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第四章因式分解单元复习检测卷北师大版2025—2026学年八年级数学下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．多项式因式分解的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
4．多项式可因式分解为，则为（ ）
A． B． C． D．
5．下列四个多项式中，不能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
6．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，5就是一个“智慧数”．下列各数不是“智慧数”的是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
7．若关于x的二次三项式因式分解为，则的值为（ ）
A． B．7 C． D．1
8．设为正整数，下面是老师在投影上展示的四位同学选择一个的值计算的结果，小林很快就发现其中一位同学的计算有误，这位同学是（ ）
甲 乙 丙 丁
1319 1716 2184 2730
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．一个多项式除以，商为，余数是，这个多项式为______．
10．如图，有正方形A，B，将A，B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形甲与正方形乙．若甲、乙中阴影部分的面积分别12，30，则正方形B的面积为________．
11．若等式成立，则的值为________．
12．已知．若的值与x的取值无关，则当时，A的值为________．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．把下列各式因式分解：
(1)；
(2)；
(3)（为正整数）．
14．因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
15．探究及应用：
（1）如左图，可以求出阴影部分的面积是______；
（2）如右图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是______．
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式______．
运用你所得到的公式，计算：
（4）
（5）
（6）若，，求．
16．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么就称正整数为“可乐数”．例如：，所以3，8，64都是“可乐数”．
(1)在正整数：①12；②15；③18中，是“可乐数”的有 ；（填序号）
(2)求证：当正整数时，是“可乐数”；
(3)把所有的“可乐数”从小到大排列，求第2026个“可乐数”．
17．阅读材料：
因式分解：．
解：令，
则，
．
材料中的解题过程用到的是“整体思想”，这是数学解题过程中常用的一种思想方法．请你运用这种思想方法解答下列问题：
(1)因式分解：____________．
(2)因式分解：．
(3)求证：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方．
18．仔细阅读下面例题，并解答问题．
例题：已知二次三项式有一个因式是3，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，则，解得另一个因式为的值为．
(1)若二次三项式可分解为，则______；
(2)若二次三项式可分解为，则______；
(3)依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
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试卷第1页，共3页
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参考答案
一、选择题
1．D
2．D
3．D
4．B
5．C
6．D
7．C
8．A
二、填空题
9．
10．4
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：．
（2）解：．
（3）解：．
14．【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式．
15．【详解】（1）解：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积；
（2）解：由图可知矩形的宽是，长是，所以面积是；
（3）解： ；
（4）解：
；
（5）解：；
（6）解：，
，
又，即，
．
16．【详解】（1）解：∵，，
∴12，15是“可乐数”，
∵18不能表示为两个正整数的平方差，
∴18不是“可乐数”；
即“可乐数”的有①②；
（2）解：证明：∵，
∴
即能表示为两个正整数和的平方差，
∴当正整数时，是“可乐数”．
（3）解：由（2）可知，所有不小于3的正奇数都是“可乐数”，
若偶数是“可乐数”，则存在正整数，使得，
∴，
∵与的奇偶性相同，
∴是偶数，
因为是偶数，且与的奇偶性相同，
所以与均为偶数，故一定是4的倍数
所有的“可乐数”从小到大排列为：，
当时，所有“可乐数”可以表示为，
当时，分别是第个“可乐数”，
∵，
∴第2026个“可乐数”为．
17．【详解】（1）解： 令，则原式变为
故．
（2）解：令，则，
．
（3）证明：
令，则上式
为正整数，
也为正整数，
∴式子的值一定是某个整数的平方．
18．【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：；
（2）∵，
∴；
（3）设另一个因式为，得，
则，，
解得：，，
故另一个因式为，k的值为12．

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