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第20章 数据的初步分析
20.3 数据的离散程度
1.离差平方和与方差
有甲、乙两支仪仗队，准备抽取其中一支参与检阅，已知这两支仪仗队队员的身高(单位：cm)如下：
(1)分别求甲、乙两队队员身高的平均数、中位数和众数；
(2)你认为应选取哪支仪仗队？
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(1)甲队身高的平均数、中位数和众数分别是179 cm，179 cm，179 cm；
乙队身高的平均数、中位数和众数分别是179 cm，179 cm，179 cm.
(2)这两队身高的平均数、中位数和众数都相同，选甲、乙两队均可.
这两支仪仗队队员身高的平均数都是179 cm，通过观察发现甲队队员的身高比较整齐，因此选甲队.那么如何判断一组数据的整齐程度？
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任务一：探究离差平方和与方差
两台机床都生产直径为(20±0.2)mm的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10 个零件进行测量，结果如下(单位：mm)：
如何评判哪台机床生产的零件的精度更稳定？
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显然，与20.0 mm越接近精度越高，也意味着越稳定，但从所给数据来看，波动幅度比较小，难以直观看出来.要比较零件的精度，首先应想到比较两组数据的平均值.
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两组数据的平均数一样，能否说明这两台机床生产的零件精度相同呢？ 利用中位数和众数可以吗？
不能.机床A的中位数是20.0 mm，众数是19.8 mm和20.2 mm，机床B的中位数是20.0 mm，众数是20.0 mm，利用中位数和众数也不可以判断.
从数据集中趋势这个角度很难区分两台机床生产的零件的精度的稳定性，这时，就需要考察数据的离散程度.
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将每组零件的直径分别用散点图表示出来，如下图所示.
通过上图，能说说哪台机床生产的零件的精度更稳定吗？
机床B中的各点距均值20.0 mm更接近，故机床B生产的零件的精度更稳定.
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图中过(0，20.0)与横轴平行的直线上的点表示零件直径的平均数所处的位置.可见机床 A生产出的零件的直径中偏离这个平均数0.2 mm 的有6个、0.1 mm的有2个；机床B生产出的零件的直径中偏离这个平均数0.2 mm的有2个、0.1 mm的有4个，直观上容易看出机床B比机床A生产的零件的精度更稳定.
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如何用数量来刻画一组数据的偏离程度？ 用这组数据中的每个数据减去平均数试一试.
设一组数据为x1，x2，…，xn，则这组数据中的各个数据与平均数 x 之差的和为(x1－x )＋(x2－x )＋…＋(xn－x )＝0.这时由于出现了正负抵消的情况，因此无法用各个数据与平均数之差的和来刻画这组数据的偏离程度.
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直接求和会出现正负抵消的情况，还有其他的办法吗？
可以用各个数据与平均数的差的绝对值之和或者平方之和来刻画.
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绝对值之和与平方和均可以刻画数据的偏离程度，但由于绝对值运算在使用计算器计算时容易出错，所以统计中我们经常用各个数据与平均数的差的平方和来刻画数据的偏离程度(离散程度).
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通过上述定义，能得出方差的计算步骤吗？
“先平均，再求差值，然后平方，最后平均”.一般而言，一组数据的方差越小，这组数据就越稳定.
离差平方和与方差都具有如下性质：
(1)最小值为0；
(2)数据的离散程度大，它们的值也大.
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当数据个数较多时，离差平方和的值将变得很大.所以，在实际操作中，我们一般选用方差来衡量数据的离散程度.而离差平方和常常会出现在回归分析等多种分析方法中.
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下面通过计算离差平方和以及方差来分析机床A和机床B哪台生产的零件的精度更稳定.
前面已算得 A，B两组数据的平均数均为20，于是，它们的离差平方和分别为
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无论是根据离差平方和还是方差，我们都可以知道机床 A生产的10 个零件直径比机床B生产的10 个零件直径波动要大.据此，我们可以评判机床B生产的零件精度更稳定.
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任务二：知识应用
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1.通过本节课的学习，你学到了哪些内容？
2.学习了本节课，你有何感想？ 请畅所欲言.
课堂总结
基础性作业：教材练习第1，2题.
提高性作业：教材练习第3，4题.
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