资源简介

高考仿真卷(三)
(时间：120分钟　分值：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.N*∩{x|2x<9}等于(　　)
A.{1，2，3} B.{0，1，2，3}
C.{1，2，3，4} D.{-3，-2，-1，0，1，2，3}
答案　A
解析　满足2x<9的正整数只有1，2，3，
所以N*∩{x|2x<9}={1，2，3}.
2.已知z+=4，z-=2i，则在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　D
解析　因为所以z=2+i，
所以==-i，
在复平面内对应的点为，位于第四象限.
3.已知等轴双曲线C的焦点到其渐近线的距离为1，则C的焦距为(　　)
A. B.2
C.2 D.4
答案　C
解析　设等轴双曲线的焦距为2c，不妨设焦点坐标为(c，0)，渐近线方程为y=x，
因为焦点到其渐近线的距离为=b=1，
又因为a=b，所以c=，双曲线C的焦距为2.
4.某中学环保社团计划利用社团前空地栽种五棵高低不一样的树木，其中最高和最矮的两棵树木种在两头的方法有(　　)
A.6种 B.12种
C.24种 D.48种
答案　B
解析　先安排最高和最矮的树木的位置，方法有=2(种)；
再安排剩下三棵树的位置，方法有=6(种)，
所以一共有2×6=12(种)方法.
5.若函数y=的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为(　　)
A.(1，0) B.(0，1)
C.(1，1) D.(1，e)
答案　B
解析　设切点坐标为(x0，y0)，函数y=，
所以y'=，
因为切线与x轴平行，所以y'==0，
解得x0=0，y0===1，
故切点坐标为(0，1).
6.定义在R上的函数f(x)满足以下条件：①f(-x)-f(x)=0；②对任意x1，x2∈[0，+∞)，当x1≠x2时，都有>0.则f(-)，f(π)，f(-3)的大小关系是(　　)
A.f(π)>f(-3)>f(-)
B.f(π)>f(-)>f(-3)
C.f(π)D.f(π)答案　A
解析　因为定义在R上的函数f(x)满足条件f(-x)-f(x)=0，
所以函数f(x)是偶函数，
对任意x1，x2∈[0，+∞)，当x1≠x2时，都有>0，
因此当x∈[0，+∞)时，函数f(x)单调递增，
因为函数f(x)是偶函数，
所以f(-)=f()，f(-3)=f(3)，
所以f(π)>f(3)>f()，
即f(π)>f(-3)>f(-).
7.设A，B是两个随机事件，且0A.P(AB)>P(B|A)
B.1-P(AB)=[1-P(A)]P(B|)
C.若A与B互斥，则P(∪)=1
D.若P(AB)≠0，则A与B相互独立
答案　C
解析　对于A，P(B|A)=，若P(AB)>P(B|A)，则P(A)>1，不符合题意，故A不正确；
对于B，P(B|)==，若1-P(AB)=[1-P(A)]P(B|)，则1-P(AB)=P(B)，所以P(AB)+P(B)=1，即P(B)=1，不符合题意，故B不正确；
对于C，因为A与B互斥，所以A∩B= ，又∪A=Ω，∪B=Ω，
所以A ，B ，所以∪=Ω，故P(∪)=1，故C正确；
对于D，P(AB)≠0，不能说明P(AB)=P(A)P(B)成立，故D不正确.
8.设正方形ABCD的四条边分别经过点(2，0)，(0，2)，(-2，0)，(0，-2)，则该正方形与圆O：x2+y2=8的公共点至多有(　　)
A.0个 B.4个
C.8个 D.16个
答案　B
解析　设E(0，2)，F(2，0)，由勾股定理得|EF|=2，
由题意得正方形ABCD的边长大于2，如图所示，设∠MFE=θ，θ∈[0，2π)，
则|EM|=|EF|sin θ=2sin θ，
|MF|=|EF|cos θ=2cos θ，
在正方形中，|FN|=|EM|=2sin θ，
所以|MN|=|MF|+|FN|=2(cos θ+sin θ)=4sin≤4，
当且仅当θ=时，等号成立，此时|MN|max=4，不妨设M点为A点，则A(2，2)，
所以B(-2，2)，C(-2，-2)，D(2，-2)，
经验证，A，B，C，D在圆O：x2+y2=8上，
故该正方形与圆O：x2+y2=8的公共点至多有4个.
