资源简介

(共18张PPT)
第五章　图形的轴对称
2　简单的轴对称图形
第3课时　角平分线
A. 基础夯实
1. （2024春·龙岗区校级月考）如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于
点D，PD＝5，则点P到OB的距离是 .
第1题图
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2. （2025·南山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆
心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N
为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于
点D，若CD＝2，AB＝5，则△ABD的面积是 .
第2题图
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3. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，连接AC，AC⊥CD，且∠ACB
＝∠D，BC＝6，AB＝8，AC＝10，点E是AD边上一动点，则CE的最小
值是 .
第3题图
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4. 如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD＝
∠DAB的依据是（　D　）.
A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
第4题图
D
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5. （2025·揭阳市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，
任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆
心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点
D. 若CD＝3，则点D到直线AB的距离是（　C　）.
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
第5题图
C
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6. （2025·深圳市60校联考期中）校园的一角如图所示，其中线段AB，
BC，CD表示围墙，围墙内是学生的一个活动区域，小明想在图中的活动区
域内找到一点P，使得点P到三面围墙的距离都相等，那么这个点P的位置
是（　B　）.
A. 线段AC，BD的交点
B. ∠ABC，∠BCD平分线的交点
C. 线段AB，BC垂直平分线的交点
D. 线段BC，CD垂直平分线的交点
B
第6题图
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7. 如图，在△ABC中，∠BAC＝42°，分别以点B，C为圆心，大于 BC
长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线AP. 若AP⊥BC，则∠C的度数
为 .
第7题图
69°
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解：因为AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
所以DE＝DF.
因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
所以60＝ AB·DE＋ AC·DF.
因为AB＝12，AC＝8，
所以DE＝6.
8. 如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
连接EF交AD于点G. 若AB＝12，AC＝8，S△ABC＝60，求DE的长.
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9. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°.
（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD，交AC于点D；（保留作图痕
迹，不要求写作法）
解：∠ABC的平分线如图所示.
B. 能力提升
（2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数.
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解：因为AB＝AC，
所以∠ABC＝∠C＝70°，
所以∠A＝180°－70°－70°＝40°.
因为BD平分∠ABC，
所以∠CBD＝ ∠ABC＝35°，
所以∠BDC＝180°－∠CBD－∠C＝180°－35°－70°＝75°.
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10. 如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点
E，F.
（1）∠EDB与∠FDB相等吗？请说明理由.
解：∠EDB与∠FDB相等.理由如下：
因为DE⊥AB，DF⊥BC，
所以∠BED＝∠BFD＝90°.
因为BD是△ABC的角平分线，
所以∠EBD＝∠FBD.
在△BDE和△BDF中，因为
所以△BDE≌△BDF（AAS），
所以∠EDB＝∠FDB.
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10. 如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点
E，F.
（2）若△ABC的面积为70，AB＝16，DE＝5，求BC的长.
解：因为BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
所以DF＝DE＝5，
所以S△ABD＝ AB·DE＝40，
所以S△BCD＝ BC·DF＝70－40＝30，
所以BC＝12.
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C. 拓展思维
11. 如图，已知锐角△ABC，∠C＝74°，请用尺规作图法，在△ABC内部
作一点P，使PB＝PC，且∠PCB＝37°.（保留作图痕迹，不写作法）
解：如图，点P即为所求.
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参考答案
1.5　2.5　3.6　4.D　5.C　6.B　7.69°
8. 解：因为AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
所以DE＝DF.
因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
所以60＝ AB·DE＋ AC·DF.
因为AB＝12，AC＝8，
所以DE＝6.
9. 解：（1）∠ABC的平分线如图所示.
（2）因为AB＝AC，
所以∠ABC＝∠C＝70°，
所以∠A＝180°－70°－70°＝40°.
因为BD平分∠ABC，
所以∠CBD＝ ∠ABC＝35°，
所以∠BDC＝180°－∠CBD－∠C＝180°－35°－70°＝75°.
10. 解：（1）∠EDB与∠FDB相等.理由如下：
因为DE⊥AB，DF⊥BC，
所以∠BED＝∠BFD＝90°.
因为BD是△ABC的角平分线，
所以∠EBD＝∠FBD.
在△BDE和△BDF中，因为
所以△BDE≌△BDF（AAS），
所以∠EDB＝∠FDB.
