.
2.8
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12
8. 如图，△ADE≌△BCF，AD＝8 cm，CD＝6 cm，∠A＝30°，∠E＝
80°.
（1）求BD的长；
解：因为△ADE≌△BCF，AD＝8 cm，
所以BC＝AD＝8 cm.
又因为CD＝6 cm，
所以BD＝BC－CD＝8－6＝2（cm）.
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8. 如图，△ADE≌△BCF，AD＝8 cm，CD＝6 cm，∠A＝30°，∠E＝
80°.
（2）求∠BCF的度数.
解：因为△ADE≌△BCF，∠A＝30°，∠E＝80°，
所以∠B＝∠A＝30°，∠F＝∠E＝80°，
所以∠BCF＝180°－（∠B＋∠F）＝180°－（30°＋80°）＝70°.
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B. 能力提升
9. （2025·深圳中学期末）如图，△ABC≌△EFD，请写出一组图中平行的
线段 .
第9题图
AB∥EF或AC∥ED（答案不唯一）
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12
10. （2025·深圳中学期中）如图，AB＝12 cm，CA⊥AB于点A，
DB⊥AB于点B，且AC＝4 cm，P点从B向A运动，每分钟走1 cm，Q点
从B向D运动，每分钟走2 cm，P，Q两点同时出发，运动 　　　　分钟后
△CAP与△PBQ全等.（　B　）
A. 4或6 B. 4 C. 6 D. 5
第10题图
B
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5
6
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9
10
11
12
11. 如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE.
（1）求证：BD＝DE＋CE；
证明：因为△BAD≌△ACE，
所以AD＝CE，BD＝AE.
因为A，D，E三点在同一直线上，
所以AE＝AD＋DE，
所以BD＝DE＋CE.
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12
11. 如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE.
（2）请你猜想△ABD满足什么条件时，BD∥CE.
证明：当∠ADB＝90°时，BD∥CE，
因为△BAD≌△ACE，
所以∠ADB＝∠E＝90°，
所以∠BDE＝∠E＝90°，
所以BD∥CE.
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12
C. 拓展思维
12. 如图，已知在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8，BC＝5，点D为AB的
中点，如果点P在线段BC上以每秒2个单位长度的速度由B点向C点运动，
同时，点Q在线段CA上以每秒a个单位长度的速度由C点向A点运动，设运
动时间为t（秒）（0≤t＜4）.
（1）用含t的代数式表示PC＝ .
解析：由题意得，PB＝2t，
所以PC＝5－2t，故答案为5－2t.
5－2t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. 如图，已知在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8，BC＝5，点D为AB的
中点，如果点P在线段BC上以每秒2个单位长度的速度由B点向C点运动，
同时，点Q在线段CA上以每秒a个单位长度的速度由C点向A点运动，设运
动时间为t（秒）（0≤t＜4）.
（2）若△BPD与△CQP全等，则点Q的运动速度a为多少？请说明理由.
解：当△BPD与△CQP全等时，点Q的运动速度a为2或 .理由如下：
因为∠B＝∠C，
所以AB＝AC＝8.
因为点D为AB的中点，
所以BD＝AD＝4.
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12
经分析，当△BPD与△CQP全等时存在两种情况：
①若△BPD≌△CQP，则BP＝CQ，
所以点Q和点P的速度相同，
所以a＝2；
②若△BPD≌△CPQ，则CQ＝BD，CP＝BP，
所以PB＝ BC＝ ，所以2t＝ ，所以t＝ ，
所以 a＝4，所以a＝ .
所以若△BPD与△CQP全等，则点Q的运动速度a为2或 .
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参考答案
1. ∠B　∠D　BD　2.A　3.A　4.A　5.6　6.C　7.2.8
8. 解：（1）因为△ADE≌△BCF，AD＝8 cm，
所以BC＝AD＝8 cm.
又因为CD＝6 cm，
所以BD＝BC－CD＝8－6＝2（cm）.
（2）因为△ADE≌△BCF，∠A＝30°，∠E＝80°，
所以∠B＝∠A＝30°，∠F＝∠E＝80°，
所以∠BCF＝180°－（∠B＋∠F）＝180°－（30°＋80°）＝70°.
9. AB∥EF或AC∥ED（答案不唯一）　10.B
11. 证明：（1）因为△BAD≌△ACE，
所以AD＝CE，BD＝AE.
