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第18章 勾股定理及其逆定理
本章复习课
回顾与思考
同学们，本章我们学习了什么内容？ 这节课，就让我们一起来复习吧.
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环节一：复习回顾
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1.勾股定理及其逆定理
(1)勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
说明：①勾股定理反映了直角三角形中三边长之间的平方关系，它把图形的特征转化成了数量之间的关系.
②勾股定理只在直角三角形中适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形.
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③已知直角三角形的两条边长，可求第三条边长.在应用时，要分清直角边和斜边的位置.除勾股定理外，还有如下图所示变形：
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(2)勾股定理的验证方法：
勾股定理的验证方法较多，面积法是常用的一种方法，具体方法是把同一个图形的面积用不同的形式表示，再列出等式，通过化简等运算就可验证勾股定理.
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(3)勾股定理的逆定理：
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
说明：①用三角形的三边长判定三角形是否为直角三角形，体现了数形结合的思想，用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形的步骤是：先找出最长边，然后计算两个短边的平方和，看它与最长边的平方是否相等.若相等，是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形.除此之外，它还可以证明两条线段垂直.
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②勾股定理与勾股定理的逆定理是互逆定理，勾股定理主要反映了直角三角形三边之间的数量关系，它是解决直角三角形中关于计算与证明题目的主要依据；勾股定理的逆定理的主要应用是把数转化为形，通过计算三角形三边之间的数量关系来判断一个三角形是不是直角三角形，它可作为直角三角形的判定依据.
③满足a2＋b2＝c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数.如3，4，5；5，12，13；n2－1，2n，n2＋1(n为大于1的整数)等.
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2.勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理的实际应用就是把实际问题转化为数学问题，它的前提是直角三角形，在求解时常运用题目中的直角条件或构造直角三角形，利用勾股定理直接求或利用勾股定理列出方程求解.
勾股定理的逆定理的应用也是把实际问题转化为数学问题，通过勾股定理的逆定理得到直角三角形，再借助直角三角形的相关性质进行求解.
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环节二：例题解析
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方法总结：利用勾股定理的条件必须是在直角三角形中，且必须是两条直角边的平方和等于斜边的平方.利用勾股定理及其公式变形可解决已知其中的两条边长求第三条边长的题目.在解决一些实际问题时，没有直角三角形的可利用辅助线来作出直角三角形，得出满足题意的直角三角形，达到数形结合的目的.
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方法总结：勾股定理的逆定理的作用就是判断一个角是否为直角，进而判断一个三角形是否为直角三角形.在运用的时候一定要注意先找出最长的边，再做判断，这也体现了数形结合的数学思想.
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方法总结：解决此类问题时，首先要清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件.解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.我们运用方程的思想解决问题时，应认真审题，设出正确的未知数.
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方法总结：解答实际问题时，要抽象出直角三角形的数学模型，然后利用勾股定理求出线段的长度.
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方法总结：分类讨论的思想是数学解题中重要的思想方法.解决这样的问题，要注意根据题目的特点进行分类讨论，要做到全面不遗漏.
1.你对本章知识点有了哪些新的认识？
2.你弄懂了哪些之前不太清楚的知识？
3.在利用勾股定理及其逆定理解决问题时，你积累了哪些经验和方法？
课堂总结
基础性作业：教材复习题 A 组第1~7题.
提高性作业：教材复习题 B 组第1~10题.
拓展性作业：教材复习题 C 组第1~4题.
作业设计

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