（2）因为BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
所以DF＝DE＝5，
所以S△ABD＝ AB·DE＝40，
所以S△BCD＝ BC·DF＝70－40＝30，
所以BC＝12.
11. 解：如图，点P即为所求.(共19张PPT)
第五章　图形的轴对称
2　简单的轴对称图形
第2课时　垂直平分线
A. 基础夯实
1. 如图，P为线段AB的垂直平分线上一点，若PB＝3 cm，则PA的长为
.
第1题图
3 cm
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2. （2025·宝安区孝德学校模考）如图，△ABC中，AC边的垂直平分线分别
交AC，AB于点D，E，AD＝3 cm，△ABC的周长为18 cm，则△BEC的
周长为（　C　）.
A. 8 cm B. 10 cm C. 12 cm D. 15 cm
第2题图
C
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3. （2025·宝安区文汇学校期末）为了丰富学生的课外活动，在周一班会课
中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A，B，C三名选手站在一个三角形
的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为
使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（　C　）.
A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点
C
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4. 如图，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A＝36°，则∠ACD的度
数为 .
第4题图
36°
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B
5. 下列尺规作图，能确定AD＝BD的是（　B　）.
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6. 如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE分别与AB边和AC边交于点
D和点E，BC边的垂直平分线FG分别与BC边和AC边交于点F和点G，若
△BEG的周长为9，且GE＝1，则AC的长为 .
第6题图
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7. （2025·佛山月考）如图，在△ABC中，DE是线段BC的垂直平分线，点
F是线段AC的中点，其中CF＝5，AB＝8，则△ABE的周长为 .
第7题图
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8. 如图，△ABC中，AB＝AC，D为底边BC的中点，BC＝4 cm，S△ABC
＝14 cm2，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N. O为线段MN上一
点，求OB＋OD的最小值.
解：如图，连接OA，AD，
解：如图，连接OA，AD，
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因为AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，
所以OA＝OB，
所以OB＋OD＝OA＋OD≥AD，
所以当点O在线段AD上时，OB＋OD的值最小，为AD的长.
因为AB＝AC，D为底边BC的中点，
所以AD⊥BC，
因为BC＝4 cm，
所以AD＝7 cm，
因为AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，
所以OA＝OB，
所以OB＋OD＝OA＋OD≥AD，
所以当点O在线段AD上时，OB＋OD的值最小，为AD的长.
因为AB＝AC，D为底边BC的中点，
所以AD⊥BC，
所以S△ABC＝ BC·AD＝14
因为BC＝4
cm，
所以AD＝7
cm，
所以OB＋OD的最小值为7 cm.
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B. 能力提升
9. 如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，点P在边AC上，请用直尺和圆规
在边BC上求作一点E，使CE＋EP＝BC. （要求：保留作图痕迹，不写
作法）
解：如图，点E即为所求.
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10. （2025·揭阳市月考）如图，已知△ABC中，AD⊥BC于点D.
（1）请作出AB的垂直平分线EF，分别交BC，AB于点E，F；
解：如图，EF为AB的垂直平分线.
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10. （2025·揭阳市月考）如图，已知△ABC中，AD⊥BC于点D.
（2）若点D为线段CE的中点，∠B＝35°，求∠C的度数.
解：因为AE＝BE，∠B＝35°，
所以∠BAE＝∠B＝35°.
因为AD⊥BC，∠ADB＝90°，
所以∠BAD＝90°－35°＝55°，
∠EAD＝55°－35°＝20°.
因为AC＝AE，
所以∠C＝∠AED＝90°－20°＝70°.
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C. 拓展思维
11. 已知，如图，AD是△ABC的高线，AD的垂直平分线分别交AB，AC于
点E，F.
（1）若∠B＝40°，求∠AEF的度数；
解：因为EF是AD的垂直平分线，
所以EF⊥AD.
因为BC⊥AD，
所以EF∥BC，∠AEF＝∠B＝40°.
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（2）求证：∠B＝ ∠AED.
证明：因为EF是AD的垂直平分线，
所以EA＝ED，EF⊥AD，
所以∠AEF＝∠DEF，
所以∠AEF＝ ∠AED.
由（1）可知，∠AEF＝∠B，
所以∠B＝ ∠AED.
11. 已知，如图，AD是△ABC的高线，AD的垂直平分线分别交AB，AC于
点E，F.
