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第17章 一元二次方程及其应用
17.2 一元二次方程的解法
3.因式分解法
问题1：什么是因式分解？因式分解的方法有哪些？
把一个多项式化为几个整式的积的形式叫作因式分解.因式分解的方法有：(1)提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).
(2)公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)，a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
(3)十字相乘法：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b).
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问题2：通过前面几节课的学习，我们有了哪几种解一元二次方程的方法？
直接开平方法、配方法、公式法.
问题3：通过前面的学习，我们知道解一元二次方程的基本思路是将一元二次方程转化为一元一次方程来求解.在前面学习的几种解一元二次方程的方法中，它们是怎样转化的？
前面几种方法，都是利用直接开平方法将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解.(公式法实质就是配方法的直接运用)
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任务一：探究用因式分解法解一元二次方程
问题：一个一元二次方程总可以用公式法求解，对于一些特殊的一元二次方程，还可以有别的解法吗？如解方程x2＝9，除了用直接开平方法求解外，还有其他解法吗？
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先将方程转化为x2－9＝0，再将方程左边分解因式，得(x－3)(x＋3)＝0.此时能将它转化为一元一次方程吗？根据是什么？最后的解是什么？
可以转化为x－3＝0或x＋3＝0，依据是，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式中有一个等于0，那么它们的积就等于0.最后的解是x＝3或x＝－3.
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移项，得x2－9＝0.
将方程左边分解因式，得(x－3)(x＋3)＝0.
因此，有x－3＝0或x＋3＝0.
解这两个一次方程，得x1＝3，x2＝－3.
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫作因式分解法.
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当一元二次方程左边是两个一次因式的乘积的形式，右边是0时，就可根据“若ab＝0，则a＝0或b＝0”进行降次，将一元二次方程化为两个一元一次方程，进而求出原方程的解.
强调：利用因式分解法解一元二次方程的条件是方程左边易于因式分解，右边等于0.
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练习：判断下列方程能否使用因式分解法解方程并说明理由.
(1)x2＋3x－1＝0； (2)3x2－27＝0；
(3)(x－9)2－x＝0； (4)(2x＋1)2－(x－1)2＝0.
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任务二：拓展与应用
例1 解方程：x2－2x＝0.
解：提取公因式，得x(x－2)＝0.
因此，有x＝0或x－2＝0，
所以原方程的根是x1＝0，x2＝2.
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例2 解方程：(x＋4)(x－1)＝6.
解：将原方程化为一般形式，得x2＋3x－10＝0.
把方程左边分解因式，得(x＋5)(x－2)＝0.
因此，有x＋5＝0或x－2＝0.
所以原方程的根是x1＝－5，x2＝2.
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例3 解方程：x2＝x.
解：移项、提取公因式，得x(x－1)＝0.
因此，有x＝0或x－1＝0.
所以原方程的根是x1＝0，x2＝1.
方程两边同除以x，得x＝1.故方程的根为x＝1.这样做对吗？为什么？
不对，这样漏掉了一根x＝0.
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1.当方程左右两边有含有未知数的相同因式时，不能约去这个因式，一般是将方程右边的因式移到左边，使右边等于0，然后提公因式求解.
2.用因式分解法解一元二次方程的基本步骤：
(1)移项：将方程化为一般式，即使方程的右边为0.
(2)分解：将方程的左边因式分解，化为两个因式的积.
(3)转化：令每一个因式为0，得到两个一元一次方程.
(4)求解：解这两个一元一次方程，写出原方程的根.
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3.几种常见的用因式分解法求解的方程：
(1)形如x2＋bx＝0(即缺常数项)的一元二次方程，将左边运用提公因式法因式分解为x(x＋b)＝0，则x＝0或x＋b＝0，即x1＝0，x2＝－b.
(2)形如x2－a2＝0的一元二次方程，将左边用平方差公式因式分解为(x＋a)(x－a)＝0，则x＋a＝0或x－a＝0，即x1＝－a，x2＝a.
(3)形如x2±2mx＋m2＝0的一元二次方程，将左边用完全平方公式因式分解为(x±m)2＝0，则①x＋m＝0，即x1＝x2＝－m；②x－m＝0，即x1＝x2＝m.
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(4)形如x2＋(a＋b)x＋ab＝0的一元二次方程，将其左边因式分解，将方程化为(x＋a)·(x＋b)＝0，所以x＋a＝0或x＋b＝0，即x1＝－a， x2＝－b.
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D
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D
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B
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课堂评价
通过本节课的学习，你学到了哪些内容？学习了本节课，你有何感想？
强调：1.用因式分解法解一元二次方程的理论依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0，即若ab＝0，则a＝0或b＝0.
2.因式分解法只适合求解一些特殊形式的一元二次方程，这些方程的特点是：方程的一边是0，另一边能分解成两个一次因式的积.
课堂总结
3.用因式分解法解一元二次方程的步骤：
(1)移项；(2)分解；(3)转化；(4)求解.
4.用因式分解法解一元二次方程时，方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
课堂总结
基础性作业：教材练习第1(1)(3)(4)(6)题.
提高性作业：使分式的值等于0的x的值是 ( )
A.6 B.－1或6 C.－1 D.－6
拓展性作业：对于一元二次方程(2x－5)2＝(x－2)2，你有几种不同的解法？你认为哪种方法最简便？
作业设计

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