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第17章 一元二次方程及其应用
17.1 一元二次方程
问题1：前面学习了哪些方程？什么是一元一次方程？它的一般形式是什么？
学习了一元一次方程、二元一次方程组.只含有一个未知数(元)，未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫作一元一次方程.其中“元”指未知数，“次”是指未知数的次数.
它的一般形式是ax＋b＝0(a≠0).
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问题2：某蔬菜生产基地去年全年无公害蔬菜产量为100 t，计划明年无公害蔬菜的产量比去年翻一番(即为200 t).要实现这一目标，今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？(精确到1%)
(1)设这个生产基地今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率是x，那么，今年无公害蔬菜产量为________，明年无公害蔬菜产量为________.
(2)能根据题意，列出方程吗？____________.
(3)把以上方程整理得：_________.
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问题3：如图，在一块宽20 m、长32 m的长方形空地上，修筑三条等宽的小路(两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直)，把这块空地分成6 块，建成小花坛.要使花坛的总面积为570 m2，小路的宽应是多少？
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(1)设小路的宽是x m，则横向小路的面积是____，纵向两条小路的面积是____，两者重叠部分的面积是_____.
(2)图中花坛的面积等于长方形空地的面积减去小路的面积.能根据题意，列出方程吗？_________________________.
(3)整理以上方程可得：__________.
(4)有同学列出的方程是(20－x)(32－2x)＝570.这个方程对吗？
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问题2和问题3中列出的方程x2＋2x－1＝0和x2－36x＋35＝0是一元一次方程吗？为什么？
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任务一：探究一元二次方程的概念
问题1：x2＋2x－1＝0和x2－36x＋35＝0都不是一元一次方程，那么这两个方程与一元一次方程有什么相同点？有什么不同点？
相同点有两个，一是它们都是整式方程，二是都含有一个未知数.
不同点：两个方程中未知数的最高次数都是2，而一元一次方程的未知数的最高次数是1.
这两个方程有什么共同特征？
(1)都是整式方程.(2)都含有一个未知数.(3)未知数的最高次数都是2.
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这两个方程有什么共同特征？
(1)它们都是整式方程.
(2)都含有一个未知数.
(3)未知数的最高次数都是2.
能模仿一元一次方程，给这类方程起一个名字吗？
一元二次方程.
一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程.
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问题2：一元二次方程x2＋2x－1＝0和x2－36x＋35＝0分别是由100(1＋x)2＝200和32×20－(32x＋2×20x)＋2x2＝570经过变形得到的.想一想，任何一个一元二次方程经过变形都可化为什么形式？
一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)，其中ax2叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项.
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说明：任何一个关于x的一元二次方程经过去括号、移项、合并同类项等变形，都可化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式，其中a≠0是定义的一部分，不可漏掉，否则就不一定是一元二次方程.
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①④⑥
判定一个方程是否为一元二次方程的方法：首先看已知方程中是否仅有一个未知数，其次看已知方程是否为整式方程，最后看经过去括号、移项、合并同类项等变形把原方程化为ax2＋bx＋c＝0的形式后，是否有a≠0.
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任务二：拓展与应用
例 已知方程3x(x－1)＝2(x＋2)＋4.
(1)把该方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项.
(2)判断－1是否为该方程的根.
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分析：(1)首先把方程化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，再根据a为二次项系数、b为一次项系数、c为常数项，确定二次项系数、一次项系数和常数项.
(2)根据方程解的定义，将x＝－1代入原方程的左边和右边，分别计算出它们的值，然后判断即可.
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解：(1)去括号，得3x2－3x＝2x＋4＋4.
移项、合并同类项，得方程的一般形式：3x2－5x－8＝0.
它的二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－8.
(2)把x＝－1代入原方程的左右两边，得
左边＝3×(－1)×(－1－1)＝6，
右边＝2×(－1＋2)＋4＝6.
因为左边＝右边，
所以－1是该方程的根.
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变式训练1 已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为 ( )
A.1 B.－1 C.2 D.－2
方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值，因此解答这类题时，只需将方程的根代入方程，即可求得未知系数的值.
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A
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归纳：
(1)一元二次方程的一般形式不是唯一的，因此其二次项系数、一次项系数、常数项也不唯一，通常所说的一般形式指最简单、最实用、最方便的一种，一般把各项系数化为整数，且二次项系数为正.
(2)写出一元二次方程各项系数，必须把方程化为一般形式，且二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.
课堂评价
B
课堂评价
C
课堂评价
5x2＋3x－1＝0
5
3
－1
课堂评价
k≠3
点拨 将方程化为一般形式后为(k－3)x2＋x－1＝0.因此k－3≠0，即k≠3时，此方程为一元二次方程.
课堂评价
－1
通过本节课的学习，你学到了哪些内容？学习了本节课，你有何感想？
课堂总结
强调：1.一个方程经过变形后能化成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式，这个方程就是一元二次方程.这里的变形指的是：去括号、移项和合并同类项等.
2.同一个一元二次方程的一般形式可以不同，只要是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式即可.一般情况下写成二次项系数为正数且为整数的形式.
3.已知一元二次方程的一个根求字母的值时，要注意若二次项系数含有字母，应把使二次项系数值为0的字母的值舍去.
课堂总结
基础性作业：教材练习第1题；教材习题17.1第2题.
提高性作业：教材习题17.1第1，3题.
拓展性作业：关于x的方程(m－3)x|m|－1＋5x＝12.
(1)可能是一元一次方程吗？如果是求出m的值.
(2)可能是一元二次方程吗？如果是，m的值是多少？
作业设计

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