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第17章 一元二次方程及其应用
17.3 一元二次方程根的判别式
问题1：能用公式法解下列方程吗？
(1)x1＝4，x2＝－1.
(2)x1＝x2＝ .
(3)无实数解.
(4)x1＝0，x2＝3.
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问题2：通过解问题1中的四个方程，发现一元二次方程根的情况有几种？
(1)有两个不相等的实数根.(2)有两个相等的实数根.(3)没有实数根(无解).
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问题3：问题1中四个一元二次方程的根为什么会出现不同的情况？ 它们的根的情况由哪些因素来决定的？ 何时有两个不相等的实数根？ 何时有两个相等的实数根？ 何时没有实数根？
这四个一元二次方程根的情况由b2－4ac的符号确定.当b2－4ac为正数时，方程有两个不相等实数根(如(1)(4)题)；当b2－4ac等于0时，方程有两个相等的实数根(如(2)题)；当b2－4ac为负数时，方程无实数根(如(3)题).
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问题4：能再举出一个一元二次方程，通过计算判断问题3中得到的结论是否成立吗？
这一结论对任意一个一元二次方程都成立.
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任务一：探究一元二次方程根的判别式与实数根的情况之间的关系
问题：回顾求根公式，想想方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根的条件是什么？ 何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根的条件是b2－4ac≥0.
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，通过配方得到 后，如何求解？
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通过解决上面的问题发现，一元二次方程中根的情况是由谁确定的？ 有怎样的关系？
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的情况由b2－4ac来确定.我们把b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ＝b2－4ac.
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一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中Δ＝b2－4ac.
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，方程没有实数根.
说明：(1)当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根.因此当Δ≥0时，说方程有两个实数根.
(2)判别式只适用于一元二次方程，当无法判断方程是不是一元二次方程时，判别方程根的情况应对方程进行分类讨论.
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任务二：应用与拓展
1.应用
例 用根的判别式判别下列方程根的情况：
(1)5x2－3x－2＝0；
(2)25y2＋4＝20y；
(3)2x2＋ x＋1＝0.
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解：(1)因为Δ＝(－3)2－4×5×(－2)＝49＞0，
所以原方程有两个不相等的实数根.
(2)原方程可变形为25y2－20y＋4＝0.
因为Δ＝(－20)2－4×25×4＝0，
所以原方程有两个相等的实数根.
(3)因为Δ＝( )2－4×2×1＝－5＜0，
所以原方程没有实数根.
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用根的判别式判别方程根的情况的步骤：
一化：将一元二次方程化为一般形式.
二算：确定a，b，c的值，计算出Δ的值.
三判断：根据根的判别式与实数根的情况之间的关系判别方程实数根的情况.
强调：在具体解题时，只要能判别出判别式的值的符号，具体数值可不计算出来.
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练习：用根的判别式判别下列方程根的情况：
判断含有字母系数的一元二次方程根的情况，与判断系数全是数字的方程根的情况方法一样，只需判断出判别式的符号即可.
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2.拓展
问题：能说出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式与实数根的情况之间的关系的逆命题吗？这个逆命题正确吗？
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一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中Δ＝b2－4ac.
方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；
方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；
方程无实数根时，Δ＜0.
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练习：能根据上面探究得到的结论，解答下列两题吗？
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D
1
课堂评价
A
课堂评价
B
课堂评价
A
课堂评价
x1＝x2＝2
课堂评价
通过本节课的学习，你学到了哪些内容？ 学习了本节课，你有何感想？
强调：1.根的判别式是对一元二次方程而言的，非一元二次方程不适用.
2.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中Δ＝b2－4ac.
Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；Δ＝0 方程有两个相等的实数根；Δ＜0 方程无实数根.
3.逆用一元二次方程根的判别式与实数根的情况之间关系时，一定要牢记二次项系数不等于0这一隐含条件.
课堂总结
基础性作业：教材练习第1，2题；教材习题17.3第2题.
提高性作业：已知关于x 的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是 ( )
A.当k＝0时，方程无解
B.当k＝1时，方程有一个实数解
C.当k＝－1时，方程有两个相等的实数解
D.当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解
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拓展性作业：已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根.
(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值.
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