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第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
1.矩形
第1课时 矩形的性质
1.平行四边形的性质
2.电脑、电视机的显示屏是什么形状？ 本书的封面是什么形状？
电脑、电视机的显示屏和本书的封面都是长方形.
长方形也叫作矩形.
导入新课
两组对边平行且相等；
两组对角相等，邻角互补；
两条对角线互相平分.
观察平行四边形是如何演变成矩形的.(如图)
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩形是一种特殊的平行四边形，它有什么性质？
导入新课
任务一：探究矩形的性质
矩形是一种特殊的平行四边形，除了具有一般平行四边形的性质外，它的边、角和对角线还具有哪些特殊的性质？
画一个矩形ABCD，度量一下它的四条边长、两条对角线的长以及四个角的度数，能从中得出矩形特殊的性质吗？
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概括新知：
矩形的性质1：矩形的四个角都是直角.
矩形的性质2：矩形的对角线相等.
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性质1：矩形的四个角都是直角.
已知：如图，矩形ABCD.
求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.
证明：由定义，矩形必有一个角是直角，设∠A＝90°.
∵AB∥DC，AD∥BC，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°.
即矩形ABCD 的四个角都是直角.
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性质2：矩形的对角线相等.
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC＝90°，对角线AC与DB相交于点O.求证：AC＝DB.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC(矩形的对边相等).
在△ABC和△DCB中，
∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB.∴AC＝DB.
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矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形.因此，有关矩形的问题往往可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决.
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如图1，在矩形纸片ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.将矩形纸片沿AC剪开，得到图2所示的图形，BO是Rt△ABC中一条怎样的线段？ 它与AC长有什么关系？ 由此能得到什么结论？
斜边AC上的中线是BO，它与斜边的关系是BO＝ AC.
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概括新知：
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
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能证明这个推论吗？
证明：延长BO到D，使OD＝OB，连接AD，CD.
∵BO 是斜边AC上的中线，∴AO＝CO.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形.∴AC＝BD.
∵OB＝ BD，∴OB＝ AC.
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到现在为止，你知道了直角三角形的哪些性质？
(1)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
(2)直角三角形两锐角互余.
(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即直角三角形斜边中点到三顶点的距离相等，它在求线段长或线段部分关系时经常用到.
(4)直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
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任务二：例题讲解
例1 如图，矩形ABCD的对角线AC和BC相交于点O，∠AOB＝120°，AD＝4 cm.求矩形ABCD对角线的长.
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课堂评价
B
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C
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3
课堂评价
课堂评价
1.本节课我们学习了哪些知识？ 你有哪些收获和体会？
2.你是否还有感到困惑的地方？ 请与大家一起分享.
强调：当矩形的两条对角线的夹角为60°时，常考虑矩形两条对角线的一半和矩形的短边组成一个等边三角形，进而容易求出线段的长度或角的度数.
课堂总结
基础性作业：教材练习第2，3题.
提高性作业：如图，在矩形ABCD中，点P为AD上一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F.已知∠AOB＝60°，AB＝4.
(1)求矩形ABCD的面积；
(2)直接写出PE＋PF的值.
作业设计

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