因为A，D，E三点在同一直线上，
所以AE＝AD＋DE，
所以BD＝DE＋CE.
（2）当∠ADB＝90°时，BD∥CE，
因为△BAD≌△ACE，
所以∠ADB＝∠E＝90°，
所以∠BDE＝∠E＝90°，
所以BD∥CE.
12. 解：（1）5－2t　解析：由题意得，PB＝2t，
所以PC＝5－2t，故答案为5－2t.
（2）当△BPD与△CQP全等时，点Q的运动速度a为2或 .理由如下：
因为∠B＝∠C，
所以AB＝AC＝8.
因为点D为AB的中点，
所以BD＝AD＝4.
经分析，当△BPD与△CQP全等时存在两种情况：
①若△BPD≌△CQP，则BP＝CQ，
所以点Q和点P的速度相同，
所以a＝2；
②若△BPD≌△CPQ，则CQ＝BD，CP＝BP，
所以PB＝ BC＝ ，所以2t＝ ，所以t＝ ，所以 a＝4，
所以a＝ .
所以若△BPD与△CQP全等，则点Q的运动速度a为2或 .(共24张PPT)
第四章　三角形
章末复习
A. 基础夯实
1. 下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是 （　A　）.
A. 5 cm，7 cm，14 cm B. 7 cm，9 cm，13 cm
C. 5 cm，7 cm，10 cm D. 5 cm，11 cm，13 cm
A
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2. 如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿
势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数学道理是
（　D　）.
A. 两点之间，线段最短 B. 三角形的任意两边之和大于第三边
C. 两点确定一条直线 D. 三角形的稳定性
第2题图
D
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3. 如图，△ABC≌△CDA，AC＝7 cm，AB＝5 cm，BC＝8 cm，则AD的
长是（　D　）.
A. 5 cm B. 6 cm C. 7 cm D. 8 cm
第3题图
D
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4. 如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，∠F＝∠ACB，
再补充下列一个条件，不能证明△ABC≌△DEF的是（　C　）.
A. BC＝EF B. AB∥DE
C. AB＝DE D. ∠B＝∠E
第4题图
C
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5. 如图，AB＝AC，BD＝CD，∠B＝26°，则∠C＝ .
第5题图
6. （2025·佛山期末）在Rt△ABC中，一个锐角为50°，另一个锐角的度数
为 .
26°
40°
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7. 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，在池塘旁边有一水房D，在
BD的中点C处有一棵树，小红想测量A，B间的距离.于是她从点A出发，
沿AC走到点E（点A，C，E在同一条直线上），使EC＝AC，量出点E
到水房D的距离就是A，B两点之间的距离.
（1）请说明小红这样做的依据是 ；
△ACB≌△ECD
第7题图
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7. 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，在池塘旁边有一水房D，在
BD的中点C处有一棵树，小红想测量A，B间的距离.于是她从点A出发，
沿AC走到点E（点A，C，E在同一条直线上），使EC＝AC，量出点E
到水房D的距离就是A，B两点之间的距离.
（2）若DC＝80 m，AC＝50 m，请确定线段AB的长度可能是 （填
序号）.
①20 m ②30 m ③90 m ④140 m
③
第7题图
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8. （2025·光明区期中）如图，在网格中（每个小正方形的边长为1）有一个
格点△ABC （三角形的顶点都在格点上），则∠1－∠2＝ °.
第8题图
45
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B. 能力提升
9. （2025·深圳宝安中学期中）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，连接
AD，点E在AD上，且AE＝ DE，EF⊥BD于点F. 若BC＝15，EF＝
6，则△ABC的面积为（　C　）.
A. 50 B. 55 C. 60 D. 65
第9题图
C
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10. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，CD＝BF，若∠A＝
50°，则∠EDF＝ °.
第10题图
65
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11. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且
AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E.
（1）如图1，当△ABC在直线MN的同侧时，试说明：①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD＋BE.
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证明：①因为AD⊥MN，BE⊥MN，
所以∠ADC＝∠CEB＝90°.
因为∠ACB＝90°，
所以∠ACD＋∠BCE＝90°，
又因为∠ACD＋∠CAD＝90°，
所以∠BCE＝∠CAD.
在△ADC和△CEB中，
因为∠ADC＝∠CEB，∠CAD＝∠BCE，AC＝CB，
所以△ADC≌△CEB（AAS）.
