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第17章 一元二次方程及其应用
17.5 一元二次方程的应用
第1课时 一元二次方程的应用(1)
问题1：一件商品，原价80元，降低10%后的售价为______，在原价的基础上增长10%后售价为______.
增长数＝基数×增长率，
增长后实际数＝基数＋增长数＝基数×(1＋增长率)；
降低数＝基数×降低率，
降低后实际数＝基数－降低数＝基数×(1－降低率).
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问题2：列方程解应用题的一般步骤是什么？
审：审题，分清已知量、未知量，明确哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系.
设：直接设未知数或间接设未知数，以及用含未知数的代数式表示其他相关量.
列：找到等量关系并列出方程.(关键步骤)
解：解方程.
答：检验根的准确性及是否符合实际意义并作答.
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任务一：探究实际生活中与图形面积有关的问题
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还有没有其他的解题思路？
将原图中三条小路分别向上和向右平移至如图所示的位置，若设小路的宽为x m，则花坛总面积为(32－2x)(20－x) m2，所列方程为(32－2x)(20－x)＝570.
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比较这两种解法，哪一种更简单？
第二种方法更简单.
变式练习：在本例题中，如果按如下两种方案修筑小路，请你分别求出小路的宽度.
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能总结解决此类问题的方法吗？
解决图形面积的问题，要学会转化，把不规则的图形转化为规则的图形，这样就容易计算图形的面积.
平移转化是列一元二次方程解决面积类应用题常用的方法.其核心思想是将不在一起的几块图形通过平移转化为一块规则的图形，然后根据面积列出一元二次方程.
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任务二：探究与增长(或降低)率有关的问题
1.平均增长(或降低)率问题
例2 原来每盒27元的一种药品，经两次降价后每盒售价为9元.该药品两次降价的平均降价率是多少？(精确到1%)
(1)若设平均降价率为x，则第一次降价后的售价是多少元？ 第二次降价后的售价是多少元？
(2)由“经两次降价后每盒售价为9元”，可列的方程是什么？
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总结：列一元二次方程解决增长(或降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如增长率问题：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a(1＋x)；第二次增长后的数为a(1＋x)＋a(1＋x)x＝a(1＋x)2.
即原数×(1＋增长的百分率)2＝后来数.同理得降低率问题的关系式：原数×(1－降低的百分率)2＝后来数.另外，还要注意，增长率可以大于1，但降低率不能大于1.
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练习：(1)某企业第一年营业额为100 万元，第一至三年总营业额为500 万元，设平均每年营业额的增长率为x，则下面所列方程正确的是 ( )
A.100(1＋x)2＝500 B.100(1＋2x)2＝500
C.100(1＋3x)2＝500 D.100＋100(1＋x)＋100(1＋x)2＝500
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(2)超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元.因销量持续攀升，商家在3月份提价20%后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率x 连续降价.已知5月份礼盒的售价为486元，则x＝______.
(3)某农机厂1月份生产联合收割机300 台.为了满足夏收季节市场需求，3月份比1月份多生产了132 台.若设2月、3月的月平均增长率为x，则可列方程为____________________.
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2.一般增长率问题
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课堂评价
B
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B
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2
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5
课堂评价
通过本节课的学习，你学到了哪些内容？ 学习了本节课，你有何感想？
课堂总结
强调：1.列一元二次方程解应用题的步骤，与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、找、列、解、检、答.
这里要特别注意，在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求.
2.若平均增长(或降低)率为x，增长(或降低)前的是a，增长(或降低)n 次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n ＝b，其中增长取“＋”，降低取“－”.
3.对于长方形中修宽度相同的小路问题，一般可以利用平移解决.
课堂总结
基础性作业：教材练习第1，2题.
提高性作业：教材习题17.5第5，6题.
拓展性作业：小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元/件；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价每件降低2元，但单价不得低于每件50元.按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元，她购买了多少件这种服装？
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