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第19章 四边形
19.2 平行四边形
2.平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定和平行线的性质
1.复习提问
问题(1)：平行四边形的定义是什么？
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
平行四边形有哪些性质？
平行四边形具有如下性质：两组对边分别相等；两组对角分别相等；两条对角线互相平分.
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2.如图，小华家准备安装一块形状为平行四边形的装饰玻璃ABCD，但他不小心碰碎了一部分，他只好拿着剩下的玻璃去玻璃店，聪明的技师很快将原来的平行四边形画了出来，他用的是什么方法？
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任务一：探究平行四边形的判定定理
1.思考：如图，将线段AB按图中所给的方向和距离平移成线段A′B′，连接AA′，BB′.得到四边形ABB′A′，它一定是平行四边形吗？为什么？
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
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已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
分析 要证明四边形ABCD 是平行四边形，可以利用平行四边形的定义进行证明，需先证明出AD∥BC.
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概括新知：
平行四边形的判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
用几何语言表示：在四边形ABCD中，
∵AB＝CD且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
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2.思考：(1)如图1，过点A画两条线段AB，AD，以点B为圆心、AD长为半径画弧，再以点D为圆心、AB长为半径画弧，两弧相交于点C，连接BC，DC.这样画出的四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形吗？为什么？
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(2)如图2，作两条直线l1，l2交于点O，在直线l1上截取OA＝OC，在直线l2 上截取OB＝OD，连接AB，BC，CD，DA.这样画出的四边形ABCD的对角线互相平分，它是平行四边形吗？ 为什么？
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平行四边形的判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
用几何语言表示：在四边形ABCD中，∵AB＝CD，BC＝DA，
∴四边形ABCD是平行四边形.
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平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
用几何语言表示：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O.
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
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3.应用
例1 已知：如图，点E，F是 ABCD的对角线AC上两点，且AE＝CF.求证：四边形BEDF是平行四边形.
证明：方法一 如图，连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO.
∵AE＝CF，∴OE＝AO－AE＝CO－CF＝OF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
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方法二 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC 且AD＝BC.
∴∠EAD＝∠FCB.
在△DAE和△BCF中，
AE＝CF，∠DAE＝∠BCF，AD＝CB，
∴△DAE≌△BCF.
∴DE＝BF.
同理可证：BE＝DF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
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任务二：探究平行线等分线段定理
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通过刚才的证明，得出了什么结论？
平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
在例2图中，直线A1C1向左平移，使得点A1和点A重合，又能得到怎样的结论？
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作为上述定理的特例，有如下推论：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.
变式图形：
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课堂评价
A
课堂评价
5
课堂评价
BE＝DF(答案不唯一)
1.平行四边形的判定方法有哪些？
2.说一说平行四边形的性质与判定之间的关系.
3.平行线等分线段定理及其推论的内容是什么？
4.学习了本节课你有何感想？ 请畅所欲言.
总结：对于平行四边形判定定理的选择，如果对边上有已知条件，或者已知条件和对边有着密切联系，通常考虑使用定义和判定定理1，2进行判定.
课堂总结
基础性作业：教材练习第1，2题.
提高性作业：教材习题19.2第7~9题.
作业设计

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