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第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
1.矩形
第2课时 矩形的判定
工人师傅在做门窗框架、桌面等包含矩形的物体时，不仅要测量矩形两组对边的长度是否分别相等，还要测量它们的对角线是否相等.能说出其中的道理吗？
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任务一：探究矩形的判定定理1
能将上述事实用一句话来概括一下吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
用数学语言描述定理，并证明.
已知：如图，在 ABCD中，AC＝BD.
求证： ABCD是矩形.
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证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
又∵DC＝CD，AC＝BD，
∴△ADC≌△BCD.
∴∠ADC＝∠BCD.
又∵∠ADC＋∠BCD＝180°，∴∠ADC＝∠BCD＝90°.
所以 ABCD是矩形.
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矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
定理1中包含两个条件，首先是平行四边形，然后才是对角线相等，二者缺一不可.实际做题中经常会忽略掉平行四边形这一前提，要引起注意.
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例1 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，直线AE∥BC，过点D作直线EF∥AB，分别交AE，BC于点E，F.
求证：四边形AECF是矩形.
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证明：∵AE∥BC，
∴∠1＝∠2.
在△ADE和△CDF中，
∵∠1＝∠2，∠ADE＝∠CDF，AD＝CD，
∴△ADE≌△CDF.
∴AE＝CF.
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AE∥BC，EF∥AB，
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∴四边形ABFE是平行四边形.∴EF＝AB.
∵AC＝AB，∴EF＝AC.
∴四边形AECF是矩形.
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任务二：探究矩形的判定定理2
我们已经知道利用对角线相等判定矩形的方法，那还有没有其他的方法判定矩形？ 根据矩形的“四个角都是直角”的性质，有什么感悟？
有三个角是直角的四边形是矩形.
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已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝180°.
∴AB∥CD，AD∥BC.
∴四边形ABCD 是平行四边形.
又∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形.
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矩形的判定定理2：三个角是直角的四边形是矩形.
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例2 如图，在 ABCD中，AE⊥CD于点E，CF⊥AB于点F，求证：四边形AECF是矩形.
证明：∵AE⊥CD，CF⊥AB，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
在 ABCD中，AB∥CD，
∴∠EAF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°，
∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°.
∴四边形AECF为矩形.
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D
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C
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1.矩形有哪些判定方法？
2.本节课你还有哪些体会和收获？
总结：矩形的判定方法有两类，一类是以平行四边形为出发点判定矩形，第一步说明四边形是平行四边形，第二步说明有一个角是直角或对角线相等；另一类是以四边形为出发点判定矩形，利用有三个角是直角的四边形是矩形进行说明.
课堂总结
基础性作业：教材练习第2，3题.
提高性作业：如图，在△ABC中，点O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF.
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长.
(3)连接AE，AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？ 并说明理由.
作业设计

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