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参考答案
1.3 cm　2.C　3.C　4.36°　5.B　6.7　7.18
8. 解：如图，连接OA，AD，
因为AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，
所以OA＝OB，
所以OB＋OD＝OA＋OD≥AD，
所以当点O在线段AD上时，OB＋OD的值最小，为AD的长.
因为AB＝AC，D为底边BC的中点，
所以AD⊥BC，
所以S△ABC＝ BC·AD＝14 cm2.
因为BC＝4 cm，
所以AD＝7 cm，
所以OB＋OD的最小值为7 cm.
9. 解：如图，点E即为所求.
10. 解：（1）如图，EF为AB的垂直平分线.
（2）因为AE＝BE，∠B＝35°，
所以∠BAE＝∠B＝35°.
因为AD⊥BC，∠ADB＝90°，
所以∠BAD＝90°－35°＝55°，
∠EAD＝55°－35°＝20°.
因为AC＝AE，
所以∠C＝∠AED＝90°－20°＝70°.
11. （1）解：因为EF是AD的垂直平分线，
所以EF⊥AD.
因为BC⊥AD，
所以EF∥BC，∠AEF＝∠B＝40°.
（2）证明：因为EF是AD的垂直平分线，
所以EA＝ED，EF⊥AD，
所以∠AEF＝∠DEF，
所以∠AEF＝ ∠AED.
由（1）可知，∠AEF＝∠B，
所以∠B＝ ∠AED.(共20张PPT)
第五章　图形的轴对称
章末复习
A. 基础夯实
1. （2025·盐田区期末）习近平总书记在一次中国品牌论坛开幕式中为品牌
强国建设指明了前进方向，下列国货品牌标志图案中不是轴对称图形的是
（　A　）.
2. 下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（　D　）.
A. 等边三角形 B. 菱形 C. 等腰梯形 D. 圆
A
D
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3. 如图，下列选项中的右边图形与左边图形成轴对称的是（　C　）.
C
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4. 如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，P为l上一点，下列结论中错误
的是（　D　）.
A. AP＝A'P
B. 直线l垂直平分线段AA'，CC'
C. △ABC与△A'B'C'的面积相等
D. 直线AB，A'B'的交点不一定在直线l上
D
第4题图
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5. （2025·宝安区期末）如图是一个非机动车的交通指示牌，自行车车架的
支撑部分可以看成两个共边的三角形，若AD∥BC，DB＝DC，∠A＝
∠BDC＝40°，则∠ABD＝ °.
第5题图
70
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6. 如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，点F为射线
AB上一点.若PE＝5，则PF长的最小值是 .
第6题图
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7. 如图，在△ABC中，按以下步骤作图：① 分别以点B，C为圆心，大于
BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；② 作直线MN交AB于点D，
连接CD. 若AC＝4，AB＝10，则△ACD的周长为 .
第7题图
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B. 能力提升
8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的高线，E，F分别是
AB，AD上任意一点，若AB＝8，△ABC的面积为24，则EF＋BF的最小
值是 .
第8题图
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9. 如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有
一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）.
（1）在图中作出△ABC关于直线m对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B
与B1，C与C1相对应）
解：如图，△A1B1C1即为所求.
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9. 如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有
一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）.
（2）在（1）的结果下，以点C，B，B1为顶点的△CBB1的面积是 ；
解析：如图，△CBB1的面积为 ×2×2＝2，
故答案为2.
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9. 如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有
一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）.
（3）在对称轴上有一点P，当△PBC的周长最小时，点P在什么位置？在图
中标出点P.
解：如图，点P即为所求.
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C. 拓展思维
10. 如图1，图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°－α，
BD平分∠ABC.
（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝DC，这
个性质是 .
角平分线上的点到角两边的距离相等
（2）如图2，求证：DA＝DC；
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证明：如图1，作DE⊥BA交BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F，
因为BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，
所以DE＝DF.
因为∠BAD＋∠C＝180°，∠BAD＋∠EAD＝180°，
所以∠EAD＝∠C.
在△DEA和△DFC中，
所以△DEA≌△DFC（AAS），
所以DA＝DC.
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10. 如图1，图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°－α，
BD平分∠ABC.
（3）如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：
BD＋AD＝BC.
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证明：如图2，在BC上截取BK＝BD，连接DK，
因为AB＝AC，∠A＝100°，
所以∠ABC＝∠C＝40°.
因为BD平分∠ABC，
所以∠DBK＝ ∠ABC＝20°.