②因为△ADC≌△CEB，
所以AD＝CE，DC＝EB，
所以DE＝DC＋CE＝AD＋BE.
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11. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且
AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E.
（2）如图2，当直线MN与斜边AB相交时，（1）中的结论②还成立吗？若
成立，请说明理由；若不成立，请直接写出DE，AD和BE正确的数量关
系，并说明理由.
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解：（1）中的结论②不成立.正确的数量关系是DE＝AD－BE. 理由如
下：
因为AD⊥MN，BE⊥MN，
所以∠ADC＝∠CEB＝90°.
因为∠ACB＝90°，
所以∠ACD＋∠BCE＝90°.
又因为∠ACD＋∠CAD＝90°，
所以∠BCE＝∠CAD.
在△ADC和△CEB中，
因为∠ADC＝∠CEB，∠CAD＝∠BCE，AC＝CB，
所以△ADC≌△CEB（AAS），
所以AD＝CE，DC＝EB，
所以DE＝CE－DC＝AD－BE.
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C. 拓展思维
12. 如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8 cm，点P
从点A出发，沿A→B→A方向以2 cm/s的速度匀速运动，点Q从点D出发，
沿D→E方向以1 cm/s的速度匀速运动，P，Q两点同时出发，当点P到达
点A时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）.
（1）求证：AB∥DE；
证明：在△ABC和△EDC中，
所以△ABC≌△EDC（SAS），
所以∠A＝∠E，
所以AB∥DE.
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12. 如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8 cm，点P
从点A出发，沿A→B→A方向以2 cm/s的速度匀速运动，点Q从点D出发，
沿D→E方向以1 cm/s的速度匀速运动，P，Q两点同时出发，当点P到达
点A时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）.
（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）；
解：当0≤t≤4时，AP＝2t cm，当4＜t≤8时，
BP＝（2t－8）cm，
所以AP＝8－（2t－8）＝（16－2t）cm，
所以线段AP的长为2t cm或（16－2t）cm.
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12. 如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8 cm，点P
从点A出发，沿A→B→A方向以2 cm/s的速度匀速运动，点Q从点D出发，
沿D→E方向以1 cm/s的速度匀速运动，P，Q两点同时出发，当点P到达
点A时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）.
（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值.
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解：根据题意得DQ＝t cm，则EQ＝（8－t）cm，
由（1）得∠A＝∠E，ED＝AB＝8 cm，
在△ACP和△ECQ中，
所以△ACP≌△ECQ（ASA），
所以AP＝EQ.
当0≤t≤4时，2t＝8－t，解得t＝ ；
当4＜t≤8时，16－2t＝8－t，解得t＝8.
综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为 或8.
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参考答案
1. A　2.D　3.D　4.C　5.26°　6.40°
7. （1）△ACB≌△ECD
（2）③
8.45
9.C
10.65
11. （1）证明：①因为AD⊥MN，BE⊥MN，
所以∠ADC＝∠CEB＝90°.
因为∠ACB＝90°，
所以∠ACD＋∠BCE＝90°，
又因为∠ACD＋∠CAD＝90°，
所以∠BCE＝∠CAD.
在△ADC和△CEB中，
因为∠ADC＝∠CEB，∠CAD＝∠BCE，AC＝CB，
所以△ADC≌△CEB（AAS）.
②因为△ADC≌△CEB，
所以AD＝CE，DC＝EB，
所以DE＝DC＋CE＝AD＋BE.
（2）解：（1）中的结论②不成立.正确的数量关系是DE＝AD－BE. 理由
如下：
因为AD⊥MN，BE⊥MN，
所以∠ADC＝∠CEB＝90°.
因为∠ACB＝90°，
所以∠ACD＋∠BCE＝90°.
又因为∠ACD＋∠CAD＝90°，
所以∠BCE＝∠CAD.
在△ADC和△CEB中，
因为∠ADC＝∠CEB，∠CAD＝∠BCE，AC＝CB，
所以△ADC≌△CEB（AAS），
所以AD＝CE，DC＝EB，
所以DE＝CE－DC＝AD－BE.
12. （1）证明：在△ABC和△EDC中，
所以△ABC≌△EDC（SAS），
所以∠A＝∠E，
所以AB∥DE.