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知平面向量a=(2，sin θ)，b=(1，cos θ)，则(　　)
A.a，b不可能垂直
B.a，b不可能共线
C.|a+b|不可能为5
D.若θ=，则a在b方向上的投影向量为2b
答案　ACD
解析　a·b=2+sin θcos θ=2+sin 2θ≥2-=，故A正确；
若向量a，b共线，则2cos θ-sin θ=0，解得tan θ=2，所以向量a，b可能共线，故B错误；
a+b=(3，sin θ+cos θ)，所以|a+b|==≤<5，故C正确；
若θ=，则a=(2，1)，b=(1，0)，所以a在b方向上的投影向量为·=2b，故D正确.
10.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AP=AC=2，E，F，G分别为AB，BC，PC的中点，下列结论正确的是(　　)
A.△PBC为直角三角形
B.PE∥平面AFG
C.三棱锥P-ABC的体积最大值为
D.三棱锥P-ABC外接球的半径为定值
答案　ACD
解析　因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以PA⊥BC，
又AB⊥BC，PA，AB 平面PAB，PA∩AB=A，
所以BC⊥平面PAB，
因为PB 平面PAB，所以BC⊥PB，
所以△PBC为直角三角形，故A正确；
连接CE，交AF于点H，连接GH，
若PE∥平面AFG，平面AFG∩平面PCE=GH，PE 平面PCE，
则PE∥GH，
因为AF，CE为△ABC的中线，
所以H为△ABC的重心，=2，
因为G为PC的中点，
所以≠，与PE∥GH矛盾，故B错误；
因为AB2+BC2=AC2=4≥2AB·BC，得AB·BC≤2，
所以S△ABC=AB·BC≤1，
所以V三棱锥P-ABC=S△ABC·PA≤×1×2=，
当且仅当AB=BC=时等号成立，故C正确；
将三棱锥补形成长方体，易知PC即为外接球的直径，易知PA⊥AC，
所以PC==2，外接球半径R=，故D正确.
11.已知数列{an}的前n项和Sn=kn2+n-k+2，则下列说法正确的是(　　)
A.若{an}是等差数列，则k=2
B.若{an}不是递增数列，则k≤
C.若Sn2
D.若的最小值为3，则k≥
答案　ABD
解析　若{an}为等差数列，设其公差为d，
则Sn=na1+d=n2+n，
所以-k+2=0，解得k=2，Sn=2n2+n，故A正确；
Sn-1=k(n-1)2+(n-1)-k+2(n≥2)，则an=Sn-Sn-1=2kn-k+1(n≥2)，
当n=1时，a1=S1=k+1-k+2=3，
所以an=
因为{an}不是递增数列，
所以k≤0或则k≤，故B正确；
若Sn整理得k>，
又≥=-，
所以k>-，故C错；
因为的最小值为3，
所以=kn+1+≥3恒成立，
即k(n2-1)≥2n-2，当n=1时，成立，
当n≥2时，k≥，则k≥=，故D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.若(1-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a0+a2+a4=　　　　.
答案　16
解析　令x=1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5=0；①
令x=-1，则a0-a1+a2-a3+a4-a5=25=32，②
①+②得2(a0+a2+a4)=32，
所以a0+a2+a4=16.
13.如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动.点Q沿射线CD做匀速运动，CQ=x；点P沿线段AB(长度为107单位)运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离(PB=y).令P与Q同时分别从A，C出发，则数学家纳皮尔定义x为y的对数，x与y的对应关系就是y=107，其中e为自然对数的底数.若点P从线段AB的中点运动到靠近B的四等分点，点Q同时从Q1运动到Q2，则=　　　　.
答案　
解析　令y=，
则=107，
整理得x=107ln 2，即CQ1=107ln 2，
令y=，
则=107，
整理得x=107ln 4，即CQ2=107ln 4，
所以==.
14.如图，在高为16的圆柱型筒中，放置两个半径均为3的小球，两个小球均与筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面α与两个小球也相切，平面α被圆筒所截得到的截面为椭圆，则该椭圆的离心率为　　　　.