因为BD＝BK，
所以∠BKD＝∠BDK＝80°，
即∠A＋∠BKD＝180°，
由（2）的结论得AD＝DK.
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因为∠BKD＝180°－∠DKC＝180°－（180°－∠C－∠KDC）＝∠C＋
∠KDC，
所以∠KDC＝∠C＝40°，
所以DK＝CK，
所以AD＝DK＝CK，
所以BD＋AD＝BK＋CK＝BC.
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参考答案
1. A　2.D　3.C　4.D　5.70　6.5　7.14　8.6
9. 解：（1）如图，△A1B1C1即为所求.
（2）2　解析：如图，△CBB1的面积为 ×2×2＝2，
故答案为2.
（3）如图，点P即为所求.
10. （1）角平分线上的点到角两边的距离相等
（2）证明：如图1，作DE⊥BA交BA的延
长线于点E，作DF⊥BC于点F，
因为BD平分∠EBF，DE⊥BE，
DF⊥BF，
所以DE＝DF.
因为∠BAD＋∠C＝180°，∠BAD＋
∠EAD＝180°，
所以∠EAD＝∠C.
在△DEA和△DFC中，
所以△DEA≌△DFC（AAS），
所以DA＝DC.
（3）证明：如图2，在BC上截取BK＝BD，连接DK，
因为AB＝AC，∠A＝100°，
所以∠ABC＝∠C＝40°.
因为BD平分∠ABC，
所以∠DBK＝ ∠ABC＝20°.
因为BD＝BK，
所以∠BKD＝∠BDK＝80°，
即∠A＋∠BKD＝180°，
由（2）的结论得AD＝DK.
因为∠BKD＝180°－∠DKC＝180°－（180°－∠C－∠KDC）＝∠C＋
∠KDC，
所以∠KDC＝∠C＝40°，
所以DK＝CK，
所以AD＝DK＝CK，
所以BD＋AD＝BK＋CK＝BC.(共20张PPT)
第五章　图形的轴对称
1　轴对称及其性质
第2课时　探索轴对称的性质
A. 基础夯实
1. 如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O. 有下列
结论：①AB＝A'B'；②OB＝OB'；③AA'∥BB'∥CC'；④MN垂直平分
CC'.其中正确的有（　D　）.
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 4个
D
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2. 线段AB与线段A'B'关于直线l成轴对称，连接AB'，A'B相交于点O，则
下列结论不一定正确的是（　C　）.
A. AB＝A'B' B. AB'＝A'B
C. AB'⊥A'B D. AA'∥BB'
第1题图
C
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3. 如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，△ABC的周长为23 cm，若AB＝
6 cm，EF＝8 cm，则AC的长是（　C　）.
A. 6 cm B. 8 cm C. 9 cm D. 10 cm
第3题图
C
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4. 如图，若∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线
OA，OB的对称点P1，P2，连接OP1，OP2，则下列结论完全正确的是
（　D　）.
A. OP1⊥OP2 B. OP1＝OP2
C. OP1≠OP2 D. OP1⊥OP2且OP1＝OP2
第4题图
D
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5. 如图，将△ABC折叠，使点A与BC边的中点D重合，折痕为MN. 若AB
＝9，BC＝6，则△DNB的周长为（　A　）.
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
第5题图
A
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6. （2025·深圳宝安中学初中部开学）如图，长方形纸片ABCD，M为AD边
的中点，将纸片沿BM，CM折叠，使点A落在点A1处，点D落在点D1处，
若∠1＝30°，则∠BMC＝（　C　）.
A. 135° B. 120° C. 105° D. 100°
第6题图
C
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7. （2025·福田区外国语学校期中）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折
叠后，点A落在CD边上的点A'处，点B落在点B'处，A'B'与BC交于点G，
若∠A'GC＝58°，则∠EFB'的度数为（　B　）.
A. 74° B. 106° C. 112° D. 116°
第7题图
B
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B. 能力提升
8. 如图，已知△ABC和直线MN，求作△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC关于
直线MN对称.
解：如图所示.
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9. 如图，一张四边形纸片ABCD，∠B＝∠D＝90°，把纸片按如图所示折
叠，使点B落在AD边上的点B'，AE是折痕.
（1）试判断B'E与DC的位置关系.
解：由折叠的性质，得∠B＝∠AB'E＝90°，
∠AB'E＝∠D＝90°，
所以B'E∥DC.
（2）如果∠C＝140°，求∠AEB的度数.