（2）解：当0≤t≤4时，AP＝2t cm，当4＜t≤8时，
BP＝（2t－8）cm，
所以AP＝8－（2t－8）＝（16－2t）cm，
所以线段AP的长为2t cm或（16－2t）cm.
（3）解：根据题意得DQ＝t cm，则EQ＝（8－t）cm，
由（1）得∠A＝∠E，ED＝AB＝8 cm，
在△ACP和△ECQ中，
所以△ACP≌△ECQ（ASA），
所以AP＝EQ.
当0≤t≤4时，2t＝8－t，解得t＝ ；
当4＜t≤8时，16－2t＝8－t，解得t＝8.
综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为 或8.(共14张PPT)
第四章　三角形
3　探索三角形全等的条件
第1课时　利用“边边边”判定三角形全等
A. 基础夯实
1. 如图是油纸伞的张开示意图，AE＝AF，GE＝GF，则△AEG≌△AFG
的判定依据是（　D　）.
A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
D
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2. 如图，下列三角形中，与△ABC全等的是（　C　）.
C
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3. （2025·盐田区期末）如图是张老师自制的教具模型图，利用教具她验证
了连接平行四边形相邻两边上的两点后，此时图形的形状是无法改变的，她
用到了三角形“ ”的性质.
第3题图
具有稳定性
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4. 如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，要利用“SSS”判
定△ABC≌△DEF，则还需添加的条件为 .
第4题图
BF＝CE（符合条件即可）
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5. 如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段
BA）长为半径画弧，分别交直线l、线段BA于点C，D，E，再以点E为
圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF. 若∠BAF的平分
线AH交直线l于点H，∠ABC＝70°，则∠AHB的度数为 .
第5题图
35°
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6. 如图，AD＝BC，AC＝BD，求证：∠C＝∠D.
证明：因为在△BAD和△ABC中，
所以△BAD≌△ABC（SSS），
所以∠C＝∠D.
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7. （2025·佛山月考）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝
DF，BE＝CF，试说明△ABC≌△DEF.
解：因为BE＝CF，
所以BE＋CE＝CF＋CE，即BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF（SSS）.
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B. 能力提升
8. （2025·南山区麒麟中学期中）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的
方法来平分一个角.如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OC＝OD，
移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C，D重合，这时过角尺顶点M
的射线OM就是∠AOB的平分线.这里构造全等三角形的依据是（　D　）.
A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
D
第8题图
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9. 如图，在△ABC和△FED中，若AC＝FD，BC＝ED，有下面4个条
件：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE. 其中能利用
“SSS”来判定△ABC和△FED全等的是 .（填序号）
第9题图
①②
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C. 拓展思维
10. 如图，AD＝BC，BF＝DE，E，F是AC上两点，且AE＝CF. 请你
判断BF与DE的位置关系，并说明理由.
解：BF∥DE.
理由：在△ADE和△CBF中，
所以△ADE≌△CBF（SSS）.
所以∠AED＝∠BFC.
所以180°－∠AED＝180°－∠BFC.
所以∠FED＝∠BFE.
所以BF∥DE.
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参考答案
1. D　2.C　3.具有稳定性　4.BF＝CE（符合条件即可）
5.35°
6. 证明：因为在△BAD和△ABC中，
所以△BAD≌△ABC（SSS），
所以∠C＝∠D.
7. 解：因为BE＝CF，
所以BE＋CE＝CF＋CE，即BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF（SSS）.
8. D
9. ①②
10. 解：BF∥DE.
理由：在△ADE和△CBF中，
所以△ADE≌△CBF（SSS）.
所以∠AED＝∠BFC.
所以180°－∠AED＝180°－∠BFC.
所以∠FED＝∠BFE.
所以BF∥DE.(共20张PPT)
第四章　三角形
3　探索三角形全等的条件
第2课时　利用“角边角”“角角边”
判定三角形全等
A. 基础夯实
1. 如图，已知∠CAB＝∠DBA，若用“ASA”证明△ABC≌△BAD，还需
要加上条件 .
第1题图
∠1＝∠2
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2. 如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件
，可使用“AAS”判定△ABC≌△ABD.
第2题图
∠ABC＝∠ABD（或
∠BAC＝∠BAD）
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10
3. 如图，已知MB＝ND，∠M＝∠N，BM∥DN，下列结论正确的是
（　D　）.