答案　
解析　设平面α被圆筒所截得到的截面为椭圆Γ，
如图，作出圆柱过椭圆Γ的长轴的轴截面，
设长轴AB与两圆的切点分别是F1，F2.
连接O1O2，记AB与O1O2交于点C，
过C作CD⊥O1O2，垂足为C，且CD交圆柱的母线于点D，连接O1F1，O2F2，
则O1F1⊥AB，O2F2⊥AB.
因为圆柱的高为16，球的半径是3，
所以圆柱的底面半径为3，O1O2=16-2×3=10，O1F1=3，CD=3.
根据对称性可知C是O1O2，AB的中点，
故CO1=5，则CF1=CF2=4.
易得Rt△F1CO1≌Rt△DBC，
故BC=CO1=5，则椭圆的长半轴长a=5.
由题意得椭圆的短半轴长b=3，
所以半焦距长c=4，
则椭圆的离心率e==.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=45°，AB=4，AC=BC.
(1)求sin∠ACB；(6分)
(2)若AD=，求四边形ABCD的面积.(7分)
解　(1)方法一　在△ABC中，AB=4，AC=BC，∠ABC=45°，
由AC2=BC2+AB2-2BC·AB·cos∠ABC，
即5BC2=BC2+16-8··BC，
整理得BC2+BC-4=0，
得BC=或BC=-2(舍去)，
所以AC=BC=，
由=，
即=，
解得sin∠ACB=.
方法二　在△ABC中，由=，
得sin∠BAC=·sin∠ABC=·=<，
所以∠BAC<∠ABC=45°，
故cos∠BAC=，
sin∠ACB=sin(∠ABC+∠BAC)
=sin∠ABCcos∠BAC+cos∠ABCsin∠BAC
==.
(2)方法一　因为AB∥CD，所以∠DCA=∠BAC，
在△ABC中，由余弦定理，
得cos∠BAC==，
故cos∠DCA=，
在△ACD中，由AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cos∠DCA，
即17=10+CD2-2×CD×，
整理得CD2-6CD-7=0，
解得CD=-1(舍去)或CD=7，
在△ABC中，S△ABC=·AB·BC·sin 45°=×4×=2，
由AB∥CD可得，S△ACD=·S△ABC=×2=，
故四边形ABCD的面积为2+=.
方法二　因为AB∥CD，所以∠DCA=∠BAC，
由(1)可得cos∠BAC=，
在△ACD中，由AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cos∠DCA，
即17=10+CD2-2×CD×，
整理得CD2-6CD-7=0，
解得CD=-1(舍去)或CD=7，
在△ABC中，AB边上的高h=BC·sin 45°=×=1，
故四边形ABCD的面积为·(AB+CD)=.
16.(15分)已知函数f(x)=xex.
(1)求函数f(x)的极值；(5分)
(2)若f(x)-ln x+ax≥1恒成立，求实数a的取值范围.(10分)
解　(1)函数f(x)=xex的定义域为R，求导得f'(x)=ex+xex=ex(x+1)，
令f'(x)>0，得x>-1，函数f(x)在(-1，+∞)上单调递增，
令f'(x)<0，得x<-1，函数f(x)在(-∞，-1)上单调递减，
所以函数f(x)在x=-1处取得极小值f(-1)=-，无极大值.
(2)不等式f(x)-ln x+ax≥1恒成立，即xex-ln x+ax-1≥0，x∈(0，+∞)恒成立，
不等式等价于a≥-ex+，x∈(0，+∞)恒成立，
令g(x)=-ex+，x>0，
g'(x)=-ex+=-ex+=-，
令h(x)=x2ex+ln x，x>0，
求导得h'(x)=(2x+x2)ex+>0，函数h(x)在(0，+∞)上单调递增，
又h=-1<0，h(1)=e>0，
则存在唯一的x0∈，
使得h(x0)=+ln x0=0，
则x0=·ln ，
即x0=ln ·，
于是f(x0)=f，
由(1)知，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，
则x0=ln =-ln x0.
当x∈(0，x0)时，h(x)<0，g'(x)>0，则函数g(x)在(0，x0)上单调递增；
当x∈(x0，+∞)时，h(x)>0，g'(x)<0，则函数g(x)在(x0，+∞)上单调递减，
因此g(x)max=g(x0)=-+=-+=-1，则a≥-1，
所以实数a的取值范围为[-1，+∞).