解：由四边形的一组对角互补，得∠DAB＋∠C＝180°.
由∠C＝140°得∠DAB＝180°－∠C＝40°.
由翻折的性质，得∠BAE＝ ∠DAB＝ ×40°＝20°，
所以∠AEB＝180°－∠B－∠BAE＝70°.
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C. 拓展思维
10. （2025·深圳大学附属中学期末）【操作探究】
（1）如图1，四边形ABCD是长方形纸片，AD∥BC，点E，F分别在边
BC，AD上，以EF为折痕折叠纸片，点A，B的对应点分别是点A'，B'，
B'E与AD相交于点G. 探究∠B'EF和∠GFE的数量关系，并说明理由.
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解：∠B'EF＝∠GFE. 理由：
因为 四边形ABCD是长方形，
所以AD∥BC，
所以∠GFE＝∠BEF.
因为纸片以EF为折痕折叠，
所以∠B'EF＝∠BEF. 所以∠B'EF＝∠GFE.
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10. （2025·深圳大学附属中学期末）【操作探究】
（2）如图2，在（1）中折叠的基础上，再将纸片沿GH折叠，点C，D的对
应点分别是点C'，D'，使得D'G经过点E. 探究两次折痕EF和GH的位置
关系，并说明理由.
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解：EF∥GH. 理由：
由（1）已证得∠B'EF＝∠GFE.
因为AD∥BC，
所以∠BEG＝∠DGE.
因为纸片以EF为折痕折叠，纸片沿GH折叠，
所以∠FEG＝ ∠BEG， ∠EGH＝ ∠DGE.
所以∠FEG＝∠EGH，
所以EF∥GH.
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10. （2025·深圳大学附属中学期末）【操作探究】
【拓展提升】
（3）在（2）的条件下，若∠A'FG的度数比∠B'EF的度数大30°，则
∠CHC'的度数为多少.
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解：设∠B'EF＝x°，∠A'FG的度数比∠B'EF的度数大30°，
所以∠A'FG＝（x＋30）°.
由（1）可知∠GFE＝∠B'EF＝x°，
因为AD∥BC，所以∠GFE＝∠BEF＝x°.
因为A'F∥B'E，所以∠A'FE＋∠B'EF＝180°，
即（x＋30）＋x＋x＝180，解得x＝50，即∠B'EF＝50°.
因为纸片以EF为折痕折叠，
所以∠B'EB＝2∠B'EF＝100°.
因为∠B'EB＝∠D'EH＝100°，D'G∥C'H，
所以∠CHC'＝∠D'EH＝100°.
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参考答案
1. D　2.C　3.C　4.D　5.A　6.C　7.B
8. 解：如图所示.
9. 解：（1）由折叠的性质，得∠B＝∠AB'E＝90°，
∠AB'E＝∠D＝90°，
所以B'E∥DC.
（2）由四边形的一组对角互补，得∠DAB＋∠C＝180°.
由∠C＝140°得∠DAB＝180°－∠C＝40°.
由翻折的性质，得∠BAE＝ ∠DAB＝ ×40°＝20°，
所以∠AEB＝180°－∠B－∠BAE＝70°.
10. 解：（1）∠B'EF＝∠GFE. 理由：
因为 四边形ABCD是长方形，
所以AD∥BC，
所以∠GFE＝∠BEF.
因为纸片以EF为折痕折叠，
所以∠B'EF＝∠BEF. 所以∠B'EF＝∠GFE.
（2）EF∥GH. 理由：
由（1）已证得∠B'EF＝∠GFE.
因为AD∥BC，
所以∠BEG＝∠DGE.
因为纸片以EF为折痕折叠，纸片沿GH折叠，
所以∠FEG＝ ∠BEG， ∠EGH＝ ∠DGE.
所以∠FEG＝∠EGH，
所以EF∥GH.
（3）设∠B'EF＝x°，∠A'FG的度数比∠B'EF的度数大30°，
所以∠A'FG＝（x＋30）°.
由（1）可知∠GFE＝∠B'EF＝x°，
因为AD∥BC，
所以∠GFE＝∠BEF＝x°.
因为A'F∥B'E，
所以∠A'FE＋∠B'EF＝180°，
即（x＋30）＋x＋x＝180，解得x＝50，即∠B'EF＝50°.
因为纸片以EF为折痕折叠，
所以∠B'EB＝2∠B'EF＝100°.