A. AM＝DN B. BM＝CN
C. AC＝CD D. AM∥CN
第3题图
D
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4. 如图，嘉嘉与淇淇坐在跷跷板两端，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）
到地面的距离是60 cm，当淇淇从水平位置CD垂直上升35 cm时，嘉嘉离地
面的高度是（　D　）.
A. 35 cm B. 30 cm C. 40 cm D. 25 cm
第4题图
D
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5. （2025·光明区期中）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，
BE⊥CE，AD＝7，BE＝4，则DE的长为 .
第5题图
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6. 如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：①
∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACF≌△ABE. 其中正确的结论是 .
（写出正确答案的序号）
第6题图
①②③
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7. （2025·福田区期末）如图，点E，A，D，B在同一条直线上，∠CAB
＝∠FDE＝90°，DB＝AE，BC∥EF. △ABC与△DEF全等吗？请说明
理由.
解：△ABC≌△DEF，理由如下：
因为DB＝AE，
所以DB＋AD＝AE＋AD，即AB＝DE.
因为BC∥EF，
所以∠B＝∠E.
在△ABC和△DEF中，因为
所以△ABC≌△DEF（ASA）.
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B. 能力提升
8. （2025·深圳实验学校初中部期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，
EF分别交BC，AC于点G，O，DF∥BC，AC＝DF，∠C＝∠OGC，
∠B＝∠E. 求证：BC＝EF.
证明：因为DF∥BC，
所以∠F＝∠OGC.
因为∠C＝∠OGC，
所以∠C＝∠F.
在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF（AAS），
所以BC＝EF.
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9. （2025·宝安区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
（1）在图1中，尺规作图：作直线BF∥AC；（保留作图痕迹.不写作法）
解：由题意，作图如图.
（2）如图2，在（1）的条件下，延长AB至点D，使得BD＝AC，过点D
作DE⊥AB交直线BF于点E，求证：BC＝DE.
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证明：因为BF∥AC，
所以∠A＝∠EBD（两直线平行，同位角相等）.
因为DE⊥AB，∠C＝90°，
所以∠D＝∠C＝90°.
在△ACB和△BDE中，
所以△ACB≌△BDE（ASA），
所以BC＝DE（全等三角形的对应边相等）.
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C. 拓展思维
10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且
AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E.
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD＋BE；
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证明：①因为∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，∠BEC＝90°，
所以∠ACD＋∠DAC＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°.
所以∠DAC＝∠BCE.
在△ADC与△CEB中，
所以△ADC≌△CEB（AAS）.
②由①知，△ADC≌△CEB，
所以AD＝CE，BE＝CD.
因为DE＝CE＋CD，
所以DE＝AD＋BE.
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10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且
AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E.
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD－BE；
证明：因为AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，∠ACB＝90°，
所以∠CAD＝∠BCE.
在△ADC和△CEB中，
所以△ADC≌△CEB（AAS），
所以CE＝AD，CD＝BE，
所以DE＝CE－CD＝AD－BE.
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10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且
AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E.
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样
的数量关系？请直接写出这个数量关系，不需要证明.
解：DE＝BE－AD.
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参考答案
1. ∠1＝∠2　2.∠ABC＝∠ABD（或∠BAC＝∠BAD）
3. D
4.D
5.3
6.①②③
7. 解：△ABC≌△DEF，理由如下：
因为DB＝AE，
所以DB＋AD＝AE＋AD，即AB＝DE.
因为BC∥EF，
所以∠B＝∠E.
在△ABC和△DEF中，因为
所以△ABC≌△DEF（ASA）.
8. 证明：因为DF∥BC，
所以∠F＝∠OGC.
因为∠C＝∠OGC，
所以∠C＝∠F.
在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF（AAS），
所以BC＝EF.
9. （1）解：由题意，作图如图.
（2）证明：因为BF∥AC，
所以∠A＝∠EBD（两直线平行，同位角相等）.
因为DE⊥AB，∠C＝90°，
所以∠D＝∠C＝90°.
在△ACB和△BDE中，
所以△ACB≌△BDE（ASA），
所以BC＝DE（全等三角形的对应边相等）.
10. （1）证明：①因为∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，∠BEC＝90°，
所以∠ACD＋∠DAC＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°.
所以∠DAC＝∠BCE.
在△ADC与△CEB中，
所以△ADC≌△CEB（AAS）.
