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第18章 勾股定理及其逆定理
18.2 勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理
问题1：在直角三角形中，三边的长度之间有什么关系？
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
问题2：如何判定一个三角形是直角三角形？
从直角三角形的定义出发，或根据两个角互余的三角形是直角三角形来判断.
问题3：如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是不是直角三角形呢？
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环节一：探究勾股定理的逆定理
思考：1.据说，几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13 个结，然后，用钉子将第1 个与第13 个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4 个和第8 个结处各钉上一个钉子，如图.这样围成的三角形中，最长边所对的角就是直角.你知道为什么吗？
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以一段绳长为1 个单位长度，绳子的三边长可分别记为3，4，5.
32＋42＝52，符合勾股定理的形式.
可作出猜想：通过符合勾股定理的边长可构造出直角三角形.
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2.用圆规、直尺作△ABC，使AB＝5，AC＝4，BC＝3，量一量∠C，它是90°吗？
∠C 的度数是90°.
说明：这个问题意味着，如果三角形的三边长分别为3，4，5，那么这个三角形是直角三角形.
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3.△ABC的三边长满足AC2＋BC2＝AB2，则∠C为多少度？
∠C＝90°.
由此得到勾股定理的逆定理.
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
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这个定理和勾股定理有什么联系？
两个定理的条件和结论相反.
勾股定理是通过“形”的状态来反映“数”的关系的，而勾股定理的逆定理是通过“数”的关系来反映“形”的状态的.
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环节二：例题讲解
例 根据下列三角形的三边长a，b，c的值，判断△ABC是不是直角三角形.如果是，指出哪条边所对的角是直角.
(1)a＝7，b＝24，c＝25；(2)a＝7，b＝8，c＝11.
解：(1)∵72＋242＝252，
∴a2＋b2＝c2.
∴△ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角.
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(2)∵最大边是c＝11，c2＝121，
a2＋b2＝72＋82＝113，
∴a2＋b2≠c2.
∴△ABC不是直角三角形.
根据三角形的特性，只需判断出最大边的平方是否等于另外两条边的平方和就可以了.直接应用勾股定理的逆定理来判定即可.
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能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数.
能再写出几组勾股数吗？
强调：勾股数需要满足两个条件，一是能够成为直角三角形三条边的长度；二是必须是正整数.
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判断一个三角形是不是直角三角形都有哪些方法？
(1)利用定义：如果有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形.
(2)如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.
(3)利用勾股定理的逆定理：当已知三边的长或三边之间的数量关系时，常用此方法，在运用这个方法时，要注意找出哪条边是最长边，再验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方.
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45°
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1.通过本节课的学习，你认为一个三角形的三边在数量上满足怎样的关系时，这个三角形才是直角三角形呢？
2.通过本节课，你学到了什么？你还有什么疑惑吗？
课堂总结
基础性作业：教材练习第1~3题.
提高性作业：教材习题18.2第1，2题.
拓展性作业：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一，利用它能判断一个三角形是否为直角三角形.即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，当a2＋b2＝c2，我们知道此三角形为直角三角形.那么当a2＋b2＜c2或a2＋b2＞c2时，此三角形又分别是怎样的三角形呢？ 请你与小组其他成员一起探究.
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