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第19章 四边形
19.1 多边形
第1课时 多边形的内角和
1.什么是三角形？
在平面内，由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形，叫作三角形.
2.三角形的内角和是多少？
三角形的内角和等于180°.
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3.长方形的内角和等于多少度？ 正方形的内角和等于多少度？ 猜想：任意一个四边形的内角和等于多少度？
长方形和正方形的内角和都等于360°，可以猜想任意一个四边形的内角和都等于360°.
任意一个四边形的内角和是如何推理得到的？ 又如何求五边形、六边形、…、n边形(n为不小于3的整数)的内角和？
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任务一：探究多边形的相关概念
三角形有三个内角、三条边，也可以将其称为三边形.那么，能说出什么叫作四边形、五边形和n边形(n为不小于3的整数)吗？
四边形是由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的平面封闭图形.五边形是由五条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的平面封闭图形.在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形.如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫作n边形.(n为不小于3的整数)
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(1)组成多边形的线段叫作多边形的边；相邻两边的公共端点叫作多边形的顶点；多边形中相邻两边组成的角叫作多边形的内角，简称多边形的角；在顶点处一边与邻边延长线所组成的角叫作多边形的外角.
(2)多边形一般按边数命名，并用它各个顶点的字母顺次排列来表示.如图，三个多边形分别表示四边形ABCD、五边形ABCDE、六边形ABCDEF.
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(3)一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同侧，这样的多边形就是凸多边形，如图1.而图2所示的图形就不是凸多边形.若无特别说明，本书中所研究的都是凸多边形.
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练一练：
如图，观察图形：
(1)此四边形的内角分别是哪些角？
∠A，∠ABC，∠C，∠D.
(2)与∠ABC相邻的外角有哪两个？ 这两个角之间存在什么关系？
与∠ABC相邻的外角有∠ABF和∠EBC，两者互为对顶角，这两个角相等.
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五边形、六边形分别有多少个内角？ 多少个外角？ n边形(n为不小于3的整数)呢？
五边形有5 个内角，10 个外角；六边形有6 个内角，12 个外角；n边形(n 为不小于3的整数)有n 个内角，2n 个外角.
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任务二：探究多边形的内角和
四边形的内角和等于多少？
如图1，连接AC，能得到四边形ABCD的内角和吗？
多边形中连接不相邻两个顶点的线段叫作多边形的对角线.图1中的AC是四边形ABCD的一条对角线.
AC将四边形分成两个三角形，这两个三角形的六个内角的和即为四边形的内角和，所以四边形的内角和等于2×180°＝360°.
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如图2，在四边形ABCD内任取一点O，连接OA，OB，OC，OD，也能得到四边形ABCD的内角和吗？
利用四个三角形的内角和减去∠AOD，∠COD，∠BOC，∠AOB这四个角，即可得到四边形的内角和.即4×180°－360°＝360°.
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还有其他方法能得到四边形的内角和吗？
可以在四边形的边(顶点除外)上取点，然后与不相邻的各顶点相连，把四边形分成3 个三角形，所以四边形的内角和＝180°×3－180°＝360°.
四边形的内角和等于360°.
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问题2：五边形的内角和是多少度？ 如图，能仿照上述方法得到五边形ABCDE的内角和吗？
五边形的内角和等于540°.
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问题3：一般地，n边形(n为不小于3的整数)的内角和是多少度？
n边形(n为不小于3的整数)的内角和为(n－2)·180°.
能给出这个结论的证明过程吗？
方法一：在n边形内任取一点O，并把O与各顶点连接起来，共构成n 个三角形，这n 个三角形的内角和为n·180°，再减去以点O为顶点的一个周角，就可以得到n边形的内角和为(n－2)·180°.
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方法二：在n边形的任意一边(顶点除外)上任取一点P，连接P点与不相邻的各顶点的线段可以把n边形分成(n－1)个三角形，这(n－1)个三角形的内角和等于(n－1)·180°，以P为公共顶点的(n－1)个角的和是180°，所以n边形的内角和是(n－1)·180°－180°＝(n－2)·180°.
方法三：过n边形的一个顶点作对角线，共构成(n－2)个三角形，所以n边形的内角和是(n－2)·180°.
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n边形的内角和定理：n边形(n为不小于3的整数)的内角和为(n－2)·180°.
对多边形边数和内角和之间的关系加以分析研究，并进行填空：多边形每增加一条边，内角和增加_______.
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180°
任务三：例题讲解
例 如图，四边形风筝的四个内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为11∶10∶5∶10.求四边形ABCD四个内角的度数.
解：设∠B＝∠D＝(10x)°.
则∠A＝(11x)°，∠C＝(5x)°.
由题意，得11x＋10x＋5x＋10x＝360.
解得x＝10.
故∠A，∠B，∠C，∠D的度数分别为110°，100°，50°，100°.
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变式：已知一个多边形的内角和等于2160°，求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得(n－2)·180°＝2160°.解得n＝14.
因此，这个多边形的边数为14.
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课堂评价
A
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B
课堂评价
C
课堂评价
1.本节课学了哪些知识？ 知识间有怎样的联系？
2.你还有哪些不明白的地方？ 请与全班同学一起交流.
课堂总结
基础性作业：教材练习第1，2题.
提高性作业：
1.教材练习第3题.
2.一个多边形的内角和与它的一个外角的度数之和为1350°，求此多边形的边数.
作业设计

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