②由①知，△ADC≌△CEB，
所以AD＝CE，BE＝CD.
因为DE＝CE＋CD，
所以DE＝AD＋BE.
（2）证明：因为AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，∠ACB＝90°，
所以∠CAD＝∠BCE.
在△ADC和△CEB中，
所以△ADC≌△CEB（AAS），
所以CE＝AD，CD＝BE，
所以DE＝CE－CD＝AD－BE.
（3）解：DE＝BE－AD.(共18张PPT)
第四章　三角形
1　认识三角形
第1课时　三角形及其内角和
A. 基础夯实
1. 如图，在△ABC中，AB与BC的夹角是 ，∠A的对边
是 ，∠A，∠C的公共边是 .
第1题图
∠B
BC
AC
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2. 如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C＝ .
第2题图
80°
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3. 亮亮说：“三角形的3个内角最多有两个角是锐角.”下面图形可以说明亮
亮的说法错误的是（　C　）.
4. 如果一个三角形的三个内角度数之比为2∶3∶4，则该三角形是（　A　）.
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等边三角形
C
A
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5. 小东同学使用激光笔进行折射实验.当光线从空气进入水中时，它的传播
方向会发生改变.已知实验装置中液面与玻璃杯底面平行，其截面图如图所
示.若∠1＝70°，∠ABO＝130°，则∠2＝ .
第5题图
20°
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6. 如图，回答下列问题.
（1）三角形ABC可记作 ，它的三条边分别是
，三个顶点分别是 ，三个内角分别是
.
（2）以AB为一边的三角形有 个.
△ABC
AB，BC，
CA
A，B，C
∠ABC，
∠BCA，∠CAB
3
（3）图中一共有多少个三角形？锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各有多少个？
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解：题图中一共有6个三角形：△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，
△ADC，△AEC.
锐角三角形有2个：△ABE，△ABC；
直角三角形有3个：△ABD，△ADE，△ADC；
钝角三角形有1个：△AEC.
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7. 观察下面的三角形，并把它们的标号填在相应的圈内.
③⑤　
①④⑥
②⑦
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8. 如图，CD∥AB，∠A＝35°，∠DCB＝55°，判断△ABC的形状并说
明理由.
解：△ABC是直角三角形，理由如下：
因为CD∥AB，∠DCB＝55°，
所以∠B＝55°.
因为∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∠A＝35°，∠B＝55°，
所以∠ACB＝90°，
所以△ABC是直角三角形.
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B. 能力提升
9. 在△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠C，则这个三角形是 三角形.
（填“锐角”“直角”或“钝角”）
10. 在△ABC中，∠A－∠B＝25°，∠C＝75°，则∠B的度数
为 .
钝角
40°
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11. 在△ABC中，∠B是∠A的3倍，且∠C比∠A大30°，求∠A的度数.
解：设∠A＝x，因为∠B是∠A的3倍，
所以∠B＝3x.
因为∠C比∠A大30°，
所以∠C＝∠A＋30°＝x＋30°.
因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以x＋3x＋x＋30°＝180°，
解得x＝30°，
所以∠A＝30°.
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解：因为AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，
所以∠OAB＝ ∠BAC，∠OBA＝ ∠ABC，
所以∠OAB＋∠OBA＝ （∠BAC＋∠ABC）.
因为在△ABC中，∠C＝80°，
所以∠BAC＋∠ABC＝180°－∠C＝100°，
所以∠AOB＝180°－∠OAB－∠OBA＝180°－ （∠BAC＋∠ABC）＝
130°.
C. 拓展思维
12. 如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，AE，BF分别是∠BAC，
∠ABC的平分线，且AE，BF相交于点O，已知∠C＝80°.
（1）求∠AOB的度数.
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12. 如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，AE，BF分别是∠BAC，
∠ABC的平分线，且AE，BF相交于点O，已知∠C＝80°.
（2）若∠ABC＝40°，求∠DAE的度数.
解：因为AD是边BC上的高，
所以∠ADC＝90°，
所以∠DAC＝90°－∠C＝90°－80°＝10°.
因为∠C＝80°，∠ABC＝40°，
所以∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝60°.
因为AE是∠BAC的平分线，
所以∠CAE＝ ∠BAC＝30°，
所以∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝30°－10°＝20°.