17.(15分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B=A1C=A1A=2，BA⊥BC，BA=BC.
(1)证明：平面ABC⊥平面ACC1A1；(5分)
(2)若直线A1B与平面ABC所成的角为60°，求平面A1B1C与平面ABC夹角的余弦值.(10分)
(1)证明　方法一　取AC的中点O，连接A1O，BO，
因为A1A=A1C，
所以A1O⊥AC，且A1O2+OA2=A=4，
因为BA⊥BC，BA=BC，O为AC的中点，
所以OA=OB=OC，
所以A1O2+OA2=A1O2+OB2=4=A1B2，
所以A1O⊥OB，
因为OA∩OB=O，OA 平面ABC，OB 平面ABC，
所以A1O⊥平面ABC，
因为A1O 平面ACC1A1，
所以平面ABC⊥平面ACC1A1.
方法二　设O为A1在底面ABC上的射影，
则A1O⊥平面ABC，
因为A1B=A1C=A1A，
所以OA=OB=OC，
射影O为底面△ABC的外心，
又△ABC为直角三角形，
所以O恰为斜边AC的中点，
所以A1O 平面ACC1A1，
所以平面ABC⊥平面ACC1A1.
(2)解　由(1)可知，A1O⊥平面ABC，
所以A1B与平面ABC所成的角即为∠A1BO，
所以∠A1BO=60°，
因为△A1AO≌△A1BO，
所以∠A1BO=∠A1AO=60°，
所以A1O=，OA=OC=1，
所以BC=，
因为BA=BC，O为AC的中点，
所以OB⊥AC，
方法一　如图所示，以O为原点，分别以，，所在方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则A1(0，0，)，C(-1，0，0)，B1(-1，1，)，
所以=(-1，1，0)，=(0，1，)，
设平面A1B1C的法向量为n1=(x，y，z)，
则即
令z=1，则y=-，x=-，
所以n1=(-，-，1)，
易知平面ABC的一个法向量为n2=(0，0，1)，
设平面A1B1C与平面ABC的夹角为θ，θ∈，
所以cos θ===，
所以平面A1B1C与平面ABC夹角的余弦值为.
方法二　如图，过C作AB的平行线l，
因为AB∥A1B1，
所以l∥A1B1，
所以平面A1B1C∩平面ABC=l，
过O作OH⊥l，垂足为H，
因为A1O⊥平面ABC，OH，CH 平面ABC，
所以A1O⊥OH，A1O⊥CH，
又OH⊥CH，A1O∩OH=O，A1O，OH 平面A1OH，
所以CH⊥平面A1OH，
因为A1H 平面A1OH，
所以A1H⊥CH，
所以平面A1B1C与平面ABC的夹角即为∠A1HO，
易知△OHC∽△CBA，
所以OH==，
所以在Rt△A1OH中，tan∠A1HO===，
所以cos∠A1HO=，平面A1B1C与平面ABC夹角的余弦值为.
18.(17分)为庆祝“五一”国际劳动节，某校举办“五一”文艺汇演活动，本次汇演共有40个参赛节目，经现场评委评分，分数分成六组：第一组[70，75)，第二组[75，80)，第三组[80，85)，第四组[85，90)，第五组[90，95)，第六组[95，100]，得到频率分布直方图.
(1)估计所有参赛节目评分的第85百分位数(保留1位小数)；(5分)
(2)若评分结束后只对所有评分在区间[90，95)的节目进行评奖(每个节目都能获奖，只有一等奖和二等奖)，其中每个节目被评为一等奖的概率为p(0①设参评节目中恰有2个一等奖的概率为f(p)，求f(p)的极大值点p0；(6分)
②以①中p0作为p的值，若对这部分评奖节目进行奖励，已知一等奖节目奖金为500元，若要使得总奖金期望不超过1 400元，请估计二等奖奖金的最大值.(6分)
解　(1)由频率分布直方图可知，
评分为[90，95)的节目的频率为1-(0.01+0.04+0.07+0.04+0.01)×5=0.15，
∵前四组的频率为5×(0.01+0.04+0.07+0.04)=0.8；
前五组的频率为5×(0.01+0.04+0.07+0.04)+0.15=0.95，
则第85百分位数占第五组的比例为=，
∴90+5×=≈91.7，
∴估计所有参赛节目评分的第85百分位数为91.7.