因为∠B'EB＝∠D'EH＝100°，D'G∥C'H，
所以∠CHC'＝∠D'EH＝100°.(共12张PPT)
第五章　图形的轴对称
1　轴对称及其性质
第1课时　轴对称现象
A. 基础夯实
1. （2025·深圳中学期末）博物馆是保护和传承人类文明的重要场所.下列博
物馆标志中，图案不．是．轴对称图形的是（　A　）.
A
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2. （2025·龙岗区期末）2024年12月4日，我国的传统节日“春节”被成功列
入《人类非物质文化遗产代表作名录》，下面几幅漂亮的窗花剪纸图案中，
可以看作是轴对称图形的是（　C　）.
C
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3. 《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下
列选项中两个图形成轴对称的是（　A　）.
4. 下列图形中，对称轴条数最多的是（　D　）.
A
D
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5. 小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如图图
案，请问他的学号应该是（　A　）.
A. 70625 B. 70952 C. 70925 D. 52607
第5题图
A
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6. 如图，从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，使剩余部分成
为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是 .
第6题图
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B. 能力提升
7. 在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从其余
小正方形中任选一个也涂上阴影，使整个阴影部分组成的图形成轴对称图
形，那么符合条件的小正方形共有（　B　）.
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
B
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8. 画出下列轴对称图形的所有对称轴，并在每个图形的下面写出它有几条对
称轴.
（　　）条 （　　）条 （　　）条 （　　）条
解：如图所示.
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9. 在图1中描涂2个小方块，在图2中描涂3个小方块，在图3中描涂4个小方
块，在图4中描涂5个小方块，分别使图中的阴影图案成为轴对称图形.
解：如图所示.（答案不唯一）
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10. 如图，所给图形分别为正三角形、正方形、正五边形、正六边形.
（1）分别说出它们各有几条对称轴.
解：分别有3条、4条、5条、6条对称轴.
（2）分别画出各图形的所有对称轴.
解：如图所示.
（3）通过你自己作图与思考，你发现了哪些规律？试着写出几条.
解：正n边形有n条对称轴；这些对称
轴都相交于一点.（答案不唯一）
C. 拓展思维
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参考答案
1. A　2.C　3.A　4.D　5.A　6.2　7.B
8. 解：如图所示.
9. 解：如图所示.（答案不唯一）
10. 解：（1）分别有3条、4条、5条、6条对称轴.
（2）如图所示.
（3）正n边形有n条对称轴；这些对称轴都相交于一点.（答案不唯一）(共17张PPT)
第五章　图形的轴对称
2　简单的轴对称图形
第1课时　等腰三角形的性质
A. 基础夯实
1. 在△ABC中，AB＝AC，∠B＝65°，则∠A等于 .
2. 等腰三角形的一个角是100°，则它的顶角的度数是 .
3. 等腰三角形的一个角是80°，它的底角度数为 .
50°
100°
80°或50°
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4. 如图，在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠B＝25°，则∠CAD的度数为
（　C　）.
A. 70° B. 75° C. 80° D. 85°
第4题图
C
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5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，AD＝5，
CD＝3，则△ABC的面积为 .
第5题图
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6. （2025·宝安区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，
∠BAC＝106°，则∠BAD的度数为（　C　）.
A. 37° B. 45° C. 53° D. 60°
第6题图
C
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7. 已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为35°，那么这个等腰三角
形的顶角等于 .
8. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD，CE分别是△ABC的中线和高.
若∠ACE＝32°，求∠BAD的度数.
55°或125°
解：因为CE⊥AB，
所以∠AEC＝90°，
所以∠CAE＝90°－∠ACE＝90°－32°＝58°.
因为AB＝AC，AD是△ABC的中线，
所以AD平分∠BAC，
所以∠BAD＝ ∠BAC＝29°.
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9. 如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求
∠DBC的度数.
解：因为∠C＝∠ABC＝2∠A，
所以∠C＋∠ABC＋∠A＝5∠A＝180°，
所以∠A＝36°.
所以∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°.
又BD是AC边上的高，
所以∠DBC＝90°－∠C＝18°.
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B. 能力提升
10. 如图，已知AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，垂足为点
F.
求证：CF＝DF.
证明：在△ABC和△AED中，因为
所以△ABC≌△AED（SAS），
所以AC＝AD.
因为AF⊥CD，
所以CF＝DF.
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11. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝45°，E为AB的中点，连接
CE，过点A作AD⊥BC于点D，交CE于点F.