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参考答案
1. ∠B　BC　AC　2.80°　3.C　4.A　5.20°
6. 解：（1）△ABC　AB，BC，CA　A，B，C　∠ABC，∠BCA，
∠CAB
（2）3
（3）题图中一共有6个三角形：△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，
△ADC，△AEC.
锐角三角形有2个：△ABE，△ABC；
直角三角形有3个：△ABD，△ADE，△ADC；
钝角三角形有1个：△AEC.
7. 锐角三角形：③⑤　直角三角形：①④⑥
钝角三角形：②⑦
8. 解：△ABC是直角三角形，理由如下：
因为CD∥AB，∠DCB＝55°，
所以∠B＝55°.
因为∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∠A＝35°，∠B＝55°，
所以∠ACB＝90°，
所以△ABC是直角三角形.
9. 钝角　10.40°
11. 解：设∠A＝x，因为∠B是∠A的3倍，
所以∠B＝3x.
因为∠C比∠A大30°，
所以∠C＝∠A＋30°＝x＋30°.
因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以x＋3x＋x＋30°＝180°，
解得x＝30°，
所以∠A＝30°.
12. 解：（1）因为AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，
所以∠OAB＝ ∠BAC，∠OBA＝ ∠ABC，
所以∠OAB＋∠OBA＝ （∠BAC＋∠ABC）.
因为在△ABC中，∠C＝80°，
所以∠BAC＋∠ABC＝180°－∠C＝100°，
所以∠AOB＝180°－∠OAB－∠OBA＝180°－ （∠BAC＋∠ABC）＝
130°.
（2）因为AD是边BC上的高，
所以∠ADC＝90°，
所以∠DAC＝90°－∠C＝90°－80°＝10°.
因为∠C＝80°，∠ABC＝40°，
所以∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝60°.
因为AE是∠BAC的平分线，
所以∠CAE＝ ∠BAC＝30°，
所以∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝30°－10°＝20°.(共20张PPT)
第四章　三角形
4　利用三角形全等测距离
A. 基础夯实
1. 利用三角形全等测量距离的原理是（　B　）.
A. 全等三角形的对应角相等
B. 全等三角形的对应边相等
C. 大小和形状相同的两个三角形全等
D. 三边对应相等的两个三角形全等
B
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2. （2025·蛇口育才教育集团期中）小亮设计了如下测量一池塘两端A，B的
距离的方案：先取一个可直接到达点A，B的点O，连接AO，BO，延长
AO至点P，延长BO至点Q，使得OP＝AO，OQ＝BO，再测出PQ的长
度，即可知道A，B之间的距离.他设计方案的理由是（　A　）.
A. SAS B. AAS C. ASA D. SSS
第2题图
A
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3. 如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两
点C，D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A，C，E在同一条直
线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此测得DE的长
就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（　D　）.
A. AAS B. SAS C. SSS D. 以上均不可
D
第3题图
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4. （2025·河源期末）如图1是某博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意
图如图2所示，为了测量其底部内径CD，考古学家将两根细木条的中点固定
在一起，量出A，B两点之间的距离，即可得到CD的长度，其依据是
（　B　）.
A. 三边分别相等的两个三角形全等
B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D. 两角分别相等且其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等
B
第4题图
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5. 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间
的距离，用如图所示的这种方法测量，依据是 .
第5题图
SAS
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6. 数学实践活动课中，老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，
某学习小组设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AC，BD的中点O
固定，现测得C，D之间的距离为69 mm，求锥形瓶底面的内径AB的长度.
解：因为点O是AC，BD的中点，
所以AO＝CO，BO＝DO.
在△AOB和△COD中，
所以△AOB≌△COD（SAS），
所以AB＝CD＝69 mm.
即锥形瓶底面的内径AB的长度为69 mm.
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B. 能力提升
7. 要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了如下测量
方案：
方案Ⅰ ①如图1，选定点O； ②连接AO，并延长 到点C，使OC＝
OA，连接BO，并延长到点D，使
OD＝OB； ③连接DC，测量DC的长度即可. 方案Ⅱ
①如图2，选定点O；
②连接AO，BO，并
分别延长到点
F，E，使OF＝OB，OE＝OA；
③连接EF，测量EF的长度即可.
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对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（　D　）.