(2)①评分在[90，95)的节目的频数为40×0.15=6，
∴f(p)=p2(1-p)4=15p2(1-p)4，0∴f'(p)=15[2p(1-p)4-4p2(1-p)3]=30p(1-p)3(1-3p)，
∵00，f(p)单调递增，
当∴当p=时，f(p)取得极大值，
∴f(p)的极大值点p0=.
②设获得一等奖的节目数为随机变量X，总奖金为Y，
易知X~B，
∴E(X)=6×=2，
设二等奖奖金为a元，则Y=500X+(6-X)a=6a+(500-a)X，
∴E(Y)=6a+(500-a)E(X)=1 000+4a≤1 400，解得a≤100，
∴二等奖奖金的最大值为100元.
19.(17分)已知抛物线 C：x2=2py(p>0) 的焦点为F， M(x0，y0) 为抛物线C上的一个动点(不与坐标原点重合)，|MF|-y0=1.
(1)求抛物线C的方程；(4分)
(2)已知点M1(2，1)，按照如下方式构造点Mn(n=2，3，4，…)，设直线ln-1为抛物线C在点Mn-1处的切线，过点Mn-1作ln-1的垂线交抛物线C于另一点Mn，记Mn的坐标为(xn，yn).
①证明：当n≥1时，|MnF|≥4n-2；(6分)
②设△MnFMn+1的面积为Sn，证明：<.(7分)
(1)解　抛物线C的准线方程为y=-，所以|MF|=y0+，
所以y0+-y0=1，解得p=2，所以C的方程为x2=4y.
(2)证明　①设Mn，n∈N*，
因为y'=，
所以点Mn处的切线斜率为，
所以直线MnMn+1的斜率为-，
所以直线MnMn+1：y-=-(x-xn)，
与x2=4y联立可得，-=-(x-xn)，
即+(x-xn)=0，
解得x=xn或x=--xn，
所以xn+1=--xn，
即Mn+1的横坐标为--xn，
所以yn+1===++4=yn++4>yn+4，
当n≥2时，有yn=(yn-yn-1)+(yn-1-yn-2)+…+(y2-y1)+y1>4(n-1)+1=4n-3，
又由y1=1，故yn≥4n-3(n∈N*)，
所以当n≥1时，|MnF|≥4n-2.
②易知直线MnMn+1：y=-++2，
F(0，1)到直线MnMn+1的距离为dn=，
|MnMn+1|=|xn+1-xn|=，
所以Sn=dn|MnMn+1|==≥=+4，
因为==++16>+16，
由①知yn≥4n-3(n∈N*)，
即≥4n-3，当且仅当n=1时，等号成立，
所以当n≥2时，>16n-12，
所以当n≥2时，Sn>+4>16n-8=8(2n-1)，
所以<×<·=，
当n=1时，=<，
当n≥2时，<+
=+<+=<，
所以<，n∈N*.高考仿真卷(三)
(时间：120分钟　分值：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.N*∩{x|2x<9}等于(　　)
A.{1，2，3} B.{0，1，2，3}
C.{1，2，3，4} D.{-3，-2，-1，0，1，2，3}
2.已知z+=4，z-=2i，则在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知等轴双曲线C的焦点到其渐近线的距离为1，则C的焦距为(　　)
A. B.2
C.2 D.4
4.某中学环保社团计划利用社团前空地栽种五棵高低不一样的树木，其中最高和最矮的两棵树木种在两头的方法有(　　)
A.6种 B.12种
C.24种 D.48种
5.若函数y=的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为(　　)
A.(1，0) B.(0，1)
C.(1，1) D.(1，e)
6.定义在R上的函数f(x)满足以下条件：①f(-x)-f(x)=0；②对任意x1，x2∈[0，+∞)，当x1≠x2时，都有>0.则f(-)，f(π)，f(-3)的大小关系是(　　)
A.f(π)>f(-3)>f(-)
B.f(π)>f(-)>f(-3)
C.f(π)D.f(π)7.设A，B是两个随机事件，且0A.P(AB)>P(B|A)
B.1-P(AB)=[1-P(A)]P(B|)
C.若A与B互斥，则P(∪)=1
D.若P(AB)≠0，则A与B相互独立
8.设正方形ABCD的四条边分别经过点(2，0)，(0，2)，(-2，0)，(0，-2)，则该正方形与圆O：x2+y2=8的公共点至多有(　　)
A.0个 B.4个
C.8个 D.16个