（1）求∠BAD的度数；
解：因为AC＝BC，E为AB的中点，
所以∠ACE＝∠BCE，CE⊥AB.
因为∠ACB＝45°，
所以∠ACE＝∠BCE＝22.5°.
因为AD⊥BC，CE⊥AB，
所以∠AEF＝∠ADC＝90°，
而∠AFE＝∠CFD，
所以∠BAD＝∠BCE＝22.5°.
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11. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝45°，E为AB的中点，连接
CE，过点A作AD⊥BC于点D，交CE于点F.
（2）求证：CF＝2BE.
证明：因为∠ACB＝45°，∠ADC＝90°，
所以△ADC为等腰直角三角形，所以AD＝CD.
又∠BAD＝∠BCE，∠BDA＝∠FDC＝90°，
所以△ADB≌△CDF（ASA），所以AB＝CF.
因为E为AB的中点，
所以AB＝2BE，所以CF＝2BE.
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C. 拓展思维
12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝20°，∠EDC＝
10°，求∠DAE的度数.
解：设∠C＝x，因为AB＝AC，
所以∠B＝∠C＝x，所以∠AED＝x＋10°.
因为AD＝DE，
所以∠DAE＝∠AED＝x＋10°，所以∠BAC＝x＋30°.
在△ABC中，根据三角形的内角和定理，得x＋x＋（x＋30°）＝180°，
解得x＝50°，
所以∠DAE＝60°.
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参考答案
1.50°　2.100°　3.80°或50°　4.C　5.15　6.C
7.55°或125°
8. 解：因为CE⊥AB，
所以∠AEC＝90°，
所以∠CAE＝90°－∠ACE＝90°－32°＝58°.
因为AB＝AC，AD是△ABC的中线，
所以AD平分∠BAC，
所以∠BAD＝ ∠BAC＝29°.
9. 解：因为∠C＝∠ABC＝2∠A，
所以∠C＋∠ABC＋∠A＝5∠A＝180°，
所以∠A＝36°.
所以∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°.
又BD是AC边上的高，
所以∠DBC＝90°－∠C＝18°.
10. 证明：在△ABC和△AED中，因为
所以△ABC≌△AED（SAS），
所以AC＝AD.
因为AF⊥CD，
所以CF＝DF.
11. （1）解：因为AC＝BC，E为AB的中点，
所以∠ACE＝∠BCE，CE⊥AB.
因为∠ACB＝45°，
所以∠ACE＝∠BCE＝22.5°.
因为AD⊥BC，CE⊥AB，
所以∠AEF＝∠ADC＝90°，
而∠AFE＝∠CFD，
所以∠BAD＝∠BCE＝22.5°.
（2）证明：因为∠ACB＝45°，∠ADC＝90°，
所以△ADC为等腰直角三角形，
所以AD＝CD.
又∠BAD＝∠BCE，∠BDA＝∠FDC＝90°，
所以△ADB≌△CDF（ASA），
所以AB＝CF.
因为E为AB的中点，
所以AB＝2BE，
所以CF＝2BE.
12. 解：设∠C＝x，因为AB＝AC，
所以∠B＝∠C＝x，
所以∠AED＝x＋10°.
因为AD＝DE，
所以∠DAE＝∠AED＝x＋10°，
所以∠BAC＝x＋30°.
在△ABC中，根据三角形的内角和定理，得x＋x＋（x＋30°）＝180°，
解得x＝50°，
所以∠DAE＝60°.(共20张PPT)
第五章　图形的轴对称
★ 问题解决策略：转化
A. 基础夯实
1. 昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A，B的学生上
学，要使A，B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在
（　C　）.
C
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2. 如图，在4×4的正方形网格中，有A，B两点，在直线a上求一点P，使
PA＋PB最短，则点P应选在（　A　）.
A. C点 B. D点 C. E点 D. F点
第2题图
A
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3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝12，D是BC的中点，EF垂直平
分AB，交AB于点E，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB＋PD最
小，则这个最小值为 .
第3题图
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4. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，交AC于点D，
则△ABP周长的最小值是（　C　）.
A. 12 B. 6 C. 7 D. 8
第4题图
C
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5. 如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝152°，∠B＝∠E＝90°，AB＝
BC，AE＝DE，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最
小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（　B　）.
