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第17章 一元二次方程及其应用
17.2 一元二次方程的解法
1.配方法
1.在下列各题中，填上适当的数，使等式成立.
(1)x2＋6x＋______＝(x＋______)2；
(2)x2－4x＋______＝(x－______)2；
(3)x2－6x＋5＝x2－6x＋____－____＋5＝(x－____)2－______.
思考：这几个二次三项式有什么特点？ 每一小问填写的第一个空格中的常数与一次项系数有怎样的数量关系？
这几个二次三项式的二次项系数都是1，填写的常数是一次项系数一半的平方.
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2.求出x2＝9中x的值，并说明用的方法.
根据平方根的定义，通过开平方求出x的值为±3.
说明：由一元二次方程的定义知，x2＝9是一元二次方程，求x的值就是求这个一元二次方程的解.可根据平方根的定义，通过开平方得到 ，即x＝±3，所以方程x2＝9的两个根为x1＝3，x2＝－3.像这样求一元二次方程x2＝9根的方法，叫作直接开平方法.对于形如x2＝n(n≥0)的一元二次方程，都可以直接用开平方法求解，得到原方程的根为 ， .
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任务一：探究用直接开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程
问题1：前面通过开平方的方法求出了x2＝9的解，对于下面的方程，如何求解？
(1)3x2＝27；(2)(x＋1)2＝2；(3)2(x＋1)2＝4；(4)2(x＋1)2－4＝0.
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第(1)题将方程两边同除以3，利用直接开平方法求得原方程的根为x1＝3，x2＝－3；
第(2)题把(x＋1)看作一个整体，然后直接开平方，转化为两个一元一次方程求得原方程的根为
第(3)题先将方程两边同除以2，转化为第(2)题中方程的形式，求得原方程的根为
第(4)题先移项，转化为第(3)题中方程的形式，进而求得原方程的根为
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问题2：对于上面的四个方程，有什么发现？ 如何求解？
(1)3x2＝27；(2)(x＋1)2＝2；(3)2(x＋1)2＝4；(4)2(x＋1)2－4＝0.
这些方程，都是一些特殊的一元二次方程，它们都可以化为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，即方程右边是一个非负数，左边是关于未知数的完全平方式.这类方程可用直接开平方法求得 ，进而求得原方程的根为
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问题3：对于一元二次方程(x＋m)2＝n，如果n＜0，如何求解？
当n＜0时，方程无实数解.
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一元二次方程(x＋m)2＝n解的情况：
当n＞0时，方程(x＋m)2＝n的两根为
当n＝0时，方程(x＋m)2＝n的两根为x1＝x2＝－m.
当n＜0时，方程(x＋m)2＝n无实数解.
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任务二：探究用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
问题：如何解方程x2＋2x－1＝0？
解下列三个方程：
(1)(x＋1)2＝2；(2)x2＋2x＋1＝2；(3)x2＋2x＝1.
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方程x2＋2x－1＝0的规范解法：
把常数项移到等号右边，得x2＋2x＝1.
方程两边同时加上1，得x2＋2x＋1＝1＋1，
则(x＋1)2＝2.
开平方，得
所以原方程的根是
上述求解过程中，为什么在方程两边同时加上数“1”？
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加上的数“1”实质是“12”，也就是一次项系数一半的平方，而加上其他数等号左边不能写成完全平方形式.
像这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法.
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说明：(1)在教材17.1节问题1中，只能取 ≈0.41，即年平均增长率大约是41%.
(2)“化归方法”是将待解的问题转化成先前已经解决的问题的一种数学思想方法.配方法是将一元二次方程通过配方转化成可用直接开平方法求解的方法，这是一种化归方法.
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任务三：探究二次项系数不为1的一元二次方程的解法
问题：如何求一元二次方程3x2＋8x－3＝0的根？
这个方程与任务二中的方程x2＋2x－1＝0有什么不同？ 怎样将它转化为任务二中方程的形式？
这个方程的二次项系数不为1，先将方程两边同除以3，将其转化为二次项系数为1的一元二次方程，进而求解.
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任务四：拓展与应用
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根据例2，请归纳出用配方法解一元二次方程的步骤.其中，最关键的步骤是配方，如何配方？
用配方法解一元二次方程的方法和步骤：
(1)化1：方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.
(2)移项：把常数项移到方程等号的右边，二次项和一次项移到方程等号的左边.
(3)配方：方程等号两边同时加上一次项系数一半的平方.
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(4)变形：把方程等号左边写成完全平方形式.
(5)开平方：根据平方根的定义，方程等号左右两边开平方，得到两个一元一次方程.
(6)定解：解这两个一元一次方程，得到原一元二次方程的解.
强调：配方时，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方.
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课堂评价
B
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D
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x1＝6，x2＝－2
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或1
课堂评价
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通过本节课的学习，你学到了哪些内容？ 学习了本节课，你有何感想？
师生活动：学生班内交流，最后教师进行总结.
强调：1.解一元二次方程的基本思想是降次，本节课主要是利用开平方将原方程降次为两个一元一次方程来求解.
2.形如(x＋m)2＝n的一元二次方程，当n≥0时，可用直接开平方法求解；当n＜0时，方程无实数解.
3.用配方法解一元二次方程的步骤与方法：
(1)化1；(2)移项；(3)配方；(4)变形；(5)开平方；(6)定解.
课堂总结
基础性作业：教材练习第1，2(1)(3)(4)题.
提高性作业：
根据要求，解答下列问题：
1.解下列方程.(直接写出方程的解即可)
(1)方程x2－2x＋1＝0的解为________.
(2)方程x2－3x＋2＝0的解为________.
(3)方程x2－4x＋3＝0的解为________.
2.请用配方法解方程x2－9x＋8＝0.
作业设计
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