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知平面向量a=(2，sin θ)，b=(1，cos θ)，则(　　)
A.a，b不可能垂直
B.a，b不可能共线
C.|a+b|不可能为5
D.若θ=，则a在b方向上的投影向量为2b
10.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AP=AC=2，E，F，G分别为AB，BC，PC的中点，下列结论正确的是(　　)
A.△PBC为直角三角形
B.PE∥平面AFG
C.三棱锥P-ABC的体积最大值为
D.三棱锥P-ABC外接球的半径为定值
11.已知数列{an}的前n项和Sn=kn2+n-k+2，则下列说法正确的是(　　)
A.若{an}是等差数列，则k=2
B.若{an}不是递增数列，则k≤
C.若Sn2
D.若的最小值为3，则k≥
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.若(1-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a0+a2+a4=　　　　.
13.如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动.点Q沿射线CD做匀速运动，CQ=x；点P沿线段AB(长度为107单位)运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离(PB=y).令P与Q同时分别从A，C出发，则数学家纳皮尔定义x为y的对数，x与y的对应关系就是y=107，其中e为自然对数的底数.若点P从线段AB的中点运动到靠近B的四等分点，点Q同时从Q1运动到Q2，则=　　　　.
14.如图，在高为16的圆柱型筒中，放置两个半径均为3的小球，两个小球均与筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面α与两个小球也相切，平面α被圆筒所截得到的截面为椭圆，则该椭圆的离心率为　　　　.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=45°，AB=4，AC=BC.
(1)求sin∠ACB；(6分)
(2)若AD=，求四边形ABCD的面积.(7分)
16.(15分)已知函数f(x)=xex.
(1)求函数f(x)的极值；(5分)
(2)若f(x)-ln x+ax≥1恒成立，求实数a的取值范围.(10分)
17.(15分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B=A1C=A1A=2，BA⊥BC，BA=BC.
(1)证明：平面ABC⊥平面ACC1A1；(5分)
(2)若直线A1B与平面ABC所成的角为60°，求平面A1B1C与平面ABC夹角的余弦值.(10分)
18.(17分)为庆祝“五一”国际劳动节，某校举办“五一”文艺汇演活动，本次汇演共有40个参赛节目，经现场评委评分，分数分成六组：第一组[70，75)，第二组[75，80)，第三组[80，85)，第四组[85，90)，第五组[90，95)，第六组[95，100]，得到频率分布直方图.
(1)估计所有参赛节目评分的第85百分位数(保留1位小数)；(5分)
(2)若评分结束后只对所有评分在区间[90，95)的节目进行评奖(每个节目都能获奖，只有一等奖和二等奖)，其中每个节目被评为一等奖的概率为p(0①设参评节目中恰有2个一等奖的概率为f(p)，求f(p)的极大值点p0；(6分)
②以①中p0作为p的值，若对这部分评奖节目进行奖励，已知一等奖节目奖金为500元，若要使得总奖金期望不超过1 400元，请估计二等奖奖金的最大值.(6分)
19.(17分)已知抛物线 C：x2=2py(p>0) 的焦点为F， M(x0，y0) 为抛物线C上的一个动点(不与坐标原点重合)，|MF|-y0=1.
(1)求抛物线C的方程；(4分)
(2)已知点M1(2，1)，按照如下方式构造点Mn(n=2，3，4，…)，设直线ln-1为抛物线C在点Mn-1处的切线，过点Mn-1作ln-1的垂线交抛物线C于另一点Mn，记Mn的坐标为(xn，yn).
①证明：当n≥1时，|MnF|≥4n-2；(6分)
②设△MnFMn+1的面积为Sn，证明：<.(7分)

展开更多......

收起↑