A. 55° B. 56° C. 57° D. 58°
第5题图
B
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6. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，BC＝13，EF垂
直平分AB，点P是EF上一动点，过点P作PH⊥BC，垂足为点H，连接
BP，则BP＋PH的最小值为 .
第6题图

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7. 如图，在l上找一点P，使｜PA－PB｜最大.
解：如图所示.
因为点A与点A'关于l对称，
所以PA＝PA'，
所以PA－PB＝PA'－PB.
当点P，A'，B在一条直线上时，
｜PA－PB｜有最大值，最大值为BA'的长.
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8. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶
点是网格线交点的三角形）关于直线l对称的图形为△A1B1C1，其中A1是A
的对称点.
（1）请作出对称轴直线l及△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求B与B1
相对应，C与C1相对应）.
解：如图，直线l和△A1B1C1即为所作.
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8. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶
点是网格线交点的三角形）关于直线l对称的图形为△A1B1C1，其中A1是A
的对称点.
（2）如果每一个小正方形的边长为1，求△ABC的面积.
解：S△ABC＝3×4－ ×3×2－ ×4×2－ ×1×2＝4.
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（3）在直线l上找到点P，使得｜PA－PB｜最小.（保留作图痕迹）
解：如图，点P即为所作.
8. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶
点是网格线交点的三角形）关于直线l对称的图形为△A1B1C1，其中A1是A
的对称点.
因为线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
所以此时｜PA－PB｜＝0.
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B. 能力提升
9. 如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5 cm，点M和点N分别是射线
OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5 cm，则∠AOB的度数
是 .
第9题图
30°
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10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，如
果点D，E分别为BC，AB上的动点，那么AD＋DE的最小值是 .
第10题图
9.6
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解析：如图，作点A关于BC的对称点A'，过点A'作AE⊥AB，交BC于点
D，连接A'B，则AD＝A'D，
所以AD＋DE＝A'D＋DE≥A'E，
即AD＋DE的最小值为A'E的长.
因为∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
所以AA'＝12.
因为S△AA'B＝ AA'·BC＝ AB·A'E，
所以A'E＝ ＝ ＝9.6，
即AD＋DE的最小值为9.6.
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11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点F，交AB
于点E，连接EC，AB＝10，△BEC的周长为18.若点P在直线EF上，连接
PA，PB，则｜PA－PB｜的最大值为 .
第11题图
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C. 拓展思维
12. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ACB＝60°，BD是∠ABC的平
分线，若M，N分别是BD和BC上的动点，当CM＋MN取最小值时，求
BN的值.
解：因为AB＝BC＝4，∠ACB＝60°，
所以△ABC是等边三角形.
因为BD是∠ABC的平分线，
所以BD是AC的垂直平分线，
所以A，C两点关于BD对称.如图，作AN⊥BC于点N，交BD于点M，连
接CM，此时CM＋MN＝AM＋MN＝AN最小，
所以BN＝ BC＝ ×4＝2.
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参考答案
1. C　2.A　3.12　4.C　5.B　6.
7. 解：如图所示.
因为点A与点A'关于l对称，
所以PA＝PA'，
所以PA－PB＝PA'－PB.
当点P，A'，B在一条直线上时，｜PA－PB｜有最大值，最大值为BA'的
长.
8. 解：（1）如图，直线l和△A1B1C1即为所作.
（2）S△ABC＝3×4－ ×3×2－ ×4×2
－ ×1×2＝4.
（3）如图，点P即为所作.
因为线段垂直平分线上的点到线段
两端点的距离相等，
所以此时｜PA－PB｜＝0.
9.30°
10. 9.6　解析：如图，作点A关于BC的对称点A'，过点A'作AE⊥AB，交
BC于点D，连接A'B，则AD＝A'D，
所以AD＋DE＝A'D＋DE≥A'E，
即AD＋DE的最小值为A'E的长.
因为∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
所以AA'＝12.
因为S△AA'B＝ AA'·BC＝ AB·A'E，
所以A'E＝ ＝ ＝9.6，
即AD＋DE的最小值为9.6.
11.8
12. 解：因为AB＝BC＝4，∠ACB＝60°，
所以△ABC是等边三角形.
因为BD是∠ABC的平分线，
所以BD是AC的垂直平分线，
所以A，C两点关于BD对称.如图，作AN⊥BC于点N，交BD于点M，连
接CM，此时CM＋MN＝AM＋MN＝AN最小，
所以BN＝ BC＝ ×4＝2.

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