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第17章 一元二次方程及其应用
17.4 一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根完全由它的系数确定.求根公式是根与系数关系的一种形式，除此之外，一元二次方程根与系数之间还有什么形式的关系？
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任务一：探究一元二次方程根与系数的关系
问题：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，且b2－4ac≥0)的两根为 观察x1，x2表达式的特点，有什么发现？
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由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么 ， .这个关系通常称为韦达定理.
当一元二次方程的二次项系数为1时，它的一般形式为x2＋px＋q＝0.设它的两个根为x1，x2，这时有x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
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练习：下列方程中，两根之和与两根之积各是多少？
(1)x2＋3x－2＝0.(2)3x2－2x＝3.(3)2x2－4x＋1＝0.(4)4x2＝1.
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在使用根与系数的关系时，应注意的问题：
(1)不是一般形式的方程要先化成一般形式.
(2)在使用 时，注意“－”不要漏写.
(3)不要漏掉除以二次项系数.
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一般地，若ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，能用a，b，c表示|x1－x2|吗？
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这类问题的解法：求根的对称代数式的值就是将所求的代数式用两根之和与两根之积表示出来，再整体代入求值.
在变形时，需掌握如下几个常用变形：
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课堂评价
D
课堂评价
C
课堂评价
A
课堂评价
5
课堂评价
p
1
通过本节课的学习，你学到了哪些内容？ 学习了本节课，你有何感想？
强调：1.一元二次方程根与系数关系的推导过程.
2.一元二次方程根与系数关系的应用.
课堂总结
基础性作业：教材练习第2，3题；教材习题17.4第4题.
提高性作业：已知关于x的一元二次方程x2－6x＋2m－1＝0有x1，x2两个实数根.
(1)若x1＝1，求x2及m的值.
(2)是否存在实数m，满足(x1－1)(x2－1)＝ ？ 若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由.
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拓展性作业：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根为x1，x2，且满足x2－x1＝2，则称这样的方程为“和谐方程”.例如，方程x2－2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝2，则方程x2－2x＝0是“和谐方程”.
(1)方程x2－8x＋15＝0是“和谐方程”吗？ 判断并说明理由.
(2)若关于x的一元二次方程x2＋4x＋c＝0是“和谐方程”，求c的值.
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