A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C. Ⅰ，Ⅱ都不可行 D. Ⅰ，Ⅱ都可行
D
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8. 如图，小刚站在河边的点A处，在河对面（小刚的正北方向）的点B处有
一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一
棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，从点D处
开始计步，当小刚看到电线塔、树与自己
现在的位置在一条直线上时，他恰好走了74
步，并且小刚一步大约0.5米.由此小刚估计
出了在点A处时他与电线塔的距离，请问他
的做法是否合理？若合理，请求出在点A处
时他与电线塔的距离；若不合理，请说明理由.
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解：合理.根据题意，得AC＝DC.
在△ABC和△DEC中，
所以△ABC≌△DEC（ASA），
所以AB＝DE.
又因为小刚走完DE用了74步，一步大约0.5米，
所以AB＝DE＝74×0.5＝37（米）.
答：小刚在点A处时他与电线塔的距离为37米.
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C. 拓展思维
9. 如图，某村庄有一块五边形的田地，AB＝AE＝CD＝60 m，∠ABC＝
∠AED＝90°，连接对角线AC，AD，∠BAE＝2∠CAD.
（1）∠BAC，∠DAE与∠CAD之间的数量关系是
.
解析：因为∠BAE＝∠BAC＋∠CAD＋∠DAE，∠BAE＝2∠CAD，
所以∠BAC＋∠CAD＋∠DAE＝2∠CAD，
所以∠BAC＋∠DAE＝∠CAD.
故答案为∠BAC＋∠DAE＝∠CAD.
∠BAC＋∠DAE＝
∠CAD
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9. 如图，某村庄有一块五边形的田地，AB＝AE＝CD＝60 m，∠ABC＝
∠AED＝90°，连接对角线AC，AD，∠BAE＝2∠CAD.
（2）为保护田内农作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一
圈木栅栏，已知每米木栅栏的建造成本是50元，则建造木栅栏共需花费多少
元？（提示：延长CB至点G，使BG＝DE）
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解：如图，延长CB至点G，使GB＝ED，连接AG.
所以BC＋DE＝BC＋BG＝GC.
在△AGB与△ADE中，
所以△AGB≌△ADE（SAS），
所以∠GAB＝∠DAE，AG＝AD.
因为∠BAC＋∠DAE＝∠CAD，
所以∠BAC＋∠GAB＝∠CAD，即∠GAC＝∠CAD.
在△AGC与△ADC中，
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所以△AGC≌△ADC（SAS），
所以GC＝CD，
所以BC＋ED＝CD＝60 m.
五边形ABCDE的周长为3×60＋60＝240（m），
240×50＝12 000（元）.
答：建造木栅栏共需花费12 000元.
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参考答案
1. B　2.A　3.D　4.B　5.SAS
6. 解：因为点O是AC，BD的中点，
所以AO＝CO，BO＝DO.
在△AOB和△COD中，
所以△AOB≌△COD（SAS），
所以AB＝CD＝69 mm.
即锥形瓶底面的内径AB的长度为69 mm.
7. D
8. 解：合理.根据题意，得AC＝DC.
在△ABC和△DEC中，
所以△ABC≌△DEC（ASA），
所以AB＝DE.
又因为小刚走完DE用了74步，一步大约0.5米，
所以AB＝DE＝74×0.5＝37（米）.
答：小刚在点A处时他与电线塔的距离为37米.
9. 解：（1）∠BAC＋∠DAE＝∠CAD　解析：因为∠BAE＝∠BAC＋
∠CAD＋∠DAE，∠BAE＝2∠CAD，
所以∠BAC＋∠CAD＋∠DAE＝2∠CAD，
所以∠BAC＋∠DAE＝∠CAD. 故答案为∠BAC＋∠DAE＝∠CAD.
（2）如图，延长CB至点G，使GB＝ED，连接AG.
所以BC＋DE＝BC＋BG＝GC.
在△AGB与△ADE中，
所以△AGB≌△ADE（SAS），
所以∠GAB＝∠DAE，AG＝AD.
因为∠BAC＋∠DAE＝∠CAD，
所以∠BAC＋∠GAB＝∠CAD，即∠GAC＝∠CAD.
在△AGC与△ADC中，
所以△AGC≌△ADC（SAS），
所以GC＝CD，
所以BC＋ED＝CD＝60 m.
五边形ABCDE的周长为3×60＋60＝240（m），
240×50＝12 000（元）.
答：建造木栅栏共需花费12 000元.

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